5.2平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示
B.(2, 1) 2
D.(1,3)
解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ∴BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设D（x，y),∵AD =(x,y-2)B,C =2AD , ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=7 .
2
2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（B ）
2
8-2x= (16+x)
题型分类 深度剖析
题型一 平面对量基本定理 【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，
M，N分别为DC，BC旳中点，已知AM =c， AN =d，试用c，d表达AB ，AD .
思维启迪 直接用c、d表达AB、AD有难度，可换一 种角度，由 AB、AD表达 AM、AN ，进而解方程组可 求 AB、 A.D
(x-4)2+(y-1)2=1,
2分 4分 6分
8分
解得
x 4
5 5
或x 4
5 5
.
y
1
25 5
y
1
2
5
5
10分
d ( 20 5 , 5 2 5 )或d ( 20 5 , 5 2 5 ). 12分
5
5
5
5
探究提向升量平行旳坐标公式实质是把向量问题转 化为实数旳运算问题.经过坐标公式建立参数旳方 程，经过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程 思想在向量中旳应用.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4， 5）且 OP OA t AB, （1）求点P在第二象限时，实数t旳取值范围； （2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出 相应旳实数t;若不能，请阐明理由. 解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5）， ∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则OP =（x，y），若点P在第 二象限， 则 x＜0 且(x,y)=(1,2)+t(3,3), y＞0
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
5.2向量二
5.2 平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化． 两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.【例1】► 如图，在平行四边形ABCD 中，设AB a = ，AD b =，P 为边BC 的中点，则AP =A ． 2b a +B ． 2b a -C ． 2a b +D ． 2a b -应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM→＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.【例2】►已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标． 【训练2】1.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)2.若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)3.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________.【例3】►已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 【训练3】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2巩固训练1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b2．在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ）A. )2,1(),0,0(21==e e B . )2,5(),2,1(21-=-=e e C. )10,6(),5,3(21==e e D. )3,2(),3,2(21-=-=e e3．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )． A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．24．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6)5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.1.平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________.2.在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC =．若MN xAB yAC =+ ，则x =；y =．.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．4.在直角坐标系xOy 中，已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 坐标平面区域内 （1）若=++，求P 点坐标； （2）设),(R n m n m ∈+=，求m ，n5.已知P 为△ ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP ，AD .6.设点O 在△ABC 内部，且有4OA ＋OB ＋OC＝0，求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比．5.3平面向量的数量积基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. 3．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别的，a ·a ＝|a |2或者|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝a ·b|a ||b |； (5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a ； (2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 6．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则(1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (2)|a |＝x 21＋y 21；(3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.7．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝a ，则|a |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2(平面内两点间的距离公式)．【例1】►已知向量a 和向量b 的夹角为30o，||2,||a b = a 和向量b 的数量积a b ⋅ = 。
5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
5．2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________．(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ．则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝__________， j ＝__________，0＝__________．4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝___________________________________________．(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝___________________________________________．(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________．(4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b的充要条件是____________________．自查自纠： 1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3．(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0在△ABC 中，已知A (2，1)，B (0，2)，BC →＝(1，－2)，则向量AC →＝ ( )A ．(0，0)B ．(2，2)C ．(－1，－1)D ．(－3，－3) 解：因为A (2，1)，B (0，2)，所以AB →＝(－2，1)．又因为BC →＝(1，－2)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－2，1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C ．(2017·杭州模拟)已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 ( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2解：因为4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．故选B ．(2018·北京朝阳高三一模)已知平面向量 a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，则实数x 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 解：由a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，可以得到x (x －1)＝2，即(x －2)(x ＋1)＝0，所以x ＝－1或x ＝2．故选D ．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2，3)， b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________．解：由题意可得，－2×3＋3m ＝0，所以m ＝2．故填2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则实数λ＋μ＝________．解法一：因为AC →＝AB →＋BC →，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC →，BN →＝BC →＋CN →＝BC →－12AB →，所以由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎨⎧1＝λ－12μ，1＝12λ＋μ，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85． 解法二：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点，AB →方向为x 轴正方向，AD →方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则AC →＝(2，2)，AM →＝(2，1)，BN →＝(－1，2)．由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，λ＋μ＝85．故填85．类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解：由题可得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝12．故填12．(2)已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A ．1027B ．2 2C ．52D ．52或2 2解：根据题意a ∥b 知m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32．当m ＝32时，a ＝(4，3)，b ＝⎝⎛⎭⎫2，32，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝22．故选B ．点 拨：两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa ．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．(1) (2017·郑州月考)已知向量a ＝ (1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角 θ＝________．解：由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，所以θ＝45°．故填45°．(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)， OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 的取值范围是________．解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1． 故填{k |k ∈R ，且k ≠1}．类型二 平面向量基本定理及其应用(1)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若 OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解法一：以λOA →和μOB →为邻边作平行四边形OB 1CA 1，如图，则OC →＝OB 1→＋OA 1→．因为OA →与OB →的夹角为120°， OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°，在Rt △OB 1C 中，|OC →|＝23，所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＋μ＝6． 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，C (23cos30°，23sin30°)，B (cos120°，sin120°)．即A (1，0)，C (3，3)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32．由OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(1，0)＋μ⎝⎛⎭⎫－12，32＝⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ，即⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ＝(3，3)，得⎩⎨⎧λ－12μ＝3，32μ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝2，λ＝4， 即λ＋μ＝6．故填6．(2)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________．解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则 AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)，AD →＝(1，0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3．故填 －3．点 拨：应用平面向量基本定理应注意：①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；②选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；③强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；④在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．(1)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，所以存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0．因为a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12．故填12．(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12．所以λμ＝4．故填4．类型三 求向量的坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．解：因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →．设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )， AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．故填(2，4)．点 拨：平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．已知三点A (a ，0)，B (0，b )，C (2，2)，其中a >0，b >0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值；(2)若A ，B ，C 三点共线，试求1a ＋1b 的值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA →＝BC →，即(a ，0)＝(2，2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2． 故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →＝(2，2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0， 所以1a ＋1b ＝12．类型四 向量坐标的应用(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为 ( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3解法一：以点A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意得，A (0，0)，B (1，0)．因为AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以D ⎝⎛⎭⎫－12，32，且直线CD 的倾斜角为30°，所以直线CD 的方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x ＋12，即y ＝33(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），x ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1，3)．因为点E 为边CD 上的动点，故可设E ⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），－12≤t ≤1，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），BE →＝⎝⎛⎭⎫t －1，33（t ＋2），所以AE →·BE →＝t (t －1)＋⎣⎡⎦⎤33（t ＋2）2＝43⎝⎛⎭⎫t ＋182＋2116，所以当t ＝－18时，AE →·BE →取最小值，为2116．图(1) 图(2)解法二：易知DC ＝3，∠CAD ＝60°，设DE ＝x (0≤x ≤3)，则AE →·BE →＝(AD →＋DE →)·(BA →＋AD →＋DE →)＝1×1×cos60°＋12＋0＋x ×1×cos150°＋0＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －342＋2116≥2116．解法三：如图(2)，取AB 的中点F ，连接EF ，则AE →·BE →＝EA →·EB →＝(EF →＋F A →)·(EF →－F A →)＝EF →2－ F A →2＝EF →2－14．可知当且仅当|EF →|最小时AE →·BE →取最小值，分别过F ，B 作CD 的垂线，垂足分别为H ，G ，当点E 与H 重合时，EF 取到最小值，易知EF 为梯形DABG 的中位线，由已知得|BG |＝32，|AD |＝1，则|HF |＝|EF |＝12(|BG |＋|AD |)＝54．故AE →·BE →的最小值为2116．故选A ．点 拨：向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算．用向量法解决平面几何相关问题的步骤是：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题．(2017·安徽联考)在边长为1的正△ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于 ( )A ．16B ．29C ．1318D ．13解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，AD →·AE →＝－16×16＋⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＝1318．解法二：取BC 中点O ，则AD →·AE →＝(AO →＋OD →)·(AO →＋OE →)＝AO →2－OE →2＝34－136＝1318．解法三：如图，|AB →|＝|AC →|＝1，〈AB →，AC →〉＝60°．因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝AB →·AC →－13AB →·BC →＋13BC →·AC →－19BC →2＝1×1×cos60°－13×1×1×cos120°＋13×1×1×cos60°－19＝12＋16＋16－19＝1318．故选C ．1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0．2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．4．向量坐标的应用向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 ( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝⎛⎭⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B ．2．设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解：因为a ∥b ，所以2×6－4x ＝0，解得x ＝3．故选B ．3．(2017·抚州模拟)若向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，则c ＝ ( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b解法一：设c ＝m a ＋n b ，则(4，2)＝(m －n ，m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4，m ＋n ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1， 所以c ＝3a －b ．解法二：代入验证法．对于A ，3a ＋b ＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠c ，故A 不正确；同理选项C 、D 也不正确；对于B ，3a －b ＝(4，2)＝c ，故B 正确．故选B ．4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为 ( )A ．(－8，1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1) 解：设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， 而12MN →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32．所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32．故选B ． 5．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ，b 如图，则向量a －b 可表示为 ( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解：由图易知a －b ＝－3e 2＋e 1＝e 1－3e 2．故选C ．6．(2018·浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3解：不妨设e ＝(1，0)，b ＝(x ，y )，则由b 2－4e ·b ＋3＝0⇒(x －2)2＋y 2＝1，再由a 与e 的夹角为π3可知，所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为2sin60°－1＝3－1．故选A ． 7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________． 解：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则 2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1， 解得λ＝－12．故填－12．8．(2018·山东菏泽高三一模)已知在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝3DC ，点E 为AD 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________．解：BE →＝BD →＋DE →＝BD →－12AD →＝BD →－12(AB →＋BD →)＝12BD →－12AB →＝12×34BC →－12AB →＝38BC →－12AB →＝38(AC →－AB →)－12AB →＝－78AB →＋38AC →．又BE →＝mAB →＋nAC →，所以mAB →＋nAC →＝－78AB→＋38AC →．又因为AB →与AC →不共线，所以m ＝－78，n ＝38，所以m ＋n ＝－12．故填－12． 9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1，0)，b ＝(2，1)， 所以a ＋3b ＝(7，3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58．(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7，3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13．此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7，3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)，所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0， 所以t ＜－23． (2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2． 此方程无解．故四边形OABP 不可能成为平行四边形． 11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．解：如图所示，令A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形， 则AD 1→＝BC →，且AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5． 所以D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→，且AB →＝(4，0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5． 所以D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →，且AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5． 所以D 3(1，5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．如图所示，在△ABC 中，点M 是AB的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________．解：易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋ (1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a ．由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ．所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ．由于a ，b为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45． 所以AE →＝25a ＋15b ．故填25a ＋15b ．5．2 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使_______________________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．2．向量的夹角(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ， OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________．(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ．则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝__________， j ＝__________，0＝__________．4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝___________________________________________．(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝___________________________________________．(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________．(4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________．自查自纠： 1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b3．(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0在△ABC 中，已知A (2，1)，B (0，2)，BC →＝(1，－2)，则向量AC →＝ ( )A ．(0，0)B ．(2，2)C ．(－1，－1)D ．(－3，－3) 解：因为A (2，1)，B (0，2)，所以AB →＝(－2，1)．又因为BC →＝(1，－2)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－2，1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C ．(2017·杭州模拟)已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是 ( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2解：因为4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，所以它们不能作为一组基底．故选B ．(2018·北京朝阳高三一模)已知平面向量 a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，则实数x 的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 解：由a ＝(x ，1)，b ＝(2，x －1)且a ∥b ，可以得到x (x －1)＝2，即(x －2)(x ＋1)＝0，所以x ＝－1或x ＝2．故选D ．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________．解：由题意可得，－2×3＋3m ＝0，所以m ＝2．故填2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则实数λ＋μ＝________．解法一：因为AC →＝AB →＋BC →，AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12BC →，BN →＝BC →＋CN →＝BC →－12AB →，所以由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎨⎧1＝λ－12μ，1＝12λ＋μ，解得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85． 解法二：不妨设正方形边长为2，以A 为坐标原点，AB →方向为x 轴正方向，AD →方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则AC →＝(2，2)，AM →＝(2，1)，BN →＝(－1，2)．由AC →＝λAM →＋μBN →有⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝2，λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，λ＋μ＝85．故填85．类型一 向量共线充要条件的坐标表示(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解：由题可得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝12．故填12．(2)已知平面向量a ＝(2m ＋1，3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( )A ．1027B ．2 2C ．52D ．52或2 2解：根据题意a ∥b 知m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32．当m ＝32时，a ＝(4，3)，b ＝⎝⎛⎭⎫2，32，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝22．故选B ．点 拨：两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa ．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．(1) (2017·郑州月考)已知向量a ＝ (1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角 θ＝________．解：由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，所以θ＝45°．故填45°．(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)， OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 的取值范围是________．解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，所以1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1． 故填{k |k ∈R ，且k ≠1}．类型二 平面向量基本定理及其应用(1)如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若 OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．解法一：以λOA →和μOB →为邻边作平行四边形OB 1CA 1，如图，则OC →＝OB 1→＋OA 1→．因为OA →与OB →的夹角为120°， OA →与OC →的夹角为30°，所以∠B 1OC ＝90°，在Rt △OB 1C 中，|OC →|＝23，所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，即λ＋μ＝6． 解法二：以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1，0)，C (23cos30°，23sin30°)，B (cos120°，sin120°)．即A (1，0)，C (3，3)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32．由OC →＝λOA →＋μOB →＝λ(1，0)＋μ⎝⎛⎭⎫－12，32＝⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ，即⎝⎛⎭⎫λ－12μ，32μ＝(3，3)，得⎩⎨⎧λ－12μ＝3，32μ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝2，λ＝4， 即λ＋μ＝6．故填6．(2)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________．解：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则 AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)，AD →＝(1，0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3．故填 －3．点 拨：应用平面向量基本定理应注意：①平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量；②选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来；③强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等；④在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．(1)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，所以存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0．因为a ，b 不平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12．故填12．(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12．所以λμ＝4．故填4．类型三 求向量的坐标已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________．解：因为在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，所以DC →＝2AB →．设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4，2)－(x ，y )＝(4－x ，2－y )， AB →＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x ，2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ，2－y )＝(2，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2，4)．故填(2，4)．点 拨：平面向量坐标运算的技巧：①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．已知三点A (a ，0)，B (0，b )，C (2，2)，其中a >0，b >0．(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值；(2)若A ，B ，C 三点共线，试求1a ＋1b 的值．解：(1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA →＝BC →，即(a ，0)＝(2，2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2． 故a ＝2，b ＝2．(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →＝(2，2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0， 所以1a ＋1b ＝12．类型四 向量坐标的应用(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为 ( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3解法一：以点A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图(1)所示的平面直角坐标系，依题意得，A (0，0)，B (1，0)．因为AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以D ⎝⎛⎭⎫－12，32，且直线CD 的倾斜角为30°，所以直线CD 的方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x ＋12，即y ＝33(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），x ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1，3)．因为点E 为边CD 上的动点，故可设E ⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），－12≤t ≤1，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫t ，33（t ＋2），BE →＝⎝⎛⎭⎫t －1，33（t ＋2），所以AE →·BE →＝t (t －1)＋⎣⎡⎦⎤33（t ＋2）2＝43⎝⎛⎭⎫t ＋182＋2116，所以当t ＝－18时，AE →·BE →取最小值，为2116．图(1) 图(2)解法二：易知DC ＝3，∠CAD ＝60°，设DE ＝x (0≤x ≤3)，则AE →·BE →＝(AD →＋DE →)·(BA →＋AD →＋DE →)＝1×1×cos60°＋12＋0＋x ×1×cos150°＋0＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －342＋2116≥2116．解法三：如图(2)，取AB 的中点F ，连接EF ，则AE →·BE →＝EA →·EB →＝(EF →＋F A →)·(EF →－F A →)＝EF →2－ F A →2＝EF →2－14．可知当且仅当|EF →|最小时AE →·BE →取最小值，分别过F ，B 作CD 的垂线，垂足分别为H ，G ，当点E 与H 重合时，EF 取到最小值，易知EF 为梯形DABG 的中位线，由已知得|BG |＝32，|AD |＝1，则|HF |＝|EF |＝12(|BG |＋|AD |)＝54．故AE →·BE →的最小值为2116．故选A ．点 拨：向量的坐标运算，往往能降低推理的难度，与向量相关的最值、范围问题，可优先考虑坐标运算．用向量法解决平面几何相关问题的步骤是：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如长度、距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系，从而解决问题．(2017·安徽联考)在边长为1的正△ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于 ( )A ．16B ．29C ．1318D ．13解法一：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，AD →·AE →＝－16×16＋⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32＝1318．解法二：取BC 中点O ，则AD →·AE →＝(AO →＋OD →)·(AO →＋OE →)＝AO →2－OE →2＝34－136＝1318．解法三：如图，|AB →|＝|AC →|＝1，〈AB →，AC →〉＝60°．因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝AB →·AC →－13AB →·BC →＋13BC →·AC →－19BC →2＝1×1×cos60°－13×1×1×cos120°＋13×1×1×cos60°－19＝12＋16＋16－19＝1318．故选C ．1．对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础．(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸．(4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0．2．对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则应通过平移，使其起点相同．3．向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．4．向量坐标的应用向量具有代数和几何的双重特征，如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 ( )A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)D ．a ＝⎝⎛⎭⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B ．2．设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解：因为a ∥b ，所以2×6－4x ＝0，解得x ＝3．故选B ．3．(2017·抚州模拟)若向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，则c ＝ ( )A ．3a ＋bB ．3a －bC ．－a ＋3bD ．a ＋3b解法一：设c ＝m a ＋n b ，则(4，2)＝(m －n ，m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝4，m ＋n ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1， 所以c ＝3a －b ．解法二：代入验证法．对于A ，3a ＋b ＝3(1，1)＋(－1，1)＝(2，4)≠c ，故A 不正确；同理选项C 、D 也不正确；对于B ，3a －b ＝(4，2)＝c ，故B 正确．故选B ．4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为 ( )A ．(－8，1)B ．⎝⎛⎭⎫－1，－32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．(8，－1) 解：设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， 而12MN →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－4，y ＋2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32．所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32．故选B ． 5．如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，向量a ，b 如图，则向量a －b 可表示为 ( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2解：由图易知a －b ＝－3e 2＋e 1＝e 1－3e 2．故选C ．6．(2018·浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3解：不妨设e ＝(1，0)，b ＝(x ，y )，则由b 2－4e ·b ＋3＝0⇒(x －2)2＋y 2＝1，再由a 与e 的夹角为π3可知，所求为如图两条射线上的点到圆上的点距离的最小值，即为2sin60°－1＝3－1．故选A ． 7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________． 解：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则 2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，λk ＝－1， 解得λ＝－12．故填－12．8．(2018·山东菏泽高三一模)已知在△ABC 中，D 为边BC 上的点，且BD ＝3DC ，点E 为AD 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________．解：BE →＝BD →＋DE →＝BD →－12AD →＝BD →－12(AB →＋BD →)＝12BD →－12AB →＝12×34BC →－12AB →＝38BC →－12AB →＝38(AC →－AB →)－12AB →＝－78AB →＋38AC →．又BE →＝mAB →＋nAC →，所以mAB →＋nAC →＝－78AB→＋38AC →．又因为AB →与AC →不共线，所以m ＝－78，n ＝38，所以m ＋n ＝－12．故填－12． 9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．求：(1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a ＝(1，0)，b ＝(2，1)， 所以a ＋3b ＝(7，3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58．(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7，3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13．此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7，3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P在第三象限内？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 解：(1)依题意，得AB →＝(3，3)，所以OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )，即P (1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＜0， 所以t ＜－23． (2)因为OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2． 此方程无解．故四边形OABP 不可能成为平行四边形． 11．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－5)，求第四个顶点的坐标．解：如图所示，令A (－1，0)，B (3，0)，C (1，－5)，D (x ，y )．(1)若四边形ABCD 1为平行四边形， 则AD 1→＝BC →，且AD 1→＝(x ＋1，y )，BC →＝(－2，－5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2，y ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5． 所以D 1(－3，－5)．(2)若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB →＝CD 2→，且AB →＝(4，0)，CD 2→＝(x －1，y ＋5)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝4，y ＋5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－5． 所以D 2(5，－5)．(3)若四边形ACBD 3为平行四边形，则AD 3→＝CB →，且AD 3→＝(x ＋1，y )，CB →＝(2，5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2，y ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5． 所以D 3(1，5)．综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(－3，－5)或(5，－5)或(1，5)．如图所示，在△ABC 中，点M 是AB的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a ，b 表示向量AE →＝________．解：易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线知，存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋ (1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a ．由C ，E ，M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b ．所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ．由于a ，b为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45． 所以AE →＝25a ＋15b ．故填25a ＋15b ．。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。
平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。
一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。
2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。
设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。
设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。
在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。
根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。
对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。
设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。
平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。
高考数学(文)人教A课件52平面向量基本定理及向量的坐标表示
-5-
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.向量的夹角
已知两个 非零
向量a和b,作 =a,=b, 则
∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角
a⊥b
是90°,那么我们说a与b垂直,记作
.
-6-
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
5.2 平面向量基本定理及
向量
的坐标表示
知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于这一平
面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= λ1e1+λ2e2
.其
中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一
组 基底 .把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量,叫做把
(x1-x2,y1-y2)
a-b=
,λa= (λx1,λy1)
,
|a|= 12 + 12 ,|a+b|= (2 + 1 )2 + (2 + 1 )2 .
-4-
知识梳理
双基自测
1
2
3
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔
4
5
x1y2-x2y1=0 .
(2)||=||=1,| |=√2,
π
由 tan α=7,α∈[0,π]得 0<α<2 ,sin α>0,cos α>0,
平面向量的基本定理和坐标表
04 平面向量的应用
向量在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
通过向量加法和减法，可 以表示和计算物体受到的 合力或分力。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速 度可以用向量表示，从而 描述物体在平面或空间中 的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，表示力对 物体转动效果的量度，可 以用向量表示。
向量在解析几何中的应用
向量的模
向量的模是指向量的大小或长度，用符号 $|overrightarrow{a}|$ 表示。
向量的模的计算公式为 $|overrightarrow{a}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
向量的模具有一些重要的性质，如 $|overrightarrow{a} + overrightarrow{b}| leq |overrightarrow{a}| + |overrightarrow{b}|$， 这是向量的三角不等式。
三角形法则
总结词
三角形法则是指向量加法可以通过三角形法则来表示，即向量加法可以通过作一个三角形来表示。
详细描述
三角形法则指出，对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，可以作 一个三角形，其中$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$分别是三角形的两个边，而 这两个边的和就是三角形的第三边，即$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
向量加法的性质
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示一．知识点总结1.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底）（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,λλ可以相同，也可以不同；（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。
2.向量的坐标表示与坐标运算:(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标(2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x ,1y ) B(2x , 2y ) 则()1212,y y x x --= 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a =(x, y)和实数λ，则λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
3.向量平行的坐标表示: 结论：a ≠01221=-y x y x 二．练习1.在梯形ABCD 中，AB CD CD AB 2=F E ,BA DC ,b AB a AD ==,b a ,EF BC DC ,,知ABCD 为矩形，且AB AD 2=，又ADE ∆为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，2121,,,e e e e 以==为基底，表示向量,,,.4．已知a ＝(x,3)，b ＝(3，－1)且a ∥b ，则x 等于( )A ．－1B ．9C ．－9D ．15．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A 、B 、C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9)6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n 等于( )A. 12 B ．2 C ．－12D ．－2 8.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________.9.．已知M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝________.10.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，如果A 、B 、C 三点共线，则实数k ＝________.11.如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线．10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上，P 在y 轴上，P 在第二象限(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出t 的值，若不能，请说明理由．13.已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于( )A. 34 B ．－34 C. 43 D ．－4314.已知A (2,3)，B (6，－3)，P 是靠近A 的线段AB 的一个三等分点，则点P 的坐标是________．15.已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →时，求x ，y 应满足的关系式．16.设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .17.已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．18.已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC u u u r ＝2AB u u u r ，求点C 的坐标．19.下列向量中，不是单位向量的有： （ ）（1）()θθsin ,cos -= （2）()5lg ,2lg =（3）()22,x x c -=（4）()x x d ,1-=个 个 个 个。
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§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
（时间：45分钟 满分：100）
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( )
A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )
A ．(－2，－4)
B ．(－3，－6)
C ．(－4，－8)
D ．(－5，－10)
3.设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b 等于( )
A.⎝⎛
⎭⎫32，－12或⎝⎛⎭⎫－32，12 B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭
⎫－32，－12 D.⎝⎛⎭⎫32，12或⎝⎛⎭⎫－32
，－12 4.已知向量a ＝(1，－m )，b ＝(m 2，m )，则向量a ＋b 所在的直线可能为( )
A ．x 轴
B ．第一、三象限的角平分线
C ．y 轴
D ．第二、四象限的角平分线
5．已知A(7,1)、B(1,4),直线ax y 21=
与线段AB 交于C ,且=2CB →，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C.45 D.53
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b
的值等于________． 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．
8．若向量a )43,3(2--+=x x x 与相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.
9．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝______________.
三、解答题(共41分)
10．(13分)a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向
还是反向？
11．(14分)三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(3c －b ，a －
b )，n ＝(3a ＋3b ，
c )，m ∥n .
(1)求cos A 的值；
(2)求sin(A ＋30°)的值．
12．(14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n
＝(cos A ，cos B )，向量p ＝⎝⎛⎭
⎫22sin B ＋C 2，2sin A ，若m ∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．
答案
1.B
2.C
3.D
4.A
5.A
6. 12
7. 12
8.-1 9.(－2,0)或(－2,2) 10.解 方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，
⎩⎪⎨⎪⎧
k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.
解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13
时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13
(a －3b )． ∵λ＝－13
<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 方法二 由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，
a －3
b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，
∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，
此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
－3，－23＋2＝－13(a －3b )． ∴当k ＝－13
时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 11. 解 (1)因为m ∥n ，所以(3c －b )c －(a －b )(3a ＋3b )＝0，
即a 2＝b 2＋c 2－13
bc ， 又∵在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2
－2b c cos A ，
∴cos A ＝16
. (2)由cos A ＝16得sin A ＝356
， sin(A ＋30°)＝sin A cos 30°＋cos A sin 30° ＝356×32＋16×12＝1＋10512. 12. 证明 ∵m ∥n ，∴a cos B ＝b cos A .
由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，
即sin(A －B )＝0.
∵A 、B 为△ABC 的内角，∴－π<A －B <π.
∴A ＝B .∵p 2＝9，∴8sin 2B ＋C
2＋4sin 2A ＝9.
∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9.
∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12
. 又∵0<A <π，∴A ＝π3
.∴A ＝B ＝C . ∴△ABC 为等边三角形．。