山东省2016届高三数学专题复习函数之恒成立证明(真题复习)

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高中数学恒成立问题(教师)

..n b +证明：当2(1cos=+22 4.a =,2n n+ 4132n n+++ 1122n n n++-11122n n n +=--2.()(2≠++=a c bx ax x f 1. （1）若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求a 的取值范围.3. 求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.4. 设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B =<<≠∅，求实数a 的取值范围.)0()(2≠++=a c b x a x x fB ≠∅⇔ (2) 当0a >时{x x x >B ≠∅⇔21a +3<⇒于是,实数a 的取值范围是)6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解法二:(1) 当0a <时象的对称轴2.a ⇒<-6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭学会用函数和变量来思考()f x 是奇函数上单调递增。

解：()f x m ≤]1,1-恒成立，即max 1am f +≥，max f f =220am m -+≥在[1,1-又4a > 0≥ 6∴-4a -≤≤⑶当22a->又4a <- 总上所述，-⑶解法一：分析：题目中要证明上恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间0在[]2,2-()lg(f x =又1a b >>}0>()lg(xf x a b =-b(f x '∴)x 在()0,+∞上单调递增上单调递增，∴。

问题2.2 函数中存在性与恒成立问题-2016届高三数学跨越一本线(解析版)

2016届高三数学跨越一本线精品问题二函数中存在性与恒成立问题函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等. 一、函数性质法【例1】（1）已知函数12)(2+-=ax x x f ,xax g =)(,其中0>a ,0≠x ．若对任意]2,1[∈x ,都有)()(x g x f >恒成立,求实数a 的取值范围；（2）已知两函数2)(x x f =,m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(,若对任意[]2,01∈x ,存在[]2,12∈x ,使得()21)(x g x f ≥,求实数m 的取值范围.【分析】（1）根据题意条件中的x 是同一值,故不难想到将问题等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立,在通过分离变量,从而可创设出新函数,再求出此函数的最值来解决问题．（2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量不一定是同一数值,故可分别对在两个不同区间内的函数)(x f 和)(x g 分别求出它们的最值,再根据只需满足()()min minf xg x ≥即可求解．【解析】（1）由12012232++<⇒>-+-x xx a x a ax x 成立, 只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导,0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ,故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数,32)1()(min ==ϕϕx ,所以a 的取值范围是320<<a ．【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构造函数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目更加清晰明了,一般来说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数.此法关键在函数的构造上,常见于两种----一分为二或和而为一,另一点充分利用函数的图象来分析,即体现数形结合思想. 【牛刀小试】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,若对任意123,,[0,2]x x x ∈,恒有()()()123f x f x g x +>,求实数a 的取值范围.【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=.若对任意123,,[0,2]x x x ∈,恒有()()()123f x f x g x +>,则2max min )()(x g x f >,即a ->3ln 0,所以3ln >a .二、分离参数法【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a 的值；（2）若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围.【分析】（1）由'()ln 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =处的切线的斜率为3,可知'(e)3f =,可建立关于a 的方程：ln e 13a ++=,从而解得1a =；（2）要使2()f x kx ≤对任意0x >恒成立,只需max 2()[]f x k x ≥即可,而由（1）可知()ln f x x x x =+,∴问题即等价于求函数1ln ()xg x x+=的最大值,可以通过导数研究函数()g x 的单调性,从而求得其最值：221(1ln )ln '()x x x x g x x x⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则.常见的有一个口诀：大就大其最大,小就小其最小,即最终转换为求函数最值. 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f x λ≥(或()()ming f x λ≤) ,得λ的取值范围.【牛刀小试】若10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时220x ax ++>恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】9.2a >-三、主参换位法【例3】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数,(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立,求t的取值范围.【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：λ及t ,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将λ视作自变量,则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解.【解析】（Ⅰ）1a =(Ⅱ)由(Ⅰ)知：()f x x =,()sin g x x x λ∴=+,()g x 在[]11-，上单调递减, ()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-，上恒成立,1λ∴≤-，[]max ()(1)sin1g x g λ=-=--, ∴只需2sin11t t λλ--≤++,2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立,由上述②结论：可令()2(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2t 101sin110t t +≤⎧⎨--+++≥⎩,21sin10t t t ≤-⎧∴⎨-+≥⎩,而2sin10t t -+≥恒成立, 1t ∴≤-.【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x 为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.【牛刀小试】若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,求实数x 的取值范围.12x -<<四、数形结合法【例4】已知函数()222f x x kx =-+,在1x ≥-恒有()f x k≥,求实数k 的取值范围.【分析】为了使题中的条件()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立,应能想到构造出一个新的函数()()F x f x k=-,则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决. 【解析】令()()222F x f x k x kx k=-=-+-,则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立,而()F x 是开口向上的抛物线. 当图象与x 轴无交点满足0∆<,即()24220k k ∆=--<,解得21k -<<.当图象与x 轴有交点,且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩解得32k -≤≤-, 故由①②知31k -≤<.【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数()20y ax bx c a =++≠大于0恒成立,则有00a >⎧⎨∆<⎩,同理,若二次函数()20y ax bx c a =++≠小于0恒成立,则有00a <⎧⎨∆<⎩.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）.（对于()()f xg x ≥型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）,这种方法尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.【牛刀小试】设1a ≥,()32f x x x a =-+,若()f x a ≥对任意[]1,2x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.【解析】当312a ≤≤时32x x a a -+≥显然成立,当32a >时不等式可转化为32,a x a x--≥ 作y x a=-的图像,使其图像在()3212a y x x -=≤≤图像上方,可得13222312a a a a ⎧⎛⎫-≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≥-⎪⎩,解得52a ≥ 五、存在性之常用模型及方法【例5】设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-,a R ∈且1a ≠.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0.（1）求b 的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞,使得()1af x a <-,求a 的取值范围. 【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0,可以将其转化为关于a ,b 的方程,进而求得b 的值：()()1af x a x b x'=+--,()10f '=⇒()101a a b b +--=⇒=；（2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞,使得不等式()1af x a <-成立,只需min ()1a f x a >-即可,因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值,进而得到关于a 的不等式即可,而由（1）可知()21ln 2a f x a x x x -=+-,则()()()11x a x a f x x---⎡⎤⎣⎦'=,因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性,从而可以解得a的取值范围是()()11,-+∞ .②当112a <<时,11a a>-,()()()2minln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭, 不合题意,无解,10分③当1a >时,显然有()0f x <,01a a >-,∴不等式()1af x a <-恒成立,符合题意,综上,a 的取值范围是()()11,-+∞ .【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为",()"x M P x ∃∈⌝；原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝.处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题.【牛刀小试】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(, (1)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围； (2)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围.巩固强化1. 已知函数)1(1)(>-=a a a x f x x ,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ变化时,0)1()sin (≥-+m f m f θ 恒成立,则实数m 的取值范围是___________．【答案】1≤m【解析】由11()()x x x x f x a a f x a a ---=-=-=-,则函数1()xxf x a a =-为奇函数,又因1a >则函数1()x xf x a a =-在R 上单调增,又由0)1()sin (≥-+m f m f θ化简得(sin )(1)(sin )(1)f m f m f m f m θθ≥--≥-，,故sin 1m m θ≥-,当2πθ=时,sin 1m m θ≥-恒成立,当0,)2πθ∈[时,即11sin m θ<-,令函数11sin y θ=-可得1y ≥,即min 1()11sin θ=-,所以1≤m ．2. 已知函数2(),([2,2])f x x x ∈-=,2()sin(2)3,[0,]62g x a x a x ππ=++∈,1[2,2]x ∀∈-,001[0,],()()2x g x f x π∃∈=总使得成立,则实数a 的取值范围是．【答案】(,4][6,)-∞-+∞3.设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ,B ,使得曲线y ＝f (x )在点A ,B 处的切线互相垂直,则实数a 的取值范围为．【答案】]1,1[-【解析】因为),4cos(2sin cos )(π++=-+='x a x x a x f则存在实数2,1x x ,使得1))4cos(2))(4cos(2(21-=++++ππx a x a 成立.不妨设11)(0,4k a x a π=++∈+则22)[4k a x a π=++∈因此222120()2,12,1,1 1.k k a a a a <-≤-≤-≤-≤≤ 4.已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=,其中m ,a 均为实数．（1）求()g x 的极值；（2）设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立,求a 的最小值；（3）设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围．【答案】(1)极大值为1,无极小值；(2) 3 -22e 3；(3)3[,)e 1+∞-．（2）当1,0m a =<时,()ln 1f x x a x =--,(0,)x ∈+∞． ∵()0x af x x-'=>在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分设1e ()()e xh x g x x ==,∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立, ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分设21x x >,则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-, 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅,则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3,4）上恒成立． …………………6分 ∴11e ex x a x x---+≥恒成立．设11e ()ex x v x x x --=-+,∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+,x ∈[3,4], ∴1221133e [()]e 1244x x --+>>,∴()v x '< 0,()v x 为减函数．∴()v x 在[3,4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3,∴a 的最小值为3 -22e 3． …………………9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分 ∵()2ln f x mx x m =--,(0,)x ∈+∞,当0m =时,()2ln f x x =-在(0,e]为减函数,不合题意． ………………… 11分当0m ≠时,2()()m x m f x x -'=,由题意知()f x 在(0,e]不单调, 所以20e m <<,即2em >．① …………………12分此时()f x 在2(0,)m 上递减,在2(,e)m 上递增, ∴(e)1f ≥,即(e)e 21f m m =--≥,解得3e 1m -≥．② 由①②,得3e 1m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈,∴2()(1)0f f m=≤成立． …………………14分下证存在2(0,]t m∈,使得()f t ≥1．取e m t -=,先证e 2m m-<,即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-,则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥,∴③成立．再证()e m f -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥,∴3e 1m -≥时,命题成立．综上所述,m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分 5.（2015福建高考理20）已知函数()()ln 1f x x =+,()()g x kx k =∈R ． (1)求证：当0x >时,()f x x <；(2)求证：当1k <时,存在00x >,使得对任意的()00,x x ∈,恒有()()f x g x >.【解析】（1）令()()()ln 1F x f x x x x =-=+-,[)0,x ∈+∞,则有()1111x F x x x -'=-=++．当()0,x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在[)0,+∞上单调递减,故当0x >时,()()00F x F <=,即当0x >时,()f x x <．6.（2015天津高考理20（2））已知函数(),n f x nx x x =-∈R ,其中*n ∈N ,2n …. 设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ….【证明】设点P 的坐标为0(,0)x ,则110n x n -=,又()1n f x n nx -=-,则20()f x n n '=-,曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-,即()00()()g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =-,即()00()()()F x f x f x x x '=--,则0()()()F x f x f x '''=-, 由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减,故()F x '在()0,+∞上单调递减,又因为0()0F x '=, 所以当0(0,)x x ∈时,0()0F x '>,当0(,)x x ∈+∞时,0()0F x '<,所以()F x 在0(0,)x 内单调递增,在0(,)x +∞内单调递减,所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x =…,即对任意的正实数x ,都有()()f x g x ….7（2015北京高考理18（3））已知函数()1ln 1x f x x +=-.设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()0,1x ∈恒成立,求k 的最大值.【解析】构造函数()()31ln ,0,113x x P x k x x x ⎛⎫+=-+∈ ⎪-⎝⎭,又()00P =,若()0P x >对()0,1x ∀∈恒成立,则()00P '…,又()()()4222212111k x P x k x x x --'=-+=--, 即()020P k '=-…,得2k …,又当2k =时,()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()0,1x ∈恒成立, 因此k 的最大值为2.8.（2015福建高考理20(3)）已知函数()()ln 1f x x =+,()()g x kx k =∈R ．确定k 的所有可能取值,使得存在0t >,对任意的()0,x t ∈恒有()()2f x g x x -<．当1k <时,由（2）知,存在00x >,使得当()00,x x ∈时,()()f x g x >, 此时()()()()f x g x f x g x -=-=()ln 1x kx +-．令()()2ln 1N x x kx x =+--,[)0,x ∈+∞, 则有()()22211211x k x k N x k x x x --++-'=--=++,当x ⎛ ∈ ⎝时,()0N x '>,()N x 在⎡⎢⎢⎣上单调递增,故()()00N x N >=, 即()()2f x g x x ->．记0x 1x ,则当()10,x x ∈时,恒有()()2f x g x x ->,故满足题意的t 不存在．当1k =时,由（1）知,当0x >时,()()()()()ln 1f x g x g x f x x x -=-=-+．令()()2ln 1H x x x x =-+-,[)0,x ∈+∞,则有()2121211x x H x x x x --'=--=++．当0x >时,()0H x '<,所以()H x 在[)0,+∞上单调递减,故()()00H x H <=．故当0x >时,恒有()()2f x g x x -<,此时,任意正实数t 均满足题意．综上所述,1k =．记0x 与12k -的较小者为1x ,当()10,x x ∈时,恒有()()2f x g x x ->,故满足题意的t 不存在．当1k =时,由（1）知,0x >,()()f x g x -=()()()ln 1f x g x x x -=-+．令()()2ln 1M x x x x =-+-,[)0,x ∈+∞,则有()2121211x x M x x x x --'=--=++．当0x >时,()0M x '<,所以()M x 在[)0,+∞上单调递减,故()()00M x M <=,故当0x >时,恒有()()2f x g x x -<,此时,任意正实数t 均满足题意．综上所述,1k =．9.（2015全国2高考理21（2））设函数()2e mx f x x mx =+-.若对于任意[]12,1,1x x ∈-,都有()()121e f x f x --…,求m 的取值范围.综上所述,m 的取值范围是[]1,1-.10.（2015四川高考理21（2））已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+,其中0a >. 求证：存在()0,1a ∈,使得()0f x …在区间()1,+∞内恒成立,且()0f x =在区间()1,+∞ 内有唯一解.令000101ln 1x x a x ---=+,()()1ln 1u x x x x =--≥ 由()110u x x '=-…知,函数()u x 在区间()1,+∞上单调递增. 所以()()()0011101e e 2011111e 1eu u x u a x ----=<=<=<++++,即()00,1a ∈. 当0a a =时,有()00f x '=,()()000f x x ϕ==.再由（Ⅰ）可知,()f x '在区间()1,+∞上单调递增.故当()01,x x ∈时,有()00f x '<,从而()()00f x f x '>=；当()0,x x ∈+∞时,有()00f x '>,从而()()00f x f x >=；所以当()1,x ∈+∞时,()0f x ?.综上所述,存在()0,1a ∈,使得()0f x ?在区间()1,+∞内恒成立, 且()0f x =在()1,+∞内有唯一解.：。

高三数学微专题深度分析系列10 函数极值点及不等式恒成立(pdf版)

函数，尽量使原函数中 ln x, ex ,sin x, cos x 的系数为常数。注：思路二构造函数方法来源于湖北徐伟老师，思路二中的
0 处理技巧来源于河北张兵兵老师。感谢两位老师的无私分享！
同步练习：1.已知 b a 0,b ln a a ln b a b ，求证： (1)a b ab 1；(2) a b 2 ;(3) 1 1 2 ab
令
t

e

e

2
，则
h(t)

ln
t

t
2 1
t
1

0
恒成立，则
h(t)

1 t

( 1)2 (t 1)2

(2t 1)(t 1) t(t 1)2

0

t1
1, t2

1 2
（1）当
1 2

1
即
e

2

1时，则
t

(1,
1 2
)

h(t)

0

(2)若不等式 e1 x1 x2 恒成立，求实数的取值范围。（原题有多余条件： 0 ）
简析：f
( x)

ln
x

ax

x(ln x x

a)

0 有两个不同的变号零点
x1 ,
x2 , (x1

x2 ) ，则设
g(x)

ln x x

g ( x)

1 ln x2
x
，
t

高三数学专题复习《函数》

高三数学专题复习《函数》一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。

定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。

定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。

定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。

定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。

A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。

集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。

通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。

定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义7 函数的性质。

（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2) (f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。

专题04恒成立与存在性求参(选填题6种考法)(解析版)高三数学二轮复习《考法分类》(新高考)

专题04恒成立与存在性求参（选填题6种考法）考法一一元二次不等式在R【例1-1】（2023·青海西宁·统考二模）已知命题p ：x ∃∈R ，2220x x a ++-<，若p 为假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】D【解析】因为命题p ：x ∃∈R ，2220x x a ++-<，所以p ⌝：x ∀∈R ，2220x x a ++-≥，又因为p 为假命题，所以p ⌝为真命题，即x ∀∈R ，2220x x a ++-≥恒成立，所以0∆≤，即224(2)0a --≤，解得1a ≤，故选：D ．【例1-2】（2023·四川·校联考模拟预测）“0m >”是“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，命题“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”可得命题“x ∀∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+>是真命题”当10m -=时，即1m =时，不等式30>恒成立；当10m -≠时，即1m ≠时，则满足()()210214130m m m ->⎧⎪⎨⎡⎤---⨯<⎪⎣⎦⎩，解得14m <<，综上可得，实数14m ≤<，即命题“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”时，实数m 的取值范围是[1,4)，又由“0m >”是“14m ≤<”的必要不充分条件，所以“0m >”是“x ∃∈R ，2(1)2(1)30m x m x -+-+≤是假命题”的必要不充分条件，故选：B.【例1-3】（2023·全国·高三对口高考）已知命题:R p x ∃∈，使得“2210ax x ++<成立”为真命题，则实数a 的取值范围是．【答案】(),1-∞【解析】因为命题:R p x ∃∈，使得“2210ax x ++<成立”为真命题，当0a =时，210x +<，则12x <-，故成立；当0a >时，440a ∆=->，解得：01a <<；当a<0时，总存在2210ax x ++<；综上所述：实数a 的取值范围为(),1-∞.故答案为：(),1-∞【变式】1．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）若命题：“0x ∃∈R ，使20010mx mx -+≤”是假命题，则实数m 的取值范围为．【答案】[)0,4【解析】由题意可知：命题：R x ∀∈，210mx mx -+>.是真命题，①当0m =时，结论显然成立；②当0m ≠时，则20Δ40m m m >⎧⎨=-<⎩，解得04m <<；故答案为：[)0,4.2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是【答案】(10,2]-【解析】因为不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式2(2)(2)30m x m x -+--<对任意实数x 均成立，当20m -=，即2m =时，有30-<恒成立，满足题意；当20m -≠，即2m ≠时，则有()()220Δ21220m m m -<⎧⎪⎨=-+-<⎪⎩，解得102m -<<，综上所述，实数m 的取值范围为(10,2]-.故选：B.3．（2023·广东潮州）若命题：“0x ∃∈R ，使2200(1)(1)10--++≥m x m x ”是真命题，则实数m 的取值范围为．【答案】513-<<m 【解析】当2101-==±m m 即时，易得m=1时命题成立；当21011-<-<<m m 即时，()()222141325011∆=+--=-++≥∴-<<m m m m m 当2101m 1->⇒<->m m 或时，则命题等价于()()2225141325013∆=+--=-++>∴<<m m m m m ，故答案为：513-<<m 考法二一元二次不等式在某区间【例2-1】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞【答案】C 【解析】因为命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，所以，命题“[]01,1x ∃∈-，2003a x x >-”为真命题，所以，[]01,1x ∈-时，()min 2003a x x ->，因为，2239324y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，所以，当[]1,1x ∈-时，min 2y =-，当且仅当1x =时取得等号.所以，[]01,1x ∈-时，()200min 32a x x ->=-，即实数a 的取值范围是()2,-+∞故选：C【例2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“[]1,4x ∃∈，使220x x λ+->成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．[)1,+∞【答案】C【解析】若“[]1,4x ∃∈，使220x x λ+->成立”的否定是：“[]1,4x ∀∈，使220x x λ+-≤”为真命题，即22x x λ-≤；令()222111248x f x x x -⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，由[]1,4x ∈，得11,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()()min 148f x f ==-，所以18λ-≤，故选：C.【例2-3】（2023·辽宁大连）（多选）已知p ：[1,1]x ∀∈-，220x ax --<，则使p 为真命题的一个必要不充分条件为（）A ．21a -<<B ．11a -<<C ．1a 2-<<D ．01a ≤<【答案】AC【解析】令2()2f x x ax =--，则()f x 的图象开口向上，若[1,1]x ∀∈-，()0f x <，则(1)120(1)120f a f a =--<⎧⎨-=+-<⎩，解得11a -<<，对于A ，当11a -<<时，21a -<<成立，而21a -<<时，11a -<<不一定成立，所以21a -<<是p 为真命题的一个必要不充分条件，所以A 正确，对于B ，11a -<<是p 为真命题的充要条件，所以B 错误，对于C ，当11a -<<时，1a 2-<<成立，当1a 2-<<时，11a -<<不一定成立，所以1a 2-<<是p 为真命题的一个必要不充分条件，所以C 正确，对于D ，当11a -<<时，01a ≤<不一定成立，当01a ≤<时，11a -<<成立，所以01a ≤<是p 为真命题的一个充分不必要条件，所以D 错误，故选：AC【例2-4】（2023秋·湖北宜昌）若()21001m x m mx -<≠+对一切4x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．{}3m m <B ．12m m ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭C ．{}2m m >D ．{}20m m -<<【答案】B 【解析】因为不等式2210(1)(1)01m x m x mx mx -<⇒-+<+（0m ≠），所以221(1)(1)0m x mx x m-+=⇒=或1x m =-（0m ≠），①当0m >时，211m m-<，所以不等式2()(110)m x mx -+<的解集为211{|}x x m m -<<，所以原不等式不可能对一切4x ≥恒成立，故0m >不符合题意；②当1m ≤-时，211m m≤-，所以不等式2()(110)m x mx -+<的解集为21{|x x m <或1}x m >-，又因为原不等式对一切4x ≥恒成立，所以1 14m m≤-⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得1m ≤-，③当10m -<<时，211m m>-，所以不等式2()(110)m x mx -+<的解集为1{|x x m <-或21}x m >，又因为原不等式对一切4x ≥恒成立，所以210 14 m m-<<⎧⎪⎨<⎪⎩，解得112m -<<-，综述，12m <-.故选：B.【变式】1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．【答案】103-【解析】由题知命题的否定“2[1,3],x x ∀∈+10ax +≤”是真命题．令2()1([1,f x x ax x =++∈3])，则()()120,33100,f a f a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩解得103a ≤-，故实数a 的最大值为10.3-故答案为：10.3-3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在[0,1]x ∈，有2(1)30x a x a +-+->成立，则实数a 的取值范围是__________.。

山东省2016届高三数学专题复习函数图像

2016高考数学专题复习：函数图像1、判断函数图像依据： 1.基本函数图像特征： 2.奇偶性： 3.导数单调性： 4.特殊点： 5.定义域：6.函数之间大小关系：7.平移变换2、指出下列函数与()x f y =的图像之间的关系： 1.()1-=x f y 2.()2-=x f y 3.()x f y -= 4.()x f y -= 5.()x f y --=6.f y =7.y =8.f y =练习：已知()()()()⎩⎨⎧≤<≤≤-=10...........01.sin x x x x x f π，作出下列函数图像：1.()1-=x f y2.()2-=x f y3.()x f y -=4.()x f y -=5.()x f y --=6.()x f y =7.()x f y = 8.()x f y -=1.函数)(x f y =与函数()x g y =的图像如右图所示，则函数()()x g x f y ⋅=的图像可能是下面的（）2.()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的解析式可能为( )A.()cos f x x x =-- B.()sin f x x x =-- C.()||cos f x x x =D.()||sin f x x x =3.（山东）函数sin xy x=，(,0)(0,)x ππ∈-的图像可能是下列图像中的 ( )4.（13山东）函数x x x y sin cos +=的图像大致为( )5.（山东）函数xx xy --=226cos 的图像大致为（）6.函数()xx x f 2log =的图像大致是（） 7.下列四个图像可能是函数10ln |1|1x y x +=+图像的是（）8.函数||x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图像可能是（）9.函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图像大致是（）10.在同一个坐标系中画出函数,sin xy a y ax ==的部分图像，其中01a a >≠且，则下列所给图像中可能正确的是（）11.函数()21xe xf -=的部分图像大致是（）12.已知函数|ln |1()||x f x e x x=--，则函数(1)y f x =+的大致图像为（）13.函数lg=y 1|1|x +的大致图像为（）14.函数x xy cos 1⋅=在坐标原点附近的图像是（） 15.函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图像大致为（）16.函数3l o g 3xy =的图像大致是( )17.函数)(log )(b x x f a +=的图像如右图，b a ,为常数，则函数b a x g x+=)(的大致图像是（）18.已知函数()=xf 2,(10)1)x x x --≤≤⎧⎪<≤，则下列的图像错误的是（）19.（08山东）函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的图像是（）20.(山东)函数2sin 2xy x =-的图像大致是( )A B C. D.21.（山东）函数22x y x =-的图像大致是( )22.函数()2tan 22f x x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在，上的图像大致为（）23.（1）已知21,[1,0),()1,[0,1],x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩则下列函数的图像错误的是（）(A))1(-x f 的图像 (B))(x f -的图像 (C)|)(|x f 的图像 (D)|)(|x f 的图像（2）函数sin ,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图像是（）24.设函数()22-=x x g ，()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<++=x g x x x g x g x x x g x f ,,4)(，求()x f 的值域25.已知函数()()()()()()()()()()()⎩⎨⎧<≥=-=-=x g x f x f x g x f x g x F x x x g x x f ,,,2,232，则()x F 的最大值为26.函数{}c b a ,,min 表示取c b a ,,中最小的值，则函数{}x x x -+10,2,2min 的值域为27.设函数()(,)y f x =-∞+∞在内有定义，对于给定的正数k ，定义函数：()()()()()()⎩⎨⎧≤>=K x f x f K x f x x f K ..2，取函数||()x f x a -=()1>a ，当aK 1=时，函数()x f K 的单调递减的是28.对任意实数b a ,定义运算“⊗”：,1,, 1.b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+的图像与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是（）A.()1,2-B.[]1,0C.[)0,2-D.[)1,2-29.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=0,40,2x x x x x x f ，若()1-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是30.已知函数()()()()⎩⎨⎧>≤=k x f kk x f x f x F )( )(，当()21,2==-k x f x时，作图并求函数值域31.用{}min ,b a 表示b a ,两数中的最小值，若函数(){}t x x x f +=,min 的图像关于直线21-=x 对称，则t的值为（）A ．2-B ．2C ．1-D ．1()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()CA C A DB A A A D ACD A D C C D D C D A 222120191817.161514.13.12.11.10.9.8.7.6.5.43.2.1()()()()()()(]()(][)()()[]()()DD F A D 3121,0300,629.281,0,1276,267277225,20,4924,23⎥⎦⎤⎝⎛-∞+-∞--=-+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-，。

高三专题复习不等式恒成立问题

高三数学第一讲不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。

例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。

例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是．例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围例11、已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范 B C D 四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。

高三数学二轮复习：微专题13 不等式恒成立问题

利用导数解决不等式恒成立问题的两种常用方法： (1) 分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求求得取值范围．对于恒成立问题：①k≥f(x)恒成立k≥f(x)max；②k≤f(x)恒成立k≤f(x)min.[来源:Z。xx。] 对于存在性问题：①存在 x 使得 k≥f(x)k≥f(x)min；②存在 x 使得 k≤f(x)k≤f(x)max. (2) 函数思想法：将不等式转化为含某待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值 (最值)，然后构建不等式求解．
t2＋2
t2
4. 若不等式 2x－1>m(x 2－1)对一切 m∈[－2，2]都成立，则实数 x 的取值范围为________．
5. 已知函数 f(x)＝ex－1－1－alnx，若对任意的 x∈[1，＋∞)，f(x)≥0 恒成立，则实数 a 的取值范
围是________． π
0， 6. 若不等式 logax>sin2x(a>0 且 a≠1)对于任意的 x∈ 4 都成立，则实数 a 的取值范围为 ________ ．
8.
设函数
f(x)＝a＋xlnx，g(x)
＝x －x －3. 3 2
[来源:学科网 ZXXK]
x
(1) 如果存在 x1，x2∈[0，2]，使得 g(x1)－g(x2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数 M；
(2)
如果对于任意的 s，t∈
1，2 2
，都有
f(s)≥g(t)成立，求实数
a
的取值范围．
微专题
1. 已知函数 f(x)＝－ x2＋(2a－1)x＋3 在[1， 2]上的值恒为正，那么 a 的取值范围是________．

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2016高考数学真题复习：恒成立证明
1.已知函数()x a x x f ln 2
-=在(]2,1是增函数，()x a x x g -=在()1,0为减函数（Ⅰ）求()()x g x f ,的表达式
（Ⅱ）求证：当0>x 时，方程()()2+=x g x f 有唯一解
（Ⅲ）当1->b 时，若()212x
bx x f -
≥在(]1,0∈x 内恒成立，求b 取值范围
2.设函数ax x x a x f +-=22ln )(
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间
（Ⅱ）求所有正实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．
3.已知函数3
2()23
ax f x x x =--．（Ⅰ）若()f x 在R 上单调递减,求实数a 的最大值
（Ⅱ）若2a ≤,()'()x g x e f x =⋅若函数2
()2g x m m ≤+-在区间[0,1]上恒成立,求实数m 的取值范围．
4.已知函数()=x f 3213
x x ax b -++的图像在0=x 处的切线方程为23-=x y （Ⅰ）求实数b a ,的值
（Ⅱ）设()()1-+
=x m x f x g 是()+∞,2上的增函数，求实数m 的最大值
5.设()ln 1f x x =-,证明:
(Ⅰ)当1>x 时,()()12
3-<x x f (Ⅱ)（放缩法）当13x <<时,9(1)()5x f x x -<
+
6.设函数()bx ax x x f --
=221ln （Ⅰ）当2
1==b a 时，求()x f 的最大值（Ⅱ）令()()x
a bx ax x f x F +++=221，30≤<x ，其图象上任意一点()00,y x P 处切线的斜率2
1≤k 恒成立，求实数a 的取值范围
（Ⅲ）当1,0-==b a ，方程()2
2x x f m =⋅有唯一实数解，求正数m 的值．
7.已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .
(Ⅰ)求a 的值
(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值
8.已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，R a ∈
（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性
（Ⅱ）当1≥x 时,()1ln +≤
x x x f 恒成立，求a 的取值范围．
9.已知函数()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+=2lg x a x x f ，其中a 是大于0的常数（Ⅰ）求函数()x f 的定义域
（Ⅱ）当()4,1∈a 时，求函数()x f 在[)+∞,2上的最小值
（Ⅲ）若对任意[)+∞∈,2x 恒有()0>x f ，试确定a 的取值范围
10.已知函数()()+∞∈++=,0,1ln x ax x
x x f （Ⅰ）当0=a 时,求()x f 的最小值
（Ⅱ）若()x f 在[)+∞,2上是单调函数, 求a 的取值范围.
11.已知函数()()0≠++=x b x
a x x f ，其中R
b a ∈,. （Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式（Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性（Ⅲ）若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,4
1上恒成立，求b 的取值范围.
12.设()21ax
e x
f x
+=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3
4=a 时，求()x f 的极值点（Ⅱ）若()x f 为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2
3,21上的单调函数，求a 的取值范围
13.已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．
（Ⅰ）当1=a 时，求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程
（Ⅱ）当0>a 时，函数()x f 在区间[]e ,1上的最小值为2-，求a 的取值范围
（Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值范围．
14.已知函数()x e a f x x
-=，()ln g x a x a =+ （Ⅰ）1a =时，求()()()F x f x g x =-的单调区间
（Ⅱ）若1x >时，函数()y f x =的图像总在函数()y g x =的图像的上方，求实数a 的取值范围.
15.设函数()x x x f -=33
1 （Ⅰ）若()2005-<k x f 在[]3,2-恒成立，求最小正整数k
（Ⅱ）令()()()2,2
12≥+-
=a x ax x f x g ，则()x g 在()()1,1g 处切线与两坐标轴形成面积最小值
16.已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈. （Ⅰ）若函数()[]12f x 在，
上是减函数，求实数a 的取值范围（Ⅱ）设函数()()2
g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈时，函数()g x 的最小值是3.若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
()()()()()()()
()()()x
x x x b h x x x x x x h x g x f x h a 2ln 21.01,1121',2,2122-+≤=-++-=--==()()()2122,;211f e e a e a x a x a e f e a e
⎧≤⇒≤⎪==-⇒=⎨≥-⇒≥⎪⎩()()0,120.2,2.21321≥-≤⇒-==-=-≤m m g a
x x a ()()()()()()()32.1224'.321,2,34222=≤-+-=+-⋅-≤-==h m x x x x h x x x m b a ()()()()()()()()()()()x x x x h x f x x x g h x
x x x h x f x x h 22554'.519.01,223',12352
+-+=-+-==-
-=--=()()()
()01,054521645554222=≤++-=+-+<g x x x x x x x ()()()
2222ln ln 2',ln 2.21,21436x x x x x x x h x x x m a x x a +-+=+=≥-≥-， ()()7.21.11==m h min ()(1)101
f x f a a a =-⇔-=⇔=1(221)()2111x kx k
g x kx x x +-'=-+=++12
()e a ->18[]()10,1,119<<=>a a a ()()2lg 22a f =()23>a ()[)+∞⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞-,041,,110 ()11(7,]4-∞ []()()()()()34,10112'2.2321112222≥≤<⇒++-=a a ax ax ax e x f x ， ()().121,2
1,11321≥⇒-===a f x a x ()()[]8,0041'.2∈⇒≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=a h x x f x h ()()()()
()2021,1'142e a a e h x a e x x h x ≤⇒≥-=--=。