考点过关测试 第14章 数系扩充与复数(理文)
(2021年整理)人教a版数学【选修2-2】备选练习：3.1.1数系的扩充与复数的概念(含答案)
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选修2-2 第三章 3.1 3.1.11．若sin2θ－1＋i(错误!cosθ＋1）是纯虚数,则θ的值为( ）A．2kπ－错误!B．2kπ＋错误!C．2kπ±错误!D．错误!＋错误!（以上k∈Z）[答案] B［解析］由错误!得错误!(k∈Z）．∴θ＝2kπ＋错误!.选B.2．已知A＝{1，2，（a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝｛－1,3｝，A∩B＝｛3｝，则实数a 的值为________________．[答案] －1[解析] 以A∩B＝｛3}为解题突破口，按题意a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3，∴错误!解得a＝－1.3．已知复数z＝3x－1－x＋（x2－4x＋3）i〉0，则实数x＝________.[答案］1［解析］复数z能与0比较大小,则复数一定是实数，由题意知错误!解得x＝1。
高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课后知能检测
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课后知能检测新人教A版选修2-2一、选择题1．(2013·佛山高二检测)以2i－5的虚部为实部，以5i－2的实部为虚部的复数是( )A．2＋i B．2－2iC.5＋5i D．－5＋5i【解析】2i－5的虚部为2，5i－2的实部为－2，故所求复数为2－2i.【答案】 B2．(2013·威海高二检测)“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数”的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】因为复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．【答案】 A3．若复数z＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i为纯虚数，则实数m的值为( )A．5 B．6C ．－1D ．4 【解析】 因为复数z ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1或m ＝4，m ≠－1且m ≠6，所以m ＝4.【答案】 D4．如果(x ＋y )i ＝x －1，则实数x ，y 的值为( )A ．x ＝1，y ＝－1B ．x ＝0，y ＝－1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝0，y ＝0【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0.∴x ＝1，y ＝－1，故选A.【答案】 A5．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i 【解析】 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即n 2＋mn ＋2＋(2n ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝－1，∴z ＝3－i.【答案】 B二、填空题6．(2013·扬州高二检测)若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足________．【解析】 ∵m 2－3m －4＋(m 2－5m －6)i 是虚数，∴m 2－5m －6≠0，∴m ≠－1且m ≠6.【答案】 m ≠－1且m ≠67．下列说法：①若a ∈R ，则a i 是纯虚数；②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；④两个虚数不能比较大小．其中说法正确的序号是________．【解析】 对于①，当a ＝0时不是纯虚数，故①错；对于②，两个虚数不能比较大小，故②错；对于③，当z 1＝1，z 2＝i 时，z 21＋z 22＝0，故③错；④显然正确．【答案】 ④8．若x －2＋(y －1)i>0(x ，y ∈R )，则x 的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝0，x －2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x >2.【答案】 (2，＋∞)三、解答题9．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值．【解析】 由纯虚数的定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧ log 2m 2－3m －3＝0，log 2m －2≠0，m －2>0，m 2－3m －3>0.解得m ＝4.10．实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】 (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数． (2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数． (3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．11．(创新应用)如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，求自然数m ，n 的值．【解】 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，log 12m ＋n >－1， ①②由①得m＝0或m＝3，当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾．综上可得m＝0，n＝1.。
人教A版选修2-23.1.1数系的扩充和复数的概念能力提升(含答案解析).docx
1．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或6解析：选B.由M ∩N ＝{3}得3∈M ，故(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i ＝3，因此得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3m 2－5m －6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4或m ＝－1m ＝6或m ＝－1，所以m 的值为－1，故选B.2．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数；②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题有________个．解析：在①中没有注意到前提条件为a ，b ∈R ，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝0，z 3＝i ，则(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝12＋(－i)2＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠z 3，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．答案：03．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ①(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y 1＝－(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝4③.把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋4a ＝96＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2.4．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ∈R )，若z 1＝z 2，求λ的取值范围．解：∵z 1＝z 2，∴由两复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2cos θ4－m 2＝λ＋3sin θ， ∴λ＝4－4cos 2 θ－3sin θ＝4sin 2 θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916，sin θ∈[－1,1]． 由二次函数的性质知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.。
新高考一轮复习人教版 数系的扩充与复数的引入 作业
专题十二 数系的扩充与复数的引入基础篇 固本夯基考点一 复数的概念与几何意义1.(2022届T8联考,2)已知z=2i1−i-1+2i,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B2.(2022届辽宁六校期初联考,2)复数z 满足z(1+i)=2021-i(i 为虚数单位),则复数z 的虚部为( ) A.1011 B.1011i C.-1011 D.-1011i 答案 C3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,2)已知i 是虚数单位,则复数z=2(1−i)2的共轭复数为( )A.2iB.-2iC.iD.-i 答案 D4.(2022届湘豫名校8月联考,3)已知复数z 在复平面内对应的点在直线y=-x 上,且|z|=√2,则z(1+i)=( ) A.2 B.-2 C.±2 D.2i 答案 C5.(2022届山东日照开学校际联考,4)若复数z 满足|z-2-3i|=5,则复数z 的共轭复数不可能为 ( ) A.5+2i B.-2-6iC.5-7i D.2-8i 答案 A6.(2022届湖南岳阳一中入学考,2)已知复数z 1=21+i,z 2=a+i(a ∈R),若z 1,z 2在复平面内对应的向量分别为OZ ⃗⃗⃗⃗ 1,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),且|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则a=( )A.1B.-3C.1或-3D.-1或3 答案 C7.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z=2−i1+i,则下列说法正确的是( ) A.z 的模为√102B.z 的虚部为-32i C.z 的共轭复数为-12-32iD.z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限 答案 A8.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z 满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z 对应的点的轨迹为( ) A.直线 B.线段 C.圆 D.等腰三角形 答案 A9.(多选)(2022届湖北九师联盟10月质检,10)设z 1,z 2是复数,则( ) A.z 1−z 2=z 1-z 2 B.若z 1z 2∈R,则z 1=z 2 C.若|z 1-z 2|=0,则z 1=z 2D.若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0答案 AC10.(2020课标Ⅲ理,2,5分)复数11−3i的虚部是( ) A.-310 B.-110C.110 D.31011.(2021北京朝阳一模,2)如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等,那么b=() A.-2 B.1C.2D.4答案A12.(2021石家庄二模,1)已知i为虚数单位,复数z=1−i 2 0211−i2 018,则z的虚部为()A.1 2B.-12i C.-12D.12i答案C13.(2019课标Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C14.(2020浙江,2,4分)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2答案C15.(2021河北唐山三模,2)已知i是虚数单位,a∈R,若复数a−i1−2i为纯虚数,则a=()A.-2B.2C.-12D. 1 2答案A16.(2021广东珠海一模,2)设i是虚数单位,复数z1=i2021,复数z2=|4−3i|4+3i,则z1+z2在复平面上对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限17.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i答案B18.(2021新高考Ⅱ,1,5分)在复平面内,复数2−i对应的点位于()1−3iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A-(iz)2在复平面内对应的点在() 19.(2021湖北九师联盟质检,2)设复数z=1+i(i是虚数单位),则复数zA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A20.(2019课标Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1答案C21.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.√2D.2答案C22.(2021河北唐山二模,5)设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A.1B.√3C.√5D.323.(2017课标Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:p1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;p4:若复数z∈R,则z∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4答案B24.(2021辽宁丹东二模,3)在复平面内,O为坐标原点,复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为()A.-√32B.-12C.12D.√32答案B25.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则|z|=()A.4B.2C.√2D.1答案B26.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=√3-i,则()A.|z|=2B.|z|=4C.z的共轭复数z=√3+iD.z2=4-2√3i答案AC27.(多选)(2021山东德州二模,9)已知复数z1=2−1+i(i为虚数单位),下列说法正确的是()A.z1对应的点在第三象限B.z1的虚部为-1C.z 14=4D.满足|z|=|z 1|的复数z 对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上 答案 AB28.(多选)(2021江苏无锡二模,9)设复数z=a+bi,a ∈R,b ∈R(i 为虚数单位),则下列说法正确的是( ) A.若a=0,b=1,则∑k=12 021z k =iB.若a=-12,b=-√32,则z 2=zC.“z ∈R ”的充要条件是“z=|z|”D.若a=cos θ,b=sin θ(0<θ<π),则复数z 在复平面上对应的点在第一或第二象限 答案 AB29.(2021江苏常州一模,14)已知复数z 对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:z+z =2;乙:z-z =2√3i;丙:z ·z =4;:z =z 22.在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有两个人的陈述正确,则复数z= . 答案 1+i30.(2021辽宁抚顺二模,14)已知|z+√5i|+|z-√5i|=6,则复数z 在复平面内所对应的点P(x,y)的轨迹方程为 .答案 y 29+x 24=1考点二 复数的运算1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z 满足z=2i−1+i,则|z|=( ) A.1 B.√2 C.12D.√22答案 B2.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z +i)=( )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C3.(2020新高考Ⅰ,2,5分)2−i=()1+2iA.1B.-1C.iD.-i答案D4.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C5.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=()A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i答案C6.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A7.(2020课标Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案D,则|z|=()8.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=3−i1+2iA.2B.√3C.√2D.1答案C9.(2019北京,文2,理1,5分)已知复数z=2+i,则z·z=()A.√3B.√5C.3D.5 答案 D10.(2021上海,1,4分)已知z 1=1+i,z 2=2+3i,则z 1+z 2= . 答案 3+4i11.(2018天津文(理),9,5分)i 是虚数单位,复数6+7i1+2i= . 答案 4-i12.(2021福建厦门三模)若复数z=a+bi(a,b ∈R,i 为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数:z= . 答案 1+i(答案不唯一)综合篇 知能转换考法 复数代数形式的四则运算的解题方法1.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),3)已知i 是虚数单位,z 为复数,2+1i=z(3+i),则在复平面内z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 D2.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(z )2 020+(z z)2 021的虚部为( )A.iB.-iC.1D.-1 答案 D3.(2022届广东深圳光明第一次调研,2)已知z=2−i2+i,则z =( ) A.45+35i B.45-35i C.35+45i D.35-45i4.(2022届广东深圳龙岗一中期中,3)已知复数z 满足z(2+i)=|3+4i|(其中i 为虚数单位),则复数z =( ) A.2-i B.-2+i C.2+i D.-2-i 答案 C5.(多选)(2022届山东烟台莱州一中开学考,12)1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写下公式:e i θ=cos θ+isin θ,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数学中的天桥”,据欧拉公式,则( ) A.e πi 2=i B.|e πi4|=1C.(1−√3i 2)3=1 D.cos π4=e πi 4+e −πi42答案 ABD6.(2021浙江,2,4分)已知a ∈R,(1+ai)i=3+i(i 为虚数单位),则a=( ) A.-1 B.1 C.-3 D.3 答案 C7.(2020课标Ⅰ理,1,5分)若z=1+i,则|z 2-2z|= ( ) A.0 B.1 C.√2 D.2 答案 D8.(2021广东肇庆二模,2)在复平面内,复数z =5i3−4i(i 为虚数单位),则z 对应的点的坐标为 ( ) A.(3,4) B.(-4,3) C.(45,−35) D.(−45,−35) 答案 D9.(2017天津文(理),9,5分)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a−i2+i为实数,则a 的值为 .10.(2020课标Ⅱ理,15,5分)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i,则|z 1-z 2|= . 答案 2√311.(2021天津一中5月模拟,13)若复数z=(1+i)23+4i,则z= .答案 8+6i25。
北京 《数系的扩充和复数的概念》 精品测试
B. 或
C．2kπ＋ (k∈Z)
D．kπ＋ (k∈Z)
解析：由复数相等的定义知 得θ＝kπ＋ (k∈Z)，故选D.
答案：D
5．如果关于x的方程x2－2x－a＝0的一个根是i，那么复数a()
A．一定是实数
B．一定是纯虚数
C．可能是实数，也可能是虚数
D．一定是虚数，但不是纯虚数
解析：因为i是方程x2－2x－a＝0的根，故代入整理得：a＝x2－2x＝i2－2i＝－1－2i.故选D.
解：(1)设方程的实根为t0，则有
t ＋(2＋i)t0＋2xy＋(x－y)i＝0，
t ＋2t0＋2xy＋(t0＋x－y)i＝0
∴(y－x)2－2x＋2y＋2xy＝0，
即x2＋y2－2x＋2y＝0，也就是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
∴点(x，y)的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，其轨迹是以(1，－1)为圆心， 为半径的圆．
答案：D
二、填空题
7．复数1－i的虚部的平方是________．
解析：由题意，1－i的虚部为－1，则其平方为1.
答案：1
8．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
解析：根据题意得 因此m＝－1.
答案：－1
9．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值(或范围)是________．
∴当m∈(－∞，－5)∪(－5,2)∪(2,5)∪(5，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时有：
∴
∴m＝－ ，
∴m＝－ 时，z为纯虚数．
11．已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)．
2021-2022年高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的概念课后习题 新人教A版选修2-2
A.-2B.C.-D.2解析:复数2-b i的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.答案:D2.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A.B.2 C.0 D. 1解析:由复数相等的充要条件知,解得故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D3.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则()A.M∪R=IB.(∁I M)∪R=IC.(∁I M)∩R=RD.M∩(∁I R)=⌀解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如下图所示.所以应有:M∪R⫋I,(∁ I M)∪R=∁I M,M∩(∁I R)≠⌀,故A,B,D三项均错,只有C项正确.答案:C4.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B5.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是()A.以原点为圆心,以2为半径的圆B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-)解析:因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则即x2+y2=4且x≠y.由可解得故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-).答案:D6.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isin π,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号).解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sin π=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④7.满足x2+2x+3i=m+x i(x,m∈R)的m的值为.解析:由已知可得所以m=15.答案:158.设复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,(1)当实数m为何值时,z是纯虚数?(2)当实数m为何值时,z是实数?解:(1)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是纯虚数,所以解得m=1±,所以当m=1±时,z是纯虚数.(2)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是实数,所以解得m=-2,所以当m=-2时,z是实数.9.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.解:由定义运算=ad-bc,可得=3x+2y+y i.即(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+y i.由复数相等的充要条件得解得B组1.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为()A.-2B.3C.-3D.±3解析:依题意应有解得m=3.答案:B2.若复数z=cos θ+(m-sin θ-cos θ)i为虚数,则实数m的取值范围是. 解析:∵z为虚数,∴m-sin θ-cos θ≠0,即m≠sin θ+cos θ.∵sin θ+cos θ=sin∈[-],∴m∈(-∞,-)∪(,+∞).答案:(-∞,-)∪(,+∞)3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为. 解析:由z1>z2,得解得a=0.答案:04.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是.解析:若复数为纯虚数,则有即故a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}5.如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数.从而有由①,得m=0或m=3.当m=0时,代入②,得0<n<2,又m+n>0,所以n=1;当m=3时,代入②,得n<-1,与n是自然数矛盾.综上可得,m=0,n=1.6.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解:∵M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.。
高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：数系的扩充和复数的概念【含答案及解析】
第七章复数7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2021陕西阎良期末)设复数z=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,则实数a=()A.-3B.-2C.2D.3复数z=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3.故选A.2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为()A.-1B.2C.1D.-1或2z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.3.复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则实数m的值是()A.3B.2C.2或3D.0或2或3(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,所以m2-5m+6=0,m2-3m≠0,解得m=2.4.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是()A.若a≠0,则a i是纯虚数B.虚部为-√2的虚数有无数个C.实数集是复数集的真子集D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等A,若a=i,则a i=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-√2的虚数可以表示为m-√2i(m ∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,判断C正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-b i为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件ab=0”则a=0或b=0,“复数a-b i 为纯虚数”则a=0且b ≠0,那么“ab=0”是“复数a-b i 为纯虚数”的必要不充分条件.6.若(x-2y )i =2x+1+3i,则实数x ,y 的值分别为 .-12,-74{2x +1=0,x -2y =3,所以{x =-12,y =-74.7.若复数z=m+(m 2-1)i 是负实数,则实数m 的值为 .1m 2-1=0且m<0,因此m=-1.8.已知关于实数x ,y 的方程组:{(2x -1)+i =y -(3-y )i ,(2x +ay )-(4x -y +b )i =9-8i ①②有实数解,求实数a ,b.①式,根据复数相等的充要条件有{2x -1=y ,1=-(3-y ),解得{x =52,y =4.(*) 将(*)代入②式,得5+4a-(6+b )i =9-8i,且a ,b ∈R ,所以有{5+4a =9,6+b =8,解得a=1,b=2. 关键能力提升练9.以3i -√2的虚部为实部,以3i 2+√2i 的实部为虚部的复数是( )A.3-3iB.3+iC.-√2+√2iD.√2+√2i-√2的虚部为3,3i 2+√2i =-3+√2i 的实部为-3,故选A .10.(多选题)已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A.若x ,y ∈C ,则x+y i =1+i 的充要条件是x=y=1B.(a 2+1)i(a ∈R )是纯虚数C.若z 12+z 22=0,则z 1=z 2=0D.当m=4时,复数lg(m 2-2m-7)+(m 2+5m+6)i 是纯虚数x=i,y=-i,则x+y i =1+i,但不满足x=y=1,故A 错误;∀a ∈R ,a 2+1>0恒成立,所以(a 2+1)i 是纯虚数,故B 正确;取z 1=i,z 2=1,则z 12+z 22=0,但z 1=z 2=0不成立,故C 错误;当m=4时,复数lg(m 2-2m-7)+(m 2+5m+6)i =42i 是纯虚数,故D 正确.11.(多选题)(2021江苏相城校级期中)已知复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,则α的取值可能为( )A.π3B.2π3C.πD.5π3复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2, ∴3cos α+cos 2α=-2,即2cos 2α+3cos α+1=0,解得cos α=-12或cos α=-1. ∵0<α<2π,∴α=2π3或4π3或π.故选BC .12.已知z 1=-3-4i,z 2=(n 2-3m-1)+(n 2-m-6)i,且z 1=z 2,则实数m= ,n= .±2{n 2-3m -1=-3,n 2-m -6=-4,解得{m =2,n =±2. 13.下列说法:①若a ∈R ,则(a+1)i 是纯虚数;②若(x 2-1)+(x 2+3x+2)i(x ∈R )是纯虚数,则x=±1;③两个虚数不能比较大小.其中说法正确的序号是 .a=-1时,(a+1)i =0,故①错误;若(x 2-1)+(x 2+3x+2)i 是纯虚数,则{x 2-1=0,x 2+3x +2≠0,即x=1,故②错误;两个虚数不能比较大小,故③正确.14.已知复数z=√3x -1-x+(x 2-4x+3)i >0,求实数x 的值.z>0,∴z ∈R .∴x 2-4x+3=0,解得x=1或x=3. ∵z>0,∴√3x -1-x>0.对于不等式√3x -1-x>0,x=1适合,x=3不适合,∴x=1. 学科素养创新练15.已知关于x 的方程x 2+(m+2i)x+2+2i =0(m ∈R )有实根n ,且z=m+n i,则复数z=( )A.3+iB.3-iC.-3-iD.-3+i,知n 2+(m+2i)n+2+2i =0,即n 2+mn+2+(2n+2)i =0.所以{n 2+mn +2=0,2n +2=0,解得{m =3,n =-1.所以z=3-i .。
高二数学3.1.1数系的扩充和复数的概念练习新人教A版选修1-2
[ 答案 ] － 1
[ 解析 ]
m2－ 1＝ 0， ∵z<0，∴
m<0，
∴ m＝－ 1.
三、解答题
10．已知复数
z＝
a2－ 7a＋6 a2－ 1 ＋
(
a2－
5a－6)i(
a∈R) ．试求实数
a 分别为什么值时，
[ 答案 ] A
x＝0
[ 解析 ] 依题意得
，
－ 3＝ 8x－ y
x＝0 解得
y＝3
，故选 A．
4．下列说法正确的是 (
)
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 B． ai 是纯虚数 ( a∈ R)
0，那么这两个复数相等
C．如果复数 x＋ yi( x、 y∈ R) 是实数，则 x＝ 0， y＝ 0
[ 答案 ] 2kπ＋ 2 ( k∈ Z) ．
[ 解析 ] 由 cosθ＋ (1 ＋sin θ)i 是纯虚数，知
cos θ＝ 0
π
，所以 θ＝ 2kπ＋ ( k∈ Z) ．
1＋sin θ≠０
∴ a＝ 6，即 a＝6 时， z 为实数．
(2) 当 z 为虚数时，则有 a2－ 5a－6≠０
③
a2－ 7a＋ 6
且 a2－ 1 有意义
④
解③得 a≠－ 1 且 a≠6， 解④得 a≠± 1，
∴ a≠±１且 a≠6，
∴当 a∈ ( －∞，－ 1) ∪ ( － 1,1) ∪ (1,6) ∪ (6 ，＋∞ ) 时， z 为虚数．
A． 1， 3 B ． 1＋ 3， 0 C ． 0,1 ＋ 3 [ 答案 ] C
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第十四章复数 考点过关测试
班级 姓名 座号 成绩
一. 基础题（本大题共9小题，每题6分，共54分）
（ ）1.对于下列四个命题：
①2,0x C x ∀∈≥；
②若,a b R ∈，则“0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的充要条件；
③5,34,34,5i i i -+-，这些复数的对应点共圆；
④已知,,,x y m n 均为复数，若x yi m ni +=+，则必有x m
y n =⎧⎨
=⎩。
其中正确命题有 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
（ ）2. 2
1z i =+的共轭复数是
A ．1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i --
（ ）3.(2007.全国Ⅰ)设a 为实数，且
112a i i +++是实数，则a 的值为 A. 1
2 B. 1 C. 3
2 D. 2
（ ）4.（2007福建）复数
21(1)i +等于 A. 1
2 B. 12-
C. 12i
D. 12i - （ ）5.已知312x i
yi i -=-+，其中,x y 是实数，则x yi +为
A. 42i -
B. 42i +
C. 24i +
D. 24i -
（ ）6.已知复数z 满足(1)2i z i +=，则复数z 等于
A. 1i +
B. 1i -+
C. 1i --
D. 1i - 7. 1111i
i
i i +-+-+＝ （用a bi +形式表示，,a b R ∈）；
8.设11z yi =+，22z x i =+(,)x y R ∈若1z 与2z 互为共轭复数，则z x yi =+＝ ；
9.（2007浙江）已知复数11z i =-，121z z i ⋅=+，则复数2z ＝ .
二.解答题（本大题共3小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
） 10.（本题15分）设,x y 为实数，且
511213x y i i i +=---，求x y +的值；
11. （本题15分）当实数m 取何值时，复数22(34)(23)z m m m m i =--+--是实数？虚数？纯虚数？
12. （本题16分）已知复数13z i =--，21z ai =+和324z i =+在复平面上对应的点在同一条直线上，（1）求实数a 的值；（2）计算12z z z =⋅，并指出z 对应的点的坐标；
（3）求2z 与3z 对应点之间的距离。
复数考点过关测试
参考解答 ：BABDBA 7. 0 8. 12i - 9. i
10.解：()()()()()()()
()()1125131112121313x i y i i i i i i i i ++++=⇒-+-+-+ ()
()()
()11251352545152510x i y i i x y x y i i ++++=⇒+++=+⇒
525
1
454155
x y x x y x y y +==-⎧⎧⇒⇒+=⎨⎨+==⎩⎩ 11.解：当2230m m --=即1m =-或3时，z 为实数； 当2230m m --≠时，即1m ≠-且3m ≠时，z 为虚数； 当22340
230m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即4m =时，z 为纯虚数。
12. （1） 解：123,,z z z 在复平面上对应的点分别为,,A B C ，则(3,1),(1,),(2,4)A B a C --。
,,A B C 三点共线，AB BC k k ∴=141321a a
+-∴=+-解得3a =；
（2）12(3)(1)(3)(31)10z z z i ai a a i i ==--+=--+=-
故z 对应的点的坐标为()0,10-
（3）由(1,3),(2,4)B C 得BC ==。