2020年中考数学一轮专项提升47 几何综合问题探究(含答案)
2020年中考数学冲刺专题：几何探究和证明(含答案)
2020中考数学冲刺专题：几何探究与证明（含答案）1.如图①，已知在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD 交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG.第1题图(1)求证：EG＝CG；(2)将图①中△BEF绕点B逆时针旋转45°，则点F落在对角线BD上，如图②，取DF中点G，连接EG，CG.问EG和CG相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，问线段EG和CG有何关系？(请直接写出答案)(1)证明：∵在正方形ABCD中，∴∠BCD＝90°.∵EF⊥BD，∴∠FED＝90°. ∵G为DF中点，∴EG＝12DF，CG＝12DF.∴EG＝CG；(2)解：EG＝CG.证明：如解图①，延长EF交CD于点H，连接GH，第1题解图①∵在正方形ABCD中，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠EBF＝12∠ABC＝45°.∵EF⊥AB，∴∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°－∠EBF＝45°，∴∠EBF＝∠EFB，∴BE＝FE.∵∠BCD＝∠ABC＝∠BEF＝90°，∴四边形EBCH是矩形，∴HC＝EB＝EF，∠FHC＝90°，∴∠FHD＝180°－∠FHC＝90°. ∵CD∥EB，∴∠HDF＝∠EBF＝45°，∴∠DFH＝90°－∠HDF＝45°，∴∠HDF＝∠DFH，∴HD＝FH.∵G为DF中点，∠DHF＝45°，∴∠DHG＝12∴∠GHC＝180°－∠DHG＝135°.∵∠EFG＝180°－∠DFH＝135°，∴∠GHC＝∠EFG，∵在Rt△DHF中，G为DF中点，∴GH＝12DF＝GF，∴△EFG≌△CHG(SAS)，∴EG＝CG；(3)解：EG＝CG，EG⊥CG.【解法提示】如解图③，理由如下：第1题解图②过点F作CD的平行线并延长CG交于点M，连接EM、EC，过点F作FN 垂直于AB于点N，∵G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∴∠EFM＝180°－45°－∠BFH＝135°－∠BFH，∠EBC＝∠EBF＋∠FBH＝45°＋90°－∠BFH＝135°－∠BFH，∴∠EFM＝∠EBC，∴△EFM≌△EBC(SAS)，∴∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG.2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点(不与点A、C重合)，连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E.(1)如图①，当∠BAC＝45°时，则线段AE与线段CD之间的数量关系为________；(2)如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD之间的数量关系，并说明理由；(3)当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系(用含α的三角函数表示)．第2题图解：(1)AE＝2CD；【解法提示】如解图①，在BC上取一点G，使AD＝BG，连接DG，∵∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∴AC－CD＝BC－BG，即CD＝CG，∴△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝2CD，∠DGC＝45°，∴∠DGB＝135°，∵AP⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠DAE ＝90°＋45°＝135°，∴∠DAE ＝∠DGB ，∵DE ⊥DB ，∴∠EDB ＝90°，∴∠EDA ＋∠BDC ＝90°，∵∠BDC ＋∠DBC ＝90°，∴∠EDA ＝∠DBC ，∴△EAD ≌△DGB (ASA)，∴AE ＝DG ，∴AE ＝2CD ；(2)猜想：AE ＝2CD ，理由是：如解图②，过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，则∠FDC ＝∠BAC ＝30°，AD CD ＝BF CF ，∴AD BF ＝CD CF ，∵AP ⊥AB ，DE ⊥BD ，∴∠BAP ＝∠BDE ＝90°，∵∠ADE ＋∠BDE ＋∠BDC ＝180°，∴∠ADE ＋∠BDC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∠FDC ＝30°，∴∠DBC ＋∠BDC ＝90°，CF ＝12DF ，∴∠ADE ＝∠DBC ，∵∠DAE ＝∠BAC ＋∠BAP ，∠BFD ＝∠FDC ＋∠ACB ，∴∠DAE ＝∠BFD ，∴△DAE ∽△BFD ，∴AD BF ＝AE FD ，∴CD CF ＝AE FD ，∴DF CF ＝AE CD ，∴AE CD ＝2，即AE ＝2CD ；(3)CD ＝AE ·sin α，【解法提示】如解图③，过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，则∠FDC ＝∠BAC＝α，AD CD ＝BF CF ，∴AD BF ＝CD CF ，∵AP ⊥AB ，DE ⊥BD ，∴∠BAP ＝∠BDE ＝90°，∵∠ADE ＋∠BDE ＋∠BDC ＝180°，∴∠ADE ＋∠BDC ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∠FDC ＝α，∴∠DBC ＋∠BDC ＝90°，sin ∠FDC ＝sin α＝CF DF ，∴∠ADE ＝∠DBC ，∵∠DAE ＝∠BAC ＋∠BAP ，∠BFD ＝∠FDC ＋∠ACB ，∴∠DAE ＝∠BFD ，∴△DAE ∽△BFD ，∴AD BF ＝AE FD ，∴CD CF ＝AE FD ，∴CD AE ＝CF FD ＝sin α，∴CD ＝AE ·sin α.第2题解图3.已知在正方形ABCD 中，点E 在直线AB 上，点F 在直线BC 上，连接DE 、DF ，∠EDF ＝45°.(1)如图①，点E ，点F 分别在线段AB ，BC 上时，直接写出AE ，CF ，EF 的数量关系 ；(2)如图②，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，求AE ，CF ，EF 的数量关系；(3)如图③，在(2)的条件下，若AE＝2AB＝8，求EF的长．第3题图解：(1)EF＝AE＋CF.【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如解图①：延长BA，使AM＝CF，且AD＝CD，∠C＝∠MAD，∴△AMD≌△CFD(SAS)，∴∠ADM＝∠CDF，DM＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝45°，∴∠ADM＋∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠FDE，且DM＝DF，DE＝DE，∴△EDF≌△EDM(SAS)，∴EF＝EM，∵EM＝AM＋AE＝AE＋CF，∴EF＝AE＋CF；第3题解图①第3题解图②(2)如解图②：在AB上截取AM＝CF，∵AD＝CD，AM＝CF，∠A＝∠DCF＝90°，∴△ADM≌△CDF(SAS)，∴DM＝DF，∠ADM＝∠CDF，∵∠ADM＋∠MDC＝90°，∴∠CDF＋∠MDC＝90°，即∠MDF＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠EDF＝∠MDE＝45°，且DM＝DF，DE＝DE，∴△MDE≌△FDE(SAS)，∴EF＝EM，∵AE＝AM＋ME，∴AE＝CF＋EF；(3)∵AE＝2AB＝8，∴AB＝BC＝BE＝4，∵AE＝CF＋EF，∴CF＝8－EF，在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，∴EF2＝16＋(4＋8－EF)2，∴EF＝203.4. 在菱形ABCD中，P为直线AD上的点，Q为直线CD上的点，分别连接PC，PQ，且PC＝PQ.(1)若∠B＝60°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图①，证明：DQ＋PD＝AB；(2)若∠B＝60°，点P在线段DA的延长线上，点Q在线段CD上，如图②，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系，并给予证明；(3)若∠B＝120°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图③，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系？并给予证明．第4题图(1)证明：如解图①，在CD上取CH＝DQ，连接PH，∵PC＝PQ，∴∠PCQ＝∠PQC，∵CH＝DQ，∴△PCH≌△PQD(SAS)，∴PH＝PD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB，∠PDC＝∠B＝60°，∴△PHD是等边三角形，∴PD＝HD，∴PD＋DQ＝DH＋CH＝CD＝AB；(2)解：猜想PD－DQ＝AB.证明：如解图②，延长CA到点M，使得AM＝AP，连接PM. ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠CAD＝∠P AM＝60°，∴△P AM是等边三角形，∴AM＝PM，∠M＝∠ACD＝60°，∴PM∥CD，∴∠PCD＋∠CPM＝180°，∵PC＝PQ，∴∠PCQ＝∠PQC，∵∠PQC＋∠PQD＝180°，∴∠CPM＝∠PQD，∴△PCM≌△QPD(AAS)，∴CM＝PD，PM＝DQ＝AM，∵CM＝AC＋AM＝AB＋DQ，∴PD－DQ＝AB；(3)解：猜想：DQ－PD＝AB.证明：如解图③，在DQ上截取DM＝DP，连接PM. ∵∠B＝∠ADC＝120°，∴∠PDM＝60°，∴△PDM是等边三角形，∴PD＝PM，∠PMC＝∠PDQ＝60°，∵PC＝PQ，∴∠PCM＝∠Q，∴△PCM≌△PQD(AAS)，∴CM＝DQ，∴CD＋DM＝DQ，∴AB＋PD＝DQ，即DQ－PD＝AB.第4题解图5.在△ABC 中，已知AB ＞AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 在DC 的延长线上，且DE BD ＝k ，过点E 作EF ∥AB 交AC 的延长线于点F .(1)如图①，当k ＝1时，求证：AF ＋EF ＝AB ；(2)如图②，当k ＝2时，直接写出线段AF 、EF 、AB 之间满足的数量关系：________；(3)如图③，当DE BD ＝k 时，请猜想线段AF 、EF 、AB 之间满足的数量关系(含k )，并证明你的结论．第5题图(1)证明：如解图①，延长AD 、EF 交于点G ，当k ＝1时，DE ＝BD ，∵EF ∥AB ，∴∠BAD ＝∠EGD ，在△ABD 与△GED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠EGD ∠BDA ＝∠EDG BD ＝ED，∴△ABD ≌GED (AAS)，∴AB ＝GE ，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∴∠FGD ＝∠DAC ，∴AF ＝GF ，∵GF ＋EF ＝GE ，∴AF ＋EF ＝AB;(2)解：AF＋EF＝2AB.【解法提示】如解图②，延长AD、EF交于点G，当k＝2时，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴GEAB ＝DEDB＝2，即GE＝2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∵GF＋EF＝GE，∴AF＋EF＝2AB；(3)解：猜想：AF＋EF＝kAB.证明：如解图③，延长AD、EF交于点G，当DEBD＝k时，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴GE AB ＝DEBD＝k，即GE＝kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∵GF＋EF＝GE，∴AF＋EF＝kAB.第5题解图类型二两条线段之间的数量关系与位置关系证明6. 如图，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，DF.(1)如图①，点D在AC上，延长DF，交BC于点G，请判断线段CF，DF 有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；(2)将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置，延长DF至G使GF＝DF，DG与AB交于点O，连接BG，CG，DC，请判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第6题图解：(1)DF＝CF，DF⊥CF；理由：∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.∵F为BE中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△GBF(AAS)，∴DE＝GB，DF＝GF.∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC ＝BC ，∴AC －AD ＝BC －GB ，∴DC ＝GC .∵∠ACB ＝90°，∴△DCG 是等腰直角三角形，∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF ；(2)(1)中的结论仍然成立，理由是：在△FDE 和△FGB 中，⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝FG ∠DFE ＝∠GFB EF ＝FB，∴△FDE ≌△FGB (SAS)，∴∠DEF ＝∠GBF ，DE ＝GB ，∴BG ∥DE ，如解图，延长DE 交BC 于点M ，∵DE ∥BG ，∴∠CBG ＝∠DMB ，∵∠ADE ＝∠ACB ＝90°，∴∠DAC ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMB ＝∠DAC ＝∠CBG ，在△CAD 和△CBG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BG ∠DAC ＝∠GBC AC ＝BC，∴△CAD ≌△CBG (SAS)，∴CD ＝CG ，∠DCA ＝∠GCB ，∴∠DCG ＝∠BCG ＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACB ＝90°，∵DF ＝GF ，∴DF ＝CF ，DF ⊥CF .第6题解图7. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上(与点CD不重合)，连接AE，平移△ADE使点D移动到点C得到△BCF，过点F作FG⊥BD 于点G，连接AG，EG.第7题图(1)如图①，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系和位置关系；(2)如图②，若点E在线段CD的延长线上其余条件不变时，猜想(1)中的结论是否仍然成立，请你给出证明；(3)若点E 在线段DC 的延长线上且∠AGF ＝120°，正方形ABCD 的边长为2，直接写出DE 的长度．(1)解：AG ＝EG ，AG ⊥EG ，理由如下：由平移得EF ＝CD ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，∵FG ⊥BD ，∴∠DGF ＝90°，∴∠GFD ＋∠CDB ＝90°，∴∠DFG ＝45°，∴GD ＝GF ，在△AGD 和△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝EF ∠ADG ＝∠EFG DG ＝FG，∴△AGD ≌△EGF (SAS)，∴AG ＝EG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴∠AGE ＝∠AGD ＋∠DGE ＝∠EGF ＋∠DGE ＝90°，∴AG ⊥EG ；(2)解：(1)中结论仍然成立．证明：由平移得EF ＝CD ＝AD ，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，∵FG ⊥BD ，∴∠DGF ＝90°，∴∠GFD ＋∠CDB ＝90°，∴∠DFG ＝45°，∴GD ＝GF ，在△AGD 和△EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝EF ∠ADG ＝∠EFG DG ＝FG，∴△AGD ≌△EGF (SAS)，∴AG ＝EG ，∠AGD ＝∠EGF ，∴∠AGE＝∠AGD－∠DGE＝∠EGF－∠DGE＝90°，∴AG⊥EG；(3)DE＝2 3.【解法提示】同(1)可得，AG＝EG，AG⊥EG，∴∠GEA＝45°，∵∠AGF＝120°，∴∠AGB＝∠EGF＝30°，又∵∠GFD＝45°，∴∠CEG＝∠EFG＋∠EGF＝75°，∴∠AED＝∠CEG－∠GEA＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2，∴DE＝2 3.第7题解图8.在矩形ABCD中，已知AD＞AB.在边AD上取点E，使AE＝AB，连接CE，过点E作EF⊥CE，与直线AB交于点F.猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为________；探究：如图②，当点F 在边AB 的延长线上时，EF 与边BC 交于点G .判断线段AF 与DE 的大小关系，并加以证明；应用：如图②，若AB ＝2，AD ＝5，利用探究得到的结论，求线段BG 的长．第8题图解：猜想：AF ＝DE ；【解法提示】∵∠CEF ＝90°，∴∠AEF ＋∠CED ＝90°，∵∠AFE ＋∠AEF ＝90°，∴∠AFE ＝∠CED ，∠AEF ＝∠DCE ，∵AE ＝AB ，AB ＝CD ，∴AE ＝CD ，∴在△AEF和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEF ＝∠DCE ∠AFE ＝∠EDC AE ＝CD，∴△AEF ≌△DCE ，∴AF ＝DE ；探究：AF ＝DE ，证明：∵∠A ＝∠FEC ＝∠D ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE ，在△AEF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D AE ＝CD∠AEF ＝∠DCE， ∴△AEF ≌△DCE (ASA)，∴AF ＝DE .应用：∵△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD ＝AB ＝2，AF ＝DE ＝3，FB ＝F A －AB ＝1，∵BG ∥AD ，∴BG AE ＝FB F A ，∴BG 2＝13，∴BG ＝23.9 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点(点D 不与点B 、C 重合)，以AD 为边作等边△ADE (顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列)，连接CE .(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE＋CD；第9题图(2)如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE ＋CD是否成立？若不成立请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系并说明理由；(3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．(1)证明：①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS)，∴BD ＝CE ；②∵BC ＝BD ＋CD ，AC ＝BC ，BD ＝CE ， ∴AC ＝CE ＋CD ；(2)解：AC ＝CE ＋CD 不成立，AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是AC ＝CE －CD . 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°， ∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS)，∴BD ＝CE ，∵BC ＝BD －CD ，∴BC ＝CE －CD ，∵AC ＝BC ，∴AC ＝CE －CD ；(3)解：AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是AC ＝CD －CE .【解法提示】∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∵∠DAE ＝∠BAC ＝60°，∴∠DAB ＝∠EAC ，∴在△ADB 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ∠DAB ＝∠EAC AB ＝AC，∴△ADB ≌△AEC ，∵BD ＝CE ，∵CD ＝BD ＋BC ，∴BC ＝CD －CE ，∴AC ＝CD －CE .10. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点(点D 不与B 、C 重合)，以AD 为边作∠DAF ＝60°，在射线AF 上截取点F ，使AF ＝AD ，过点D 作DE ∥AF ，过点F 作EF ∥AD ，DE 、EF 交于点E ，连接CF ，(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CF；②AC＝CF＋CD；(2)如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．第10题图(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠DAF＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAF－∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD 和△CAF 中⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAF AD ＝AF，∴△BAD ≌△CAF (SAS)，∴CF ＝BD ，∴CF ＋CD ＝BD ＋CD ＝BC ＝AC ，即①BD ＝CF ，②AC ＝CF ＋CD ；(2)解：AC ＝CF ＋CD 不成立，AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC ＝CF －CD ，理由是：由(1)知：AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝60°， ∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAF ＋∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD ＝∠CAF AD ＝AF，∴△BAD ≌△CAF (SAS)，∴BD ＝CF ，∴CF －CD ＝BD －CD ＝BC ＝AC ，即AC ＝CF －CD ；(3)解：AC ＝CD －CF .【解法提示】理由是：∵∠BAC ＝∠DAF ＝60°， ∴∠DAB ＝∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC∠DAB ＝∠F AC AD ＝AF，∴△BAD ≌△CAF (SAS)，∴CF ＝BD ，∴CD －CF ＝CD －BD ＝BC ＝AC ，即AC ＝CD －CF .。
2020年最新中考一轮复习数学诊断测试卷解析版 (4)
2020年中考一轮复习诊断性测试卷数学测试卷（解析版）一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点.若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A．向左平移1个单位，在向下平移1个单位B．向左平移1个单位，在向上平移1个单位C．向右平移个单位，在向上平移1个单位D．向右平移1个单位，在向上平移1个单位答案：D解析：D【解析】试题分析：因为B（1,1），由勾股定理可得OB=，所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.考点：勾股定理，菱形的判定，平移的性质，坐标与图形变化-平移2．下列运算中，正确的是（）A．（a3）2=a5B．（﹣x）2÷x=﹣xC．a3（﹣a）2=﹣a5D．（﹣2x2）3=﹣8x6答案：D解析：D【解析】【分析】根据同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可．【详解】∵（a3）2=a6，∴选项A不符合题意；∵（-x）2÷x=x，∴选项B不符合题意；∵a3（-a）2=a5，∴选项C不符合题意；∵（-2x2）3=-8x6，∴选项D符合题意．故选D．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法、乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及单项式乘单项式的方法，要熟练掌握．3．计算(﹣2a2)3正确的是()A．8a5B．﹣6a6C．﹣8a5D．﹣8a6答案：D解析：D【解析】【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．【详解】(﹣2a2)3＝﹣8a6，故选D．【点睛】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则．4．计算a2•（a2）3的结果是（）A．a7B．a10C．a8D．a12答案：C解析：C【解析】【分析】根据幂的乘方的运算方法，以及同底数幂的乘法的运算方法，求出算式的值是多少即可．【详解】a 2•（a 2）3=a 2•a 6=a 8．故选C ．【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（a m ）n =a mn （m ，n 是正整数）；②m n m n a a a +⋅= （m ，n 是正整数）．5．左下图是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是A ．B ．C ．D ．答案：A解析：A【解析】试题分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．从上面看易得：第一层最左边有1个正方形，第二层有3个正方形．故选：A ．考点：简单组合体的三视图．6．对于实数a ，b 下列判断正确的是（ ）A ．若a b =，则 a b =B ．若22a b >，则 a b >C b =，则a b =D =a b =答案：D解析：D【解析】【分析】根据二次根式的性质、绝对值以及平方运算，即可解答.【详解】解：A 也可能是a=-b ，故A 错误；B ，22a b >只能说明|a|＞b ，故B 错误；C ，a ，b 也可能互为相反数；D ，都表示算术平方根，故D 正确；【点睛】本题根据二次根式的性质、绝对值以及平方运算，解题的关键是对概念、定义的灵活应用以及具有严密的思维.7．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M 2），那么cosα的值是（ ）A B ．23 CD 答案：D解析：D【解析】【分析】如图，作MH ⊥x 轴于H ．利用勾股定理求出OM ，即可解决问题．【详解】解：如图，作MH ⊥x 轴于H ．∵M 2），∴OH MH ＝2，∴OM ＝3，∴cosα＝OH OM =，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．下列几何体中，主视图相同的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④答案：B解析：B【解析】试题分析：分别找出四个几何体从正面看所得到的视图即可．①此几何体的主视图是矩形；②此几何体的主视图是等腰三角形；③此几何体的主视图是矩形；④此几何体的主视图是圆形；主视图相同的是①③考点：简单几何体的三视图．9．函数y+13x-中自变量x的取值范围是（）A．x≤3B．x＜3C．x≠3D．x＞3答案：B解析：B【解析】【分析】根据被开方数是非负数、分母不等为零，可得答案．【详解】解：由题意，得3﹣x≥0且x﹣3≠0，解得x＜3．故选：B．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．10．若数m使关于x的不等式组313222xm x+⎧-≤⎪⎨⎪-≤-⎩有解且至多有3个整数解，且使关于y的分式方程3212422y my y-=+--的解满足-3≤y≤4，则满足条件的所有整数m的个数是（）A．6B．5C．4D．3答案：C解析：C【点拨】根据不等式组求出a的范围，然后再根据分式方程求出m的范围，从而确定的m的可能值.【详解】解：由不等式组可知：x≤5且x≥22m+，∵有解且至多有3个整数解，∴2＜22m+≤5，∴2＜m≤8由分式方程可知：y=m-3，将y=m-3代入y-2≠0，∴m≠5，∵-3≤y≤4，∴-3≤m-3≤4，∵m是整数，∴0≤m≤7，综上，2＜m≤7，∴所有满足条件的整数m有：3、4、6、7，4个，故选：C．【小结】考查学生的计算能力以及推理能，解题的关键是根据不等式组以及分式方程求出m的范围．二、填空题11．当x=a或x=b（a≠b）时，代数式x2－4x+2的值相等，则当x=a+b时，代数式x2－4x+2的值为________．解析：2。
2020年中考数学一轮专项提升卷——几何综合问题探究(含答案)
2020年中考数学一轮专项提升卷——几何综合问题探究1．(2019·海口)如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AB ＝6，∠B ＝60°，则AF 的长为( )A ．3B ．3.5C ．33D ．42．(2019·天津)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是AB 的中点，点D ，E 是AC ，BC 边上的动点，且AD ＝CE ，连接DE .有下列结论：①∠DPE ＝90°；②四边形PDCE 面积为1；③点C 到DE 距离的最大值为22.其中，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．(原创题)如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF ，CF ，则下列结论中一定成立的是( )①∠DCF ＝12∠BCD ；②EF ＝CF ；③∠DFE ＝3∠AEF ；④S △BEC ＝2S △CEF .A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④4．(2019·广西防城港)如图，AB 为⊙O 的直径，BC ，CD 是⊙O 的切线，切点分别为点B ，D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB ＝25，BC ＝2，当CE ＋DE 的值最小时，则CEDE的值为( )A ．910B ．23C ．53D ．2555．(原创题)如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝8 cm ，则HE ＝____cm.6．(2019·丹阳市一模)如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在BC 上，且BD ＝BA ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连接EF .若四边形DCFE 和△BDE 的面积都为3，则△ABC 的面积为____.7．(2019·山西模拟)如图，平行四边形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ．AF 与DE 交于点G ，则AG 的长为____.8．(2019·襄阳)如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，∠BAC ＝∠DEC ＝30°，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若BD ＝1，AD ＝5，则CF EF ＝____.9．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在CB 上，且PC ＝PE ，过E 作EF 垂直于BC 交DP 延长线于F ，且PF ＝PD ．(1)如图1，当点E 在CB 边上时，求证：PE ＝22CE ； (2)如图2，当点E 在CB 的延长线上时，线段PE ，CE 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．10．(改编题)已知，如图1，矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，矩形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF .(1)如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求AE 的长和△FCG 的面积；(2)如图2，设AE ＝x ，△FCG 的面积＝S 1，求S 1与x 之间的函数关系式与S 1的最大值； (3)在(2)的条件下，如果矩形EFGH 的顶点F 始终在矩形ABCD 内部，连接BF ，记△BEF 的面积为S 2，△BCF 的面积为S 3，试说明6S 1＋3S 2－2S 3是常数．11．(2019·广州)如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC 上一动点(不与点C重合)，△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.(1)当点F在AC上时，求证：DF∥AB；(2)设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1－S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；(3)当B，F，E三点共线时，求AE的长．12．(2019·定远县一模)已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，过点E作EF∥BC交直线AB于点F，连接CF.(1)如图1，点D在BC上，AB与DE交于点G，连接BE.①求证：CF＝ED；②求证：GECF＝CDBC；(2)如图2，点D在BC的延长线上，若四边形CDEF是矩形，AC＝6，BC＝4，求AE的长．参考答案1．(2019·海口一模)如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AB ＝6，∠B ＝60°，则AF 的长为( D )A ．3B ．3.5C ．33D ．42．(2019·天津模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是AB 的中点，点D ，E 是AC ，BC 边上的动点，且AD ＝CE ，连接DE .有下列结论：①∠DPE ＝90°；②四边形PDCE 面积为1；③点C 到DE 距离的最大值为22.其中，正确的个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．33．(原创题)如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF ，CF ，则下列结论中一定成立的是( A )①∠DCF ＝12∠BCD ；②EF ＝CF ；③∠DFE ＝3∠AEF ；④S △BEC ＝2S △CEF .A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④4．(2019·广西防城港)如图，AB 为⊙O 的直径，BC ，CD 是⊙O 的切线，切点分别为点B ，D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB ＝25，BC ＝2，当CE ＋DE 的值最小时，则CEDE的值为( A )A ．910B ．23C ．53D ．2555．(原创题)如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝8 cm ，则HE ＝__8__cm.6．(2019·丹阳市一模)如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在BC 上，且BD ＝BA ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连接EF .若四边形DCFE 和△BDE 的面积都为3，则△ABC 的面积为__10__.7．(2019·山西模拟)如图，平行四边形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ．AF 与DE 交于点G ，则AG 的长为__34__.8．(2019·襄阳)如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，∠BAC ＝∠DEC ＝30°，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若BD ＝1，AD ＝5，则CF EF＝39．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在CB 上，且PC ＝PE ，过E 作EF 垂直于BC 交DP 延长线于F ，且PF ＝PD ．(1)如图1，当点E 在CB 边上时，求证：PE ＝22CE ； (2)如图2，当点E 在CB 的延长线上时，线段PE ，CE 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．解：(1)延长EP 交DC 于点G ，如图(1)所示：∵∠FEC ＝∠DCE ＝90°，∴EF ∥CD ，∴∠PFE ＝∠PDG ，又∵∠EPF ＝∠GPD ，PF ＝PD ，∴在△PEF 和△PGD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PFE ＝∠PDG ，PF ＝PD ，∠EPF ＝∠GPD ，∴△PEF ≌△PGD (ASA)， ∴PE ＝PG ，EF ＝GD ，∵BE ＝EF ，∴BE ＝GD ，∵CD ＝CB ，∴CG ＝CE ，∴△CGE 是等腰直角三角形，∴CP ⊥GE ，CP ＝12EG ＝PE ，∴△CPE 是等腰直角三角形，∴PE ＝22CE ；(2)PE ＝22CE ，理由如下：如图(2)所示：延长EP 交CD 的延长线于点G ，∵∠FEB ＋∠DCB ＝180°，∴EF ∥CD ，∴∠PEF ＝∠PGD ，又∵∠EPF ＝∠GPD ，PF ＝PD ，∴在△PEF 和△PGD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PFE ＝∠PDG ，PF ＝PD ，∠EPF ＝∠GPD ，∴△PEF ≌△PGD (ASA)，∴PE ＝PG ，EF ＝GD ，∵BE ＝EF ，∴BE ＝GD ．∵CD ＝CB ，∴CG ＝CE ，∴△CGE 是等腰直角三角形，∴CP ⊥GE ，CP ＝12EG ＝PE ，∴△CPE 是等腰直角三角形．∴PE ＝22CE .10．(改编题)已知，如图1，矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，矩形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF .(1)如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求AE 的长和△FCG 的面积；(2)如图2，设AE ＝x ，△FCG 的面积＝S 1，求S 1与x 之间的函数关系式与S 1的最大值； (3)在(2)的条件下，如果矩形EFGH 的顶点F 始终在矩形ABCD 内部，连接BF ，记△BEF 的面积为S 2，△BCF 的面积为S 3，试说明6S 1＋3S 2－2S 3是常数．解：(1)过点F 作FM ⊥CD 于M .∵四边形EFGH 为正方形，四边形ABCD 是矩形，∴HE ＝GH ＝FG ，∠EHG ＝∠HGF ＝90°，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AEH ＝∠DHG ＝90°－∠AHE ，∠DHG ＝∠MGF ＝90°－∠HGD ，∴∠AEH ＝∠DHG ＝∠MGF .在△AEH ，△DHG 与△MGF 中，∠A ＝∠D ＝∠GMF ＝90°，∠AEH ＝∠DHG ＝∠MGF ，HE ＝GH ＝FG ，∴△AEH ≌△DHG ≌△MGF (AAS)，∴AE ＝DH ＝6－2＝4，DG ＝AH ＝FM ＝2，∴△FCG 的面积＝12CG ·FM ＝12×6×2＝6；(2)过点F 作FM ⊥CD于M .在△AEH 与△DHG 中，∵∠A ＝∠D ＝90°，∠AEH ＝∠DHG ＝90°－∠AHE ，∴△AEH ∽△DHG ，∴DG AH ＝DH AE ，即DG 2＝4x ，∴DG ＝8x ，∴CG ＝DC －DG ＝8－8x，∵FM ＝2，∴△FCG 的面积＝S 1＝12·CG ·FM ＝12⎝⎛⎭⎫8－8x ×2＝8－8x，∵0＜x ≤8，∴当x ＝8时，S 1的最大值为7； (3)由(2)可得S 1＝12⎝⎛⎭⎫8－8x ×2＝8－8x .过点F 作FN ⊥AB 于N ，易证△NFE ≌△DHG ，∴FN ＝HD ＝4，EN ＝GD ＝8x ，∵BE ＝AB －AE ＝8－x ，∴S 2＝12·BE ·FN ＝12(8－x )×4＝16－2x ；过点F作FP ⊥BC 于P ，则四边形FNBP 是矩形，∴FP ＝BN ＝AB －AE －EN ＝8－x －8x ，∴S 3＝12·FP ·BC＝12⎝⎛⎭⎫8－x －8x ×6＝24－3x －24x ，∴6S 1＋3S 2－2S 3＝6⎝⎛⎭⎫8－8x ＋3(16－2x )－2⎝⎛⎭⎫24－3x －24x ＝48－48x ＋48－6x －48＋6x ＋48x＝48. 11．(2019·广州)如图，等边△ABC 中，AB ＝6，点D 在BC 上，BD ＝4，点E 为边AC 上一动点(不与点C 重合)，△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE .(1)当点F 在AC 上时，求证：DF ∥AB ；(2)设△ACD 的面积为S 1，△ABF 的面积为S 2，记S ＝S 1－S 2，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；(3)当B ，F ，E 三点共线时，求AE 的长．解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，由折叠可知：DF ＝DC ，且点F 在AC 上，∴∠DFE ＝∠C ＝60°，∴∠DFC ＝∠A ，∴DF ∥AB ；(2)存在，如图①，过点D 作DM ⊥AB 交AB 于点M ，∵AB ＝BC ＝6，BD ＝4，∴CD ＝2，∴DF ＝2，∴点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上，∴当点F 在DM 上时，S △ABF 最小．∵BD ＝4，DM ⊥AB ，∠ABC ＝60°，∴MD ＝23，∴S △ABF 的最小值＝12×6×(23－2)＝63－6，∴S 最大值＝12×2×33－(63－6)＝－33＋6； (3)如图②，过点D 作DG ⊥EF 于点G ，过点E 作EH ⊥CD 于点H .∵△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE ，∴DF ＝DC ＝2，∠EFD ＝∠C ＝60°，∵GD ⊥EF ，∠EFD ＝60°，∴FG ＝1，DG ＝3FG ＝ 3.∵BD 2＝BG 2＋DG 2，∴16＝3＋(BF ＋1)2，∴BF ＝13－1，∴BG ＝13，∵EH ⊥BC ，∠C ＝60°，∴CH ＝EC 2，EH ＝3HC ＝32EC ，∵∠GBD ＝∠EBH ，∠BGD ＝∠BHE ＝90°，∴△BGD ∽△BHE ，∴DG BG ＝EH BH ，∴313＝32EC 6－EC 2，∴EC ＝13－1，∴AE ＝AC －EC ＝7－13.12．(2019·定远县一模)已知在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，过点E 作EF ∥BC 交直线AB 于点F ，连接CF .(1)如图1，点D 在BC 上，AB 与DE 交于点G ，连接BE . ①求证：CF ＝ED ；②求证：GE CF ＝CDBC； (2)如图2，点D 在BC 的延长线上，若四边形CDEF 是矩形，AC ＝6，BC ＝4，求AE 的长．(1)①证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠DAC ＝∠EAB ，在△ACD 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠DAC ＝∠EAB ，AD ＝AE ，∴△ACD ≌△ABE ，∴CD ＝BE ，∠ACD ＝∠ABE ，∵EF ∥BC ，∴∠ABC ＝∠EFB ，∴∠ABE ＝∠EFB ，∴EB ＝EF ，∴EF ＝CD ，∵EF ∥BC ，∴四边形EDCF 是平行四边形，∴CF ＝DE ；②证明：∵四边形DCFE 是平行四边形，∴∠FED ＝∠BCF ，∵∠EFG ＝∠CBF ，∴△EFG ∽△CBF ，∴GE CF ＝EFBC ，∵EF＝CD ，∴GE CF ＝CDBC；(2)解：∵四边形CDEF 为矩形， ∴∠BCF ＝90°.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠ACF ＝∠AFC ，∴AF ＝AC ＝6，BF ＝6＋6＝12，∴CF ＝BF 2－BC 2＝122－42＝8 2.∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB AD ＝ACAE .∵∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AC AE ＝BC DE ，∴6AE ＝482，解得AE ＝12 2.。
中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二 平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ， 此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一 动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大， 而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ， 由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538， 因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ， 在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ， 在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ， 又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2， 解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去． 综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2， 解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3， 则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二 平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ， 在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ， 在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10， 又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3， 由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82， 解得x ＝10， 故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ， 在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ， 在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ， 由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ， 同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形， 又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013， 解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5， 解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2， 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47， 设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43， 解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ， 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12， 即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12， 又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)， 当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°， 在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ， 设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ， 又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三 图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ， 在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下： 由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°， 即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下： 如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ， 又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2， 由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ， 又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6， 解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF， 由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)， 解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°， 过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ， 类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。
2020年中考数学 三轮题型专练：几何探究题专项练习(含答案)
2020中考数学 三轮题型专练：几何探究题专项练习（含答案）1. 如图①，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝α，过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD . (1)求证：AC ＝AD ；(2)点G 为线段CD 延长线上一点，将GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E . ①如图②，若α＝β，AH ⊥BC 于点H ，求证：△DEG ∽△AHB ； ②如图③，若β＝2α，DG ＝kAD ，求S △DEGS △BCD的值．(用含k 的代数式表示) 第1题图(1)证明：如解图①，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2.∵AD ∥BC ，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，∴AB ＝AD . ∵AB ＝AC ，∴AC ＝AD .第1题解图①(2)①证明：由题意可得：∠AHB ＝90°.∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝α.∴∠BAC ＝180°－2α. 由(1)得AB ＝AC ＝AD .∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∴∠BDC ＝12∠BAC ＝90°－α，∴∠GDE ＝∠BDC ＝90°－α， ∵∠G ＝β＝α＝∠ABH ， ∴∠G ＋∠GDE ＝90°. ∴∠DEG ＝∠AHB ＝90°， ∴△DEG ∽△AHB ；②解：如解图②，过A 作AH ⊥BC 于点H ，作∠DGE 的平分线GF ，交DE 于F ， 由①知∠GDE ＝90°－α， ∵∠DGE ＝β＝2α，∴∠DGF＝α，∴∠ABC＝∠DGF＝α，∠DFG＝180°－∠GDF－∠DGF＝90°，∴△DFG∽△AHB.又∵GF为∠DGE的平分线，∴GF为DE的中垂线，∵AB＝AD，GD＝kAD，∴S△DFGS△AHB＝GD2AB2＝GD2AD2＝k2，又∵S△ABC＝S△BCD，S△ABC＝2S△AHB，S△DEG＝2S△DFG，∴S△DEGS△BCD＝k2.第1题解图②2.已知∠ABC＝90°，点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F.(1)如图①，若AB＝23，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长；(2)如图②，当点A、E、P不在一条直线上时，猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段)，并加以证明；(3)若AB＝23，设BP＝x，以QF为边的等边三角形的面积y，说明等边三角形的面积y随x的变化情况．第2题图解：(1)∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝∠ABE＝60°.∵∠ABC＝90°，∴∠EBP＝∠EPB＝30°，∴BE＝EP＝AE＝23，∴点E为AP的中点，∴∠FEP＝90°，∴在Rt△FEP中，EF＝EP·tan30°＝2，∴EF＝2；(2)EF＝BF，理由如下：∵∠BAP＝∠BAE－∠EAP＝60°－∠EAP，∠EAQ＝∠QAP－∠EAP＝60°－∠EAP，∴∠BAP＝∠EAQ，在△ABP和△AEQ中，AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ，AP ＝AQ ， ∴△ABP ≌△AEQ (SAS)． ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°.∴∠BEF ＝180°－∠AEQ －∠AEB ＝180°－90°－60°＝30°. 又∵∠EBF ＝90°－60°＝30°， ∴∠BEF ＝∠EBF ， ∴EF ＝BF ；(3)如解图，过点F 作FD ⊥BE 于点D . ∵△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝2 3.由(2)得∠EBF ＝30°， 在Rt △BDF 中，BD ＝ 3.∴BF ＝BDcos30°＝2.∴EF ＝BF ＝2. ∵△ABP ≌△AEQ ， ∴QE ＝BP ＝x .∴QF ＝QE ＋EF ＝x ＋2.∴以QF 为边的等边三角形的面积y ＝12(x ＋2)·32(x ＋2) ＝34(x ＋2)2 ＝34x 2＋3x ＋ 3. ∵BP ＝x ，x >0，∴y 随x 的增大而增大．第2题解图3. 在△ABC 中，∠BAC 为锐角，AB >AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D .(1)如图①，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系； (2)如图②，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F ，连接CE ，BE ，若∠ABE ＝60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系，并加以证明；(3)如图③，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F .若AC ＋AB ＝3AE ，求∠BAC 的度数．第3题图解：(1)AB ＝AC ＋CD .【解法提示】过D 作DE ⊥AB 交AB 于点E ，如解图①所示， ∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ， ∴CD ＝DE ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED (HL)， ∴AC ＝AE ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，即△BDE 为等腰直角三角形， ∴CD ＝DE ＝EB ，则AB ＝AE ＋EB ＝AC ＋CD ；第3题解图①(2)AB ＝AC ＋CE ；证明：在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，如解图②所示， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BAE ， 在△ACE 和△AHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AH ∠CAE ＝∠BAE AE ＝AE， ∴△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ，∴BE ＝HE ， 又∵∠ABE ＝60°，∴△EHB 是等边三角形， ∴BE ＝HE ＝HB ，∴AB ＝AH ＋HB ＝AC ＋CE ；第3题解图②(3)在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，作EM ⊥AB 于点M ，如解图③所示，同理可得△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ， ∴HE ＝BE ，∴△EHB 是等腰三角形， ∴HM ＝BM ，∴AC ＋AB ＝AH ＋AB ＝AM －HM ＋AM ＋MB ＝2AM ， ∵AC ＋AB ＝3AE ， ∴AM ＝32AE ， 在Rt △AEM 中，cos ∠EAM ＝AM AE ＝32， ∴∠EAB ＝30°，∴∠BAC ＝2∠EAB ＝60°.第3题解图③4. 4. 在△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，延长AB 至点D ，使BD ＝BC ，E 是直线BC 上一点，F 是直线AC 上一点，连接DE 、EF ，且∠DEF ＝∠DBC . (1)如图①，若∠D ＝∠EFC ＝15°，AB ＝3，求AC 的长；(2)如图②，当∠BAC ＝45°，点E 在线段BC 的延长线上，点F 在线段AC 的延长线上时，求证：EF ＝DE ；(3)如图③，当∠BAC ＝90°，点E 在线段CB 的延长线上，点F 在线段CA 的延长线上时，求CF BE的值．第4题图(1)解：在△BDE 中，∠D ＋∠DBE ＋∠BED ＝180°，∵∠BED ＋∠DEF ＋∠FEC ＝180°，∠DEF ＝∠DBC ，∠D ＝∠F ＝15°， ∴∠D ＝∠FEC ＝∠F ＝15°， ∴∠ACB ＝∠F ＋∠CEF ＝30°，∴∠ABC ＝2∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝90°， 在Rt △ABC 中，AB ＝3，∠ACB ＝30°，∴AC ＝BC 2－AB 2＝（23）2－（3）2＝3；(2)证明：如解图①，连接CD ，作EM ⊥EB 交AF 于点M ，记AF 交DE 于点O . ∵∠BAC ＝45°，∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ABC ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ＝∠EMC ＝45°， ∴EM ＝EC ， ∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝45°， ∴∠DCE ＝∠EMF ＝135°，∵∠DEF ＝∠DBC ＝90°，∠FCD ＝∠DCA ＝90°， ∴∠OEF ＝∠OCD ， ∵∠EOF ＝∠COD ，∴∠OFE ＝∠ODC ，即∠EFM ＝∠EDC ， 在△EMF 和△ECD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠EDC ∠EMF ＝∠DCE ，EM ＝EC∴△EMF ≌△ECD (AAS)， ∴EF ＝DE ；第4题解图①(3)解：如解图②中，连接CD 、DF ，作NE ⊥CE 交AD 的延长线于点N ，在线段CE 上取一点M ，使得FM ＝FE .∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°， ∵DB ＝BC ，∴∠DBC ＝120°，∠BDC ＝∠BCD ＝30°，∴∠DBC ＝∠DEF ＝120°，∠DCA ＝∠DCB ＋∠ACB ＝60°， ∴∠DEF ＋∠DCF ＝180°， ∴E 、F 、C 、D 四点共圆， ∵∠DCE ＝∠ECF ，∴DE ︵＝EF ︵，∴DE ＝EF ＝FM ，∵∠NEB ＝90°，∠NBE ＝∠ABC ＝60°， ∴∠N ＝∠ACM ＝30°，∵∠DBC ＝∠BDE ＋∠DEB ＝120°，∠DEF ＝∠DEB ＋∠FEM ＝∠DEB ＋∠FME ＝120°，∴∠NDE ＝∠FMC ， 在△EDN 和△FMC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠FCM ∠NDE ＝∠FMC DE ＝FM， ∴△EDN ≌△FMC (AAS)， ∴NE ＝CF ，在Rt △NEB 中， ∵∠NEB ＝90°，∠N ＝30°， ∴NE ＝3BE ， ∴CF ＝3BE . ∴CF BE＝ 3.第4题解图②5. 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在直线CD 上(不与点C 、D 重合)，连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于H ，连接AH ，PH .(1)如图①，若点P 在线段CD 上，求证：AH ＝PH ； (2)如图②，若点P 在线段CD 的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；(3)若点P 在线段DC 的延长线上，且∠AHQ ＝120°，正方形ABCD 的边长为2，求线段DP 的长．第5题图(1)证明：如解图①，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， 又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDP ＝∠HQC ＝45°，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC DP ＝QC，∴△HDP ≌△HQC (SAS)，∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图①(2)解：(1)中的结论仍然成立； 证明：如解图②，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°， 又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDC ＝∠HQD ＝45°， ∴∠HDP ＝∠HQC ＝135°， 由平移的性质可知DP ＝CQ ， 在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC ，PD ＝CQ∴△HDP ≌△HQC (SAS)， ∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图②(3)解：如解图③，由(1)知，AH ＝PH ，∵∠AHD ＝∠CHD ，第5题解图③∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°.∴∠HPA＝45°，∵∠AHQ＝120°，∴∠AHD＝∠CHD＝30°，∴∠QHP＝∠CHD＝∠CHP＝30°，∵∠HCP＝∠HDC＋∠CHD＝45°＋30°＝75°，∴∠CPH＝180°－∠HCP－∠CHP＝180°－75°－30°＝75°，∴∠APD＝30°，在Rt△ADP中，AD＝2，∴DP＝2 3.6.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N.(1)图中相似三角形共有________对；(2)证明：AM2＝MN·MP；(3)若AD＝6，DC∶CP＝2∶1.求BN的长．第6题图(1)解：6.【解法提示】有△AMB∽△PMD，△ADM∽△NBM，△ABN∽△PCN∽△PDA，△ABD∽△CDB，∴共6对相似三角形．(2)证明：∵AD∥BC，∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，∴△ADM∽△NBM，∴AMMN＝DMBM；∵AB∥DC，∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，∴△PDM∽△ABM，∴PM AM ＝DM BM ， ∴AM MN ＝PM AM，∴AM 2＝MN ·MP ； (3)解：∵AD ∥BC ，∴∠PCN ＝∠PDA ，又∵∠P ＝∠P ， ∴△PCN ∽△PDA ， ∴PC PD ＝NC AD， ∵DC ∶CP ＝2∶1，∴PC PD ＝NC AD ＝13. 又∵AD ＝6， ∴NC ＝2，∴BN ＝BC －CN ＝6－2＝4.7. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点，过AC 上一点D 作DE ∥AB ，交BF 的延长线于点E ，AG ⊥BE ，垂足为点G ，连接BD 、AE . (1)求证：△ABC ∽△BGA;(2)若AF ＝5，AB ＝8，求FG 的长；(3)当AB ＝BC ，∠DBC ＝30°时，求DE BD的值．第7题图(1)证明：∵∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点， ∴BF ＝12AC ＝AF,∴∠FAB ＝∠FBA,∵AG ⊥BE, ∴∠AGB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠AGB ， ∴△ABC ∽△BGA ； (2)解：∵AF ＝5,∴AC ＝2AF ＝10，BF ＝5， ∵△ABC ∽△BGA ， ∴AB AC ＝BG AB，∴BG ＝AB 2AC ＝8210＝325，∴FG ＝BG －BF ＝325－5＝75； (3)解：如解图，延长ED 交BC 于点H ，则DH ⊥BC,∴∠DHC ＝90°，∵AB ＝BC ，F 为AC 的中点，∴∠C ＝45°，∠CBF ＝45°，∴△DHC 、△BEH 是等腰直角三角形，∴DH ＝HC ，EH ＝BH ，设DH ＝HC ＝a ，∵∠DBC ＝30°，∴BD ＝2a ，BH ＝3a ，∴EH ＝3a ，∴DE ＝(3－1)a,∴DEBD ＝3－12. 第7题解图8. 如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E (点E 不与A 、B 重合)，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”.(1)如图①，若∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝40°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直角顶点C 在直线DE 上，分别过点A ，B 作AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E . 求证：△ADC ∽△CEB .(3)如图③，AD ∥BC ，DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD 交DP 于点P ，过点P 作AB ⊥AD 于点A ，交BC 于点B . 求证：点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点．第8题图(1)解：点E 是四边形ABCD 边AB 上的相似点.理由如下：∵∠DEC ＝40°，∴∠DEA ＋∠CEB ＝140°，∵∠A ＝∠B ＝40°，∴∠ADE ＋∠AED ＝140°，∴∠ADE ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△BEC ，∴E 点是四边形ABCD 的边AB 上的相似点；(2)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°，∴∠BCE ＝∠CAD ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(3)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠BCD ＝180°，∵DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD ，∴∠CDP ＋∠DCP ＝12(∠ADC ＋∠BCD )＝90°， ∵DA ⊥AB ，∴CB ⊥AB ，∴∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°，∵∠ADP ＝∠CDP ，∴△ADP ∽△PDC ，同理△BPC ∽△PDC ， ∴△ADP ∽△PDC ∽△BPC ，即点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点．9. 在△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，点D 、E 分别在AB 、AC 上． (1)如图①，若AD ＝c ，△ADE 与△ABC 相似，求AE 的长；(2)如图②，若DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转α，得到△AMN ，连接BM 、CN ，求证：△ABM ∽△ACN ；(3)在(2)的图形中，若△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，AB ＝2，DE 是△ABC 的中位线，如图③，请直接写出BMCN的值． 第9题图(1)解：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴分两种情况：①若∠ADE ＝∠ABC ，则△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ，∴ AE ＝AC ·AD AB ＝bc a； ②若∠ADE ＝∠ACB ，则△ADE ∽△ACB ，∴AD AC ＝AE AB ，∴AE ＝AB ·AD AC ＝ac b； (2)证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AE AC ， ∵△AMN 是由△ADE 旋转得到的，∴AM ＝AD ，AN ＝AE ，∴AM AB ＝AN AC ，∵∠BAM ＝∠CAN ＝α，∴△ABM ∽△ACN ；(3)解：BM CN ＝233. 【解法提示】在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，∴BC ＝1，AC ＝3，由(2)知△ABM ∽△ACN ，∴BM CN ＝ABAC ＝23＝233.10. 如图①，P 是△ABC 的边BC 上的任意一点，M 、N 分别在AB 和AC 边上，且PM ＝PB ，PN＝PC ，则△PBM 和△PCN 叫做“孪生等腰三角形”．(1)如图②，若△ABC 是等边三角形，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明△PMC ≌△PBN ；(2)如图③，若△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明：BN ＝CM ；(3)如图④，若(2)中P 点在CB 的延长线上，其他条件不变，是否依然有BN ＝CM ，若是，请证明，若不是，请说明理由．第10题图(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴△PBM 和△PCN 是等边三角形，∴∠BPM ＝∠NPC ＝60°，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠NPC ＋∠MPN ，即∠BPN ＝∠MPC .在△PMC 和△PBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)；(2)证明：如题图③，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴∠PBM ＝∠PMB ，∠PCN ＝∠PNC ，∴∠BPM ＝∠CPN ，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠CPN ＋∠MPN ，∴∠BPN ＝∠MPC ，在△PMC 和△PBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)，∴BN ＝CM ；(3)解：是．证明：如题图④，由(2)易知∠ACB ＝∠PNC ＝∠ABC ＝∠PBM ＝∠PMB ， ∴∠MPB ＝∠NPC ，在△PMC 和△PBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝ ∠BPN ， PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)，∴BN ＝CM .。
2020中考数学重难点题型——12道几何探究题解析 (扫描版)
一、方程类
易错1：方程思想概念不清晰！
易错2：一元一次方程和一元二次方程
的概念以及解的情况
易错3：易忽略一元二次方程方程根的存在性
二、函数类
易错4：分析一次函数和二次函数的定义以及与X轴的交点情况
易错5：利用数学结合思想
分析抛物线最值和开口方向问题
易错6：利用数学结合思想
分析抛物线与坐标轴的交点情况
易错7：双曲线形成的简单三角形的面积与反比例系数之间的关系问题
易错8：数形结合，抛物线与坐标轴交点
韦达定理的运用
三、圆类
易错9：优弧和劣弧分类讨论
易错10：求两平行弦之间的距离分类讨论。
2020年中考数学第一轮复习之几何综合(PDF版无答案)
中考数学第一轮复习之几何问题1.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．若∠AEF=55°，则∠EAF=________．提示：倍长中线，构造全等三角形转移条件．具体操作：D为中点，延长AD到G使DG=AD，连接BG．得到△ADC≌△GDB．2.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，∠C=70°，点E是BC的中点，CD=CE，则∠EAD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°提示：平行夹中点，构造全等三角形补全图形．具体操作：AB∥CD，E为BC的中点，延长AE交直线CD于点F．得到△ABE≌△FCE．3.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠ACB=66°，∠CAD=20°，则∠EFG=____．提示：多个中点考虑中位线，利用中位线性质转移角、转移边．具体操作：GF，GE分别为△CDA，△ABC的中位线4.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=DC=3，sin C=45，则△ABC的周长为______．提示：等腰三角形底边上的的中点——通过等腰三角形三线合一，构造直角三角形．具体操作：连接AD，得到Rt△ADC．5.如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BN，CM为高，P是BC的中点，连接MN，MP，NP．则以下结论：①NP=MP；②当∠ABC=60°时，MN∥BC；③BN=2AN；④当∠ABC=45°时，BN PC．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个提示：直角+中点，考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．具体操作：在Rt△BMC中，MP为斜边中线；在Rt△BNC中，NP为斜边中线．6.如图，正方形ABCD边长为9，点E是线段CD上一点，且CE长为3，连接BE，作线段BE的垂直平分线分别交线段AD，BC于点F，H，垂足为G，则AF的长为______．方法1：提示：从边的角度考虑直角，往往先表达，然后用勾股定理建等式．具体操作：连接BF，EF，则BF=EF，设AF为x，分别在Rt△BAF和Rt△EDF中表达BF2，EF2，再利用BF2=EF2求解．方法2：提示：从角度转移考虑直角，往往先找角相等，然后证相似或全等．具体操作：过点F作FM⊥BC于点M，则可证△FMH≌△BCE，则MH=CE=3，连接EH，利用勾股定理求解EH（BH），则AF=BH-MH．7.如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC于D．则AD的长为_______________．提示：①特殊角+直角；②直角两边可看做是面积中的底或高．具体操作：①过点C作CE⊥AB，交BA延长线于点E，在Rt△CAE中利用特殊角60°求解；②⋅=⋅求解．将AD看成高，求出BC后，利用CE AB AD BC8.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，若CE=5cm，则BD=________．提示：直角+角平分线，逆用三线合一构造出等腰三角形．具体操作：BE既是角平分线、又是高．延长BA，CE交于点F，可证△CAF≌△BAD．9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BD=2，AD=8，则CD=_________．提示：多个直角（直角三角形斜边上的高），考虑母子型相似．具体操作：由∠ACB =∠ADC =90°，考虑△BDC ∽△CDA ∽△BCA ．10.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若∠AED =90°，则CE =_____．提示：多个直角（一线三等角），考虑三等角模型．具体操作：∠ABE =∠ECD =∠AED =90°，考虑△ABE ∽△ECD ．11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC =5，OC =，则另一直角边BC 的长为________．提示：多个直角（斜放置的正方形、等腰直角三角形），考虑弦图．具体操作：过点D 作DF ⊥CB ，交CB 延长线于点F ，连接OF ．由弦图可知，△OCF 是等腰直角三角形．12.如图，将三角板放在矩形ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点B ，三角板的直角顶点E 落在矩形对角线AC 上，另一边交CD 于点F ．若AB =3，BC =4，则EF EG=________．提示：斜直角要放平（关键是与其他直角配合），利用互余转移角后，寻找三角形相似或全等．具体操作：过点E 分别作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥BC 于N ，则△EMF ∽△ENG ．13.已知直线l 1：y =112x b -+与直线l 2垂直，且直线l 2经过定点A (3，0)，则直线l 2表达式为________________．提示：坐标系下的垂直，优先考虑121k k ⋅=-．具体操作：由121k k ⋅=-求得k 2，再利用A (3，0)求b 2．14.如图，在⊙O 中，弦AB ，弦AD ∠ACB =45°，则弦AD 所对的圆心角为_______．提示：圆背景下，要构造直角，考虑：①直径所对的圆周角是直角；②垂径定理．具体操作：连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接DE ，BE ．在Rt △ABE 中，求解直径AE ；在Rt △ADE 中，利用边角关系，求解∠AED 进而得到∠AOD ．15.如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边上的点B′处．若AE =2，DE =6，∠EFB =60°，则矩形ABCD 的面积是__________．提示：折叠，考虑：①利用对应边、对应角相等，考虑转移边、转移角；②矩形中的折叠常出现等腰三角形．具体操作：由折叠∠EFB =∠EFB′=60°，AE =A′E =2，∠B =∠A′B′F =90°，结合内错角∠B′EF =∠BFE =60°，可在Rt △A′B′E 中求解A′B′，即AB 的长．16.如图，将长为4cm ，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长为__________．提示：折叠，考虑折痕是对应点连线的垂直平分线．具体操作：连接BE ，BM ，ME ，则BM =ME ，在Rt △BAM 和Rt △MDE 中表达BM 2，ME 2，利用相等建等式求解．17.如图，已知直线l ：y =122x -+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则点C 的坐标为_________．提示：折叠，可考虑折痕垂直平分对应点连线．函数背景下的折叠可以考虑121k k⋅=-和中点坐标公式的组合应用．具体操作：连接OC，先利用原点坐标和121k k⋅=-求得OC解析式；联立OC和AB解析式求出OC的中点坐标后，进而求出点C坐标．18.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC3，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线长为__________．（结果保留π）提示：旋转是全等变换，会出现圆弧；分析清楚每次旋转的旋转中心、旋转方向、旋转角度．19.如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°提示：旋转是全等变换，对应边相等，对应角相等；会出现等腰三角形．具体操作：由旋转可知AC=AC′（对应边相等），∠BAB′=∠CAC′（旋转角相等）．20.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接PQ，CQ．若PA:PB:PC=3:4:5，则∠PQC=________．提示：利用旋转可以重新组合条件．当看到等腰结构时往往会考虑利用旋转思想构造全等．具体操作：由等腰结构AB =BC ，PB =BQ ，先考虑△APB 和△BQC 的旋转关系，证明△APB ≌△CQB 后验证，重新组合条件后利用勾股定理进行证明．知识点1.几何综合问题的处理思路①标注条件，合理转化②组合特征，分析结构③由因导果，执果索因2.常见的思考角度304560 1 ↔⎧⎪↔⎪⎪↔⎨⎪↔⎪⎪︒︒︒↔⎩，，同位角、内错角、同旁内角平行内角、外角、对顶角、余角、补角转化计算角圆心角、圆周角在圆中，由弧找角，由角看弧直角互余、勾股定理、高、距离、直径特殊角等在直角三角形中，找边角关系（） 2 ↔⎧⎪⎧⎪↔⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪↔⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪↔⎩、角平分线、垂直平分线轴对称性质勾股定理放在直角三角形中边角关系遇弦，作垂线边、线段连半径转移边放在圆中遇直径找直角遇切线连半径结合全等相似线段间比（例关系） 3 n ⎧⎧⎪⎪⎪⎪→⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩倍长中线中位线中点三线合一特殊点斜边中线等于斜边的一半相似等分点面积转化（）4 ⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪→⎨⎪⎩⎩公式法相似规则图形转化法同底面积共高分割求和不规则图形割补法）补形作差（3.常见结构、常用模型⎧→⎧⎪⎪→⎪⎪⎨⎪→⎪⎪⎪→⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩中点结构中点的思考角度直角结构斜转直常见结构旋转结构全等变换折叠结构轴对称的思考层次角平分线模型弦图模型常用模型相似基本模型三等角模型半角模型典型题型1.如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE=12∠BAC ，CE交AB 于点E ，交AD 于点F ．若BC =2，则EF 的长为________．2.如图，矩形ABCD 中，AB =8，点E 是AD 上一点，且AE =4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，交AB 于点H ，连接EF 交CD 于点G ．若G 是CD 的中点，则BC 的长是_______．3.如图，在□ABCD 中，AB :BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 边上，且AE :EB =1:2，F 是BC 的中点，过点D 分别作DP ⊥AF 于点P ，DQ ⊥CE 于点Q ，则DP :DQ 等于（）A ．3:4B ．13:25C ．13:26D ．23:13第3题图第4题图4.如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边上的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG ，DF ．若AG =13，CF =6，则四边形BDFG 的周长为________．5.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB =CD ，AD =E 为CD 中点，连接AE ，且AE =，∠DAE =30°，作AF ⊥AE 交BC 于F ，则BF =________．6.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =3，BC =5，将腰DC 绕点D 逆时针方向旋转90°并缩小，恰好使DE =23CD ，连接AE ，则△ADE 的面积是________．7.如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P (1，1)，C 为y 轴上一点，连接PC ．线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ．若直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的坐标为__________．8.如图，把矩形ABCD 沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE ．若DE :AC =3:5，则AD AB的值为_________．9.如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ；如图2，展开再折叠一次，使点C 落在线段EF 上，折痕为BM ，BM 交EF 于O ，且△NMO 的周长为．如图3，展开再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为P ，EP 交AB 于Q ，则△AQE 的周长为_______．10.如图，在边长为的正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线上一点，BE =DG ，连接EG ，CF ⊥EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE ，BH ．若BH =8，则FG =_______．11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠CBA =43，AB =5.将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB′C′，连接CC′并延长，交AB 于点O ，交BB′于点F ．若CC′=CA ，则BF =_____．12.如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ，连接BP ．若AE =AP =1，PB =，有下列结论：①△APD ≌△AEB ；②BE ⊥DE ；③点B 到直线AE ；④1△△APD APB S S +=+⑤4ABCD S =正方形．其中正确的结论是（）A ．③④⑤B ．①②⑤C ．①③⑤D ．①②④⑤巩固练习1.如图，已知正方形ABCD 和正方形CEFG ，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是________．第1题图第2题图第3题图2.如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上．若BC =3，AD =2，EF =23EH ，则EH 的长为_________．3.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且BE ⊥CD ，CE :ED =2:1．如果△BEC 的面积为2，那么四边形ABED 的面积是__________．4.如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2，5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为（）A ．(203，103)B ．(163，453)C ．(203，453)D ．(163，43)5.如图，已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，G 是DE 的中点，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，当CE 为（）时，点A ，C ，F 在一条直线上．A ．35B ．43C ．53D ．34第5题图第6题图6.如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在AB ，AD 上，若CE =35，且∠ECF =45°，则CF 的长为（）A ．210B ．35C ．5103D ．10537.如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B ，C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ，则y 关于x 的函数关系式为________．第7题图第8题图第9题8.如图，D 是等边三角形ABC 边AB 上的一点，且AD :DB =1:2，现将△ABC 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC ，BC 上，则CE :CF =（）A ．34B ．45C ．56D ．679.如图，在△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，MN．有下列四个结论：①PM=PN；②AM ANAB AC=；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=．其中正确结论的序号是_______．10.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边，向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．有以下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④14FH BD=．其中正确结论的序号为________．第10题图第11题图11.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=）A．1个B．2个C．3个D．4个。
2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练(含答案)
2020年九年级数学中考几何图形综合题专题训练1、如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF=BE ，BE 与CD 交于点G（1）求证：BD ∥EF ；（2）若=，BE=4，求EC 的长．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E .点M 是线段AD 上的动点，连接BM 并延长分别交DE ，AC 于点F ，G .(1)求CD 的长；(2)若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值；(3)请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得∠CPG ＝60°？3、如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△AC D∽△BFD；（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．4、如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O且与BC、AD分别交于点E、F．试猜想线段AE、CF的关系，并说明理由．5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF．6、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD的内部，延长AF交CD于点G.(1)猜想并证明线段FG与CG的数量关系；(2)若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段FG与CG之间的数量关系是否改变？请证明你的结论；(3)若将图①中的正方形改成平行四边形，其他条件不变，如图③，那么线段FG与CG 之间的数量关系是否会改变？请证明你的结论．7、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．8、如图，□A BCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N。
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2020年中考数学一轮专项提升卷——几何综合问题探究1．(2019·海口)如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AB ＝6，∠B ＝60°，则AF 的长为( )A ．3B ．3.5C ．33D ．42．(2019·天津)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是AB 的中点，点D ，E 是AC ，BC 边上的动点，且AD ＝CE ，连接DE .有下列结论：①∠DPE ＝90°；②四边形PDCE 面积为1；③点C 到DE 距离的最大值为22.其中，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．(原创题)如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF ，CF ，则下列结论中一定成立的是( )①∠DCF ＝12∠BCD ；②EF ＝CF ；③∠DFE ＝3∠AEF ；④S △BEC ＝2S △CEF .A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④4．(2019·广西防城港)如图，AB 为⊙O 的直径，BC ，CD 是⊙O 的切线，切点分别为点B ，D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB ＝25，BC ＝2，当CE ＋DE 的值最小时，则CEDE的值为( )A ．910B ．23C ．53D ．2555．(原创题)如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝8 cm ，则HE ＝____cm.6．(2019·丹阳市一模)如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在BC 上，且BD ＝BA ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连接EF .若四边形DCFE 和△BDE 的面积都为3，则△ABC 的面积为____.7．(2019·山西模拟)如图，平行四边形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ．AF 与DE 交于点G ，则AG 的长为____.8．(2019·襄阳)如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，∠BAC ＝∠DEC ＝30°，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若BD ＝1，AD ＝5，则CF EF ＝____.9．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在CB上，且PC＝PE，过E作EF垂直于BC交DP延长线于F，且PF＝PD．(1)如图1，当点E在CB边上时，求证：PE＝22CE；(2)如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PE，CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．10．(改编题)已知，如图1，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，矩形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF.(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求AE的长和△FCG的面积；(2)如图2，设AE＝x，△FCG的面积＝S1，求S1与x之间的函数关系式与S1的最大值；(3)在(2)的条件下，如果矩形EFGH的顶点F始终在矩形ABCD内部，连接BF，记△BEF 的面积为S2，△BCF的面积为S3，试说明6S1＋3S2－2S3是常数．11．(2019·广州)如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC 上一动点(不与点C重合)，△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.(1)当点F在AC上时，求证：DF∥AB；(2)设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1－S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；(3)当B，F，E三点共线时，求AE的长．12．(2019·定远县一模)已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，过点E作EF∥BC交直线AB于点F，连接CF.(1)如图1，点D在BC上，AB与DE交于点G，连接BE.①求证：CF＝ED；②求证：GECF＝CDBC；(2)如图2，点D在BC的延长线上，若四边形CDEF是矩形，AC＝6，BC＝4，求AE的长．参考答案1．(2019·海口一模)如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AB ＝6，∠B ＝60°，则AF 的长为( D )A ．3B ．3.5C ．33D ．42．(2019·天津模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是AB 的中点，点D ，E 是AC ，BC 边上的动点，且AD ＝CE ，连接DE .有下列结论：①∠DPE ＝90°；②四边形PDCE 面积为1；③点C 到DE 距离的最大值为22.其中，正确的个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．33．(原创题)如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF ，CF ，则下列结论中一定成立的是( A )①∠DCF ＝12∠BCD ；②EF ＝CF ；③∠DFE ＝3∠AEF ；④S △BEC ＝2S △CEF .A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④4．(2019·广西防城港)如图，AB 为⊙O 的直径，BC ，CD 是⊙O 的切线，切点分别为点B ，D ，点E 为线段OB 上的一个动点，连接OD ，CE ，DE ，已知AB ＝25，BC ＝2，当CE ＋DE 的值最小时，则CEDE的值为( A )A ．910B ．23C ．53D ．2555．(原创题)如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝8 cm ，则HE ＝__8__cm.6．(2019·丹阳市一模)如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在BC 上，且BD ＝BA ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，点F 是AC 的中点，连接EF .若四边形DCFE 和△BDE 的面积都为3，则△ABC 的面积为__10__.7．(2019·山西模拟)如图，平行四边形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ．AF 与DE 交于点G ，则AG 的长为__34__.8．(2019·襄阳)如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，∠BAC ＝∠DEC ＝30°，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若BD ＝1，AD ＝5，则CF EF ＝__2139．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在CB 上，且PC ＝PE ，过E 作EF 垂直于BC 交DP 延长线于F ，且PF ＝PD ．(1)如图1，当点E 在CB 边上时，求证：PE＝22CE ； (2)如图2，当点E 在CB 的延长线上时，线段PE ，CE 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．解：(1)延长EP 交DC 于点G ，如图(1)所示：∵∠FEC ＝∠DCE ＝90°，∴EF ∥CD ，∴∠PFE ＝∠PDG ，又∵∠EPF ＝∠GPD ，PF ＝PD ，∴在△PEF 和△PGD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PFE ＝∠PDG ，PF ＝PD ，∠EPF ＝∠GPD ，∴△PEF ≌△PGD (ASA)， ∴PE ＝PG ，EF ＝GD ，∵BE ＝EF ，∴BE ＝GD ，∵CD ＝CB ，∴CG ＝CE ，∴△CGE 是等腰直角三角形，∴CP ⊥GE ，CP ＝12EG ＝PE ，∴△CPE 是等腰直角三角形，∴PE ＝22CE ；(2)PE ＝22CE ，理由如下：如图(2)所示：延长EP 交CD 的延长线于点G ，∵∠FEB ＋∠DCB ＝180°，∴EF ∥CD ，∴∠PEF ＝∠PGD ，又∵∠EPF ＝∠GPD ，PF ＝PD ，∴在△PEF 和△PGD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PFE ＝∠PDG ，PF ＝PD ，∠EPF ＝∠GPD ，∴△PEF ≌△PGD (ASA)，∴PE ＝PG ，EF ＝GD ，∵BE ＝EF ，∴BE ＝GD ．∵CD ＝CB ，∴CG ＝CE ，∴△CGE 是等腰直角三角形，∴CP ⊥GE ，CP ＝12EG ＝PE ，∴△CPE 是等腰直角三角形．∴PE ＝22CE .10．(改编题)已知，如图1，矩形ABCD 中，AD ＝6，DC ＝8，矩形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，AH ＝2，连接CF .(1)如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求AE 的长和△FCG 的面积；(2)如图2，设AE ＝x ，△FCG 的面积＝S 1，求S 1与x 之间的函数关系式与S 1的最大值； (3)在(2)的条件下，如果矩形EFGH 的顶点F 始终在矩形ABCD 内部，连接BF ，记△BEF 的面积为S 2，△BCF 的面积为S 3，试说明6S 1＋3S 2－2S 3是常数．解：(1)过点F 作FM ⊥CD 于M .∵四边形EFGH 为正方形，四边形ABCD 是矩形，∴HE ＝GH ＝FG ，∠EHG ＝∠HGF ＝90°，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠AEH ＝∠DHG ＝90°－∠AHE ，∠DHG ＝∠MGF ＝90°－∠HGD ，∴∠AEH ＝∠DHG ＝∠MGF .在△AEH ，△DHG 与△MGF 中，∠A ＝∠D ＝∠GMF ＝90°，∠AEH ＝∠DHG ＝∠MGF ，HE ＝GH ＝FG ，∴△AEH ≌△DHG ≌△MGF (AAS)，∴AE ＝DH ＝6－2＝4，DG ＝AH ＝FM ＝2，∴△FCG 的面积＝12CG ·FM ＝12×6×2＝6；(2)过点F 作FM ⊥CD于M .在△AEH 与△DHG 中，∵∠A ＝∠D ＝90°，∠AEH ＝∠DHG ＝90°－∠AHE ，∴△AEH ∽△DHG ，∴DG AH ＝DH AE ，即DG 2＝4x ，∴DG ＝8x ，∴CG ＝DC －DG ＝8－8x，∵FM ＝2，∴△FCG 的面积＝S 1＝12·CG ·FM ＝12⎝⎛⎭⎫8－8x ×2＝8－8x，∵0＜x ≤8，∴当x ＝8时，S 1的最大值为7； (3)由(2)可得S 1＝12⎝⎛⎭⎫8－8x ×2＝8－8x .过点F 作FN ⊥AB 于N ，易证△NFE ≌△DHG ，∴FN ＝HD ＝4，EN ＝GD ＝8x ，∵BE ＝AB －AE ＝8－x ，∴S 2＝12·BE ·FN ＝12(8－x )×4＝16－2x ；过点F作FP ⊥BC 于P ，则四边形FNBP 是矩形，∴FP ＝BN ＝AB －AE －EN ＝8－x －8x ，∴S 3＝12·FP ·BC＝12⎝⎛⎭⎫8－x －8x ×6＝24－3x －24x ，∴6S 1＋3S 2－2S 3＝6⎝⎛⎭⎫8－8x ＋3(16－2x )－2⎝⎛⎭⎫24－3x －24x ＝48－48x ＋48－6x －48＋6x ＋48x＝48. 11．(2019·广州)如图，等边△ABC 中，AB ＝6，点D 在BC 上，BD ＝4，点E 为边AC 上一动点(不与点C 重合)，△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE .(1)当点F 在AC 上时，求证：DF ∥AB ；(2)设△ACD 的面积为S 1，△ABF 的面积为S 2，记S ＝S 1－S 2，S 是否存在最大值？若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由；(3)当B ，F ，E 三点共线时，求AE 的长．解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，由折叠可知：DF ＝DC ，且点F 在AC 上，∴∠DFE ＝∠C ＝60°，∴∠DFC ＝∠A ，∴DF ∥AB ；(2)存在，如图①，过点D 作DM ⊥AB 交AB 于点M ，∵AB ＝BC ＝6，BD ＝4，∴CD ＝2，∴DF ＝2，∴点F 在以D 为圆心，DF 为半径的圆上，∴当点F 在DM 上时，S △ABF 最小．∵BD ＝4，DM ⊥AB ，∠ABC ＝60°，∴MD ＝23，∴S △ABF 的最小值＝12×6×(23－2)＝63－6，∴S 最大值＝12×2×33－(63－6)＝－33＋6； (3)如图②，过点D 作DG ⊥EF 于点G ，过点E 作EH ⊥CD 于点H .∵△CDE 关于DE 的轴对称图形为△FDE ，∴DF ＝DC ＝2，∠EFD ＝∠C ＝60°，∵GD ⊥EF ，∠EFD ＝60°，∴FG ＝1，DG ＝3FG ＝ 3.∵BD 2＝BG 2＋DG 2，∴16＝3＋(BF ＋1)2，∴BF ＝13－1，∴BG ＝13，∵EH ⊥BC ，∠C ＝60°，∴CH ＝EC 2，EH ＝3HC ＝32EC ，∵∠GBD ＝∠EBH ，∠BGD ＝∠BHE ＝90°，∴△BGD ∽△BHE ，∴DG BG ＝EH BH ，∴313＝32EC 6－EC 2，∴EC ＝13－1，∴AE ＝AC －EC ＝7－13.12．(2019·定远县一模)已知在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，过点E 作EF ∥BC 交直线AB 于点F ，连接CF .(1)如图1，点D 在BC 上，AB 与DE 交于点G ，连接BE . ①求证：CF ＝ED ；②求证：GE CF ＝CDBC； (2)如图2，点D 在BC 的延长线上，若四边形CDEF 是矩形，AC ＝6，BC ＝4，求AE 的长．(1)①证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠DAC ＝∠EAB ，在△ACD 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠DAC ＝∠EAB ，AD ＝AE ，∴△ACD ≌△ABE ，∴CD ＝BE ，∠ACD ＝∠ABE ，∵EF ∥BC ，∴∠ABC ＝∠EFB ，∴∠ABE ＝∠EFB ，∴EB ＝EF ，∴EF ＝CD ，∵EF ∥BC ，∴四边形EDCF 是平行四边形，∴CF ＝DE ；②证明：∵四边形DCFE 是平行四边形，∴∠FED ＝∠BCF ，∵∠EFG ＝∠CBF ，∴△EFG ∽△CBF ，∴GE CF ＝EFBC ，∵EF＝CD ，∴GE CF ＝CDBC；(2)解：∵四边形CDEF 为矩形， ∴∠BCF ＝90°.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠ACF ＝∠AFC ，∴AF ＝AC ＝6，BF ＝6＋6＝12，∴CF ＝BF 2－BC 2＝122－42＝8 2.∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB AD ＝ACAE .∵∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AC AE ＝BC DE ，∴6AE ＝482，解得AE ＝12 2.。