14.2乘法公式整合
14.2.2 第2课时 乘法公式的综合运用
14.2.2 第2课时 乘法公式的综合运用
学习指 知 南识 管 归 理类 探 当 究堂 测 分 评层 作
业
教学目标 1．掌握添括号法则；
学习指 南
Байду номын сангаас
2．综合运用乘法公式进行计算．
情景问题引入
图书阅览室里有 a 人正在看书， b 人看完后出去了，又有 c 人回教室上课
了，此时阅览室中还有多少人？小刚得出的答案是 a－(b＋c)，小芳得出的答案是
里；
(2)把后三项括到带有“－”号的括号里；
(3)把四次项括到带有“＋”号的括号里，把二次项括到带有“－”号的括号
里．
解：(1)5a3b－2ab＋3ab3－2b2＝(5a3b－2ab)－(－3ab3＋2b2)． (2)5a3b－2ab＋3ab3－2b2＝5a3b－(2ab－3ab3＋2b2)． (3)5a3b－2ab＋3ab3－2b2＝(5a3b＋3ab3)－(2ab＋2b2)．
6．[2018·邵阳]先化简，再求值：(a－2b)(a＋2b)－(a－2b)2＋8b2，其中 a＝－2， b＝12.
解：原式＝a2－4b2－(a2－4ab＋4b2)＋8b2 ＝a2－4b2－a2＋4ab－4b2＋8b2 ＝4ab. 当 a＝－2，b＝12时， 原式＝4×(－2)×12＝－4.
7．[2018 春·延庆区期末]先化简，再求值：(x－1)2－(x＋2)(x－2)＋(x－4)(x＋ 5)，其中 x2－x－5＝0.
(2)(x－3y－1)(x＋3y－1) ＝[(x－1)－3y][(x－1)＋3y] ＝(x－1)2－(3y)2 ＝x2－2x＋1－9y2.
(3)3x－2y＋142 ＝3x－2y＋142 ＝(3x－2y)2＋2×(3x－2y)×14＋142 ＝(3x)2－2×3x×2y＋(2y)2＋12(3x－2y)＋116 ＝9x2－12xy＋4y2＋32x－y＋116.
最新人教版初中八年级上册数学【第十四章 14.2乘法公式 运用乘法公式计算】教学课件
谢谢
(1) (2x + y + z) (2x – y – z) 解：原式 =[ 2x + ( y + z ) ] [ 2x – ( y + z ) ]
= (2x)2– (y + z)2 =4x2 –(y2+2yz+z2) =4x2 – y2–2yz–z2 =4x2 – y2–z2–2yz.
当堂练习
(2) (a + 2b – 1) 2 解：原式=[a + (2b – 1) ]2
ab
4.(x－2y－3)(x+2y－3). 解：原式=[(x－3)－2y] [(x－3)+2y].
例题讲解
例2 . 运用乘法公式计算:
(a + b +c ) 2.
解：原式 = [ (a+b) +c ]2
温馨提示：将(a+b)看作一个整体， 解题中渗透整体的思想.
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
2.判断下列计算过程是否正确，若错误请把正 确答案修改在下面.
( 3a +2b－c ) 2 解：原式 = [ (3a + 2b )－c ]2 应该运用完全平方公式
= ( 3a + 2b )2 －c2 这是平方差 = 9a2 +12ab + 4b2－c2. 判断：错误.
易错点：混淆两个乘法公式而出错．
2.(2y－3)2= 4y2－12y + 9 .
温馨提示：将(2y – 3)看作一个整 体，解题中渗透整体的思想.
思考
一、去括号法则是什么？
14.2 乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y) ＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.
知1－练
感悟新知
知1－练
1－1. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是( B ) A. (a－1)(1－a) B. (－a＋2)(－a－2) C. (a＋2)(2＋a) D. (a－b)(－a＋b)
知2－练
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04；
2
(3)
60
1 60
.
原式＝60＋6102＝3
600＋2＋3
6100＝3
6023
1 600.
感悟新知
知识点 3 添括号
为2 023.
2 022×2 024－2 0232＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232
＝2 0232－12－2 0232＝－1.
感悟新知
2－1. 运用平方差公式进行简便计算：
知1－练
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝；
(2)(－4a＋5b)2；
知2－练
括号不能漏掉.
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2 ＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2 ＝25b2－40ab＋16a2；
不 能 漏 掉 “ 2ab” 项 且 符 号 与完全平方中的符号一致.
感悟新知
(3)(－2m－n)2；
知2－练
解：(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2
感悟新知
知3－讲
特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改
人教版八年级数学上册课件 14.2 乘法公式
三、研读课文
例2 计算：
知 识
（解：1）原(式y+2=)(yy-22)-(y2-12)-(y（ +5y) 2 +4y-5） =y2 22 -y2 -4y+5
点
=1-4y
四 （2） 102×98
解：原式＝=1(100002+-222)(100-2)
=10000-4 =9996
归纳 :只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化 运算，其余的运算仍按照法则来进行.
4
4
x
2；1
三、研读课文
一般地，
知
(a+b)(a-b)=a2-b2.
识 点
两个数的 __和与这两个数的 __ 的差 __积___，等于这两个数的平方差.
二
这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
温馨提示：应用公式的关键是确定a和b.
三、研读课文
思考
知
你能根据下面图形的面积说明平方差公式吗?
识
a
点
b
三
3、（2012哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）
a 3 a 4 a12
a 3 4 a12
A、 a a 4 a 5
B、 a ba b a2 b2
C、
D、
4ห้องสมุดไป่ตู้下列各式中，计算结果是 81 x 2的是（ ） D
x 9x 9
A、
2 y 1 1 2 y
a bb
矩形面积=大正方形面积--小正方形面试
(a b)(a b)=a2 b2
即
三、研读课文
练一练 下面各式的计算对不对？若不对， 应当怎样改正？
知
人教版数学八年级上册14.2乘法公式
添括号法则
• 注意：
• 添括号和去括号都不改变原式的值 • 添括号时，如果括号前面是负号，括号里
面的每一项都要变号，不只是第一项
动手做一做
在等号右边的括号里面填上适当的项，并 用去括号方法检验。
a+b−c=a+( b−c ) a−b+c=a−( b−c ) a−b−c=a−( b+c ) a+b+c=a+( b+c )
一个三项式的平方，可以添括号把其中两项看成 一个整体，然后利用完全平方公式计算。
学完本节课你应该知道
• 整式的加减运算和乘除运算，化简时应遵循先乘方、 再乘除、最后加减的顺序。
• 化简整式时，合理使用公式可以简化运算。 • 连续增长两次的表示方法：a(1−x%)2。 • 添括号法则及其应用：
a+b+c=a+(b+c) a−b−c=a−(b+c)
1. 通过逆向思考去括号法则，思考出填括号 法则，并能根据这一法则改写多项式。
2. 掌握整式的化简的运算顺序，综合运用之 前所学法则和乘法公式，完成整式的化简。
3. 能用完全平方公式解决连续增长率问题。
复习和回顾
利用完全平方公式计算下列各题
(−m−2n)2=
m2+4mn+4n2
(4x−3y)2 =
若在实际问题中用到整式的化简，则必须 注意各个字母的实际意义。
动手做一做
计算：(x+y)(−x+y)(x2−y2)
解：原式=(x+y)(−x+y)(x2−y2)
=(y2−x2)(x2−y2) =−(x2−y2)2
按运算顺序， 依次用公式
人教版八年级数学上册 14.2 乘法公式 课件
第（3）题（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + )2 ,
应选择“和”的完全平方公式计算，即（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + （ + 1）（ − 1） =
（2）（ + 2）2 =
（3）（ − 1）2 = （ − 1）( − 1) =
（4）（ − 2）2 =
教学新知
上面的几个运算都是形如( ∓ )2 的多项式相乘，由于
【结论】也就是说，两
(a b)2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
y 2 22 y 2 4 y 5
y 4 y 4 y 5 4 y 1;
(2) 102 98 (100 2)(100 2)
2
2
100 2 10000 4 9996.
2
2
教学新知
探究2： 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
2 + 2 ; 第（4）题中的 − 2 − 3 = −（2 + 3），原式可变形为 −
（2 + 3）2 ，选择“和”的完全平方公式计算，即（2 + 3）（ − 2 − 3） =
− （2 + 3）2 = −（4 2 + 12 + 9） = −4 2 − 12 − 9.
知识梳理
(4) (2a +3b) (2a -3b) ; (5) (-2a -3b) (2a -3b); (6) (2a +3b) (-2a -3b).
人教版数学八年级上册-14.2--乘法公式
方法总结：对于平方差中的 a 和 b 可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问 题时，一般先将整式化为最简，然后根据结果的特 征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例5 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了 邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地 一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你， 你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈 吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ① (a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2_； ② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a_3－__b_3__； ③ (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
内容
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差
平方差 公式
a−b b
a−b (a−b)2 b(a−b) a
b
ab
a (a − b)2 = a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 差的完全平方公式： (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 .
问题 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
注意
2. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征， 在应用时，只有两个二项式的积才有 可能应用平方差公式；不能直接应用 公式的，要经过适当变形才可以应用
人教版数学八年级上册
人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用优秀教学案例
（一）情景创设
1.生活情境：以实际生活中的问题为背景，创设有利于学生思考和探究的情境，激发学生的学习兴趣。如：购物时如何计算价格、装修房屋时如何计算材料用量等。
2.故事情境：通过生动有趣的故事，引出乘法公式，使学生在轻松愉快的氛围中学习。如：讲述古代数学家发现乘法公式的故事。
3.竞赛情境：组织学生进行小组竞赛，激发学生的竞争意识和团队合作精神，提高他们的学习积极性。如：平方差公式接龙游戏。
1.组织学生进行小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力和沟通能力。如：小组内讨论如何运用乘法公式解决实际问题。
2.鼓励学生发表自己的观点和见解，培养他们的创新意识和批判性思维。如：小组内成员互相评价对方解题方法的可行性和优缺点。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对学习过程进行反思，总结经验和教训，提高学生的自我认知能力。如：让学生回顾学习乘法公式时的困难和对策，分享心得体会。
人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用优秀教学案例
一、案例背景
在我国基础教育课程改革背景下，人教版八年级上册14.2乘法公式的综合运用作为数学学科的重要内容，旨在帮助学生理解和掌握乘法公式的本质，提高他们在实际问题中的应用能力。本章节内容涉及平方差公式、完全平方公式等，对于培养学生的逻辑思维、创新能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
2.采用多元化评价方式，关注学生的全面发展，提高他们的自信心和自我价值感。如：以小组为单位进行评价，侧重于团队合作、创新能力和解决问题能力的评价。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设生活情境：教师通过展示一组实际生活中的图片，如购物、装修等，引导学生观察和思考其中的数学问题。如：展示一张购物小票，让学生计进行反思，总结经验和教训，提高学生的自我认知能力。同时，采用多元化评价方式，关注学生的全面发展，提高了他们的自信心和自我价值感。
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14．2乘法公式14.21平方差公式一、基本概念 1、计算：（1）()()11_______.x x +-= （2）()()22_______.m m +-= （3）()()2121_______.x x +-= （4）()()55_______.x y x y +-=2、验证：计算()()________________________a b a b +-==3、归纳：（乘法的）平方差公式()()_____________.a b a b +-=文字表达：两个数的与这两个数的的，等于这两个数的。
二、类比演练【根据课本P96例题，完成下列题目】：（1）(43)(43)a a -+ （2）(43)(43)a b a b ---+三、课堂小测1、下列多项式不能用平方差公式计算的是（ ）A.))((y x y x +-+B.))((x y y x +-C.)23)(32(a b b a -+D.)32)(32(x y y x +- 2、计算)52)(52(-+a a 的值是（ ）A.2542-a B.542-a C.2522-a D.522-a 3、下列运用平方差公式计算错误的是（ ）A.22))((b a b a b a -=-+ B.1)1)(1(2-=-+x x x C.12)12)(12(2-=-+x x x D.22))((b a b a b a -=--+- 4、=-=---22(_____)(_____))53)(53(n m n m _______________.5、22491_))(________231(b a b a -=+- 6、计算（1）)2)(2()2)(2(y x y x y x y x -+--+ （2）)3)(3(a bc bc a ---（3）)41)(21)(21(2++-x x x （4）5.495.50⨯7、先化简，再求值：)2()3)(3(---+x x x x ，其中4=x .四、思维训练 1、计算（1）2201520142016-⨯ （2）)12()12)(12)(12(364842+⋯⋯+++2、计算（1）))((c b a c b a -++- （2）)21)(12(x y y x +-+-14.2.2完全平方公式第1课时完全平方公式 班级：姓名： 第 小组学习目标1.理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征.2.熟练运用公式进行计算. 一、自学新知阅读教材P109-110，独立完成下列问题： 1、a 、b 两数和的平方可以表示为； 2、a 、b 两数平方的和可以表示为； 3、计算下列各式：（1）()21+x =())1(1++x x =（2）()22+m =()()22++m m =（3）()21-x =())1(1--x x ＝（4）()2y x -=())(y x y x --）=4、猜想：()2b a += ; ()2b a -=5、证明你的猜想：()=++=+))((2b a b a b a = ()()()=--=-b a b a b a 2=二、例题展示例题１：运用完全平方公式计算：（1）2)212(-y （2）()22y x -- （3）1022例题2：计算：（1）2199（2）22)1()1(+--x x思考：()2b a +与()2b a --相等吗？()2b a -与()2a b -相等吗？()2b a -与22b a -相等吗？三、 课堂小结1、两项和（或差）的平方，等于它们的加上（或减去）它们乘积的2倍，公式为()=±2b a .2、添括号时，如果括号前是负号，括到括号里的各项. 四、自学检测1、下列等式成立的是（ ）A 、2224)2(b a b a -=-B 、22244)2(b ab a b a ++=-C 、22224)2(b ab a b a +-=-D 、22244)2(b ab a b a +-=-2、22)()(y x M y x -=-+，则M 为（）A.xy 2B. xy 2±C.xy 4D.xy 4±3、222)3()(_________9y x y x -=++.4、若N b a b a +-=+22)2()2(，则N=.5、要使1252+a 成为完全平方式，应加上的整式是 (写出一个即可). 6、若22)2(4+=++x ax x 则a =_______. 7、计算：2)2()2)(2(y x y x y x +-+-五、思维训练1、已知a b ab +=-=31，，求 a b 22+ 的值.2、已知31=+a a ，求221aa +的值. 14.2.2完全平方公式第2课时完全平方公式班级 姓名 第 小组 学习目标：1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算.2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力.3.培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想. 一、自学新知自学课本第111页，完成下列问题） 1、平方差公式：；完全平方公式：；； 2、去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，； 如果括号前是负号，去掉括号后，．也就是说，遇“___”不变，遇“____”都变． 3、；（ ）； （ ）4、 反过来，（1）)___(c b a c b a +=-+ （2）)___(c b a c b a -=--5、在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验. （1）(_______)+=-+a c b a （2）(_______)-=+-a c b a （3）(_______)-=--a c b a （4）(_______)-=++a c b a6、判断下列运算是否正确． （1）)2(222cb ac b a --=--（2）)23(23b a n m b a n m -++=-+- （3）)232(232-+-=+-y x y x （4）)54()2(542+--=+--c b a c b a二、例题展示例题：运用乘法公式计算：（1）))((c b a c b a -++- （2）2)(z y x +-三、归纳小结添括号法则是： 添括号时，如果括号前面是正号，；•如果括号前面是负号，．也就是：遇“ ___”不变，遇“___”都变． 四、自学检测1、下列添括号正确的是（ ）()a b c ++=()a b c --=a b c a ++=+a b c a -+=-A.)6(969c b a c b a ++=-+B.)6(969c b a c b a +-=-+C.)6(969c b a c b a -+=-+D.)6(969c b a c b a --=-+ 2、在下列各式中，计算正确的是（ ） A ．2224)2(n m n m -=- B ．22241025)25(y xy x y x +-=-C ．12)1(22---=--a a aD.22222209.06.0)3.0(b a b a a ab a ++=--3、若2216y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值是（ ）A.8B.16C.±8D.±163、在括号里填上适当的项：(1)(_______)2+=-+a c b a (2) ____)(_________-=+--a d c b a (3)(_______)](______)][[))((-+=+--+a a c b a c b a4、22_____)(______4-=+-m m m .5、运用乘法公式计算：（1）2)2(c b a +- (2))32)(32(+--+y x y x6、先化简，再求值：)2)(2()3(2x x x -+++，其中2-=x五、思维训练1、已知ab b a b a 412222=+++，求b a ,的值.2、已知一个三角形的三边长分别为c b a ,,，且三边长度恰好满足：3222222-++=++c b a c b a ，试判断该三角形的形状.14.3因式分解14.31提公因式法班级：姓名： 第 小组学习目标1、了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系；2、明确公因式概念和提取公因式的方法；3、能正确找出多项式的公因式，熟练用提公因式法分解简单的多项式. 一、自学新知： 1、用乘法公式运算：（1）()1x x +=__________（2）()()11x x +-=__________2、把多项式写成整式的乘积的形式： （1）2xx +=__________ （2）21x -=__________3、分析每组题目中的两个式子的关系： （1）()()22___;a b b a -- (2) ()()33___;a b b a ---4、因式分解概念：把一个化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）。
5、整式乘法与因式分解的关系：()()2111.x x x -+-6、分解因式：pa pb pc ++=___________________。
如果一个多项式的各项有，可以把这个提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做。
二、例题展示（1）25321216x y x y z - （2）4()6()xy x y x x y +-+三、 课堂小结1、正确找出多项式各项公因式的关键是系数：（1）公因式的系数是多项式各项系数的；字母：（2）取多项式各项中都含有的字母（ 含字母的多项式）； 指数： （3）相同字母的指数取各项中最的一个，即字母最次幂. 2、归纳提公因式法的步骤：【口答】 四、课堂检测1、下列等式是分解因式的是（ ）A.a a a a 2)2(2+=+ B.)2)(2(42-+=-a a a（） （）C.1)2(122+-=+-a a a aD.)11(22aa a a +=+ 2、多项式23232846b a ab b a +-的最大公因式是（ ） A.224b a B.22ab C.24ab D.222b a 3、2263mab b ma -分解因式正确的是（ ）A.)2(322mab b ma -B.)63(b a mab -C.)2(3b a mab -D.)21(322ab b ma - 4、分解因式：（1）22912y x xyz -=_____________； （2） xy xy y x -+22=____________； 5、把下列各式分解因式（1）51552+-x x （2）)()(a b b b a a -+-（3）)2(4)2(3)2(2b a z a b y b a x -----五、思维训练1、利用因式分解计算：33363.5337.4⨯+⨯2、分解因式：1-+-y x xy14.3.2 公式法（1）学习目标1、理解平方差公式的特点，能熟练利用平方差公式因式分解；2、能综合使用提取公因式法和平方差公式分解因式，掌握两种方法分解因式的步骤。