第四章 控制系统根轨迹分析法

幅值条件
∠G0 ( s ) = ( 2k + 1 )π 相角条件 k (s − Z 1 )(s − Z 2 )L (s − Z m ) G 0 (s ) = , k > 0 , (0 → ∞ ) (s − p 1 )(s − p 2 )L (s − p n )
Z1 L Z m p1 L p n
G 0 (s ) = k
+ 1 )π
所以结论：实轴上线段右侧 右侧的零、极点数目之和为奇 右侧 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) = Ts + 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 − p=− T
jω
σ
−
1 − T =−1 F= 1 T 2k + 1 α= π=π 1
k' G0 ( s ) = s ( s + 0 .5 )
σ
k' ( s + 3 ) G( s ) = s( s + 1 )
jω
σ
-3 -1 0
0 −1+ 3 F= =1 2 α=π
规则五 两条或两条以上的根轨迹分支在S平面上某 点相遇后立即分开，则称该点为分离点，分 离点的坐标d可由以下方程求得：
n 1 1 ∑d−z =∑d− p j =1 i =1 j i m
n m
s → ∞ 时，认为所有开环零极点引向 的角相同 认为所有开环零极点引向s的角相同
(2 k + 1)π , (k = 0,±1,±2 L) ⇒θ =
n−m
（3）与实轴交点坐标： ）与实轴交点坐标：
∑ p − ∑Z
σ=
j =1 j i =1
i
极点坐标之和] 零点坐标之和 零点坐标之和] 极点坐标之和 σ =[极点坐标之和 - [零点坐标之和 即 极点数 – 零点数
(
)
d
1.5
-1
规则六 根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间 的夹角称为出射角； 的夹角称为出射角；进入复数零点的切线方 向与正实轴间的夹角称为入射角。 向与正实轴间的夹角称为入射角。 它们的计算公式为： 它们的计算公式为：
出射角 = 1800 + ∑ [各零点指向本极点的方向角 各零点指向本极点的方向角] 各零点指向本极点的方向角 其他极点指向本极点的方向角] ∑[其他极点指向本极点的方向角 其他极点指向本极点的方向角 其他零点指向本零点的方向角]+ 入射角 = 1800 - ∑ [其他零点指向本零点的方向角 其他零点指向本零点的方向角 各极点指向本零点的方向角] 各极点指向本零点的方向角 ∑[各极点指向本零点的方向角
r(s)
k s(s+1)
C(s)
G 闭环传函： (s ) =
D(s) = s2 + s + k = 0 则闭环特征方程为：
闭环特征根（即闭环传函的极点）： = − 1 + 1 1 − 4k s1
k = 0 .5
1 2
s2
k + s+ k
0 .5
2 2 1 1 s2 = − − 1 − 4k 2 2
jω
− p1 = 0 − p2 = −0.5
0 − 0.5 F= = −0.25 2 2k + 1 π 3π α= π= , 2 2 2
σ
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： 规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 ）条数： ） （2）与实轴所成角度 ） 当
mθ −nθ = (2k +1)π
n
=
d m ∏ ( s − z j )] ds j =1
∏ (s − z )
j j =1 m
m
d d ln[∏ ( s − pi ) = ln ∏ ( s − z j )] ds ds j =1 i =1
因为： 因为：
ln ∏ ( s − pi ) = ∑ ln(s − pi )
i =1 m i =1 m
第四章 控制系统根轨迹分析法
主要内容 闭环极点与根轨迹的概念 根轨迹的绘制规则 应用根轨迹图定性分析系统性能指标 重点掌握 根轨迹的绘制方法 Matlab Function: rlocus; rlocfind; sgrid
4.1 根轨迹的概念
一.根轨迹法是1948年伊凡思（Evans）提出的，该法是在
根轨迹的分离点：分离点在两极点之间， 根轨迹的分离点：分离点在两极点之间，会合点在两零 点之间。分离点(会合点)是闭环特征方程的重根。 点之间。分离点(会合点)是闭环特征方程的重根。
N (s ) G 0 (s ) = k D (s ) 闭环特征方程： 闭环特征方程：1 + G 0 ( s ) = 0 kN
消去k 消去k得
' '
kN (s ) + D (s ) = 0
(s ) + D (s ) = 0 ' ' N (s )D (s ) − N (s )D (s ) =
0
k(s +1) 求闭环根轨迹的分离点坐标。 求闭环根轨迹的分离点坐标。 2 s + 3s + 3.25 k(s +1) G(s) = (s +1.5 + j )(s +1.5 − j ) 1 1 1 + = ⇒ d1 = −2.12, d2 = 0.12 法一： d +1.5 + j d +1.5 − j d +1
m
为m个开环零点 为n个开环极点 ∏ s−Z
i
k——根轨迹增益
∏
i =1 n
=1
s − p
j n
j =1 m
arg G 0 (s ) =
∑
i =1
arg (s − Z i ) −
∑
arg s − p
j =1
(
j
) = (2 k
+ 1 )π , k = 0 , ± 1 L
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 模条件与角条件的作用： 角条件与k无关， 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（ 。（所以绘制根轨迹只要依据角条 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k 迹增益k值。
0.5k k' G0 ( s ) = = , s( s + 0.5 ) s( s + 0.5 ) k' = 0.5k
开环极点为： 开环极点为： jω -p2 × -0.5 -p1 0 σ
− p1 = 0 , − p2 = −0.5
无开环零点
×
4.1 根轨迹的概念
试探法 (1)在实轴上取 1= -0.1 在实轴上取S 在实轴上取 -p2 × -0.5 S1
G(s) H(s)
G( s ) M( s ) = 1 + G ( s )H ( s )
闭环传递函数分母方程 即特征方程 根轨迹方程
1 + G0 ( s ) = 0
G0 ( s ) = −1
4.1 根轨迹的概念
绘制根轨迹的条件： 3 绘制根轨迹的条件： 由G0 ( s ) = −1 得
G0 ( s ) = 1
已知控制系统开环传函的极、零点分布的基础上，研究某一个 或某些系统参数的变化对控制系统闭环传函极点分布影响的一 种图解法。
二.根轨迹 是指当系统某个参数（比如开环增益k）由零到
无穷大变化时，闭环特征根在[s]平面上移动的轨迹。
k G 举例： 开环传函： 0 (s) = s(s +1)
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
证明：闭环系统的特征方程为： 证明：闭环系统的特征方程为：
D( s ) = ∏ ( s − pi ) + k ' ∏ ( s − z j ) = 0
i =1 j =1 n m
根轨迹在S平面上某点相遇， 根轨迹在 平面上某点相遇，则意味着上式有重根 平面上某点相遇
代数方程有重根的条件： 代数方程有重根的条件：D(s)=0, dD(s)/ds=0
n−m
k' G0 ( s ) = s( s + 2 )( s + 4 )
jω
σ
பைடு நூலகம்-4 -2 0
0−2−4 F= = −2 3 2k + 1 5π π α= π = ,π, 3 3 3
F = −2 π α=± 4
k' G0 ( s ) = s( s + 1 )( s + 2 )( s + 5 )
jω
-5 -2 -1 0
m m i
因为 由根轨迹方程： ∏ (s − p ) ∏ (s − p ) 起点，即k=0。只有当 s → p 时，为无穷大。
j j j =1 j =1
i =1 n
= −1 ⇒
i
i =1 n
= −
1 k
j
终点，即 k → ∞ ,只有当 s
→ Z
i
或 s → ∞为0。
4.2 根轨迹的绘制规则
规则三： 规则三：实轴上的根轨迹 分析：（1）共轭复零点或极点所产生的相角等值反 号。所以不影响相角条件； （2）s点左侧零、极点相角都为0，所以也不影响相 角条件。 （3）s点右侧零、极点相角为 π 即奇数个 π 而相角条件 (2 k
(2)在复平面上取 (2)在复平面上取S2= -0.25 + j0.25 S2 • jω -p2 × -0.5
×
-p1 0 σ
-0.25
− ∠( s1 + p1 ) − ∠( s1 + p2 ) = −1350 − 450 = −1800