4.几个常见函数的导数
求导公式知识点归纳总结
求导公式知识点归纳总结一、基本导数公式1. 基本导数：函数y = k，y' = 0 (常数函数导数为0)函数y = x^n，y' = nx^(n-1) (幂函数的导数是指数减1乘以原指数)函数y = sinx，y' = cosx (正弦函数的导数是余弦函数)函数y = cosx，y' = -sinx (余弦函数的导数是负的正弦函数)函数y = e^x，y' = e^x (指数函数自身的导数是自身)2. 基本导数的性质：（1）常数法则：若f(x) = k，f'(x) = 0（2）幂法则：若f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)（3）和差法则：若f(x) = g(x) ± h(x)，f'(x) = g'(x) ± h'(x)（4）积法则：若f(x) = g(x) * h(x)，f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)（5）商法则：若f(x) = g(x) / h(x)，f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2 （6）复合函数法则：若f(x) = g(h(x))，f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)3. 根据基本导数公式，我们可以求出一些特殊函数的导数，比如：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数 f(x) = e^x，导数为 f'(x) = e^x（4）对数函数 f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1/x（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)二、常见函数的导数1. 常见初等函数的导数：（1）幂函数：y = x^n，y' = nx^(n-1)（2）指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，y' = a^x * ln(a)（3）对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，y' = 1 / (x * ln(a))（4）三角函数：y = sinx，y' = cosx（5）双曲函数：y = sinhx，y' = coshx（6）反三角函数：y = arcsinx，y' = 1 / √(1 - x^2)2. 常用初等函数的导数：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = a^x * ln(a)（4）对数函数f(x) = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）双曲函数 f(x) = sinhx，导数为 f'(x) = coshx（7）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)3. 常见非初等函数的导数：（1）绝对值函数 f(x) = |x|，导数为 f'(x) = x / |x|（2）分段函数f(x) = {x^2, x > 0; 2x, x ≤ 0}，导数为f'(x) = {2x, x > 0; 2, x ≤ 0}三、高阶导数1. 高阶导数的定义：高阶导数是指一个函数的导数再次求导后所得到的导数。
几个常见函数的导数公式和基本初等函数的导数公式
f ( x ) = sin x, f ' (x ) = cos x
x '
f ( x ) = xα α ∈ Q* , f ' (x ) = αxα −1
f (x ) = c , f
'
(
(x ) = 0
)
x
x
'
x
对数函数
{
1 f ( x ) = log a x, f ( x ) = x ln a
'
1 f (x ) = ln x, f (x ) = x
x（2） y = x −3 3） y = x x ） （ ）
( )
方法总结： 方法总结：把函数转化为可以直接利用导数公式的基本函数模式
y 自主迁移：求导数（ ） 自主迁移：求导数（1） =
6
二、基本初等函数的导数公式
常数函数 幂函数
三角函数
指数函数
{ f (x ) = cos x , f (x ) = − sin x f ( x ) = a , f ( x ) = a ln a { f (x ) = e , f (x ) = e
( ) 幂的乘积） 结论 (x ) = αx (α ∈ Q （幂指数与自变量的α − 1 幂的乘积） )
x =x
' 1 2 1 − 1 1 1 1 −1 = = × x 2 = × x2 2 x 2 2
'
α '
α −1
*
一、几个常见函数的导数
1 y y 5 3 ：（1） 例1、求导数：（ ） = x （2） = 4 （3） = x 、求导数：（ y ） ） x
几个常见函数的导数公式 和基本初等函数的导数公式
几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线 y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的 切线为y=0.
【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率 等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1.
【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y1= x2)上的点，
x3
数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应 该如何处理？ 【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变 形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x.
【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4，
类型二 导数的几何意义的应用 【典例2】(1)(辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P， Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线 交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明 理由.
【微思考】
(1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么?
提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)= 1 的导数，是不是其导数就
几个常用函数的导数(老师版)
题型二 利用导数公式求曲线的切线方程
例2求过曲线y＝sinx上点P 且与过这点的切线垂直的直线方程.
解∵y＝sinx，∴y′＝cosx，
曲线在点P 处的切线斜率是：y′| ＝cos ＝ .
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－ ，
故所求的直线方程为y－ ＝－ ，即2x＋ y－ － ＝0.
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1]，
∴sinx＝1，∴x＝2kπ＋ ，k∈Z.
13.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 017(x).
解f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，
(3)∵y＝－2sin ＝2sin ＝2sin cos ＝sinx，
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝ .
12.已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值.
解∵f(x)＝cosx，g(x)＝x，∴f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，g′(x)＝x′＝1，
f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，
f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，
∴f2 017(x)＝f1(x)＝cosx.
∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为 .
高中导数公式大全
高中导数公式大全导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某点处的变化率。
在高中数学学习中，导数是一个重要的知识点，掌握导数公式对于理解函数的变化规律和解决实际问题具有重要意义。
下面我们将介绍一些高中导数的常用公式，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握导数的知识。
1. 基本导数公式。
(1) 常数函数的导数公式。
如果f(x) = C（C为常数），则f'(x) = 0。
(2) 幂函数的导数公式。
如果f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
(3) 指数函数的导数公式。
如果f(x) = a^x（a>0且a≠1），则f'(x) = a^x ln(a)。
(4) 对数函数的导数公式。
如果f(x) = log_a(x)（a>0且a≠1），则f'(x) = 1/(x ln(a))。
2. 常见函数的导数公式。
(1) 正弦函数和余弦函数的导数公式。
f'(x) = sin(x)，g'(x) = cos(x)。
(2) 正切函数的导数公式。
f'(x) = sec^2(x)。
(3) 余切函数的导数公式。
f'(x) = -csc^2(x)。
(4) 反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数的导数公式。
f'(x) = 1/√(1-x^2)，g'(x) = -1/√(1-x^2)，h'(x) = 1/(1+x^2)，i'(x) = -1/(1+x^2)。
3. 导数的基本性质。
(1) 导数的加法性质。
如果f(x)和g(x)都在点x处可导，则(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
(2) 导数的乘法性质。
如果f(x)和g(x)都在点x处可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
(3) 导数的除法性质。
如果f(x)和g(x)都在点x处可导且g(x)≠0，则(f/g)'(x) = (f'(x)g(x)f(x)g'(x))/(g(x))^2。
几个常用函数的导数应用
当一阶导数等于0的点，称 为函数的驻点，驻点可能是 极值点。
求最值
结合单调性和极值点，可以 求出函数的最大值和最小值。
02 二次函数
二次函数导数的定义
总结词
二次函数导数的定义是函数值关于自 变量的变化率。
详细描述
导数表示函数值随自变量变化的速率， 对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其 导数f'(x)=2ax+b。
通过求导数，可以判断函数的单调性。 例如，对于函数$f(x) = x^3$，其导数 $f'(x) = 3x^{2}$在实数范围内恒大于 等于0，因此该函数在整个定义域内单 调递增。
利用导数可以求出函数的极值点。例如， 对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^{2}$，令其为0解得$x=0$，在 这一点左侧导数小于0，右侧导数大于 0，因此该点为极小值点。
05 幂函数
幂函数导数的定义
幂函数导数定义
如果函数$f(x) = x^n$，那么它的导数$f'(x) = nx^{n-1}$。
导数定义解释
导数表示函数在某一点的变化率，对于幂函数，其导数 与原函数的关系是，当$x$变化时，$f'(x)$表示$f(x)$的 增减速度。
幂函数导数的计算
计算方法
根据幂函数导数的定义，对于任意实数$n$，有$f'(x) = nx^{n-1}$。
举例
在物理学中，振动和波动的研究中经常需要用到三角函数的导 数；在工程学中，信号处理和控制系统等领域也需要用到三角
函数的导数。
结论
掌握三角函数导数的计算和应用对于解决实际问题具有重 要的意义。
04 对数函数
16个基本导数公式表
以下是常见的16个基本导数公式：$ \frac{d}{dx}(c) = 0 $：常数函数的导数为0。
$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $：幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1。
$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $：正弦函数的导数是余弦函数。
$ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $：余弦函数的导数是负正弦函数。
$ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $：正切函数的导数是它的平方的倒数。
$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $：自然对数函数的导数是它的倒数。
$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $：常用对数函数的导数是它的倒数和自然对数a 的比率。
$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $：指数函数的导数等于它本身。
$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $：以a 为底的幂函数的导数等于函数值和底数的自然对数的乘积。
$ \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $：反正弦函数的导数等于1除以根号下一减去x 的平方。
$ \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $：反余弦函数的导数等于负1除以根号下一减去x 的平方。
$ \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2} $：反正切函数的导数等于1除以1加上x 的平方。
$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x $：双曲正弦函数的导数等于双曲余弦函数。
$ \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $：双曲余弦函数的导数等于双曲正弦函数。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。
它描述了函数在给定点的变化率。
了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。
在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。
1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。
求导法则：常数的导数是0。
例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。
2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。
3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。
求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。
4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。
求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。
5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。
求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。
例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。
6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。
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2
y' 6 x (2 sin x) (1 x ) cos x
5 6
推论：常数与函数的积的导数
cf ( x)
cf ( x)
练习 (1) 5x4 ;
(3) cost ;
(2) 6x5 ; (4) -sin .
3.2.1几种常见 函数的导数
1.导数的定义
知识回顾
f ( x0 x) f ( x0 ) y f ' ( x0 ) y ' x x0 lim lim x 0 x x 0 x
f ' ( x0 )是一个确定的数 当x变化时便得函数f' (x)即为f(x)的 导函数（导数）记为 y f ( x x) f ( x) f ' ( x) y ' lim lim x 0 x x 0 x
(a 0, 且a 1)
2.选择题 （1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos (为常数） B （ . cos x )' sin x C .(sin x )' cos x 1 6 D.( x )' x 5
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log )' x ln 10 x B .(log a )' x x C .( 3 )' 3 x
x a
D .( 3 )' 3 ln 3
x x
lgX
3.填空
0 (1) f(x)=80，则f '(x)=______; 2 1 3 x 3 2 ( 2) y x 的导数是_______; 3
( 3) f ( x ) e , 则f ( x )等于 ______; e
x '
x
e f (1)等于 ______
公式1: C 0 (C为常数) .
请同学们求下列函数的导数: 2) y f ( x) x, y ' 1
3) y f ( x) x , y ' 2 x 1 1 4) y f ( x) , x y ' x2
2
公式2 ( x ) nx
n '
n 1
( n R)
算一算 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
( 3) y x;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
Байду номын сангаас
1 ( 4) y 2 ; x
公式3 (sin x) cos x. ' 公式4 (cos x ) sin x.
'
不需推导，但要注意符号的运算.
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
y 解 : y f ( x) C , y f ( x x) f ( x) C C , 0, x y f ( x) C lim 0. x 0 x
sin x cos x sin x 1 y' ( )' 2 2 cos x cos x cos x
三.综合应用: 1.求下列函数的导数: 2 x (1)y=2xtanx y ' 2 tan x 2 cos x
(2) y 2 ln x y' 2 2 x ln 2 ln x
3 ( 5) 4 ; x
1 ( 6) 3 2 . 3 x
法则3:两个函数的商的导数 f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) 2 g ( x) 3:求下列函数的导数 (1)y=tanx 2 2
2 x3 x 6x 3 (2) y 2 y ' 2 2 x 3 ( x 3)
-sinx ′(x)=_____;
x a lna(a>0)
（5）若f(x)=ax,则f ′(x)=____;
x x ′ （6）若f(x)=e ,则f (x)=____;
1 （7）若f(x)=logax,则f′ (x)=_____ x ln a
1 ′ （8）若f(x)=lnx,则f (x)=____ 。 x
(a>0,且a≠1);
e
复习公式
1.(c )'
x
基本初等函数的导数公式
2.( x )'
0
x
3.(sin x )' cos x 6.( e )'
x
x 4.(cos x )' sin x
1
5.( a )' a ln a (a 0)
e
x
1 7.(log a x )' x ln a 1 8.(ln x )' x
x
x
x
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
解： (1) y' x (ln x)' ln x( x)' 1 ln x
(2)切线过点P(1,0) 斜率k 1 ln 1 1
切线方程是：y=x-1
3.日常生活中的饮用水通常是经过净 化的．随着水纯净度的提高．所需 净化费用不断增加。已知将 1 吨水净 化到纯净度为x%时所需费用(单位： 元)为 c(x)=5284/(100-x) (80<x<100)．
'
( 4)
1 x ' x ln a (1oga ) ________
4.求下列函数的导数
(1) y x
12
( 2) y x x
1 3 5 ( 3) y 4 ( 4) y x x ( 5) y x ( 6) y x
1 3
法则1:两个函数和（或差）的导数 [f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x); 1: 求下列函数的导数 3 (1)y=x +sinx
两者关系：f ' ( x0 ) f ' ( x)
x x 0
2.定义法求导数步骤
y f ( x x) f ( x) x x y (2)求极限得f ' ( x) lim x 0 x (1)求
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 4.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率K。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式5 (a ) a ln a x ' x 公式6 (e ) e
x ' x
基本初等函数的导数公式
0 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=_____; nxn-1 n ′ （2）若f(x)=x (n∈R),则f (x)=_; cosx ′ （3）若f(x)=sinx,则f (x)=_____; （4）若f(x)= cosx,则f
求净化到下列纯净度时，所需净化 费用的瞬时变化率： （１）９０％；（２）９８％。
5284 c90 52 . 84 2 100 98
解：净化费用的瞬时变化率就是 净化费用函数的导数． 5284 5284 c( x) 2 100 x 100 x
y' 3x cos x
2
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4 x 2 x 1
3
法则2:两个函数积的导数 ' ' ' f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
应用2:求下列函数的导数(2种方法)
(1)y=(2x2+3)(3x-2) 2 2 y ' (2 x 3)(3x 2)'(2 x 3)' (3x 2)
所以，纯净度90%时,费用的瞬时 变化率就是52.84元/吨；(2)略