第二节 映射与有限集合元素的个数

第二节 映射与有限集合的元素的个数数学中的对应关系非常多,如数轴上的点与实数的对应;平面上的点与坐标的对应;函数与图象的对应等,这些对应有的是单值对应,也有的是一一对应,我们把集合A 到B 上的单值对应称为映射.在数学竞赛中恰当地利用映射方法解题,可以使问题简单具体,往往会出奇制胜.本节我们来初步地了解一个映射与集合中的计数问题.【基础知识】一. 有限集合的元素的个数问题我们首先约定:若X 是一个有限集,则X 内所含的全部元素的个数用)(X Card 表示. 如果A 、B 、C 是任意的三个有限集,那么有以下几个公式(容斥原理):(1))()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=;(2) )()()()()()(C B Card B A Card C Card B Card A Card C B A Card --++= )()(C B A Card C A Card +-.(3) )()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=(4)若A B ≠⊂,则)()()(B C Crad A Crad B Crad A -= (5) =)(C B A Card )()()()(C Card B Card A Card C B A Card --- )()(C B Card B A Card ++)(C A Card +二．映射1．映射的概念设A 、B 是两个非空集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一的元素y 与之对应,那么就称这种对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping).其中元素x 称为这个映射的原象,y 为x 在这个映射下的象.2．关于映射的理解理解映射B A f →:的关键是抓住集合A 中的元素在集合B 中的象的存在性和唯一.根据映射中象与原象的不同状态，有下面几种很常用的特殊映射：(1)满射：如果在映射B A f →:下，集合B 中每一个元素在集合A 中都至少有一个原象，那么称映射B A f →:为A 到B 的满射.(2)单射：如果在映射B A f →:下，集合A 中不同元素在B 中有不同的象，那么称映射B A f →:为A 到B 的单射.(3)双射:如果映射B A f →:同时是A 到B 上的满射和单射,那么称映射B A f →:为A 到B 的双射,即一一映射.(4)如果f 为满射且任何B b ∈,都有A 中的m 个元素m a a a ,,,21 ,使得b a f i =)((m i ,,2,1 =),则称f 为m 的倍数映射.3.映射中的计数问题(1)对于满射B A f →:,显然有).()(B Card A Card ≥(2)对于单射B A f →:,显然有).()(B Card A Card ≤(3)配对原理:如果存在集合A 到集合B 上的双射,那么满射B A f →:,显然有).()(B Card A Card =(4)如果f 为m 的倍数映射,则).()(B mCard A Card =【典例精析】【例1】试问在1，2，……，100中能3或4或5整除的数共有多少？〖分析〗先分析能被3或4整除的数.在1，2，……，100中能被3整除的数有33个，能被整除的数有25个，同时被3且被4整除的数有8个，从而在1，2，……，100中能被3或4整除的数共有33+25-8=50个.根据此种思路，即可求解本题.【解】设全集}100,,2,1|{ ==x x U ，U x x A i ∈=|{且x 被i 整除}).5,4,3(=i 令543A A A A =，则所求的数为)()()()(43543A Card A card A A A Card A Card +== )()()()()(5435453435A A A Card A A Card A A Card A A Card A Card +---+ =33+25+20－601568==--.从而知在1，2，……，100中能3或4或5整除的数共有60个.〖说明〗本题主要考查容斥原理的应用.【例2】一次会议中有1990位数学家参加，每人至少有1327位合作者.求证：可以找到4位数学家，他们中每两个人都合作过.【解】记数学们为)1990,,2,1( =i v i ，与i v 合作过的数学家组成集合i A .任取合作过的数学家21,v v ，由.1990)(,1327)(,1327)(2121≤≥≥A A Card A Card A Card 得： .0199021327)()()()(212121>-⨯≥-+=A A Card A Card A Card A A Card 从而存在数学家213A A v ∈且.,2313v v v v ≠≠又])[()()()(321321321A A A Card A Card A A Card A A A Card -+=.119901327)199021327(=-+-⨯≥从而存在数学家3214A A A v ∈且142434,,v v v v v v ≠≠≠，从而可知4321,,,v v v v 两两合作过.〖说明〗本题的实质是证明φ≠321A A A ，通过容斥原理的计算来完成.【例3】称有限集S 的所有元素的乘积为S 的“积数”.给定数集}.1001,,31,21{ =M 求数集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和.〖分析〗数集M 的所有子集的积数之和为.1)10011()311)(211(-+++ 设数集M 的所有含偶数个元素的子集的积数和为x ，所有含奇数个元素的个子集的积数之和为y ，则=+y x.1)10011()311)(211(-+++ 只需再建立一个关于y x ,的方程，就可解出.,y x 【解】设数集M 的所有含偶数个元素的子集的积数之和为x ，所有含奇数个元素的子集的积数之和为y ，则=+y x .1)10011()311)(211(-+++ 又=-y x .1)10011()311)(211(---- 所以.10099,299-=-=+y x y x 解得.2004851=x 【例4】设集合}|),{(|},||),{(a x y y x B x a y y x A +====，若2)(=B A C r ad ，求实数a 的取值范围.【解】当0>a 时，画出草图，如图.由图可知当且仅当1>a 时，直线a x y +=与两条射线||x a y =有两个交点，即B A 仅有两个元素；当0<a 时，同理可得当且仅当1-<a 时，B A 有两个元素.从而实数a 的取值范围为.1||>a【例5】有1987个集合，每个集合有45个元素，任意两个任意的并集有89个元素，问此1987个集合的并集有多少个元素?〖分析〗由每个集合有45个元素，且任意两个集合的并集有89个元素知，任意两个集合有=y )0(>+a a x )0(<+a a x且只有一元素.【解】显然可以由题设找到这样的1987个集合，它们都含有一个公共元素a ，而且每个两个集合不含a 以外的公共元素.下面我们来排除其它可能性：由任意两个集合的并集有89个元素可知，1987个集合中的任意两个集合有且只有一外公共元素，则容易证是这1987个集合中必有一个集合A 中的元素a 出现在A 以外的45个集合中，设4521,,,A A A ，其余的设为.,,,19864746A A A设B 为.,,,19864746A A A 中的任意一个集合，且B a ∉，由题设B 和A ,4521,,,A A A 都有一个公共元素,且此46个元素各不相同,故B 中有46个元素,与题设矛盾!所以这1987个集合中都含有a .故所求的结果为1987×44+1=87429,即这1987个集合的并集有87429个元素.〖说明〗这里我们先设计一种符合题设的特殊情形,然后再排除其可能的情形,从而达到解题的目的,这是一种“先猜后证”的解题策略，应注意加以强化.【例6】怎样证明集合},,,{21n a a a S =的全体子集的个数为.2n〖分析〗本题限定利用一一映射的知识加以解决，因此首先应建立一个集合S 与其到自然数子集}12,,1,0{-n间的一一映射.【证明】将集合S 的每一个子集合)0,1}(,,,{2121n m n i i i a a a m i i i m ≤≤≤≤≤≤ 与一个二进制数2)(21m i i i b b b 相对应，使得121===m i i i b b b ，而其余的),,(021m k i i i k b ≠=.在这种对应下，空集φ映射于0)000(2= ，而全集映射于2)111( =12-n ，其余的子集合映射于2)000( 与2)111( 之间的某一个确定的二进制数，容易验证这种映射是从S 的全体子集到自然数的子集}12,,1,0{-n间的一一映射，所以子集合的个数为.2n 〖说明〗本题将集合中的元素与自然数集建立起了一种一一映射，这种建立一一映射的方法在竞赛中是常用的.这个问题也可以这样来解决，子集合中元素个数为k 的子集合个数是),,2,1,0(n k C k n =，所以全体子集的个数是，并且这种方法也是常见的证法.【例7】如图所示，将8×8的国际象棋棋盘的左上角和右下角都剪去一个方格，问剪去两角的棋盘能否用31个1×2的矩形完全覆盖?〖分析〗如果将问题改为能否用32个1×2的矩形将8×8的国际象棋棋盘完全覆盖，这将一个十分容易的问题，可以找到很多种方法.但是要注意这种不同的完全覆盖的方法的个数却是一个十分困难的问题.M·E·Fischer 于1961年处出了这个数字等于12988816=24×9012. 但是能过尝试可以发现，要找到一个将剪去两个角的国际象棋棋盘完全覆盖的方法却是十分困难的.虽然剪去两个角的棋盘和原来的棋盘相差“不大”，然而前者却不能完全覆盖不定期个问题用一一映射的概念就可以迎刃而解了.【解】首先我们注意到一个1×2的矩形，不论用什么样的覆盖方法，它必覆盖住棋盘的一个黑格与一个白格.假定能用某种方法用31个1×2的矩形完全覆盖，那么这种覆盖方法实质上就是在剪过的棋盘上的黑格和白格之间建立了一个一一映射.这说明剪过的棋盘上的黑格和白格是一样多的.然而，实际上剪过的棋盘上还有32个黑格和30个白格.这一矛盾说明不能用1×2的矩形将剪过的棋盘完全覆盖.〖说明〗本题与上节的例1一样，也是利用一一映射处理问题，这种处理方法在数学竞赛中是最常用的方法之一，应重点掌握.【例8】集合A 和B 分别由适合如下条件的所有五倍数构成：对于集合A 中的每一个数，其各位数字之和或者加1或者减1之后是5的倍数；对于集合B 中的每一个数，其各位数字之和或者是5的倍数，或者是减去2之后是5的倍数.证明：集合A 和集合B 中所含的元素个数相等.〖分析〗若要证明两个集合所含的元素个数相同，只需在两个集合之间建立一种一一映射即可.【解】分别用)(),(βαS S 表示βα,的数字和.对αβα-=∈109999,A 是五位数，并且 )5(mod 146109999)()(≡=++++=+βαS S ，因此0)(),5(mod 1)(≡±≡βαS S 或)5(mod 2，即.B ∈β反之，设B ∈β，则A ∈-=βα109999.因此对应αα-→109999是A 、B 之间的一一对应，从而).()(B Card A Card =〖说明〗建立一一映射证明两集合的个数相同，是奥林匹克数学竞赛中常用的方法，应重点掌握.【例9】设3021,A A A ，， 是集合}2003,,2,1{ 的子集，且660)(≥i A Card （30,,2,1 =i ）.求证：存在}30,,2,1{,, ∈≠j i j i ，使得.203)(≥j i A A Card【证明】不妨设每一个i A 的元素都为660个（否则去掉一些元素）.作一个集合、元素的关系表：表中每一行（除最上面的一行外）分别表示30个集合3021,A A A ，，，表的n 列（最左边的一列除外）分别表示2003个元素1，2，……，2003.若)301,2003,,2,1(≤≤=∈j i A i j ，则在i 所在的列与j A 所在行的交叉处写上下班1，若j A i ∉，则在交叉处写上0.如下表：表中每一行有660个别，因此共有30×660个1.设第j 列有j m 个1（2003,,2,1 =j ），则有.6603020031⨯=∑=j j m由于是每个元素j 属于2j m C 个交集t s A A ，因此，.)(301200312∑∑≤<≤==t s t s j m A ACrad C j 由柯西不等式=∑=200312j m j C -∑=200312(21j j m )20031∑=j j m 20031(21≥)(20031∑=j j m ∑=-200312)j j m 所以必有j i ≠满足：211)(230⨯≥C A A Card j i 20031()(20031∑=j j m ∑=-200312)j j m =202200329)200366030(660>⨯-⨯， 所以.203)(≥j i A A Card〖说明〗本题中所作的表，称为元素、集合的从属关系表，它在讨论涉及多个集合的问题时经常采用.【例10】（首届东南地区竞赛）n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛.但是如果一周内某球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛.如果4周内能够完成全部比赛，求n 的最大值.(注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛.)【解】如下表所示：表格中的“*”表示该球队在该周有主场比赛，不能出访.容易验证，按表中的安排，6下面证明7支球队不能在四周内完成比赛.设)7,6,5,4,3,2,1(=i S i 表示i 号球队的主场比赛周次的集合.假设4周内能完成比赛，则S i 是{1，2，3，4}的非空真子集.一方面由于某周内该队有主场比赛，在这一周内不能安排该球的客场比赛，所以)7,6,5,4,3,2,1(=i S i 中，没有一个集合是另外一个集合的子集.另一方面，设}}4,3,1{},3,1{},3{{}},4,3,2{},3,2{},2{{}},3,2,1{},2{},1{{===C B A }}4,3{{}},4,2{{}},4,2,1{},4,1{},4{{===F E D由抽屉原理，一定存在j i S S j i j i j i ,},5,4,3,2,1{,,,,∈≠属于同一集合A 或B 或C 或D 或E 或F ，必有j i S S ⊆或j i S S ⊇发生.所以n 的最大值是6.〖说明〗本题是例9的深入延伸，先能过表格得出一个确定的值，再证明大于（小于）这个数的不能成立，这是求解最值问题的常用方法.【例11】（1992年全国高中数学联赛）设集合},,2,1{n S n =.若X 是n S 的子集，把X 中的所有数的和称为X 的“容量”（规定空集的容量为0）.若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集.（1）求证：n S 的奇子集与偶子集的个数相等.（2）求证：当3≥n 时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等.（3）当3≥n 时，求出n S 的所有奇子集的容量之和.〖分析〗要证明两个集合的元素一样多，一种方法是直接将两个集合中的元素个数算出来，另外一种方法是在这两个集合之间建立一个一一映射.这里我们采用第二种方法解决.【解】(1)设A 是n S 的任一奇子集，构造映射f 如下：}1{-A A ，若A ∈1；}1{ A A ，若A ∉1.（注：}1{-A 表示从集合A 中去掉1后的集合）所以映射f 是将奇子集映为偶子集的映射.易知，若21,A A 是n S 的两个不同的奇子集，则)()(21A f A f ≠，即f 为单射.又对n S 的每一个偶子集B ，若B ∈1，则存在}1{\B A =，使得B A f =)(；若B ∉1，则存在}1{ B A =，使得B A f =)(，从而f 是满射.所以f 是使得n S 的奇子集的组成的集到n S 的偶子集所组成的集之间的一一对应，从而n S 的奇子集与偶子集的个数相等，故均为12221-=⋅n n 个. （2）设)(n n b a 表示n S 中全体奇（偶）子集容量之和.若)3(≥n 是奇数，则n S 的奇子集由如下两类构成：①1-n S 的奇子集；②1-n S 的偶子集与集}{n 的并，于是可得：)2(21--⋅++=n n n n n b a a （*）又n S 的偶子集可由1-n S 的偶子集和1-n S 的偶子集与集}{n 的并构成，所以：)2(21--⋅++=n n n n n a b b （**）由（*）、（**）便可得.n n b a =若)4(≥n 是偶数，同上可知：)2(211---⋅++=n n n n n a a a)2(211---⋅++=n n n n n b b b由于1-n 是奇数，由上面已证11--=n n b a ，从而.n n b a =综上即知，).,3,2( ==n b a n n（3）由于n S 的每一个元素均在12-n 个子集n S 中出现，所以n S 的所有子集容量之和为)1(2)21(221+=+++--n n n n n又由（2）知n n b a =，所以).1(2)1(22132+=+⋅=--n n n n a n n n 〖说明〗对于第（2）小题的证明，建立了递推关系，这是解决“计数”问题的一个有效的方法.【例12】（2003年IOM 试题）设A 是集合}1000000,,2,1{ =S 的恰有101个元素的子集.证明：在S 中存在数10021,,,t t t ，使得100,,2,1},|{ =∈+=j A x t x A j j 中，每两个的交集为空集.〖分析〗先弄清在什么情况下φ≠j i A A .设∈a j i A A ，则.,,A y x t y t x a j i ∈+=+=于是x y t t j i -=-.这说明选取10021,,,t t t 时，只要保证其中任意两个之差不等于A 中任二元素之差即可.【解】考虑集合},|{A y x y x D ∈-=，则.101011100101)(=+⨯≤d Crad若φ≠j i A A ，设∈a j i A A ，则j i t y a t x a +=+=,，其中A y x ∈,，则D x y t t j i ∈-=-. 若D t t j i ∈-，即存在A y x ∈,，使得x y t t j i -=-，从而j i t y t x +=+，即φ≠j i A A . 所以φ≠j i A A 的充要条件是D t t j i ∈-.于是我们只需在集合S 中取出其100个元素，使得其中任意的两个的差都不属于D.下面用递推的方法来取出这100个元素.先在S 中任取一个元素1t ，再从S 中取一个元素,2t 使得}.|{221D x x t D t t ∈+=+∉这是因为取定1t 后，至多有10101个S 中的元素都不能作为2t ，从而在S 中存在这样的2t . 若已有)99(≤k 个S 中的元素k t t t ,,,21 满足要求，再取,1+k t 使得k t t t ,,,21 都不属于}.|{11D x x t D t k k ∈+=+++这是因为k t t t ,,,21 取定以后，至多有10101999999≤k 个S 中的数不能作为,1+k t 故在S 中存在满足条件的1+k t .所在在S 中存在10021,,,t t t ，其中任意两个的差都不属于D.综上所述，命题得证.〖说明〗条件610)(=S Card 可以改小一些.一般地，我们有如下更强的结论：若A 是S={1，2，3，……，n }的一个k 元子集，m 为正整数，满足条件n >(m －1)(12+k C )，则存在Ｓ中的元素m t t t ,,,21 ，使得m j A x t x A j j ,,2,1},|{ =∈+=中任意两个的交集为空集.这个结论是可以证明的，请读者自已试证之(见Ｂ组习题６).【赛向点拨】1.集合中的计数问题是最近几年竞赛试题中的常见问题，是综合考查集合知识的一个很好的出发点.2.映射方法是处理竞赛问题的一种非常重要的方法，将问题利用映射的方法重往往可以化难为易、化繁为简.3. 集合是组合数学的基础，也是高中数学竞赛中的重要组成部分.希望大家通过本讲学习开拓思路，灵活解题，另外，要想解好集合题目，相关知识也很重要.【针对练习】(A 组)1．某班期中考试中，数学优秀率为70%，语文优秀率为75%，则两门学科都优秀的百分率是（ ）A ．60%B ．55%C ．50%D ．45%2．已知集合A={2，4，6，8，9}，集合B={1，2，3，4，6，7}.又已知集合C 是这样的一个非空集合：若C 的各元素都加上2，则变为A 的一个子集；若C 的各元素都减去2，则变为B 的一个子集，则=)(C Card （ ）A ．9B ．8C ．7D ．63．(2002年全国高中数学赛)已知两个实数集合A ＝｛a 1,a 2,…,a 100｝与B ＝｛b 1,b 2,…,b 50｝，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2)≤…≤f (a 100)则这样的映射共有（ ）个.A ．C 50100 B.C 4899 C.C 49100 D.C 49994．设},1|{,2)(2Z n n n n A x x x f ∈≤≤=-+=，}),(|{A n n f y y B ∈==，则集合 }|2{Z m m B ∈ 的元素的个数是（ ）A ．100B ．51C ．36D ．以上都不对5．（2007年江西预赛）正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（ ）． A ．119 B. 120； C. 151； D.154.6．某班有50人，开设英语和日语两种外语.现规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班总人数的80%~90%之间，报日语的人数占全班总人数的32%~40%之间.设M 是两门都学的人数的最大值，m 是两门都学的人数的最小值，则M －m = .7．已知集合},10000,2|{Z n n x x M n ∈≤≤==，把M 中最高位数字是1的数全部抽出出来，组成一个新的集合S ，则S 中的元素共有 个(3010.02lg =).8．已知映射B A f →:，其中集合}4,3,2,1,1,2,3{---=A ，其中集合中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意,A a ∈在B 中，和对应的元素是||a ，则集合B 中的元素的个数是 .9．一个自然数若与它的“反序数”相等，这个自然数就称为一个“魔幻数”.如3和1991都是“魔幻数”.在集合}20001,|{≤≤∈=x Z x x M 的元素中，去掉所有的“魔幻数”后，形成一个不含“魔幻数”的子集N ，则集合N 中的元素共有 个.10.（2007年山东省青岛市奥林匹克学校入学试题）开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？11.求1至250之间能被2、3、5和7中任何一个整数整除的整数的个数.12. n 个点n r r r ,,,21 顺次排在同一条直线上，每个点涂上黑色或白色.已知1r 和n r 分别涂上了白色和黑色.求证：相邻点间线段不同色的个数一定是奇数.（B 组）1.设,21m A A A A =},,,,{21m A A A R =若R 中每r 个元素的交集不空，而1+r 个元素的交集为空集，则：（1）)(A Card 至少是多少？（2）当)(A Card 最小时，)(i A Card 为多少？2.设Z 是平面上由)3(>n 个点组成的点数，其中任三点不共线，又设自然数k 满足不等式<2n .n k <如果Z 中的每个点都至少与Z 中的k 个点有线段相连，证明：这些线段中一定有三条线段构成三角形的三边.3. (2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛)已知n 位数的各位数字只能取集合{}1,2,3,4,5中的元素，设含有数字５且在５的前面不含３的n 位数个数为()f n ，求()f n ．4.对于任何的集合S ，设)(S n 为集合S 的子集的个数.如果A 、B 、C 是三集合，满足下列条件： （1）)()()()(C B A n C n B n A n =++；（2）.100)()(==B Card A Card 求)(C B A Card 的最小值.5.（2006年山东省第二届夏令营试题）设T 是由10060的所有的正因数组成的集合，S 是T 的一个子集，其中没有一个数是另一个数的倍数，求)(S Card 的最大值.6. 若A 是S={1，2，3，……，n }的一个k 元子集，m 为正整数，满足条件n >(m －1)(12+k C )，则存在Ｓ中的元素m t t t ,,,21 ，使得m j A x t x A j j ,,2,1},|{ =∈+=中任意两个的交集为空集.【参考答案】（A 组）1．解：设班级人数为100，则两门学科中至少有一门优秀的总人数不大于100.由)()()()(B A Card B Card A Card B A Card -+=，可得70+75－)(B A Card 100≤,即.45)(≥B A Card故两门学科都优秀的百分率至少为%.452．解：逆向思维，即A 中各元素都减去2，得集合D={0，2，4，6，7}，集合B 中的各元素都加上2，得集合E={3，4，5，6，7，10}，因此集合C 是集合D 与集合E 的公共元素组成的集合G ={4，6，7}的真子集，这样的集合C 共有7123=-个.3. 解：不妨设b 1＜b 2＜…＜b 50，将A 中元素a 1,a 2,…,a 100按顺序分为非空的50组。