习题课(曲线与曲面)
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
3第二型曲线与第二型曲面积分习题课(0425)
4．计算曲线积分
C
ydx 4x2
xdy y2
，其中
C
是
圆周 x2 y2 1，取逆时针方向.
注：1）如果 C 是10x2 3 y2 1，取逆时针方向. 2）如果 C 是 x y 1，取逆时针方向.
结论是否相同？
Southeast University
曲面 2x2 2 y2 z2 4的外侧（09）
（4）
Southeast University
解： 取1：x2＋y2＋z2＝1的外侧， 为与1之间的部分。
I
xdy dz dz dx zdx dy
3
(x2 y2 z2)2
＝（
－
）xdy
dz
ydz
dx
zdx
3
dy
（＋ （ －1）－1
8．设 x0 ， f ( x) 为连续可微函数，且 f (1)2 ，对 x0
的任一闭曲线 C，有 4x3 ydx xf ( x)dy0 ，求 f ( x) C
和积分
4x3 ydx xf ( x)dy 的值，其中 AB 是由 A(2,0)
C( AB)
至 B(3,3) 的一段弧。
解：（1）由 4x3 ydx xf ( x)dy0 P Q 。
第二型曲线积分与 第二型曲面积分习题课
Southeast University
第二型曲线积分的内容： １．背景：质点沿曲线形路径做功问题 ２.第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式， 曲线积分与路劲无关问题 ３.第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系
Southeast University
典型练习:
其中f ( x, y, z)为连续函数，为平面 x y z 1在第四卦限部分的上侧
第九章--曲线积分与曲面积分习题解答(详解)
曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
第四章 曲线积分与曲面积分 习题课(一)
2 [ a cos t ( a sin t ) b sin t ( b cos t )] dt 0
- 12 -
a b
2
2
2
习 题 课（一）
三 格林公式及其应用 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数
第 十 章
在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
Q P x y d xd y D
y dx
L
2
2
2
-8-
习 题 课（一）
（3） L ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y ) dz , 其中
2 2 2 2 2 2
L
为球面的一部分
x y z 1, x 0 , y 0 , z 0
2 2 2
第 的围线，其方向从 z 正向看去是逆时针的。 十 y2 z2 1 章 z 解 L L1 L 2 L 3 x 0 曲 L2 x2 z2 1 x cos t 线 积 L y 0 L3 t :0 1 y sin t 分 2 o 与 z 0 L1 曲 x x2 y2 1 面 积 z 0 分 y cos t z cos t t :0 L 3 x sin t L 2 z sin t t :0 2 2 x 0 y 0
Pd x Qd y
L
曲 在D 内具有一 线 设D 是单连通域 , 函数 积 分 阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 与 P Q . 曲 (1) 在 D 内每一点都有 y x 面 积 Pd x Qd y 0 . 分 (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L
第10章 曲线积分与曲面积分 习题 10- (7)
dxdy ∂ ∂z x− y
a
a
y
x
图 10.50
= ∫∫ −2dydz − 2dzdx − 2dxdy
∑
(化为非组合曲面积分)
1
b 2(a + b) = −2∫∫ ( + 0 + 1)dxdy = − ∫∫ dxdy a a ∑ ∑
=−
2(a + b) 2(a + b) 2 ∫∫ dxdy = − a ⋅ πa = −2πa(a + b). a D
如图 10.55 所示, 取 ∑ 为平面 z = 0 上被 Γ 所围的部分, 取上侧, 则 Γ 是 ∑ 的正向边 界. 利用斯托克斯公式, 可得
3
∫ Γ ( x − z )dx+(x
= ∫∫
∑
3
+yz )dy − 3 xy 2 dz dxdy ∂ ∂z
z
2
dydz ∂ ∂x
dzdx ∂ ∂y
z = 2 − x2 + y 2
3 3 3
∑
z3
x3
y3 O
z = 2( x 2 + y 2 )
1
= ∫∫ 3 y 2 dydz + 3z 2 dzdx + 3x 2 dxdy
∑
y
x
图 10.54
= ∫∫ 3x 2 dxdy =
∑
Dxy
∫∫ 3x dxdy
2
= 3∫ cos 2θ dθ ∫ ρ 3dρ =
0 0
2π
1
3 π. 4
2. (1)
rot r ;
i
(2)
j
rot[ f (r ) r ].
高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
第四章 曲线积分与曲面积分 习题课(二)
R ( x , y , z ) dxdy
0
( x , y ) D xy
R ( x , y , z ) dxdy
D xy
R ( x , y , z ( x , y )) dxdy
上正下负
-5-
习 题 课（二）
Q ( x , y , z ) dzdx 的计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
d
1
dz
0
2
d
0
1
( cos 1 ) d
2 2
9 4
- 16 -
习 题 课（二）
例5 计算曲面积分
为柱面 x 2 y 2 1
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x dydz y dzdx z dxdy
2 2 2
其中
zox 面 ,
: y y ( x , z ),
Q ( x , y , z ) dzdx
0
( x , z ) D zx
R ( x , y , z ) dzdx
R ( x , y ( x , z ), z ) dzdx
D zx
右正左负
三 两类曲面积分的关系
1 2
D xy
2
（1）
( x y ) dS ,
2 2
其中 为由锥面 z
z
2
x y
2
2
与
1
2
o x
y
D xy
( x y ) 2 dxdy
2 2
(1
辽宁工业大学高数习题课(10)
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线) 3．利用积分与路径无关的条件计算法.
c . Pdx Qdy 与路径无关 Pdx Qdy 0 ，为区域内任意闭曲线
L
c
P Q , ( x, y ) G ─单连域. y x
du Pdx Qdy, ( x, y ) G —单连域.
所以
AB
dx dy ydz [1 (1 x )]dx 2;
1
0
BC
dx dy ydz [(1 z ) (1 z )z ]dz ( 2 z )dz
0
0
1
1
3 2
CA
dx dy ydz 1 dx 1
采用框图中线路2→21的方法计算；此时应注意首先要利
用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使 其满足格林公式的条件。
解法1：化为定积分计算。
x a cos t L 的参数方程为： , t 从 0 变到 2 . 则 y a sint
( x y )dx ( x y )dy I L x2 y2 1 2 2 [(a cos t a sint )(a cos t ) (a cos t a sint )(a sint )]dt a 0 1 2 2 [( a 2 )dt 2 a 0
0
1
从而
I
dx dy ydz (
3 1 1 2 2
AB
BC
) dx dy ydz
CA
2
解法2：利用斯托克斯公式计算. 设 为平面 x y z 1 上 L AB BC CA 所围成部分的上侧，
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5．曲线 L:
x2 y2 4z2 1
x2 y2z2
5x2 3 y2 1
（1）在 xoy平面 上的投影曲线的方程为 z0 ,
2 y2 5z2 1 （2）在 yoz平面 上的投影曲线的方程为 x0 .
当 1 时，得 6 x8 y10z120 ，即 3 x 4 y5z 60 。
4．求顶点在原点，准线为
x2 4
y2 8
z2 3
1
的锥面方程。
y2
解：设 M( x , y ,z ) 是准线上的一点，则过点 M( x ,2,z )
和顶点 o(0,0,0) 的直线 L 必在锥面上，
而 L 的方程为
x y z ，或 x 2 z
x
2x y
,
y 2,
z
2z y
，
代入准线方程得锥面方程6x2 3 y2 8z2 0 。
5.求圆
(
x
3)2
(
y
2)2
(
z
1)2
100
的圆心和半径.
2x2 yz90
解:球面 ( x3)2 ( y2)2 (z1)2 100 的球心为C(3,2,1) ,球半径 R10 .
过点 C 作直线垂直于平面 2 x2 y z90 ,得直线方程：
x32t
x3 2
y2 2
z1 1
，化为参数方程：
y22t z 1 t
，
代入平面方程 2 x2 y z90 ，得
2(3 2t )2(22t )(1t )909t 180t 2.
001
M (1, 2, 1) ， M1(0, 16, 1)L1 ， MM1 {1, 14, 0} ，
i jk
aMM1 1
1
7 14
0
{0,
0,
21}
，d
a MM1
21
.
0
a
50
2并．和求向过量点j M{0(1,1,2,0,5})成且4与5 直角线的L直1:线x2L1的 方y3程1.z
旋转椭球面
（2） y2 4z2 81
双曲柱面
（3） x2 y2 z 49
椭圆抛物面
（4） x2 y2 z 0 9
（5）
x2 9
y2 4
z2 10
旋转抛物面 单叶双曲面
（6） x2 y2 z2 0 4
（7） x2 y2 10 9 25
（8） x2 y
（顶点在(0,0,1) 的圆锥面） 3
3． xoz平面 上的抛物线z2 5x 绕 x 轴旋转而成的
旋转曲面的方程为 y2 z2 5x 。
（旋转抛物面）
4．曲线
L:
x2 y2 z1 x2
z
（1）关于 xoy平面 的投影柱面的方程为 2x2 y2 1 ；
z1 x2
i jk
A(2,2,0)L,
n 1 7 5 {7,1,0},
001
: 7( x2)1( y2)0(z0)0,
即 7 x y160 .
L1
:
7 x
z
1
y16
0
，
i jk
L1
的方向向量为
a
7
1
0
{1,7,0}
，
a
50 .
]
2
3
2 2(nl )0 ，∴l n .
①
010
∵
cos45
a
j
aj
m
1 ，∴m2 l 2 n2 0 . ②
l2 m2 n2 2
把②代入①得m 2n ， ∴l : m : n1: 2 :1 ，③
故直线 L 的方程为 x1 y2 z5 或 x1 y2 z5 .
（9）
x2 3
令球心(1,1, 0) 到平面束的距离为 1 ， 2
得
7 9 1 20 8
1 ，
(7)2 (91)2 (82)2 2
10 1 ，解得1 ，代入平面束方程 1462 54 2 当 1 时，得 8 x 10 y6z 280 ，即 4 x 5 y 3z70 ；
6. 若直线 x1 y1 z2 与 x y1 z5 相交,则 7 .
3 1 2 3 4
二、解答题
1．已知直线 L: x2 y2 z ，求 1 75
（1）L 在平面z1 上的投影L1 的方程；
（2）点 M (1,2,1) 到 L1 的距离 d。
解：设过 L 垂直于平面z1 的平面 的法向量为n ，
习 题 课 (曲线与曲面)
一、填空题
1． xoy平面 上的双曲线 4x2 9 y2 36 绕 x 轴旋转 而成的旋转曲面的方程为 4x2 9 y2 9z2 36 。 （旋转双叶双曲面）
2． yoz平面 上的直线 2 y3z10 绕 z 轴旋转而成 的旋转曲面的方程为 4( x2 y2)(3z 1)2 。
1 21
1 2 1
3．求过直线
L：
7 x y2z8,
x
9
y
8z
20.
且球面
( x1)2 ( y1)2 z2 1 相切的平面方程。 2
解：过直线 L 的平面束方程为 7x y2z8( x9 y8z20)0 ，
即 ( 7) x (9 1) y(8 2)z 20 80 ，
所求圆心为D(1, 2, 3).
球心到平面 2x2 yz90 的距离为 d 232(2)119 186 ，
22 (2)2 (1)2 3
Dr dR C
所求圆的半径为r R2 d 2 102 62 8.
6．指出下列方程表示什么曲面？
（1） 4 x2 4 y2 z2 16
2
5
相交，
解：设直线 L 的方程为 x1 y2 z5 ， l mn
L 的方向向量为a {l, m, n} ，
取 M1(1, 1, 5)L1 ， M1M {0, 1, 0} ， L1 的方向向l mn
∴
[aa1
M1M