2021新高考数学二轮复习：专题六 6.4.2 随机变量及其分布
数学高考总复习：随机变量及其分布
随机变量及其分布知识网络知识要点梳理知识点一：离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：2．离散性随机变量的分布列：3．离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）p i≥0,i=1,2…；（2）P1+P2+…=1知识点二：离散型随机变量的二点分布知识点三：离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，于是得到随机变量的概率分布如下：若～，则，。
知识点四：离散型随机变量的几何分布独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量。
表示在第k次独立重复试验时该事件第一次发生，如果把第k次重复试验时事件A发生记作A k，事件A不发生记作且称这样的随机变量服从几何分布，记作其中若随机变量服从几何分布，则，知识点五：超几何分布在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为：，其中，为超几何分布列。
离散型随机变量X服从超几何分布。
若随机变量X服从超几何分布，则，。
知识点六：离散型随机变量的期望与方差1、离散型随机变量的期望：2、离散型随机变量的方差：经典例题精析类型一：独立重复试验的概率1、把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率【变式1】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？【变式2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．类型二：分布列的性质2试求出常数c与ξ的分布列。
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．【变式2】随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是_______．类型三：离散型随机变量的分布列3、某人参加射击，击中目标的概率是。
高中数学随机变量及其分布内容简介
高中数学随机变量及其分布内容简介
随机变量是概率论中的重要概念，指的是一个变量的取值由随机试验的结果决定。
在高中数学中，我们常常接触到一些常见的随机变量及其分布，这些内容是数学学习中的重要一环。
首先，我们要了解离散随机变量及其分布。
离散随机变量是指只取有限个或可数无限个可能值的随机变量。
在离散随机变量的分布中，最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数的概率分布，而泊松分布则是用于描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生的次数的分布。
另外，连续随机变量及其分布也是我们需要了解的内容。
连续随机变量是指取值在一段或多段连续区间内的随机变量。
在连续随机变量的分布中，最常见的是正态分布和指数分布。
正态分布是一种在数学、物理、工程领域中非常常见的分布，其形状呈钟形曲线，具有均值和标准差这两个参数。
而指数分布则是描述独立随机事件发生的时间间隔的分布。
在学习高中数学中的随机变量及其分布时，我们需要掌握如何计算随机变量的期望值、方差以及概率分布等重要性质。
通过学习随机变量及其分布，我们可以更好地理解概率论中的概念，为后续的数学学习打下坚实的基础。
总的来说，高中数学中的随机变量及其分布是一项重要的内容，通过学习这一部分知识，我们可以更好地理解概率论的相关概念，提高数学分析和问题解决的能力。
希望同学们能够认真学习这一部分内容，掌握其中的关键知识点，为未来的学习和发展打下良好的基础。
2021高考数学总复习专题系列——随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机分布3.学生版
1． 离散型随机变量及其分布列⑴离散型随机变量假如在试验中，试验可能毁灭的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 假如随机变量X 的全部可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X 全部可能的取值i x 与该取值对应的概率i p (1,2,,)i n =列表表示：X 1x 2x … i x … n x P1p2p…i p…n p我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列．2．几类典型的随机分布⑴两点分布假如随机变量X 的分布列为X 1 0 P p q其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 听从参数为p 的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布．X 1 0P 0.8 0.2两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．⑵超几何分布一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从全部物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 听从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以依据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列．⑶二项分布1．独立重复试验假如每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且大事A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，大事A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n kn n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 2．二项分布若将大事A 发生的次数设为X ，大事A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验中，大事A 恰好发生k 次的概率是()C k k n kn P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =．于是得到X 的分布列 X 01… k… nP00C nn p q111C n n p q -…C k k n kn p q -…C n n n p q由于表中的其次行恰好是二项开放式001110()C C C C n n n k k n kn n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 听从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 听从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑷正态分布1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，假如把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布⑴定义：假如随机现象是由一些相互独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似听从正态分布． 听从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πx f x eμσσ--=⋅，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态学问内容二项分布x=μOy x变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则． ⑷若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dtξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特殊的，2~(01)N ξμσ-，，称221()2t x x e dt φ--∞=⎰π为标准正态分布函数．()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．3．离散型随机变量的期望与方差1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 全部可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）． 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 全部可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．()D X 的算术平方根()D x 叫做离散型随机变量X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，； 4． 典型分布的期望与方差：⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．⑵二项分布：若离散型随机变量X 听从参数为n 和p 的二项分布，则()E X np =，()D x npq =(1)q p =-．⑶超几何分布：若离散型随机变量X 听从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nM E X N =，2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-．4．大事的独立性假如大事A 是否发生对大事B 发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这时，我们称两个大事A ，B 相互独立，并把这两个大事叫做相互独立大事．假如大事1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个大事都发生的概率，等于每个大事发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯，并且上式中任意多个大事i A 换成其对立大事后等式仍成立．5．条件概率对于任何两个大事A 和B ，在已知大事A 发生的条件下，大事B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示．把由大事A 与B 的交（或积），记做D A B =（或D AB =）．二项分布的概率计算【例1】 已知随机变量ξ听从二项分布，1~(4)3B ξ，，则(2)P ξ=等于 ．【例2】 甲乙两人进行围棋竞赛，竞赛实行五局三胜制，无论哪一方先胜三局则竞赛结束，假定甲每局竞赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ）A ．827 B ．6481 C ．49 D ．89【例3】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）【例4】 某人参与一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）【例5】 接种某疫苗后，毁灭发热反应的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人毁灭发热反应的概率为 ．（精确到0.01）【例6】 从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）．【例7】 一台X 型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是（ ）典例分析A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728【例8】设在4次独立重复试验中，大事A发生的概率相同，若已知大事A至少发生一次的概率等于65 81，求大事A在一次试验中发生的概率．【例9】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．假如每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷放射器同是向敌舰各放射l枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）．【例10】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数 的概率分布列及至少有一件次品的概率．【例11】某公司拟资助三位高校生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位高校生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12．若某人获得两个“支持”，则赐予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则赐予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．【例12】某商场经销某商品，顾客可接受一次性付款或分期付款购买．依据以往资料统计，顾客接受一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客接受一次性付款，商场获得利润200元；若顾客接受分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位接受一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例13】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则家具城返还顾客现金200元．某顾客消费了3400元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率．。
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型
高考数学知识点精讲常见随机变量的分布类型高考数学知识点精讲：常见随机变量的分布类型在高考数学中，随机变量的分布类型是一个重要的知识点，理解和掌握这些分布类型对于解决概率相关的问题至关重要。
下面我们就来详细讲解一下常见的随机变量分布类型。
首先，我们来认识一下什么是随机变量。
简单来说，随机变量就是把随机试验的结果用数字表示出来。
比如说掷骰子，我们可以定义随机变量 X 为骰子掷出的点数，那么 X 可能取值 1、2、3、4、5、6。
常见的随机变量分布类型主要有以下几种：一、离散型随机变量的分布1、两点分布两点分布是最简单的一种离散型随机变量分布。
比如抛一枚硬币，正面朝上记为1，反面朝上记为0，那么这个随机变量就服从两点分布。
其概率分布为 P(X ＝ 1) ＝ p，P(X ＝ 0) ＝ 1 p ，其中 0 ＜ p ＜ 1 。
2、二项分布二项分布在实际生活中有很多应用。
比如进行n 次独立重复的试验，每次试验只有两种结果（成功或失败），成功的概率为 p ，失败的概率为 1 p 。
那么成功的次数 X 就服从二项分布，记为 X ～ B(n, p) 。
二项分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选出 k 个元素的组合数。
举个例子，假设一批产品的次品率为 02，从这批产品中随机抽取10 个，那么抽到次品个数 X 就服从二项分布 B(10, 02) 。
3、超几何分布超几何分布与二项分布有点类似，但适用的场景略有不同。
超几何分布是从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数 X 就是超几何分布。
超几何分布的概率公式为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／C(N, n) 。
比如说在一个有 50 个球，其中 20 个红球，30 个白球的盒子中，随机抽取 10 个球，红球的个数 X 就服从超几何分布。
高中数学知识点总结：随机变量及其分布
高中数学知识点总结：随机变量及其分布随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
高考数学二轮专题复习第20课时随机变量及其分布课件理
3， 10
PX
3
C11C31C22 C62C42
1 ，随机变量X的分布列为 30
EX 7.
6
16
3.二项分布 【例3】(2011·3月新昌中学模拟)一袋中有6个黑球， 4个白球． (1)依次取出3个球，不放回，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (2)有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是 白球，求第三次取到黑球的概率； (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数X的 分布列和数学期望．
(123, 234，，789)，因此P X
2
7 C93
1. 12
X 1有42种情况，即 12 4,5, 6, 7,8,9 6个，
23 5, 6, 7,8,9 5个， 34 1, 6, 7,8,9 5个，
ห้องสมุดไป่ตู้
45 1, 2, 7,8,9 5个， 56 1, 2,3,8,9 5个，
20
【变式训练】(2011 4月金华一中模拟)检测部门决定对某 市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、 C三级，每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上 、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都 是B级，则该教室的空气质量不合格，设各教室的空气 质量相互独立，且每次检测的结果也是相互独立，根据 多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C 三级的频率依次为 3，1，1。
随机变量及其分布PPT课件
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
随机变量及其分布课件
多维随机变量的数学期望与方差
数学期望
多维随机变量的期望值是每个随机变量期望值的 线性组合。
方差
多维随机变量的方差是每个随机变量方差和协方 差的组合。
协方差
衡量两个随机变量之间的线性相关程度。
Байду номын сангаас
PART 05
随机变量的变换
REPORTING
WENKU DESIGN
线性变换
1 2
线性变换公式
$Y = aX + b$，其中$a$和$b$是常数，$X$是 随机变量，$Y$是变换后的随机变量。
超几何分布
当从一个有限总体中不放回地抽取样本时，所得到的离散型随机变量服从超几何分布。
离散型随机变量的数学期望与方差
数学期望
离散型随机变量的数学期望是所有可能取值的概率加权和，表示随机变量取值的平均水平。
方差
离散型随机变量的方差是所有可能取值的概率加权平方和的平均值，表示随机变量取值分散程度的度 量。
随机事件的概率计算
在概率论中，随机事件的概率可以通过随机变量的取值来 计算，随机变量为随机事件的概率计算提供了具体的方法 和手段。
在统计学中的应用
01
样本数据的统计分析
在统计学中，随机变量被广泛用于样本数据的统计分析，如均值、方差、
协方差等统计量都是基于随机变量的计算。
02 03
参数估计与假设检验
线性变换的性质
线性变换保持了均值、方差和线性关系等统计特 性。
3
线性变换的应用
在回归分析、时间序列分析和实验设计中广泛使 用。
非线性变换
非线性变换公式
$Y = f(X)$，其中$f$是一个非线性函数，$X$是随机变量，$Y$ 是变换后的随机变量。