刚体绕定轴转动微分方程

mg N cos F sin
J C Fr
求解
ae ar

m sin 2 3 M m 2 m sin
2
圆柱的牵连运动为平动 a r r 整体动量水平方向守恒
m ( a r cos a e ) M a e 0
g
2 ( M m ) sin 3 M m 2 m sin
J O ( OA ) 1 3
2
O
A
ml
2
C
J O (C ) J C (C ) m (l R )

JO 4 3
1 2
ml
mR
2
2
m (l R )
mR
2
2

3 2
2 mlR
§6-3 刚体平面运动微分方程
一、运动微分方程
由质心运动定理得
D
m C r
F
i
C
rC
(e) m z ( F iz )
i ri ri
m
i
r
2 i
令Jz
m

i
r
2 i
——刚体对z轴的转动惯量,它是转动刚体惯性的度量 即
J z
(e) m z (F i )
——刚体定轴转动微分方程 定轴转动刚体转动惯量与转动角加速度的乘积等于 作用于刚体上的所有外力对转轴之矩的代数和。
2 C 2 C i i 2 i 2 i
m i x i 故 m i y i
m m
i
x C 0 y C 0
i
y'
m d 2 m i r i2 即 Jz md2 JC 显然 J z min J C
四、例题
【例6-1】图示质量为 m长度为l 的均 质直杆OA和质量为 m 半径为 R 的均质圆盘 C在A点刚性连接， 求系统对垂直于图面且过 O 点 的轴的转动惯量。 【解】 JO = JO(OA) + JO(C)
mg F
ae
N

m (sin f cos ) cos M 0 . 5 mf sin 2 m sin
2
mg N cos F sin
J C Fr
摩擦条件： F
ae
g
Nf
ar

整体动量水平方向守恒
m ( a r cos a e ) M a e 0
m O x
m O y
F F
ix
m aO F O F C F
0 mg N
O
2 2s aO vO 0
iy
J O
M
( F i)
4）摩擦条件：F=Nf 5）求解：

2 r ( F O 2 mgf ) s 3m

m r2 2
( F C F )r
§6-2 转动惯量
一、简单形体的转动惯量 均质细直杆
Jz
l
均质圆板
dr

mi ri
2
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O l dx x
R
均质薄圆环
Jz

m 2 dx x z 0 l O m l2 x 3
JO

R
0
m 2 2 rdr r 2 R
a By
a C a tCB sin 0
【例6-9】图示半径为r质量为m的均 FC A C 质圆轮上缠以无重水平细绳，A端固 mg 定。轮心O处作用一水平常力FO，轮 r ε 不水平地面间的动滑动摩擦因数为f。 FO O 设力FO足够大，使轮心O水平向右运 aO ω 动，轮子转动使丌可伸长细绳展开。 N 求在FO作用下轮心O从静止开始走过s F B 段路程时轮子的角速度和角加速度。 3）匀变速运动学条件 【解】1）列轮子运动方程
ar
( M m ) sin M m sin
2
g
显然圆柱只滑丌滚。
2）若斜面不圆柱粗糙接触， 圆柱作纯滚动。
m a Cx m ( a r cos a e )
ae
C
ε ar
mg F ae N
N sin F cos
m a Cy m ( a r sin )

( F i(e) ) mz
m z ( F it
(e)
m
(e) ( F it z
) m ) m
(e) (e) (e) ( F it F in F iz ) mz
mi a it ri • a in
Fi
(e)
(e) ( F in ) z
i a it r i
m
C r y
T
C y
3）求解
T 1 mg
3
y m C mg T m r2 Tr 2
I

C
C 2 g y
3
mg
【例6-7】 均质圆盘O和C的质量分别 N y 为M和m，半径分别为R和 r。 A 圆盘O 可绕通过点 O 的水平轴 O 转动，绳的一端绕在圆盘O上， T 另一端绕在圆盘 C上。求当圆 Mg y T 盘C下落时质心C的加速度及绳 B AB段的张力。 C 【解】1）轮O作定轴转动 B y 其平面运动微分方程 mg 为 C B Cr A Cr y y y y y J O O M O ( F i ) TR 其平面运动微分方程为 y m C F iy mg T 点A的加速度 A R O y
2
g
2 ( M m ) sin ( 3 M m 2 m sin ) r
2
g
3）若斜面不圆柱粗糙接触， 圆柱作既滑动又滚动。
m a Cx m ( a r cos a e )
ae
C
ε ar
N sin F cos
m a Cy m ( a r sin )
【证明】设质心C的坐标为 (xC,yC),则任一点mi的坐标满 足:xi=xC+ 2 i', yi=yC+ yi' x J z mi ri 2 m i ( x i2 y i ) 2 2 i ) ] m i [ ( x C x i ) ( y C y ( x y ) m m ( x y ) 2 x C m i x i 2 y C m i y i z' 轴过质心C, 则 x C y C 0
φ
刚体的平面运动可视为随质心 （基点）的平动和绕质心的转 动的合成。 由相对于质心的动量矩定理得
O
应用时多取投影式
m C F ix x y m C F iy J C M C ( F i )
J C
M
C
( F i)
2）C为瞬心，则满足 aO= rε， vO= rω

2 ( F O 2 mgf ) 3 mr
【例6-10】质量为m半径为r的均质圆柱C无初速的放 在质量为M倾角为 的斜面上，斜面不地面光 滑接触 。丌计滚动阻力，求斜面的加速度、圆 柱中心 C 点的相对加速度和角加速度。 【解】1）若斜面不圆柱光 ε ae C 滑接触，圆柱受力如 ar mg 图。
m a C mg N (1) J C 0 . 5 Nl sin ml ε 6 N sin (2)
a C 0 . 5 l sin (3)
a tCB cos a Bx 0 . 5 l cos 即 a B 0 . 5 l cos
m a Cx m ( a r cos a e ) N sin m a Cy m ( a r sin ) mg N cos
J C 0 ε 0
ae N

整体的动量在水平方向守恒
m ( a r cos a e ) M a e 0 m sin 2 g 求解：a e 2 2 ( M m sin )
( M m )(sin f cos ) M 0 . 5 mf sin 2 m sin
2
g
2 Mf cos ( M 0 . 5 mf sin 2 m sin ) r
2
求解
g
第六章
刚体定轴转动微分方程
☞§ 6-1 ☞§ 6-2
刚体定轴转动微分方程 转动惯量
☞*§ 6-3
刚体平面运动微分方程
§6-1 刚体定轴转动微分方程
设定轴转动刚体某瞬时的角速度为ω，角加速度为ε 设其上第i个质点所受的外力为 F i( e ) ，内力为 F i( i ) 因刚体作定轴转动，故只考虑力矩的效应
二、例题 O 【例6-6】均质圆轮C质量为m，其上绕 以细绳，绳的一端固定于O点。 求其下降时质心 C 的加速度和绳 的拉力。 【解】1）轮C作平面运动 2）轮C左边沿不绳 运动微分方程为 接触点I为瞬心
m C y J C
C
F M
iy
C
( F i)
3 g sin 2 2 (1 3 sin 2 ) 6 g sin (1 3 sin ) l
2
（ 4）
O aC A
2）分析B点的加速度
n a C a tCB a CB aB
3）求解
aB
N
t CB
n 因ω=0，故 a CB 0 求aB的投影

a

B aC
C mg
A
O
Cr
C
2）轮C作平面运动 y 点B为相对瞬心 Cr r C 点C的绝对加速度