3.1.1方程的根和函数的零点讲义李春林

f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
由表3-1和图3.1—3可知 y f(2)<0,f(3)>0， 即f(2)· f(3)<0， 14 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 4 由于函数f(x)在定义域 2 (0,+∞)内是增函数，所以 0 它仅有一个零点。 －2
y
4 3 2 1
.
－1
.
0
1
.2
3
x
－2 －3 －4 －5 －6
.
2(1) f(x)= －x3－3x+5 2(1)解：作出函数的图象，如下： 因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0, 所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。
y
1
[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)· f(1.5)<0 （0.5 , 1.5) x＝1 lgx=0的一个根. .
1
0
.
.
2
x
结 论 并且有 f (a ) f (b) 0 ，那么，函数 y f ( x) 在区间 a, b 内有零点，
如果函数 y f ( x) 在区间 a, b上的图象是连续不断的一条曲线，
－1
y
5
.4
3 2 1
. . .
2 3
.
0
1
x
(3) x2 ＝4x－4 1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x ＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 函数f(x)的图象，如下： 它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
－1
y
.
.
3 2 1
6 5 4
.
.
0
1,0
无交点
y=x2-2x+3 无实根
一般一元二次方程与相应二次函数的关系 ⊿=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象与x轴的交点 的根
⊿>0 ⊿=0 ⊿<0
x1,x2 x1=x2 无实根
（x1,0），（x2，0） （x1，0） 无交点
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。 注意：
y
2 1 0
－1
. .
2 3 4 5
1
x
-2 -3
. .
2(3) f(x)=ex－1+4x－4 2(3)解：作出函数的图象， 如下： 因为f(0)≈－3.63<0,f(1) ＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ， ＋∞）上的增函数，所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。
2
x 1
2 f ( x) 3
x 2
2
3 f ( x) log3 x 2 x 4
3：函数 f x x k 2 x k 3k 5 （1）若函数的两个零点是-1 和-3 ， 求k的值； （2）若函数的两个零点是 和 求 2 2 的 取值范围
零点指的是一个实数；
方程f(x)=0有实数根
零点是一个点吗?一元 二次函数零点如何求
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
探究
观 察 二 次 函 数 f ( x) x 2 2 x 3 的 图 象，如右图，我们发现函数 f ( x) x2 2 x 3在 区间 2,1 上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间
2 2
4：
2 函数 f ( x ) Inx 的零点所在的大致区间是（ x
）
A． 1,2
B． 2,3
1 C．1, 和 3,4 e
D． e,
小结与思考
函数零点的定义 等价关系 函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断
作业： P92
A组 1- 2,
.
y
.5 4 .
3 2 1
.
1 2 3
0
－1
x
.
2(2) f(x)=2x · ln(x－2)－3 2(2)解：作出函数的图象，如下： 因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)= 2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数， 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
－5
. －2 20 －4 .－3 . －1 0
－20 －40
. .
3
1
2
4
5
x
.
.
.
－ . 60 . .
－80
练习2：
1.二次函数 y ax bx c(a 0) ， a c 0
2
则函数的零点个数是（ ） 2.求下列函数的零点个数
1 f ( x) x
3
x 4x 4
1.若函数 f(x)=ax+b有一个零点2,求函数
g(x)=bx2-ax的零点 2. 已知关于x的方程 3x 5x a 0 的一个根在 (-2,0)内，另一根在(1,3)内，求实数a的取值范 围.
2
3.已知 a R，讨论关于 x的方程 x 6 x 8 a
2
的实数解的个数
即存在 c a,b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
a
b
a
b
a
b
a
b
例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。 解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.
(1) －x2＋3x＋5＝0 1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下： 它与x轴有两个交点，所以 方程－x2＋3x＋5＝0有两个不 相等的实数根。
y
8
6
4
2
.
－2 －1
0
2
3 4
x
(2) 2x(x－2)＝－3 1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x ＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 它与x轴没有交点，所以方程 2x(x－2)＝－3无实数根。
3.1.1方程的根与函数的零点
先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相 应的二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与x轴 的交点
x2-2x-3=0
x1 1 x2 3
y=x2-2x-3
1,0, 3,0
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
x1 x2 1 y=x2-2x+1
－4 －6
. .3 ..
4
.
.
.
2 3
.
5 6 7 8 9 10
1
2
x
.
练习1：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）－x2＋3x＋5＝0； （2）2x(x－2)＝－3； （3） x2 ＝4x－4；
（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1）f(x)= －x3－3x+5； （2）f(x)=2x · ln(x－2)－3； （3）f(x)=ex－1+4x－4;
－2 －1
y
2 1
.
.
1 2 3 4
0
－1 －2 －3
x
.
.
－4
2(4) f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x 2(4)解：作出函数的图象，如下： 因为f(－4)＝－4<0,f(－ 3)＝15>0, f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0, 所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间 (－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有 y 一个零点。 40
y 5 4
3
2 1
-2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x
2, 4上是否也具有这种特点呢？
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象: y . . [－2,1] f(－2)>0 f(1)<0 f(－ 2 2)· f(1)<0 1 . . －2 －1 0 x2－2x－3＝0的一 1 2 3 4 x （－2,1）x＝－1 －1 f(4)<0 个根 [2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)· －2 －3 （2,4）x＝3 x2－2x－3＝0的另 －4 . 一个根 观察对数函数f(x)=lgx的图象:
1
2
.
3
4
x
(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5 1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为 2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋ 2x－5 , 作出函数f(x)的图象， 如下： 它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不 相等的实数根。