曲面与空间曲线方程
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第四节 空间的曲面与曲线
2012年5月17日星期四
9
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例 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 习题6-4 3（2）） （习题 （ ）） 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
(旋转双叶双曲面） 旋转双叶双曲面） 旋转双叶双曲面
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
F(x, y, z) = 0
z
S
o
x
求曲面方程. 求曲面方程 (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
2012年5月17日星期四 3
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y
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二、一些常见的曲面
1.球面 球面 例1 求动点到定点 方程. 方程 解: 设轨迹上动点为 即 距离为 R 的轨迹 依题意
2012年5月17日星期四 20
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o x
y
图形
4. 椭圆抛物面
x y + 2 =z 2 a b
2
2
z
y x
2012年5月17日星期四
21
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5. 双曲抛物面
x y − 2 =z 2 a b
2
2
所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面. 所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面
z
C
M1 (0, y1, z1 )
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
2012年5月17日星期四 7
高等数学 第八章 第三节 平面及其方程
取法向量 n n1 n2 (10 , 15 , 5) 所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得 2x 3 y z 6 0
第八章 第三节
16
例7 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
• B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面。
第八章 第三节
9
例3 设平面过原点及点 (6 , 3 , 2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解 设平面为 Ax By Cz D 0
由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6 , 3 , 2) 6A 3B 2C 0
C
2 2
第八章 第三节
Π1
12
特别地
n2
(1) Π 1 Π 2
n1 n2
Π1
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
(2) Π 1 // Π 2
n1 // n2
n2
n1
Π2
n1
A1 B1 C1 A2 B2 C2
Π2 Π1
第八章 第三节
13
例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
第三节 平面及其方程
教学内容
1 曲面方程与空间曲线方程的概念
2 平面的点法式方程 3 平面的一般方程 4 两平面的夹角
考研要求
掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹 角，并会利用平面的相互关系(平行，垂直，相交 等)，解决有关问题。
第八章 第三节
1
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例 求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离 的点的轨迹方程。
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得 2x 3 y z 6 0
第八章 第三节
16
例7 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
• B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面。
第八章 第三节
9
例3 设平面过原点及点 (6 , 3 , 2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解 设平面为 Ax By Cz D 0
由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6 , 3 , 2) 6A 3B 2C 0
C
2 2
第八章 第三节
Π1
12
特别地
n2
(1) Π 1 Π 2
n1 n2
Π1
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
(2) Π 1 // Π 2
n1 // n2
n2
n1
Π2
n1
A1 B1 C1 A2 B2 C2
Π2 Π1
第八章 第三节
13
例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
第三节 平面及其方程
教学内容
1 曲面方程与空间曲线方程的概念
2 平面的点法式方程 3 平面的一般方程 4 两平面的夹角
考研要求
掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹 角，并会利用平面的相互关系(平行，垂直，相交 等)，解决有关问题。
第八章 第三节
1
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例 求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离 的点的轨迹方程。
高数第七章7-4
2 2
2 2
( x − x 0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z 0 )
2
=R
2
(球面方程的标准式 球面方程的标准式) 球面方程的标准式
2 2 2 2 特殊地： 特殊地：球心在原点时方程为 x + y + z = R
将方程（1）展开得 将方程（
2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x0 x − 2 y0 y − 2 z0 z + x0 + y0 + z0 − R = 0
例1
求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为 1 : 2 是曲面上任一点， 设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点， 根据题意有
的点的全体所组成的曲面方程. 的点的全体所组成的曲面方程. 解
| MO | 1 = , | MM 0 | 2
( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4)
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 同理： 同理：
轴旋转一周的旋转曲面方程为 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程
f y, ± x2 + z2 = 0. xoy 坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) = 0 绕 y 轴旋转
一周的旋转曲面方程为 一周的旋转曲面方程为
o
x
z
(3) 旋转曲面 定义 一条平面曲线 绕其所在平面上的一条定 直线旋转一周所成的曲面 称为旋转曲面 旋转曲面. 称为旋转曲面. 这条定直 线这条定直线叫旋转曲 ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转一周所得 的旋转面方程。 的旋转面方程。 设旋转面上任意一点 M ( x , y , z ) 是由 yOz 平 面的曲线 f ( y , z ) = 0 上 一点 M1 (0, y1 , z1 ) 绕 z 轴旋转而得的， 则 轴旋转而得的，
2 2
( x − x 0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z 0 )
2
=R
2
(球面方程的标准式 球面方程的标准式) 球面方程的标准式
2 2 2 2 特殊地： 特殊地：球心在原点时方程为 x + y + z = R
将方程（1）展开得 将方程（
2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x0 x − 2 y0 y − 2 z0 z + x0 + y0 + z0 − R = 0
例1
求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为 1 : 2 是曲面上任一点， 设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点， 根据题意有
的点的全体所组成的曲面方程. 的点的全体所组成的曲面方程. 解
| MO | 1 = , | MM 0 | 2
( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4)
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 同理： 同理：
轴旋转一周的旋转曲面方程为 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程
f y, ± x2 + z2 = 0. xoy 坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) = 0 绕 y 轴旋转
一周的旋转曲面方程为 一周的旋转曲面方程为
o
x
z
(3) 旋转曲面 定义 一条平面曲线 绕其所在平面上的一条定 直线旋转一周所成的曲面 称为旋转曲面 旋转曲面. 称为旋转曲面. 这条定直 线这条定直线叫旋转曲 ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转一周所得 的旋转面方程。 的旋转面方程。 设旋转面上任意一点 M ( x , y , z ) 是由 yOz 平 面的曲线 f ( y , z ) = 0 上 一点 M1 (0, y1 , z1 ) 绕 z 轴旋转而得的， 则 轴旋转而得的，
空间曲面与曲线方程例题和知识点总结
空间曲面与曲线方程例题和知识点总结在数学的广袤领域中，空间曲面与曲线方程是一个充满魅力且具有重要意义的部分。
它不仅在理论研究中占据关键地位，也在实际应用中发挥着巨大作用，如工程设计、计算机图形学等。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解空间曲面与曲线方程的相关知识。
一、空间曲面方程的类型空间曲面方程主要有以下几种常见类型：1、球面方程以点$（a,b,c)＄为球心，＄r$为半径的球面方程为$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＋（z c)＾2 ＝ r^2$。
2、柱面方程母线平行于＄z$ 轴，准线为＄xOy$ 平面上的曲线＄f(x,y) ＝0$ 的柱面方程为＄f(x,y) ＝ 0$ 。
3、旋转曲面方程曲线＄y ＝ f(z)＄绕＄z$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ f^2(z)＄。
二、空间曲线方程的表示空间曲线可以用一般式方程和参数方程来表示。
1、一般式方程由两个曲面方程联立而成，例如＄＼begin{cases}F(x,y,z) ＝ 0 ＼＼G(x,y,z) ＝ 0\end{cases}＄。
2、参数方程设空间曲线的参数方程为＄＼begin{cases}x ＝ x(t) ＼＼ y ＝ y(t) ＼＼ z ＝ z(t)＼end{cases}＄，其中＄t$ 为参数。
三、例题解析例 1：求以点$（1,2,3)＄为球心，半径为 4 的球面方程。
解：根据球面方程的公式，可得$（x 1)＾2 ＋（y 2)＾2 ＋（z 3)＾2 ＝ 16$ 。
例 2：已知圆柱面的母线平行于＄z$ 轴，准线是＄xOy$ 平面上以原点为圆心，半径为 2 的圆，求该圆柱面的方程。
解：准线方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ 4$，因为母线平行于＄z$ 轴，所以圆柱面方程为＄x^2 ＋ y^2 ＝ 4$ 。
例 3：曲线＄y ＝＼sqrt{x}＄绕＄x$ 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是什么？解：将＄y ＝＼sqrt{x}＄改写为＄y^2 ＝ x$ ，绕＄x$ 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为＄y^2 ＋ z^2 ＝ x$ 。
空间曲面与曲线
z
例 方程x 2 y 2 R2表示怎样的曲面？ 解 表示母线平行于 z轴的圆柱面
圆柱面
: x 2 y 2 R2
x 2 y2 R2 准 线 为C : z 0
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0 x
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y
准线C
其他类推.
x2 z2 例: 2 1 2 a b
母线平行于y轴的双曲柱面， 准线为
空间曲线的参数方程
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
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2 2 2 M 例 3 如果空间一点 在圆柱面x y a 上以 z 轴旋转，同时又以线速度 z v 沿平行于 角速度 绕 v 都是常数），那么点 轴的正方向上升（其中 、 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
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x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
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3 | y | . 2
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补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
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例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2
和 z 3( x 2 y 2 )锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
例 方程x 2 y 2 R2表示怎样的曲面？ 解 表示母线平行于 z轴的圆柱面
圆柱面
: x 2 y 2 R2
x 2 y2 R2 准 线 为C : z 0
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y
准线C
其他类推.
x2 z2 例: 2 1 2 a b
母线平行于y轴的双曲柱面， 准线为
空间曲线的参数方程
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
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2 2 2 M 例 3 如果空间一点 在圆柱面x y a 上以 z 轴旋转，同时又以线速度 z v 沿平行于 角速度 绕 v 都是常数），那么点 轴的正方向上升（其中 、 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
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x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
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补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
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例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2
和 z 3( x 2 y 2 )锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
空间曲面与空间曲线
y
θ
P
为球心在原点、半径为 R的球面的参数方程。
一般地,曲面的参数方程 x x(u, v) 可表示为： y y (u, v) z z (u, v)
空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
y
例 如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角 速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴 的正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数， 动点从A点出 发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影M ( x , y ,0)
（2）已知曲面方程，研究曲面形状．
曲面的参数方程：
当球心在原点O(0, 0, 0)时,球面方程: x2 + y2 + z2 = R2
如图，取，为参数
则球心在原点的球面方 程等价于：
N
z
R
Q
M（x,y,z）
x R sin cos 0 2 x y R sin sin 0 z R cos
o
r
R
x
环面
圆（x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
o
x
.
z
环面
圆（x R) 2 y 2 r 2 ( R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
o
x
.
z
环面方程
( x 2 z 2 R) 2 y 2 r 2
空间的曲面和曲线
6.空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数t 的函数: z x x(t ) 称它为空间曲线的 y y (t ) 参数方程. z z (t ) 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o x a cos t x v y a sin t 令 t , b x a cos z vt y a sin z b 当 2 时, 上升高度 h 2 b , 称为螺距 .
引例:
( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 ( x 2) ( y 1) ( z 4) 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0
2 2 2
定义. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 有关曲面的研究有两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
xoy 上的抛物线
x2 2 y
母线是平行于
z
称为抛物柱面
z y
x o
y2 z2 表示准线是yoz 面 1 b2 c2 2 y z2 上的椭圆 2 2 1 , 母线平行于 b c x 轴的柱面.称为椭圆柱面.
x
z y
o
2.二次曲面 若F x, y, z 0 为 x, y, z 的二次方程, 则此方程确定的曲面为 二次曲面.
几例常见的曲面
求动点到定点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 距离为 R 的轨迹 方程. 解: 设轨迹上动点为 M ( x, y, z ), 依题意 M 0 M R 即
大学数学_7_4 曲面与曲线
z
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b