苏教版高中数学必修4同步课堂精练-1.3.1三角函数的周期性.docx
苏教版数学高一必修4学案三角函数的周期性
1.3.1三角函数的周期性学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期．知识点一周期函数思考单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．梳理(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个____________T，使得定义域内的每一个x值，都满足________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个____________，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数的周期思考6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？梳理(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(2)正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是π.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.类型一 求三角函数的周期例1 求下列函数的周期：(1)y ＝3sin(π2x ＋π6)； (2)y ＝2cos(－x 2＋π4)； (3)y ＝|sin x |.反思与感悟 求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法：对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，有T ＝2π|ω|. (3)观察法(图象法)．跟踪训练1 (1)函数y ＝3cos(12x －π6)的最小正周期为________． (2)y ＝2cos(ωx ＋π6)的最小正周期为π，则ω＝________. 类型二 利用周期求函数值例2 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值．反思与感悟 (1)利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z )的函数值转化为x 的函数值．(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x 的函数值，从而可解决求值问题．跟踪训练2 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值．类型三 函数周期性的综合应用例3 设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，求f (7)的值．引申探究将例3中的条件f (x ＋2)＝－f (x )改为：f (x )的图象关于x ＝1对称，其余条件不变，求f (7)的值．反思与感悟 (1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质． 跟踪训练3 设函数f (x )(x ∈R )是以2为周期的函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝(x －1)2.(1)求f (3)；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．1．下列说法中，正确的是________．(填序号)①因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是函数y ＝sin x 的一个周期；②因为tan(2π＋x )＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的最小正周期；③因为当x ＝π4时，等式sin(π2＋x )＝sin x 成立，所以π2是函数y ＝sin x 的一个周期； ④因为cos(x ＋π3)≠cos x ，所以π3不是函数y ＝cos x 的一个周期． 2．函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(ω>0)的周期为π4，则ω＝________. 3．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期为________． 4．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝cos(－2x －π3)； (2)y ＝4sin(ax ＋π6)(a ≠0)．1．函数周期性的理解：(1)对于“f (x ＋T )＝f (x )”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x ，x ＋T 仍在定义域内且等式成立．(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么kT (k ∈Z ，k ≠0)也一定是函数的周期．(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f (x )＝C 没有最小正周期．2．求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法：对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|. (3)观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.答案精析问题导学知识点一思考 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x )＝sin x ，cos(2π＋x )＝cos x ．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．梳理 (1)非零的常数 f (x ＋T )＝f (x )(2)最小的正数知识点二思考 是的．由sin(6π＋x )＝sin x 恒成立，根据周期函数的定义，可知6π是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．题型探究例1 解 (1)T ＝2πω＝2ππ2＝4. (2)y ＝2cos(－x 2＋π4)＝2cos(x 2－π4)， ∴T ＝2π12＝4π. (3)由y ＝sin x 的周期为2π，可猜想y ＝|sin x |的周期应为π.验证：∵|sin(x ＋π)|＝|－sin x |＝|sin x |，∴由周期函数的定义知y ＝|sin x |的周期是π.跟踪训练1 (1)4π (2)±2例2 解 ∵f (x )是以π2为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－f ⎝⎛⎭⎫－π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝f (π2－π3)＝－f (π3)， 又∵f (π3)＝1， ∴f (－5π6)＝－f (π3)＝－1. 跟踪训练2 32例3 解 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数，∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，∴f(7)＝－f(1)＝－1.引申探究解函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．又函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.跟踪训练3(1)0(2)(x－3)2当堂训练1．④ 2.8 3.π 4.(1)π(2) 2π|a|。
高一数苏教必修四讲义：第1章 1.3 1.3.1 三角函数的周期性 Word含答案
三角函数的图象和性质1．3.1三角函数的周期性预习课本P24～25，思考并完成下列问题1．周期函数的定义是什么？2．什么是最小正周期？3．y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的周期的计算公式是什么？[新知初探]1．周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．2．最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(3)正切函数y ＝tan x 也是周期函数，并且最小正周期是π.3．一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.[点睛] (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)如果T 是函数ƒ(x )的一个周期，则nT (n ∈Z 且n ≠0)也是ƒ(x )的周期．[小试身手]1．函数y ＝5sin 25x 的最小正周期是________．★答案★：5π2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4的最小正周期为________． ★答案★：π33．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期为________． 解析：T ＝2π|－2|＝π. ★答案★：π4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是________． ①f (x )是最小正周期为1的函数； ②f (x )是最小正周期为2的函数； ③f (x )是最小正周期为12的函数；④f (x )是最小正周期为π的函数．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2ππ＝2.★答案★：②求三角函数的周期[典例] (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π3；(2)f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4； (3)f (x )＝14sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3； (4)f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π4(a ≠0)． [解] (1)∵T ＝2π13＝6π，∴最小正周期为6π.(2)∵T ＝2π|－3|＝2π3，∴最小正周期为2π3.(3)∵T ＝2π12＝4π，∴最小正周期为4π. (4)∵T ＝2π|2a |＝π|a |，∴最小正周期为π|a |.(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|； (2)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|. [活学活用]1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期为________． 解析：∵T ＝2ππ2＝4， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期为4. ★答案★：42．若f (x )＝－5sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3的最小正周期为π5，求k 的值． 解：由T ＝2π|k |＝π5.∴|k |＝10，∴k ＝±10. 利用周期求函数值[典例] 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值． [解] f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－f ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π2－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1.(1)利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z)的函数值转化为x 的函数值．(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x 的函数值，从而可解决求值问题． [活学活用]定义在R 上的函数ƒ(x )既是偶函数，又是周期函数，若ƒ(x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝sin x ，求ƒ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 解：∵ƒ(x )是周期函数，且最小正周期为π， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＋2π＝ƒ⎝⎛⎭⎫－π3. 又∵ƒ(x )是偶函数， ∴ƒ⎝⎛⎭⎫－π3＝ƒ⎝⎛⎭⎫π3. ∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝32. ∴ƒ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.周期性质的应用[)＝x ，求f (7)的值．[解] 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的函数，从而得f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. [一题多变]1．[变条件]设f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，求f (7)的值．解：∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的函数， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)， 又∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (－1)＝－f (1)，而当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (1)＝2×12＝2， ∴f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．[变条件]设f (x )在R 上是奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，求f (7)的值．解：函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )． 又函数f (x )的图象关于x ＝1对称， 则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．从而得f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.3.[变条件]设f (x )在R 上是奇函数，满足f (x )·f (x ＋2)＝－13，若函数f (x )是增函数，求f (7)的值．解：由f (x )·f (x ＋2)＝－13，得f (x ＋2)＝－13f (x )， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－13f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∵f (－1)·f (1)＝－13，所以f 2(1)＝13， ∵函数f (x )是增函数，∴f (1)＝13， ∴f (7)＝f (2×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－13.由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得： (1)若函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x (f (x )≠0)恒成立，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f x ＋1f x －1(f (x )≠1)，则T ＝2a .层级一 学业水平达标1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为________．★答案★：π2．函数y ＝cos (1－3x )π2的最小正周期为________．解析：y ＝cos (1－3x )π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－3π2x ＝sin 3π2x ，故T ＝2π3π2＝43. ★答案★：433．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π4，则ω＝________. 解析：由题意T ＝2πω＝π4，∴ω＝2π×4π＝8.★答案★：84．函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π3，得ω＝3，∴f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x －π3， ∴f (π)＝3cos ⎝⎛⎭⎫3π－π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝－3cos π3＝－32.★答案★：－325．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解析：由于f (x )的周期为5， 所以f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)． 又f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1. ★答案★：－16．已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)＝____________.解析：由诱导公式知sin ⎝⎛⎭⎫n ＋126π＝sin ⎝⎛⎭⎫n π6＋2π＝sin n π6， ∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0,102＝12×8＋6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋…＋sin 6π6＝2＋ 3. ★答案★：2＋ 37．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是________． 解析：∵T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π，又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.★答案★：138．下列说法中，正确的是____________(填序号)． ①∵sin(π－x )＝sin x ，∴π是函数y ＝sin x 的一个周期； ②∵tan(2π＋x )＝tan x ，∴2π是函数y ＝tan x 的最小正周期；③∵当x ＝π4时，等式sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝sin x 成立，∴π2是函数y ＝sin x 的一个周期； ④∵cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≠cos x ，∴π3不是函数y ＝cos x 的一个周期． 解析：根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y ＝tan x 的一个周期，但不是最小正周期．★答案★：④9．求下列函数的最小正周期． (1)f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x ； (2)f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)． 解：(1)T ＝2π⎪⎪⎪⎪－16＝12π， 即函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π3－16x 的最小正周期为12π. (2)T ＝2π|m |，即函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫mx ＋π6(m ≠0)的最小正周期为2π|m |. 10．已知ƒ(x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，求ƒ(x )的解析式．解：x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 因为x ∈0，π2时，ƒ(x )＝1－sin x ，所以ƒ(3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又ƒ(x )是以π为周期的偶函数， 所以ƒ(3π－x )＝ƒ(－x )＝ƒ(x )，所以ƒ(x )的解析式为ƒ(x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤5π2，3π.层级二 应试能力达标1．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3. ★答案★：32．若函数f (x )＝cos ωx (0＜ω＜5)满足f (x ＋π)＝f (x )，则ω＝________. 解析：∵f (x ＋π)＝f (x )，∴π为函数f (x )的最小正周期的整数倍． 又∵T ＝2πω，0＜ω＜5， ∴ω＝2或4. ★答案★：2或43．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)＝________.解析：据题意f (7)＝f (－1＋8)＝－f (1)， 所以f (1)＋f (7)＝0，又f (4)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (4)＋f (7)＝0. ★答案★：04．函数y ＝sin 3x ＋sin x ·cos 2x 的最小正周期是________．解析：y ＝sin 3x ＋sin x ·cos 2x ＝sin x (sin 2x ＋cos 2x )＝sin x ，周期T ＝2π. ★答案★：2π5．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22.★答案★：226．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．解析：∵1<2πω<3，∴2π3<ω<2π，∴正整数ω的最大值是6.★答案★：67．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫k 10x ＋π3，其中k ≠0，当自变量x 在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k 的值．解：∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫k 10x ＋π3的最小正周期为 T ＝2π⎪⎪⎪⎪k 10＝20π|k |. 由题意知T ≤1，即20π|k |≤1，|k |≥20π≈62.8. ∴最小正整数k 的值为63.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值． 解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒ(x ＋2)＝－1－1ƒ(x )＝ƒ(x )， ∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是ƒ(x )的一个周期． ∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5， ∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1) ＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。
苏教版数学高一苏教版必修4学案1.3.1三角函数的周期性
课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时， 令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21 C.23- D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。
苏教版数学高一-必修4作业纸 1.3.1三角函数的周期性
课题：§1.3.1三角函数的周期性作业纸 总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题：1.写出下列函数的周期: (1)x y 43sin=； (2)x y 4cos =； (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42cos 2πx y ；(4))35sin(3ππ+=x y .(1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2.若函数⎪⎭⎫⎝⎛+=3cos 2πωx y 的最小正周期是π4,其中()0>ω，则=ω ． 3.函数)62tan(2)(π-=x x f 的最小正周期为________.4.已知)()2(x f x f =+对于R x ∈恒成立，则函数)(x f y =周期为_________.5．函数2sin xy =的最小正周期是6.如图是函数,0)(sin()(ωϕω>+=A x A x f 的图象的一部分，且)(x f 是周期函数，则ω7.设函数()f x 是定义在R 上最小正周期为52π且sin (0)()cos (0)x x f x x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩，则11()4f π-= .8.已知函数)(x f 对于R x ∈满足)()3(x f x f =+，且当20<<x 时x x x f -=22)(， 则=)10(f .9.已知函数()y f x =是定义在R 上的周期为4的奇函数，则(4)f 的值为_________. 10．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，),()4(x f x f -=+且,5)3(=f 则=-)21(f ______________，=)2005(f ______________.二、解答题：11．如图是周期为π2的函数)(x f 在]2,0[π上的图象，请画出该函数在]4,2[ππ上的图象.x12. 已知)(1)3(x f x f -=+对于任意的R x ∈恒成立. (1)求证:()x f 是周期函数，并求出它的最小正周期;(2)若(1)2f -=，求)2012(f 的值.13.(1)已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，1)(2+=x x f ，求)(x f 的解析式，并画出)(x f 的简图；(2) 已知)(x f 是定义在R 上的周期函数,周期为2，当]1,1[-∈x 时，1)(2+=x x f ， 求]3,1[∈x 时)(x f 的解析式，并画出)(x f 在]5,1[-上的简图.三、作业错误分析及订正：2．填空题具体订正：_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。
苏教版数学高一必修4试题 1.3.1三角函数的周期性
1．3.1 三角函数的周期性情景：自然界中存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．从正弦函数、余弦函数的定义可知，角α的终边每转一周又会与原来的位置重合，故sin α，cos α的值也具有周而复始的变化规律．思考：正弦函数、余弦函数及正切函数它们都是周期函数吗？其周期分别为多少？你能给周期函数下一个定义吗？基础巩固1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π4的最小正周期是________．答案：4π2．已知函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈时，f(x)＝2x ，则f(2 014)＝________.答案：13．函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的最小正周期是________．答案：π34．y ＝cos(πx ＋1)的最小正周期为________．答案：25．直线y ＝a(a 为常数)与正切曲线y ＝tan ωx(ω为常数，且ω＞0)相交的相邻两点间的距离是________．答案：πω能力升级6．设函数f(x)是周期为2T 的函数，若f(x)定义域为R ，且其图象关于直线x ＝T 对称，那么f(x)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：∵f(x)的图象关于x ＝T 对称，∴f(T －x)＝f(T ＋x)． ①又f(x)的周期为2T ，∴f(T ＋x)＝f(T ＋x －2T)＝f(x －T)． ②由①、②有f(T －x)＝f(x －T)．令x －T ＝t ，则f(－t)＝f(t)对一切t ∈R 都成立，∴f(x)是偶函数．答案：B7．为使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________．解析：要使y ＝sin ωx 在区间上至少出现50次最大值，此区间至少含有4914个周期． 4914T≤1，又T ＝2πω，∴4914×2πω≤1，∴ω≥1972π. 答案：197π28．若函数f(x)＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：T ＝πk ，1＜πk ＜2，π2＜k ＜π，而k ∈N ⇒k ＝2或3. 答案：2或39．若函数f(x)的定义域为R ，对一切实数x ，都有f(5＋x)＝f(5－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，试判断f(x)是否是周期函数，若是，求出它的一个周期，若不是，请说明理由．解析：∵f(5＋x)＝f(5－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，∴f(10－x)＝f(x)，f(14－x)＝f(x)，∴f(14－x)＝f(10－x)，令t＝10－x，则f(4＋t)＝f(t)，所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期．。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课时训练(含解析)苏教版必修4(2021年
高中数学第一章三角函数1.3.1 三角函数的周期性课时训练（含解析）苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.3.1 三角函数的周期性课时训练（含解析）苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．3.1 三角函数的周期性课时目标1．了解周期函数，函数的周期、最小正周期.2。
掌握形如y＝A sin(ωx＋φ），y＝A cos(ωx ＋φ）(A≠0)的函数周期计算方法T＝错误!。
3.会用函数的周期性解决简单实际问题．1．周期函数的概念一般地，对于函数f（x)，如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f（x＋T)＝f(x)，那么函数f（x)就叫做________________，非零常数T叫做这个函数的________．2．最小正周期的概念对于一个周期函数f（x)，如果在它所有的周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期．3．y＝A sin（ωx＋φ)，y＝A cos(ωx＋φ）的周期一般地,函数y＝A sin（ωx＋φ)及y＝A cos（ωx＋φ）(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝______。
一、填空题1．函数y＝3sin(2x＋错误!）的最小正周期是________．2．函数f(x)＝cos错误!的最小正周期为错误!，其中ω〈0，则ω＝________。
3．已知函数f（x)＝6cos错误!的最小正周期为错误!，则ω＝________.4．函数y＝sin3x＋sin x·cos2x的最小正周期是____．5．若函数f(x)＝2tan错误!的最小正周期T满足1〈T〈2，则自然数k的值为________．6．已知函数f（x）＝8sin错误!－2的最小正周期不大于3，则正整数k的最小值是________．7．函数y＝2sin错误!－cos错误!＋7的最小正周期是________．8．若函数f（x)＝2cos错误!的最小正周期为T，且T∈（1，3），则正整数ω的最大值是________．9．已知周期函数f(x）是奇函数,6是f(x）的一个周期,且f(－1）＝1，则f（－5）＝________. 10．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x)的最小正周期是π，且当x∈错误!时，f（x）＝sin x，则f错误!的值为________．二、解答题11．求函数y＝3sin错误!的周期．12．设f(x）是定义在R上且最小正周期为错误!π的函数，在某一周期上f（x）＝错误!，求f(－错误!）的值．能力提升13．若函数f(n)＝sin错误!(n∈Z),求f(1）＋f（2）＋f（3)＋…＋f(2 011)的值．14．证明：错误!是函数f(x)＝｜sin x｜＋|cos x|（x∈R)的最小正周期．1．“f(x＋T）＝f（x）”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立,T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值．应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f（2x＋T)＝f（2x），T不是周期，而应写成f（2x＋T）＝f错误!＝f（2x)，则错误!是f(x)的周期．2．周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈N＊)一定也是周期．并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)＝C(C为常数),x∈R，当x 为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T）＝C，因此f(x）是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最小者，所以f（x）没有最小正周期．3．一般地,函数y＝A sin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝A cos（ωx＋φ)，x∈R(其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω〉0）的周期为T＝错误!.§1.3三角函数的图象和性质1．3。
苏教版数学高一苏教版必修4课前引导1.3.1三角函数的周期性
高中数学-打印版
最新版高中数学 1.3 三角函数的图象和性质
1.3.1 三角函数的周期性
课前导引
问题导入
在日常生活中我们知道，如果今天是星期一，那么过7天后的那一天是星期一，再过7天后的那一天仍然是星期一，如此这般，一遍一遍地循环变化，周而复始.这就是人们常谈的周期性.然而在数学上也能反映出美丽的规律曲线，如下图A 、B 、C.
请问：这些图象都呈现出怎样的变化规律?
解析：图象呈现这样的变化规律：当x 取值变化时，y 呈有规律的周期变化，这种变化是本节要学的周期性.
知识预览
1.周期函数：对于函数f(x)如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
2.最小正周期：对于周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)(其中A 、ω、φ为常数，且A≠0,ω＞0)的周期T=ωπ2.。
高中数学 第1章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性成长训练 苏教版必修4(2021年整理)
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修4夯基达标1.函数y=|sinx ｜的周期是（ ）A 。
4π B.2π C.2π D.π 解析：y=.0sin ,0sin sin sin <≥⎩⎨⎧-x x x x图象如图所示所以y=|sinx|的周期为π.答案：D2.若f(x ）sinx 是周期为π的奇函数。
则f(x ）可以是（ ）A.sinxB.cosx C 。
sin2x D.cos2x解析:当f(x)=cosx 时，f(x)sinx=21sin2x 是周期为π的奇函数。
答案:B 3.函数y=4sin （3x+4π）+3cos(4π—3x)的最小正周期是（ ） A.6π B.2π C.32π D 。
3π 解析：y=4sin(3x+4π）+3cos(4π—3x ）=4sin(3x+4π)+3sin[2π-（4π—3x ）］=4sin （3x+4π）+3sin （4π+3x ）=7sin(3x+4π）. 所以T=32π。
答案：C4。
函数f （x)=｜sinx+cosx ｜—｜sinx-cosx|是（ ）A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期是2π的偶函数C 。
最小正周期为π的奇函数D 。
最小正周期是π的偶函数解析：已知f （x ）=|sinx+cosx|-|sinx-cosx|，当2kπ-4π≤x＜2kπ+4π时， f （x)=sinx+cosx —(cosx-sinx)=2sinx当2kπ+4π≤x＜2kπ+π43时, f （x)=sinx+cosx —(sinx-cosx ）=2cosx 。
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1．若函数π
cos()6y x ω=- (ω>0)的最小正周期是π5
，则ω＝__________. 2．如图所示的弹簧振子在A ，B 之间做简谐运动，振子向右运动时，先后以相同的速度通过M ，N 两点，经历的时间为t 1＝1 s ，过N 点后，再经过t 2＝1 s 第一次反向通过N 点，则振子的振动周期T ＝__________s.
3．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当π(0,)2x ∈时，f (x )＝sin x ，则5π()3
f 的值为__________． 4．下列函数是周期函数的是__________．(填序号)
①f (x )＝x ②f (x )＝2x ③f (x )＝1
5．(1)若函数()3sin(3)5
k f x x =+ (k ≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k ＝__________. (2)已知函数π()2sin()6f x kx =+
的最小正周期T ∈(1,3)，则正整数k 的取值集合是__________． 6．ABCD —A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑、红两个蜘蛛都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走完一条棱称“走完一段”，红蜘蛛爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黑蜘蛛爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下原则：所爬行的第i ＋2段直线都与第i 段所在直线是异面直线(其中i ∈N ＋)．设黑、红两个蜘蛛走完第2011段后各停在正方体的某个顶点处，这时黑、红两蜘蛛的距离是__________．
7．如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心为O ，若从A 点处上去，顺时针转动，4.5分钟时到达最高点，若点B 处与点A 在同一高度处，且由B 到A 的时间为1分钟．
(1)求该摩天轮旋转周期是多少分钟？
(2)某游客上去后15分钟时，在摩天轮左边还是在右边？
(3)此时游客至少还需多长时间可以从B 处下摩天轮？
8．若函数π()sin()6
n f n (n ∈Z )，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 009)的值．
参考答案
1. 答案：10
解析：∵2ππ5T ω=
=，∴ω＝10. 2. 答案：4
解析：振子由平衡位置O 运动到B 的时间为4
T ，而振子以相同的速度通过M ，N 的时间为t 1＝1，则O 到N 的时间为12t ，又向右经N —B —N 的时间为t 2＝1，则N 到B 的时间为12t ，∴1211142222
t t T =+=+=. ∴T ＝4(s)．
3. 答案：32
解析：∵T ＝π，∴5π2π2πππ()(π)()(π)()33333
f f f f f =+==-=-. ∴f (x )是偶函数，且当π
(0,)2x ∈时，f (x )＝sin x ， ∴π
ππ3()()sin 3332
f f -===. ∴5π3()32
f =. 4. 答案：③
解析：①由f (x ＋T )＝x ＋T ≠x ，T ≠0，知f (x )＝x 不是周期函数；
②由f (x ＋T )＝2x ＋
T ＝2T ·2x ≠2x ，T ≠0，知f (x )＝2x 不是周期函数； ③由f (x ＋T )＝1＝f (x )，知f (x )＝1是周期函数．
5. 答案：(1)32 (2){3,4,5,6}
解析：(1)由题意，2π10π15
T k k
==≤，∴k ≥10π. 又k ∈N *，∴k 的最小值为32.
(2)由题意得2π2π,12π132π2π,33k k k k k
⎧<>⎧⎪⎪⎪<<⇒⇒⎨⎨>⎪⎪<⎩⎪⎩ 即2π2π3
k <<. ∵k ∈N *，∴k ＝3,4,5,6.
6. 答案：2
解析：如题图，按题中原则，列出红蜘蛛的路线：AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA →AA 1→….黑蜘蛛的路线：AB →BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D →DA →AB →…，由分析可发现：红、黑两蜘蛛走完六段后必回到起点，即每六段为一个周期，∵2 011＝6×335＋1，
∴只考虑黑、红两蜘蛛各走完1段后的位置即可，此时红蜘蛛在A 1点，黑蜘蛛在B 点，所求距离为221112BA =+=.
7. 解：(1)设摩天轮旋转的周期为T ，由已知可得，由A 到最高点处时间为4.5分钟，则由最高点到B 点时间也为4.5分钟，由B 点到A 点的时间为1分钟，则周期T ＝4.5＋4.5＋1＝10分钟．
(2)15分钟为一个周期零5分钟，此时游客第二次经过点A 处，又4.5分钟后经过最高点处，因此5分钟后在摩天轮的右侧．即此时游客在摩天轮右侧．
(3)从最高点到B 处需要4.5分钟，由于15分钟后游客刚过最高点处0.5分钟，故还需4分钟可以从B 处下摩天轮．
8. 解：∵π()sin
6f n n =， ∴f (n )的周期2π12π
6
T ==. 又∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0，且2 009＝12×167＋5，
∴(1)(2)(2009)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++++
π2π3π4π5πsin
sin sin sin sin 66666=++++ 133********
=
++++=+.。