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理论力学 12 动量矩定理
轴转动(zhuàn dòng)。已知均质杆 OA 长为 l ，质 C1 量为 m 1，均质圆盘 C 2 的半径为 r ，质量为 m 2，
试求复摆对 O 轴的动量矩。
A
C2 r
解： J O 的计算(jìsuàn)：
JO
1 12
m1
l
2
m1
l 2
2
1 2 m2
r2
m2
l
r
2
图 12-9
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
1 r2 dm 4
精品资料
dJ y
1 4
r 2dm
z 2dm
1 4
r2
z2
r 2dz
1
4
R4 h4
h
z 4
R2 h2
h
z 2
z2
dz
整个(zhěnggè)圆锥体对于 y 轴的转动惯量为：
J y
h 0
1 4
底圆直径的转动惯量。已知圆锥体质量为 M ，
z
底圆半径为 R ，高为 h ，如图12-6所示。 r
h z dz
解：把圆锥体分成许多(xǔduō)厚度为 d z 的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
O
y
R
x
图 12-6
圆锥体的质量为
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量为
精品资料
12.1 转动惯量、平行(píngxíng) 轴定1理2.1.1 转动惯量
质点系的运动，不仅(bùjǐn)与作用在质点系上的力有关， 还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心是描述质 点系质量分布的一个特征量，转动惯量(Moment of inertia)则 是描述质点系质量分布的另一个特征量。
相对于质心平移系的质点系动量矩定理刚体平面运
0
0
J O d fFN Rdt
0
t
F fFN
J O 0 t f FN R
四、刚体转动惯量的计算
J z mi ri
2
——刚体对转轴的转动惯量
转动惯量——是刚体转动时惯性的度量。
转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，
而且与质量的分布情况有关。 在国际单位制中为：kg · m2 对于质量为连续分布的刚体，则上式成为定积分
d (e) (i ) M ( m v ) M ( F ) M ( F 质点1： O 1 1 O 1 O 1 ) dt d M O (mi vi ) M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi (i ) ) 质点i ： dt
d M O (mn v n ) M O ( Fn( e ) ) M O ( Fn(i ) ) 质点n ： dt
一、质点和质点系的动量矩 二、动量矩定理 三、刚体绕定轴转动的微分方程 四、刚体转动惯量的计算 五、相对于质心(平移系)的质点系动量矩定理
六、刚体平面运动微分方程
一、 质点和质点系的动量矩
质点的动量矩——质点的动量对点之矩 z [1、力对点之矩] 空间的力对O 点之矩：
M O (F ) r F
d M x ( mv ) M x ( F ) dt d M y ( mv ) M y ( F ) dt d M z ( mv ) M z ( F ) dt
2、质点系的动量矩定理
设质点系有n个质点
每个质点的质量分别为： m1、m2、 mi mn
对轴的动量矩
z
Lz M z (mi vi )
LO Lxi Ly j Lz k
工程力学 动力学普遍定理动量矩定理.
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
M
(e) O
ri
Fi
(rC
ri) Fi
rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)
M
(e) C
刚体
dLC dt
M
(e) C
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。
质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
动量矩定理
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。
动量矩定理
4. 常见刚体对轴的转动惯量 J z —刚体转动惯性大小的度量 质量 J z mi ri2 { 质量分布
在工程中，常将转动惯量表示为
Jz mz2 z称为回转半径或惯性半 径
其物理意义：相当于将质量集中于一点， 该点距转轴的距离为ρz
动量矩定理
上例中：求质点系对AB(z)轴的动量矩 1.利用定义
动量矩定理
§3-1 质点系动量矩定理
1.质点动量矩的计算
◆质点对一点的动量矩：
MO (mv) r (mv)
◆质点对轴的动量矩
M x (mv) [M O (mv)]x y(mv z ) z(mv y ) M y (mv) [M O (mv)] y z(mv x ) x(mv z ) M z (mv) [M O (mv)]z x(mv y ) y(mv x ) 即：质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD
第11章 动量矩定理
M z Q(v1r1 cos1 v2r2 cos2 )
例 3 （书上例 11-7，动量矩守恒。）
质量为 m1 = 5kg，半径 r = 30cm 的均质圆盘，可绕铅直轴 z 转
动，在圆盘中心用铰链 D 连接一质量 m2 = 4kg 的均质细杆
AB，AB = 2r，可绕 D 转动。当 AB 杆在铅直位置时，圆盘的
三、 刚体 1. 平动刚体
11-1
LO r MvC
2. 转动刚体（对定轴或平面上定点）
Lz I z
LO IO
3. 平面运动刚体
对质心 C： LC IC
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
l 3g
而 aC
2
4
则
W 3g W
NA W g
4
4
IV. 绳子剪断前后 A 反力的变化：
WW W ΔN A N A N A0
42 4
例 2 例 11-5 （较典型题目）
作业：11-18
11.4 质点系相对动点的动量矩定理(*)
此部分较难，特别是公式推导不易理解。主要掌握两种：①对质心的动量矩定理；②平
m2 g
转速为 n = 90rpm。试求杆转到水平位置，碰到销钉 C 而相对
静止时，圆盘的转速。
解：系统对 z 轴动量矩守恒。
初时系统动量矩： Lz I z盘 1 m1r 2 4
末时系统动量矩： Lz Iz盘 Iz杆 1 m1r2 1 m2 (2r)2
4
12
Lz Lz
11-4
1 4
m1r 2
动量矩
质点系对固定轴z的动量矩定理
dLz Mz dt
例
最常用！
绞车圆盘 ( J O , Q, r ) 受力偶M作用，通过
绳索拉动物块B（P），不计斜面摩擦，求物 块B的加速度。 O B θ
M
解：设绞车圆盘角速度ω，顺转为正
d P ( J O r r ) M P sin r dt g
例
半径r的圆柱体被水平绳拉着作纯滚
动，质量为M；绳子绕过无重定滑轮B后系在
质量为m的物体A上，求圆柱体质心C的加速 度和绳子的拉力。
B C A
圆柱体和物体A的加速度
B
r
C
2r
A
研究物体A，受力分析：
T
aA
mg
A
maA 2mr mg T
研究圆柱体: C Mg N F 按平面运动微分方程 1 2 Mr Tr Fr 2
Mr Mr ;F 2 2 解得： aC 2 2 m( r ) r
为均质轮纯滚动，应有
F fN , F fm g
M
α
这就是力偶矩限制条件。
m gf ( r ) M r
2 2
c
o
mg
Ｎ Ｆ
aC
x
例
与垂直线成 ( m , l ) 均质杆BA 30 角，
O
C
O
轮心的速度
O
O
D
d dt
C
初始 t 0
C
f mg
D
mg N
d dt
D O Or 0
初始条件
d (0) o m f mg dt d f gdt (t ) o f gt
12动量矩定理
图12.7 钟摆
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.5】 匀质圆盘与匀质杆组成的钟摆如图12.7所示。已知圆盘质量m1， 直径d，杆的质量m2，长l，试求钟摆对悬挂轴O的转动惯量J0。
解：钟摆由匀质杆和匀质盘组成，所以有 = JO JO杆 + JO
其中
JO
=J c
+
m1
l
+
d 2
平方的乘积，即
12.7
J=z J zc + md 2
(12.7)
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
证明：如图12.5所示，设刚体总的质量为m，轴zc通过质心C，z与zc平行且 相距为d。不失一般性，可令y与yc重合，在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它 至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为
12.9
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.4】 质量为m，长为l的匀质杆如图12.6所示，求杆对yc的转动惯量。
解：由例12.1知
Jy
=
1 ml2 3
,根据平行轴定理式(12.7)有
J yc
=J y
−
md 2
=1 ml2 3
−
m
l
2
2
=1 12
ml 2
12.10
图12.6 匀质杆
在工程问题上，计算刚体的转动惯量时，常应用下面公式
12.3
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
Jz
=
mρ
2 z
(12.2)
ρ 其中m为整个刚体的质量， z 为刚体对z轴的回转半径，它具有长
理论力学 动量矩定律
MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC