重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期半期联合考试数学(文)试题 Word版含答案
重庆市南开中学2014-2015学年高二下学期半期考试数学(文)试题
重庆南开中学高2016级高二下半期考试(数学)
文科
一．选择题(共12题．每题5分，总分60)
1．已知集合(){}122=+=y x y x A ，，集合(){}
x y y x B ==，，则B A 的元素个数为
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知命题R x P ∈∃0:，1tan 0≥x ，则它的否定为( )-2，21，2hslx3y3h 上的最大值和最小值
20、已知函数()x x x f ln =，()32-+-=ax x x g (1) 求()x f 在()()e f e ，处的切线方程
(2) 若存在[]e x ，1
∈时，使()()x g x f ≥2恒成立，求a 的取值范围
21、()()()R a x a x a x x f ∈++-=ln 12
12 (1)若()x f 在()∞+，
2上单调递增，求a 的取值范围 (2)若()x f 在()e ，0内有极小值
2
1，求a 的值。
22、已知函数()12+=ax x f ，()bx x x g +=3
，其中00＞，＞b a 。
(1)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c p ，2处有相同的切线(p 为切点)， 求实数b a ，的值。
(2)令()()()x g x f x h +=，若函数()x h 的单调减区间为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--32b a ，； ①求函数()x h 在区间(]1-∞-，
上的最大值()a M ⑦若()3≤x h 在[]02，
-∈x 上恒成立，求实数a 的取值范围。
重庆市名校联盟高二数学下学期期中试卷 理(含解析)
重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．±12．（5分）若函数y=f（x）在点x=1处的导数为1，则=（）A．2 B．1 C．D．3．（5分）如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个数是正数D．两个都是负数4．（5分）小花老师从甲、乙、丙、丁共计4名学生中选出2名分别担任班长和学习委员，她有（）种备选方案．A．4 B．6 C．10 D．125．（5分）若抛物线y=ax2在点x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，则a=（）A．1 B．C．﹣D．﹣16．（5分）（2x+1）n的展开式中的各项系数和为729，则n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）有这样一段演绎推理：“有些整数是自然数，﹣2是整数，则﹣2是自然数”，这个结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误8．（5分）把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字填入图中的表格，从上到下，从左到右依次增大，当3，4固定在图中位置时，余下的数的填法有（）种．34A．6 B．12 C．18 D．249．（5分）若函数f（x）=x2﹣2bx+1在区间（0，1）内有极小值，则b的值为（）A．B．C．D．110．（5分）若函数f（x）=x3﹣mx2﹣x+5在区间（0，1）内单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m=1 C．m≤1D．0＜m＜111．（5分）对任意实数x，y定义运算x⊗y=设a=，b=，c=．则b⊗a⊗c的值是（）A．a B．b C．c D．不确定12．（5分）设M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若方程x2﹣ax﹣b=0满足a，b∈M且方程至少有一根c∈M，则称该方程为“气质方程”，则“气质方程”的个数为（）A．3 B．9 C．12 D．21二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．（5分）已知复数z=则它的模|z|=．14．（5分）函数f（x）=lnx﹣x+1的极值点是x=．15．（5分）将A，B，C三种不同的文件放入一排编号依次为1，2，3，4，5的五个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若A，B必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有种．16．（5分）若方程xe﹣x﹣a+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在（x2+）6的展开式中．求：（Ⅰ）第3项的二项式系数；（Ⅱ）常数项．18．（12分）为了庆祝5月18日“世界博物馆日”，重庆白鹤梁水下博物馆对外宣传组需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的横向张贴的海报，要求版心（图中的阴影部分）面积为162dm2，上、下两边各空1dm，左、右两边各空2dm，如何设计版心的尺寸，才能使四周空白面积最小？19．（12分）已知x=3是函数f（x）=ax3﹣x2+2的一个极值点（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式b＜f（x），x∈时恒成立，求b的取值范围．20．（12分）在数列{a n}中，a n=（n∈N x），记b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）（I）试求b1，b2，b3，b4的值；（Ⅱ）根据（I）中的计算结果，猜想数列{b n}的通项公式并用数学归纳法进行证明．21．（12分）在△ABC中，∠BCA=90°，BC在BA的投影为BD（即CD⊥AB），如图，有射影定理BC2=BD•BA．类似，在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，点P在底面ABC的射影为点O（即PO⊥面ABC），则△PAB，△ABO，△ABC的面积S1，S2，S3也有类似结论，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．22．（10分）已知函数f（x）=ln（x+m+1），m∈R．（I）若直线y=x+1与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；（Ⅱ）当m≤1时，求证f（x）＜e x．重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．±1考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由于z为纯虚数，可得，解出即可．解答：解：∵复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，∴，解得x=1．故选：B．点评：本题考查了纯虚数的定义，属于基础题．2．（5分）若函数y=f（x）在点x=1处的导数为1，则=（）A．2 B．1 C．D．考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的定义即可得出．解答：解：∵函数y=f（x）在点x=1处的导数为1，∴=f′（1）=1．故选：B．点评：本题考查了导数的定义，属于基础题．3．（5分）如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个数是正数D．两个都是负数考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由题意可得，这2个实数一定不会都是负数，即这2个实数中至少有一个数是正数，也不会是一个负数和零，从而得出结论．解答：解：如果两个实数之和为正数，则这2个实数一定不会都是负数，也不会是一个负数和零，即这2个实数中至少有一个数是正数，故选：C．点评：本题主要考查推理与证明，属于基础题．4．（5分）小花老师从甲、乙、丙、丁共计4名学生中选出2名分别担任班长和学习委员，她有（）种备选方案．A．4 B．6 C．10 D．12考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据题意，分析可得从甲、乙、丙、丁共计4名学生中选出2名分别担任班长和学习委员是排列问题，运用排列数公式计算即可得答案．解答：解：根据题意，从甲、乙、丙、丁共计4名学生中选出2名分别担任班长和学习委员，是排列问题，即有A42=4×3=12种不同的选法；故选：D．点评：本题考查排列数公式，关键要分析题意，认清是排列还是组合问题．5．（5分）若抛物线y=ax2在点x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，则a=（）A．1 B．C．﹣D．﹣1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：先求出已知函数y在x=1处的斜率；再利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．解答：解：∵y'=2ax，∵x=1，∴y′=2a即切线斜率为k=2a，∵切线与直线x+2y=0垂直，∴k=﹣，∴2a×（﹣）=﹣1即a=1．故选A．点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率；两直线垂直的条件：斜率乘积为﹣1．属于基础题．6．（5分）（2x+1）n的展开式中的各项系数和为729，则n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：在（2x+1）n中，令x=1可得，其展开式的各项系数的和，又由题意，可得3n=729，解可得n=6，即可得答案．解答：解：在（2x+1）n中，令x=1可得，其展开式的各项系数的和为3n，又由题意，可得3n=729，解可得n=6，故选：B．点评：本题考查二项式定理的应用，求二项式展开式的各项系数的和时，一般用特殊值法，即求x=1时二项式的值．7．（5分）有这样一段演绎推理：“有些整数是自然数，﹣2是整数，则﹣2是自然数”，这个结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误考点：演绎推理的意义．专题：综合题；推理和证明．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误．解答：解：大前提：整数包含自然数与负整数．故大前提错误．故选：A．点评：本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．8．（5分）把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字填入图中的表格，从上到下，从左到右依次增大，当3，4固定在图中位置时，余下的数的填法有（）种．34A．6 B．12 C．18 D．24考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意知，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，1只能在3左边，2只能在4的左边，9只能在第三行第三列，从而得到结果．解答：解：∵由题意知，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，∴1只能在3左边，2只能在4的左边，9只能在第三行第三列．余下的有6种，故选：A．点评：本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏，属于中档题9．（5分）若函数f（x）=x2﹣2bx+1在区间（0，1）内有极小值，则b的值为（）A．B．C．D．1考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值，进而求出b的值．解答：解：∵f′（x）=2x﹣2b，令f′（x）＞0，解得：x＞b，令f′（x）＜0，解得：x＜b，∴函数f（x）在（0，b）递减，在（b，1）递增，∴f（x）极小值=f（b）=b2﹣2b2+1=，解得：b=，故选：C．点评：本题考察了函数的单调性，极值问题，考察导数的应用，是一道基础题．10．（5分）若函数f（x）=x3﹣mx2﹣x+5在区间（0，1）内单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m=1 C．m≤1D．0＜m＜1考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：求导数f′（x）=3x2﹣2mx﹣1，所以根据题意便有3x2﹣2mx﹣1≤0在（0，1）上恒成立，这样解关于m的不等式组即得实数m的取值范围．解答：解：f′（x）=3x2﹣2mx﹣1，f（x）在（0，1）上单调递减；∴f′（x）≤0在（0，1）上恒成立；即3x2﹣2mx﹣1≤0，在（0，1）上恒成立．分离参数m，易知，函数为增函数，所以=1．故选：A点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，要熟悉二次函数的图象，并会运用．属于简单题型．11．（5分）对任意实数x，y定义运算x⊗y=设a=，b=，c=．则b⊗a⊗c的值是（）A．a B．b C．c D．不确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：比较对数值的大小．利用新定义求解即可．解答：解：因为ln29＞ln34，所以a＞b，对任意实数x，y定义运算x⊗y=设a=，b=，b⊗a=，因为ln225＞ln54，所以a＞c，b⊗a⊗c=⊗==a．故选：A．点评：本题考查对数值的大小比较，新定义的应用，基本知识的考查．12．（5分）设M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若方程x2﹣ax﹣b=0满足a，b∈M且方程至少有一根c∈M，则称该方程为“气质方程”，则“气质方程”的个数为（）A．3 B．9 C．12 D．21考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据题意用十字相乘法，先把b分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是a，进而可以确定方程，再依次分析c等于2、3、…10，分别分析、列举其“气质方程”的个数，由加法原理，计算可得答案．解答：解：用十字相乘法，先把b分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是a；b=2 时，有2×1=2，a=2﹣1=1，则“气质方程”为x2﹣x﹣2=0；b=3时，有3×1=3，a=3﹣1=2，则“气质方程”为x2﹣2x﹣3=0；b=4时，有4×1=4，a=4﹣1=3，则“气质方程”为x2﹣3x﹣4=0，另外4=2×2，a=2﹣2=0∉M，不符合条件，故排除；b=5时，有5×1=5，a=5﹣1=4，则“气质方程”为x2﹣4x﹣5=0；b=6时，有6×1=6，a=6﹣1=5，则“气质方程”为x2﹣5x﹣6=0，同时，有2×3=6，a=3﹣2=1，则“气质方程”为x2﹣x﹣6=0；b=7时，有7×1=7，a=7﹣1=6，则“气质方程”为x2﹣6x﹣7=0，b=8时，有8×1=8，a=8﹣1=7，则“气质方程”为x2﹣7x﹣8=0，同时，有2×4=8，a=4﹣2=2，则“气质方程”为x2﹣2x﹣8=0；b=9时，有9×1=9，a=9﹣1=8，则“气质方程”为x2﹣8x﹣9=0，另外9=3×3，a=3﹣3=0∉M，不符合条件，故排除；b=10时，有10×1=10，a=10﹣1=9，则“气质方程”为x2﹣10x﹣9=0，同时，有2×5=10，b=5﹣2=3，则“气质方程”为x2﹣3x﹣10=0；综合可得，共12个“气质方程”，故答案为12．点评：本题考查方程的根的存在性及个数判断，分类计数原理的应用，注意分析题意，得到“气质方程”的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上. 13．（5分）已知复数z=则它的模|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数定义是法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z==﹣1﹣2i，则它的模|z|==．故答案为：．点评：本题考查了复数定义是法则、模的计算公式，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=lnx﹣x+1的极值点是x=1．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点．解答：解：∵f′（x）=﹣1=，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴x=1是函数f（x）的极值点，故答案为：1．点评：本题考察了函数的单调性，考察了函数的极值问题，求出函数的导数得到函数的单调区间是解答本题的关键，本题是一道基础题．15．（5分）将A，B，C三种不同的文件放入一排编号依次为1，2，3，4，5的五个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若A，B必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有24种．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意知A，B分别看成一个元素，相应的抽屉看成4个，则2个元素在4个位置排列，共有A42种结果，看成一个元素的两部分还有一个排列，根据分步计数原理得到结果．解答：24解：∵文件A、B必须放入相邻的抽屉内，∴A，B分别看成一个元素，相应的抽屉看成4个，则有2个元素在四个位置排列，共有A42种结果，组合在一起的元素还有一个排列，共有A22A42=24种结果，故答案为：24．点评：本题考查分步计数原理，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把这两个元素看成一个元素进行排列，注意这两个元素内部还有一个排列，16．（5分）若方程xe﹣x﹣a+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（1，1+）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：方程xe﹣x﹣a+1=0有两个不相等的实数根可化为e x=有两个不相等的实数根，再化为函数y=e x与y=的交点个数问题，从而作函数的图象，结合导数求解．解答：解：∵方程xe﹣x﹣a+1=0有两个不相等的实数根，∴方程xe﹣x=a﹣1有两个不相等的实数根，而当a﹣1=0时，方程xe﹣x=a﹣1只有一个根0，故不成立；故a﹣1≠0；故e x=有两个不相等的实数根，作函数y=e x与y=的图象如下，设切点为A（x，e x）；则e x=；故x=1；即切线的斜率k=e；＞e；解得，1＜a＜1+；故答案为：（1，1+）．点评：本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了切线的斜率与导数的几何意义的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在（x2+）6的展开式中．求：（Ⅰ）第3项的二项式系数；（Ⅱ）常数项．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：（Ⅰ）第3项的二项式系数为；（Ⅱ）利用二项式展开式的通项公式，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）第3项的二项式系数为=15…（4分）（Ⅱ）T r+1==…（8分）令12﹣4r=0，∴r=3，故常数项为T4==20…（12分）点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．18．（12分）为了庆祝5月18日“世界博物馆日”，重庆白鹤梁水下博物馆对外宣传组需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的横向张贴的海报，要求版心（图中的阴影部分）面积为162dm2，上、下两边各空1dm，左、右两边各空2dm，如何设计版心的尺寸，才能使四周空白面积最小？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：利用版心面积设出一边长为xdm，表示出海报的总面积，四周空白面积最小即为海报的总面积最小，求面积最小可以利用基本不等式的思想．解答：解：设“版心”的长为xdm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为：S=（x+4）（+2）﹣162=2x++8≥2+8=80，当且仅当2x=，即x=18时四周空白面积最小．答：当版心长为18dm，宽为9dm时，海报四周空白面积最小…（12分）点评：本题考查建立函数模型解决实际问题的能力，考查基本不等式求函数最值的方法，考查学生的转化与化归能力，运算能力，方程思想，属于基本题型．19．（12分）已知x=3是函数f（x）=ax3﹣x2+2的一个极值点（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式b＜f（x），x∈时恒成立，求b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f′（3）=0，可得a，再令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）求出f（x）在的最小值，由恒成立思想可得b＜f（x）min，即可得到b的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3﹣x2+2，则f′（x）=3ax2﹣3x，又x=3是函数y=f（x）的一个极值点，f′（3）=0，即有27a﹣9=0，解得a=，此时f′（x）=x2﹣3x=x（x﹣3），由f′（x）＞0得x＜0或x＞3，f′（x）＜0得0＜x＜3，故f（x）的单增区间为（﹣∞，0）（3，+∞），单减区间为（0，3）；（Ⅱ）由（1）知：f（x）在上为减函数，在上为增函数，则当x∈时，f（x）min=f（3）=﹣，由b＜f（x），x∈恒成立，即b＜f（x）min，故b＜﹣．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．20．（12分）在数列{a n}中，a n=（n∈N x），记b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n）（I）试求b1，b2，b3，b4的值；（Ⅱ）根据（I）中的计算结果，猜想数列{b n}的通项公式并用数学归纳法进行证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：等差数列与等比数列；推理和证明．分析：（1）由于a n=（n∈N x），b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），可得b1，b2，b3，b4的值；（2）由（1）的值归纳得：．用数学归纳法证明即可．解答：解：（1）∵a n=（n∈N x），b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），∴b1=1﹣a1=1﹣=，b2==，=，=．（2）由（1）的值归纳得：．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，b1==，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即．当n=k+1时，b k+1=b k（1﹣a k+1）====，即当n+1时，等式也成立．由①②知，对任何正整数n有得：成立．点评：本题考查了递推式的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）在△ABC中，∠BCA=90°，BC在BA的投影为BD（即CD⊥AB），如图，有射影定理BC2=BD•BA．类似，在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，点P在底面ABC的射影为点O（即PO⊥面ABC），则△PAB，△ABO，△ABC的面积S1，S2，S3也有类似结论，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，即可得出结论．解答：解：类似的结论是：S12=S2．S3…（4分）这个结论是正确的，证明如下：连接CO延长交AB于点D，连接PD、OA、OB∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB=P∴PC⊥面PAB∴PC⊥PD，PC⊥AB，又∵PO⊥面ABC，CD为PC在面ABC的射影∴AB⊥CD．在△PDC中，由射影定理有：PD2=DO•DC∴S12=（）2=AB2•DO•DC==S2．S3故结论正确…（12分）点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．22．（10分）已知函数f（x）=ln（x+m+1），m∈R．（I）若直线y=x+1与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；（Ⅱ）当m≤1时，求证f（x）＜e x．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数的导数，设出切点，求得切线的斜率，由点满足曲线和切线方程，解方程，可得m=1：（2）由m≤1，可得ln（x+m+1）≤ln（x+2），要证f（x）＜e x，只需证ln（x+2）＜e x，令h（x）=e x﹣ln（x+2），求出导数，运用零点存在定理，可得∃x0∈（﹣1，0），使h′（x0）=0，求得h（x）的最小值，证明它大于0，即可得证．解答：解：函数f（x）=ln（x+m+1）的导数f′（x）=，（1）设直线y=x+1与函数f（x）的图象切于点（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+m+1），=1，解得x0=﹣1，y0=0，m=1；（2）证明：由m≤1，可得ln（x+m+1）≤ln（x+2），要证f（x）＜e x，只需证ln（x+2）＜e x，令h（x）=e x﹣ln（x+2），则h′（x）=e x﹣，由h′（﹣1）=﹣1＜0，h′（0）=＞0，即有∃x0∈（﹣1，0），使h′（x0）=0，即=，ln（x0+2）=﹣x0，则h（x）在（﹣2，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，即有h（x）min=h（x0）=﹣ln（x0+2），则h（x）≥h（x）min=﹣ln（x0+2）=+x0=＞0，则有f（x）＜e x．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．。
重庆市南开中学2014-2015学年高二下学期半期考试数学文试卷
重庆南开中学高2016级高二下半期考试(数学)文科一．选择题(共12题．每题5分，总分60)1．已知集合(){}122=+=y x y x A ，，集合(){}x y y x B ==，，则B A 的元素个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知命题R x P ∈∃0:，1tan 0≥x ，则它的否定为( ) A ．R x ∈∀，1tan ≥x B ．R x ∈∃0，1tan 0＞x C ．R x ∈∀，1tan ＜x D ．R x ∈∃0，1tan 0＜x 3．“1=m ”是“函数()()2244x m m x f +-=”为幂函数的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 4．已知函数()⎩⎨⎧+-≤+=1311＞，，x x x x x f ，那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f =( ) A ．21 B ．23 C ．25 D ．275．函数()()()a x x xx f -+=12为奇函数，则实数=( )A ．21 B ．32 C ．43 D ．16．函数xx y 9lg -=的零点所在的区间大致是( )A ．(6，7)B ．(7，8)C ．(8，9)D ．(9，l0) 7．已知函数()()32log 22--=x x x f ，则使()x f 为减函数的的区间是( )A ．(-∞，1)B ．(-1，1)C ．(1，3)D ．(-∞，-l)8．已知函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=42x f y 的定义域为[]222，-∈x ，则函数()x f y =的定义域为( )A ．[]11，-B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221， C ．[]20，D ．[]30， 9．若方程m xx=+-1212log 2在[]21，∈x 上有解，则实数的取值范围为( ) A ．[]21， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡532312log log ， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-312log ， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+，532log 10．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧--≤=01＞，，x x x a x e x f x在区间[-2，2]上的最大值为l ，则实数的取值范围是( )A ．[)∞+，3 B ．[]3,0 C ．(]3，∞- D ．(]4，∞- 11．已知定义在上的奇函数()x f 满足()()x f e x f -=+2，且在区间[]e e 2，上是减函数，又1213log 6lg 22＜，，-⎪⎭⎫⎝⎛==c b a 且1ln ＜c ，则有( ) A ．()()()c f b f a f ＜＜ B ．()()()a f c f b f ＜＜ C ．()()()b f a f c f ＜＜ D ． ()()()a f b f c f ＜＜12．已知()x f 是上的奇函数，当0＞x 时，()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=222120121-x ＞，＜，x x f x x f ，则函数在上的所有零点之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 二．填空题(共4题，每题5分，总分20) 13．不等式215≥-+x x 的解集为14．曲线()13lnx ·+=x y 在1=x 处的切线方程为： 15．若实数，满足：422=+y x ，则232+-y x 的最大值为：16．已知函数()1222-+-=a ax x x f ，若关于的不等式()()0＜x f f 的解集为φ，则实数的取值范围： 三．解答题17．已知0＞c ，且1≠c ，设：p 函数xc y =在上单调递减，函数()122+-=cx x x f在⎪⎭⎫⎝⎛∞+，21上是增函数，若“q p ∨”为假，求实数的范围。
2014-2015学年度高二第二学期文科数学测试题
2014－2015学年第二学期高二测试题数学试题（文科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟）班别： 姓名： 座号： 分数：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知集合{0,1,2},{|20}A B x x ==-<，则AB = （ ）A ．{}0,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 2.复数i-12等于（ ） A.i --1 B.i +-1 C.i -1 D.i +1 3．设等比数列}{n a 的公比,21=q 前n 项和为n S ，则44S a =（ ）.A ．31B ．15C ．16D ．324.某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A ．40B ．36C ．30D ．205.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,+∞上单调递减的函数是（ ） A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=6.已知平面向量a,b 的夹角为6π，且=3⋅a b ，3=a ，则b 等于（ ） A. 3 B. 32 C.332 D. 27.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ） A. 623+ B.932C. 63+D. 38.执行如图所示程序框图．若输入3x =，则输出的k 值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．69.圆()221x a y -+=与直线y x =相切于第三象限，则a 的值是（ ）．A ．2B ．2-C ．2-D ．2 10.设函数3()4(02)f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ， 且123x x x <<则下列结论正确的是（ ）A .11x >-B .20x <C .201x <<D .32x >二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分． 11.在ABC △中，若13,1,cos 3b c A ===，则a = . 12.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是 .13. 2sin(),44πα+=则sin 2α= ． 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O 为极点，直线过圆C ：θρcos 22=的圆心C ，且与直线OC 垂直，则直线的极坐标方程为 ． 15.(几何证明选讲选做题) 如图，090ACB ∠=,AC 是圆O 的切线，切点为E ，割线ADB 过圆心O ，若3,1AE AD ==，则BC 的长为 ．开始 0k = 5x x =+1k k =+结束输入x是否输出k23?x >EDCBAO三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()1sin cos f x x x =+⋅.（1）求函数)(x f 的最小正周期和最小值；（2）若3tan 4x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求)24(xf -π的值.17．（本小题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下： （1）求出表中,,,M r m n 的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至少一人参加社区服务次数在区间[)25,30内的概率．18.（本小题满分14分）如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC , ,AC BC D⊥ 为AB的中点,AC BC VC a ===.（1）求证：AB ⊥平面VCD ；（2）求点C 到平面VAB 的距离。
重庆市2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
重庆市2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案2014年春高二下期末数学文测试卷一、选择题1) 已知集合 $A=\{0,1,2,3,4\}$，集合 $B=\{x|x=2n,n\inA\}$，则 $A\cap B=$A) $\{0\}$ (B) $\{0,4\}$ (C) $\{2,4\}$ (D) $\{0,2,4\}$2) 一支田径队有男女运动员共98人，其中男运动员56人，按男女比例采用分层抽样的办法，从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则应抽取的女运动员人数为A) 16 (B) 12 (C) 10 (D) 83) 已知 $i$ 为虚数单位，则 $|1+i|=$A) $\frac{1}{2}$ (B) $\sqrt{2}$ (C) $2$ (D) $2\sqrt{2}$4) 因为指数函数 $y=a^x(a>0$ 且 $a\neq 1)$ 是增函数，而$y=e^x$ 是指数函数，所以 $y=e^{ax}$ 是增函数，以上推理错误的是A) 大前提 (B) 小前提 (C) 推理形式 (D) 以上都错5) 函数 $y=\ln(1-x)+x$ 的定义域为A) $\{x|x\geq 0\}$ (B) $\{x|x\leq 1\}$ (C) $\{x|0<x\leq1\}$ (D) $\{x|0\leq x<1\}$6) 设单位向量 $e_1$ 和 $e_2$ 满足：$e_1$ 与$e_1+e_2$ 的夹角为 $\frac{\pi}{6}$，则 $e_2$ 与 $e_1-e_2$ 的夹角为A) $\frac{3\pi}{6}$ (B) $\frac{2\pi}{3}$ (C)$\frac{5\pi}{6}$ (D) $\frac{3\pi}{2}$7) 执行如题（7）图所示的程序框图，则输出的结果可以是A) $2\ln x$ (B) $\cos x$ (C) $x$ (D) $e^x$8) 已知命题 $p:x^2+2x-3>0$，命题 $q:x>a$，若 $\negq$ 的一个充分不必要条件是 $\neg p$，则实数 $a$ 的取值范围是A) $a\geq 1$ (B) $a>1$ (C) $a\geq -3$ (D) $a>-3$9) 已知函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上满足 $f(x)=2f(2-x)-2x+8x^2$，且 $f(8)=8$，则曲线 $|x|-2y=f(x)$ 在点$(1,f(1))$ 处的切线方程是A) $y=2x-1$ (B) $y=x$ (C) $y=3x-2$ (D) $y=-2x+3$10) 已知函数 $f(x)=x^2+a\ln x$，若对任意两个不等的正数$x_1,x_2(x_1>x_2)$，都有$f(x_1)-f(x_2)>2(x_1-x_2)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是A) $a>\frac{1}{2}$ (B) $a\geq 2$ (C) $a>\frac{1}{2}$ 或$a\leq -2$ (D) $a>2$二、填空题11) 已知向量 $a=(1,2)$，$b=(2,x)$，若 $a\parallel b$，则$x=\underline{\hspace{2em}}$；12) 已知复数 $Z=1+i$，则 $\frac{2-Z}{Z}=\underline{\hspace{2em}}$；13) 若命题 $p:\forall x\in\mathbb{R},x^2+1>0$，则 $\negp$ 是\underline{\hspace{2em}}。
2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题带答案
2014-2015学年度第二学期期末测试高二年级文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题4分，共40分）.1、 设集合{}2|M x x x ==，{}|lg 0N x x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1) C ．[0,1] D ．(-∞,1)2、命题“存在实数x ,使210x x +-<”的否定为（ ）A ．不存在实数x ，使210x x +-≥B ．对任意实数x ，都有210x x +-≥C ．存在实数x ，使210x x +-≥D ．对任意实数x ，都有210x x +-<3、设f (x )＝102,0x x x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．324、在等差数列{}n a 中，若2812a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则9S =（ ）A ．48B ．54C ．60D ．665、下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上是减函数的是（ ）A ．3y x =B ．x y e -=C ．lg y x =D ．21y x =-+ 6、若等比数列{}n a 的首项为1，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为A ．3116B ．2C ．3316D ．16337、设偶函数()f x 的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时()f x 是增函数，则(3)f -，(2)f -，()f π的大小关系是（ ）A ．()(2)(3)f f f π>->-B ．()(3)(2)f f f π>->-C ．()(3)(2)f f f π<-<-D ．()(2)(3)f f f π<-<-8、在等差数列{}n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值是（ ）A ．100B ．200C ．400D ．8009、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2016)f f f f ++++= （ ）A ．0B ．336C ．672D ．100810、已知函数()lg1a x f x x -=+，若()f x 是奇函数，且在(1,)n -上的值域为(1,)-+∞则n =（ ）A ．1B ．89 C ．910 D ．911二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11、若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为_______；12、当11,,12,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，在幂函数y x α=中有____个单调递增的奇函数，且幂函数y x α=的图像不可能过第____象限；13、在数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若223n S n n =-，则n a =_______n N +∈；14、若1)f x =+，则()f x =__________；15、在正项数列{}n a 中，11a =，2211(2,)n n n n a a a na n n n N +----=≥∈，若n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则2015S =_______。
重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期半期联合考试数学(理)试题
重庆市名校联盟2014～2015学年下期半期联合考试高2016级 数学试题卷（理工农医类）命题：重庆市名校联盟命题组数学试题卷（理工农医类）共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i x x z )1()1(2++-=是纯虚数，则实数x 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．±12．若函数)(x f y =在点1=x 处的导数为1，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（ ）A ．2B ．1C ．21D ．413．如果两个实数之和为正数，则这两个数（ ）A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个数是正数D ．两个都是负数4．小花老师从甲、乙、丙、丁共计4名学生中选出2名分别担任班长和学习委员，她有（ ）种备选方案A ．4B ．6C ．10D ．125．若抛物线2ax y =在点1=x 处的切线与直线02=+y x 垂直，则=a （ ）A ．1B ．21C ．21-D ．-16．nx )12(+的展开式的各项系数和为729，则n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．有这样一段演绎推理：“有些整数是自然数，-2是整数，则-2是自然数”，这个结论显然是错误的，是因为（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误8．把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字填入图中的表格，从上到下，从左到右依次增大，当3，4固定在图中位置时，余下的数的填法有（ ）种A ．6B ．12C ．18D ．249．若函数12)(2+-=bx x x f 在区间（0，1）内有极小值41，则b 的值为（ ） A ．41B ．21 C ．23D ．110．若函数5)(23+--=x mx x x f 在区间（0，1）内单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1≥mB ．1=mC ．1≤mD ．10<<m11．对任意实数y x ,定义运算⎩⎨⎧<≥=⊗)()(y x y y x x y x 设255ln ,93ln ,42ln ===c b a 则c a b ⊗⊗的值是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．不确定12．设{}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=M ，若方程02=--b ax x 满足M b a ∈,且方程至少有一根M c ∈，则称该方程为“气质方程”，则“气质方程”的个数为（ ）A ．3B ．9C ．12D ．21二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 13．已知复数221iiz +=则它的模=||z 14．函数1ln )(+-=x x x f 的极值点是=x15．将A ，B ，C 三种不同的文件放入一排编号依次为1，2，3，4，5的五个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若A ，B 必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有 种。
重庆市名校联盟2014-2015学年高二下学期半期联合考试数学(文)试题
重庆市名校联盟2014～2015学年下期半期联合考试高2016级 数学试题卷（文史类）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净，再选涂其他答案标号。
3. 所有试题必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4. 答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。
一、选择题（共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3i z =-的虚部是 ( )A ．1B ．iC ．1-D ．i -2.“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝(13)x 是增函数(结论)”．上面推理的错误在于 ( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错 3.命题：“方程x 2-2=0的解是x =2±”中使用逻辑联系词的情况是 ( )A ．没有使用逻辑联结词B ．使用了逻辑联结词“且”C ．使用了逻辑联结词“或”D ．使用了逻辑联结词“非” 4. 设i 为虚数单位，则复数2+ii等于 ( ) A ．1255i + B ． 1255i -+ C ．1255i - D ．1255i -- 5.曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线平行于直线x y 4=，则点0P 的坐标是 ( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．)4,1(--D ．）或（0,1)4,1(--6.函数()|2|ln f x x x =--的零点个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 37.定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值点0x x =,且)(0x f y =极小值,则下列说法正确的是 ( )A ．函数)(x f 在],[b a 上不一定有最小值B ．函数)(x f 在],[b a 上有最小值,但不一定是)(0x fC ．函数)(x f 在],[b a 上有最小值)(0x fD ．函数)(x f 在],[b a 上的最大值也可能是)(0x f 8.已知一组样本点(x i ，y i )，（其中i ＝1,2,3，…，30），变量y x 与线性相关，且根据最小二乘法求得的回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^，则下列说法正确的是 ( ) A ．至少有一个样本点落在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上 B ．若y ^＝b ^x ＋a ^斜率b ^>0，则变量x 与y 正相关C ．对所有的解释变量x i (i ＝1,2,3，…，30)，b ^x i ＋a ^的值与y i 有误差 D ．若所有样本点都在y ^＝b ^x ＋a ^上，则变量间的相关系数为19. 观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… 用你所发现的规律得出22015的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 10．函数x x x x f cos sin cos )(23-+=的最大值等于 ( )A ．2732 B ． 2716 C ．278D ． 27411.函数32()f x x bx cx d =+++的图像如图所示，则函数222()log ()33b cg x x x =++的单调递减区间是 ( )A. 1(,)2+∞B. 1(,)2-∞C. (2,3)-D. (,2)-∞-12．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是 ( )A ．a1,0－2,41,2(e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．第11题图重庆市名校联盟2015年春第一次联考 高2016级 数学（文史类）答案一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CACADCCBDADB二、填空题:13．充分不必要； 14．95％ ； 15．9； 16．c>a>b ；三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17. 解：(1) 由已知得⎩⎨⎧≠-+=-0320)2(2m m m m …………………………3分20==∴m m 或时z 为纯虚数………………………………………6分 (2)由已知得⎩⎨⎧>-+<-0320)2(2m m m m …………………………9分解得m 的范围是21<<m …………12分 18．解：(1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，………………1分∵(1，f (1))在x ＋y －3＝0上，∴f (1)＝2，∵(1,2)在y ＝f (x )上，∴2＝13－a ＋a 2－1＋b ，………………3分又f ′(1)＝－1，∴a 2－2a ＋1＝0，………………4分 解得a ＝1，b ＝83.………………6分(2)∵f (x )＝13x 3－x 2＋83，∴f ′(x )＝x 2－2x ，由f ′(x )＝0可知x ＝0和x ＝2是f (x )的极值点，所以有x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 －0 ＋f (x )极大值极小值9分 ∵f (0)＝83，f (2)＝43，f (－2)＝－4，f (4)＝8，∴在区间上的最大值为8.---------12分19．解：(1)由已知数据有x ＝4，y ＝5，---------2分23.1ˆ=∴b，--------7分 ∴=aˆ5－1.23×4＝0.08， ∴回归直线方程为＝1.23x ＋0.08. ---------9分(2)当x ＝10时，维修费用＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元) ---------12分20．解：(1)设日销售量q ＝k e x ，则ke30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销售量q ＝100e 30ex ，---------4分∴y ＝100e 30(x －20－t )e x (25≤x ≤40)．---------6分(2)当t ＝5时，y ＝100e 30(x －25)e x ，y ′＝100e 30(26－x )e x .由y ′≥0得x ≤26，由y ′≤0得x ≥26， ∴y 在上单调递增，在上单调递减，---------10分 ∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e 4元．---------12分 21．解：(1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，∴f (5)＝25＋4×4＝41. ．---------5分 (2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1. f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4.由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ．---------8分 ∴f (2)－f (1)＝4×1，f (3)－f (2)＝4×2， f (4)－f (3)＝4×3， ……f (n －1)－f (n －2)＝4(n －2)，f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，（n ≥2,n ∈ N +时） ∴ f (n )－f (1)＝4＝2n (n －1)，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(n ≥2且n ∈ N +) ．---------12分又 f(1)=1满足上式∴f(n)=2n 2-2n+1 (n ∈N +)22．解：(1)f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在上恒成立令h (x )＝2x 2＋ax －1，x ∈，∴h (x )≤0在上恒成立∴⎩⎪⎨⎪⎧h (1)＝1＋a ≤0h (2)＝7＋2a ≤0得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a ≤－72，∴a ≤－72. --------5分 (2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－x 2，x ∈(0，e ，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x①当a ≤0时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e 上，g ′(x )>0 ∴g (x )在(0，1a上单调递增∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，∴a ＝e 2满足条件 ③当1a ≥e 即0<a ≤1e 时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e hslx3y3h 上单调递减g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3 ∴a ＝4e >1e(舍去)综上所述：a ＝e 2 --------10分。
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重庆市名校联盟2014～2015学年下期半期联合考试高2016级 数学试题卷（文史类）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。
2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净，再选涂其他答案标号。
3. 所有试题必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
4. 答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。
一、选择题（共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3i z =-的虚部是 ( )A ．1B ．iC ．1-D ．i -2.“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝(13)x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝(13)x 是增函数(结论)”．上面推理的错误在于 ( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错 3.命题：“方程x 2-2=0的解是x =2±”中使用逻辑联系词的情况是 ( ) A ．没有使用逻辑联结词 B ．使用了逻辑联结词“且” C ．使用了逻辑联结词“或” D ．使用了逻辑联结词“非”4. 设i 为虚数单位，则复数2+ii等于 ( ) A ． 1255i + B ． 1255i -+ C ．1255i - D ．1255i --5.曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线平行于直线x y 4=，则点0P 的坐标是 ( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．)4,1(--D ．）或（0,1)4,1(-- 6.函数()|2|ln f x x x =--的零点个数为( ) A. 0B. 1C. 2D. 37.定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值点0x x =,且)(0x f y =极小值,则下列说法正确 的是 ( )A ．函数)(x f 在],[b a 上不一定有最小值B ．函数)(x f 在],[b a 上有最小值,但不一定是)(0x fC ．函数)(x f 在],[b a 上有最小值)(0x fD ．函数)(x f 在],[b a 上的最大值也可能是)(0x f 8.已知一组样本点(x i ，y i )，（其中i ＝1,2,3，…，30），变量y x 与线性相关，且根据最小二乘法求得的回归方程是y ^＝b ^x ＋a ^，则下列说法正确的是 ( )A ．至少有一个样本点落在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上B ．若y ^＝b ^x ＋a ^斜率b ^>0，则变量x 与y 正相关C ．对所有的解释变量x i (i ＝1,2,3，…，30)，b ^x i ＋a ^的值与y i 有误差D ．若所有样本点都在y ^＝b ^x ＋a ^上，则变量间的相关系数为19. 观察下列算式：21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… 用你所发现的规律得出22015的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 10．函数x x x x f cos sin cos )(23-+=的最大值等于 ( )A ．2732 B ． 2716 C ．278D ． 27411.函数32()f x x bx cx d =+++的图像如图所示，则函数222()log ()33b cg x x x =++的单调递减区间是 ( )A. 1(,)2+∞B. 1(,)2-∞C. (2,3)-D. (,2)-∞-12．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围是 ( ) A ．[a 1,0] B ．]21,0[aC ．|]2|,0[abD ．|]21|,0[ab -二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应的位置。
） 13．设集合M ＝{a 2}，N ＝{1,2}，则“a ＝1”是“M ⊆N ”的____________条件14．若一个2×2列联表中,由其数据计算得2 4.013K =，则有________把握认为这两个变量有关系参考数据：15．阅读如图程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为___________16. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时不等式()'()0f x xf x +<恒成立，若0.30.33(3),(log 3)(log 3)a f b f ππ== ，3311(log )(log )99c f =，则a ，b ，c 的大小关系（用“>” 连接）是三、解答题（共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）17.（本题12分，（1）小问6分，（2）小问6分）已知m R ∈，复数2(2)(23)z m m m m i =-++-，第11题图（1）m 为何值时z 为纯虚数?（2）若z 对应的点位于复平面第二象限，求m 的范围. ,18.（本题12分，（1）小问6分，（2）小问6分）已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x ＋b (a ，b ∈R )，其图象在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y －3＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并求出f (x )在区间上的最大值.19.（本题12分，（1）小问9分，（2）小问3分）下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用y (万元)y 与x （1）求线性回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，(2)试估计使用年限为10年时，维修费用多少万元？参考公式： x b y ax xy y x xbni ini i iˆˆ,)())((ˆ121-=---=∑∑==20. （本题12分，（1）小问6分，（2）小问6分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100kg.(每日利润＝日销售量×(每公斤出厂价－成本价－加工费))．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．21.（本题12分，（1）小问5分，（2）小问7分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们的刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．22.（本题10分，（1）小问,5分，（2）小问5分）已知函数f(x)＝x2＋ax－ln x，a∈R。
(1)若函数f(x)在上是减函数，求实数a的取值范围；(2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．重庆市名校联盟2015年春第一次联考 高2016级 数学（文史类）答案二、填空题:13．充分不必要； 14．95％ ； 15．9； 16．c>a>b ；三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17. 解：(1) 由已知得⎩⎨⎧≠-+=-0320)2(2m m m m …………………………3分20==∴m m 或时z 为纯虚数………………………………………6分(2)由已知得⎩⎨⎧>-+<-0320)2(2m m m m …………………………9分解得m 的范围是21<<m …………12分18．解：(1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，………………1分∵(1，f (1))在x ＋y －3＝0上，∴f (1)＝2，∵(1,2)在y ＝f (x )上，∴2＝13－a ＋a 2－1＋b ，………………3分又f ′(1)＝－1，∴a 2－2a ＋1＝0，………………4分 解得a ＝1，b ＝83.………………6分(2)∵f (x )＝13x 3－x 2＋83，∴f ′(x )＝x 2－2x ，由f ′(x )＝0可知x ＝0和x ＝2是f (x )的极值点，所以有所以f (，单调递减区间是……………… ∵f (0)＝83，f (2)＝43，f (－2)＝－4，f (4)＝8，∴在区间上的最大值为8.---------12分19．解：(1)由已知数据有x ＝4，y ＝5，---------2分23.1ˆ=∴b，--------7分 ∴=aˆ5－1.23×4＝0.08， ∴回归直线方程为＝1.23x ＋0.08. ---------9分(2)当x ＝10时，维修费用＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元) ---------12分20．解：(1)设日销售量q ＝k e x ，则ke30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销售量q ＝100e 30ex ，---------4分∴y ＝100e 30(x －20－t )e x (25≤x ≤40)．---------6分(2)当t ＝5时，y ＝100e 30(x －25)e x ，y ′＝100e 30(26－x )e x .由y ′≥0得x ≤26，由y ′≤0得x ≥26， ∴y 在上单调递增，在上单调递减，---------10分 ∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e 4元．---------12分 21．解：(1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，∴f (5)＝25＋4×4＝41. ．---------5分(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1. f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4.由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ．---------8分 ∴f (2)－f (1)＝4×1， f (3)－f (2)＝4×2， f (4)－f (3)＝4×3， ……f (n －1)－f (n －2)＝4(n －2)，f (n )－f (n －1)＝4(n －1)，（n ≥2,n ∈ N +时） ∴ f (n )－f (1)＝4＝2n (n －1)，∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(n ≥2且n ∈ N +) ．---------12分 又 f(1)=1满足上式∴f(n)=2n 2-2n+1 (n ∈N + )22．解：(1)f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在上恒成立令h (x )＝2x 2＋ax －1，x ∈，∴h (x )≤0在上恒成立∴⎩⎪⎨⎪⎧h (1)＝1＋a ≤0h (2)＝7＋2a ≤0得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1a ≤－72，∴a ≤－72. --------5分(2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－x 2，x ∈(0，e ]有最小值3 g (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x①当a ≤0时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e ]上单调递减∴g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3，∴a ＝4e(舍去)②当0<1a <e 即a >1e 时，在(0，1a )上，g ′(x )<0；在(1a ，e ]上，g ′(x )>0∴g (x )在(0，1a ]上单调递减，在(1a ，e ]上单调递增∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，∴a ＝e 2满足条件 ③当1a ≥e 即0<a ≤1e 时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e ]上单调递减g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3 ∴a ＝4e >1e(舍去)综上所述：a ＝e 2 --------10分。