二次根式知识讲解(课堂例题)
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解(提高)与例题讲解
中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误！未找到引用源。
±错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n =-++进行裂项. (4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质1.0(0)≥≥；a a2.()2(0)a a a =≥； 3.2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩； 4. 积的算术平方根的性质：(00)ab a b a b =⋅≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：(00)a a a b b b =≥>，. 6.若0a b >≥，则a b >. 要点诠释： 与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c互为有理化因式.【典型例题】 类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于 ．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1， ∴x =1， 故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三： 【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 .【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0， ∴x=-3或x=3， 由x-3≠0，得x≠3． 综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3．【分式与二次根式 ：例1】 【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是 ．【答案】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0，设22y xx m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b abc+++==求()()()abca b b c c a +++的值.【答案与解析】设b c c a a b k abc+++===,所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+= 所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++ 所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-= 即2k =或()0,a b c ++= 当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-.【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解. 举一反三：【变式】已知111111111,,,6915abbcac +=+=+=求abcab bc ac++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915abbc a c+=+=+=各式可加得1111112,6915abc ⎛⎫++⨯=++ ⎪⎝⎭所以11131180a b c ++=，所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y zy z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值.【答案与解析】 因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三： 【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b ca b c +++++的值. 【答案】由已知得1,y z a x+=所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y za x+++=,所以1a xa x y z=+++,同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【分式与二次根式：例2】【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值．【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式， ∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 .所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． （1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80分钟完工． （2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间． （1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可． 举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（ ） A ．00253010(18060xx -=+）B ．00253010(180xx-=+）C ．00302510(18060x x -=+） D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为 ．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0． 故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算 【分式与二次根式 ：例3】7．（2015春•泗阳县期末）已知m是的小数部分．（1）求m2+2m+1的值；（2）求的值．【答案与解析】解：依题意得21m=-，则121=+m（1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=|1m-|=|﹣1﹣（21+）|=2．m【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2018•苏州模拟）计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．。
专题课堂(一) 二次根式的化简求值技巧
技巧四 巧用乘法公式化简 9．计算： (1)(－4－ 15 )(4－ 15 )；
解：－1
(2)(2 6 ＋3 2 )(3 2 －2 6 )； 解：－6
(3)(2 3 ＋ 6 )(2－ 2 )；
解：2 3
(4)( 15 ＋4)2022( 15 －4)2023.
解： 15 －4
10．(2022·襄阳)先化简，再求值：(a＋2b)2＋(a＋2b)(a－2b)＋2a(b－a)，其中 a＝ 3 － 2 ，b＝ 3 ＋ 2 .
＝m－3－(2－n) ＝m＋n－5
技巧二 逆用二次根式乘除法法则化简 4．当 ab＜0 时，化简 a2b 的结果是( A ) A．－a b B．a －b C．－a －b D．a b 5．若 3 ＝a， 5 ＝b，则 45 可以表示为( C ) A． a2b B．a b C．a2b D．ab
6．化简： (1) （－5）2×（－3）2 ；
C．0
D．10 6
12．已知 a＝ 2 ＋1，b＝ 2 －1，求下列代数式的值：
(1)ab； 解：1
(2)a2＋ab＋b2； 解：7
(3)b ＋a . ab
解：6
13．已知 a＝ 5 － 3 ，b＝ 5 ＋ 3 ，求下列各式的值： (1)1 ＋1 ； (2)a2b＋ab2. abLeabharlann 解： 5解：4 5
解：15
(2) （－16）×（－49） ； 解：28
(3) 2.25a2b (a＞0);
解：3a 2
b
(4)
－25 ； －9
解：5 3
(5) 9a3 . 4
解：3a 2
a
技巧三 利用隐含条件化简 7．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，化简 （a＋b＋c）2 － （b＋c－a）2 ＋ （c－b－a）2 .
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
人教版 八年级数学 二次根式有意义讲义 (含解析)
【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
解：由题意可知：
∴x≥﹣3且x≠0
故选：C．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的有意义的条件，本题属于基础题型．
教学建议：二次根式有意义必须保证开方数x+3为非负数，同时要注意x作为分母不能为0.
已知y= + +4，求 的值．
【答案】3
【解析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵y= + +4，
∴x=3，y=4，
= +
=1+2
=3．
讲解用时：3分钟
解题思路：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．
教学建议：熟练掌握二次根式的性质并灵活运用.
解得x≥﹣3且x≠1．
故答案为：x≥﹣3且x≠1．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
教学建议：熟练掌握二次根式有意义即被开方数为非负数，同时也要注意分母不能为0.
难度：4适应场景：当堂练习例题来源：宁津县二模年份：2018
【例题4】
若 是整数，求自然数x．
难度：3适应场景：当堂例题例题来源：门头沟区一模年份：2018
【练习2.1】
在下列二次根式中，x的取值范围是x＞3的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，再求出即可．
解：A、∵ 是二次根式，
∴3﹣x≥0，
∴x≤3，故本选项错误；
B、∵ 是二次根式，
二次根式的定义
16.1二次根式知识点一：二次根式的定义 一般地，形如a （a ≥0)的式子叫做二次根式对于二次根式的理解：（1）二次根式的定义是从形式上界定的必须含有二次根号“”，尽管9的结果为3，但9是二次根式。
（2）二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数是非负数，如12--x 就不是二次根式。
（3）根子数是2，2可以省略，如37不是二次根式（4）形如a b （a ≥0)的式子也是二次根式，它表示b 与a 的乘积，当b 是带分数或小数时，要写成假分数形式，如523不能写成5211的形式。
例1：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？ （1）327 （2）9- （3）23a （4）12+x（5）122++a a （6）12-x （21<x ） （7）2)8(- （8）x 3-（x ≤0) (9)2)1(1+x (10)1682-+-x x知识点二:次根式有意义的条件（重点） 总体上来说，在二次根式a 中，当a ≥0时，a 有意义；当a<0时，a 无意义。
从具体的情况总结如下：（1）单个二次根式如A 有意义的条件是：A ≥0;（2）多个二次根式相加，如N B A +++ 有意义的条件是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥000N B A（3）二次根式作为分式的分母，如AB 有意义的条件是：A>0; （4）二次根式与分式的和，如B A 1+的条件是：⎩⎨⎧≠≥00B A例2：当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义 ？（1）13-x （2)x --1 (3)21+-x x （4）1132+++x x （5）52+x （6）322---x x （7）x -12 （8）1213-+-x x课堂小练习：1、代数式xx --312有意义的x 的取值范围是 2、若11+x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 3、如果代数式1-x x 有意义，那么x 的取值范围是 4、代数式123-x 在实数范围内有意义的x 的范围是 5、若等式1)23(0=-x 成立，则x 的取值范围是 知识点三：二次根式的性质（重点、难点）性质1: 式子a （a ≥0)具有双重非负性：它既表示二次根式，又表示非负数a 的算术平方根。
15.1二次根式课件冀教版数学八年级上册(1【03】)
x 1 0，y 5 0.
★ 练一练
2.化简 3 2 2 __2____3______.
①
2
a a
3 2 3，22 4，3 4,则 3 2， 3 2 0.
② 当a 0时，a2 a
得
2
3 2 2 3.
m 1
3.当1 x 3时，化简（1 x)2 (3 x)2 __2____. 4.已知 a 5 5 a b 3,则a _5__,b __-_3_. 5.10 16 a的最大值是 1_0__,此时a _1_6__.
课堂小结
二次根式
a
a ( a )2 a (a 0)
a (a≥0) a2 a
B. 3x
C. a2 1
被开方数不确定为非负数 含二次根号且被开方数为非负数
D.3 5
被开方数为非负数但含三次根号
2.使二次根式 x 2有意义的 x的取值范围是 ______.
3.二次根式 x1 x 3 _2___. 根指数=2
a
小亮的观点
因为 a 表示的是非负数
a的算术平方根，所以，根据 算术平方根的意义，有
★ 练一练 化简（1）18； （2） 96；
解：（1）18 32 2 32 2 3 2；
（2） 96 42 6 42 6 4 6；
(3) 2； 3
(3) 2 3
23 33
6 32
6; 3
(4) 2.4.
(4) 2.4
12 5
12 5 55
22 15 2 15 .
52
a ≥0.
小颖的观点
因为 a 表示的是非负数a
的算术平方根，所以，根据
二次根式知识点讲解专题训练
） ．
（ １ ） ：
． 的解 答是 错误 的．
（ ２ ） 错 误 的解 答在 于 未 能正 确ｊ 式 的性质 ：
１ ０ ． 下 列 运 算 结 果 正 确 的 是 （ ） ． Ａ ． （ 一 、 ／ 了） ２ － 一 ３ Ｂ ． 、 ／ ＝ ３
ｃ ． 一 （ 一 ） ＝ ３ Ｄ ． 、 ／ ＝ 一 ３
Ｘ ／ １ － ６ ａ ＋ ９ ａ ２ 的值 ． 其中 ａ ＝ ５ ．
甲、 乙两 人得 出了不 同的答 案．
７． ＝
—
腰 三角形 的周 长是 — 时， 、 ／
—
．
—
＋ １的值 最小 ， 最小
值是 —
８ ． ｙ 一 ５ ＝ 、 — Nhomakorabea．
， 贝 ０ ＝
— —
甲的解答 ： 原式＝ 口 ＋ 、 ／
（ ２ ） ｘ ２ － ２ 、 ／ 了ｘ ＋ ２ ；
（ ３ ） 、 ／ ；
（ ４ ） 、 ／
；
（ ３ ） ＋ ２ 、 ／
（ ＞ ０ ， ｙ ＞ ０ ） ；
（ ５ ） 一 、 ／
；
（ ６ ）
；
（ ４ ） ａ ＋ － ６ ａ ２ ＋ ９
人 的 后 半 生 完 全 是 由前 半 生 养 成 的 习惯 组 成 的 。— — 费 多 尔 ・ 陀 思 妥 耶 夫 斯 基
２ １ — ２ ｘ ５ ＝ 一 ９ ．
＝
＋ 、 腼
．
乙 的 解答 ：原 式 ＝ ｎ ＋ 、 ／ ４ ａ － １ ＝ ４ ￣ ５ — １ ＝ １ ９ ．
二、 选择 题
９ ． 下列 各 式 中一 定是 二次 根式 的是 （ Ａ． 、 ／ Ｃ ． 、 ／ Ｂ ． Ｄ ． 、 ／ 二 『
二次根式的运算(提高)知识讲解
二次根式的运算（提高）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a 移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a ≥0，b >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，a ≥0，b >0，因为b 在分母上，故b 不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（a ≥0，b >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.要点四、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式的加减法1.计算：（1）4832315311312--+ 【答案与解析】4832315311312--+ =4823233333 =4343 =0【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式】计算 .【答案】类型二、二次根式的乘除2.（1）. 21521)74181(2133÷-⨯ （2）.243)2()()(a a a -÷-⋅- 【答案与解析】（1）原式=7111111171123()3()22872282711⨯-÷=⨯-⨯⨯⨯ =34- (2)原式=32422212222a a a a a a a -⋅÷=-÷=-÷=- 【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三：【变式】b b a b a x xb a -÷+⋅-5433622222 【答案】原式=22225214633a b x a b x a b b--⨯⨯⋅÷+=225()()552 263()21812a b a b x b bb x a b a b-+⋅⋅==+-3.计算(1). ·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2). -3÷()× (a＞0).【答案与解析】(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.举一反三【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型三、二次根式的混合运算4.计算3223332 233232+-+-3223332 233232+-+-=32(23)(233)(23)32(32)(23)(23)(32)(23)(32)(32)++-+-+-++--+ = 63633663---++=-【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律． 举一反三 【变式】)753)(753(-++-【答案】原式=3(57)3(57)⎡⎤⎡⎤--+-⎣⎦⎣⎦=23(57)--=2359-5.计算：已知a+b=﹣7，ab=4，则+=（ ） A. B.﹣ C. D.﹣【答案】A.【解析】解：∵a+b=＜0，ab ＞0，∴a＜0，b ＜0原式=（﹣）+（﹣） =﹣， ∵a+b=﹣7，ab=4，∴原式=﹣=，故选：A ．【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化是解题的关键． 6 (12)2389+++ 【答案与解析】原式(21(32)19-8...(12)(21)(23)(32)+9-8⨯-⨯++-+-（）（89)(）2132...98+1=2【总结升华】运用分母有理化运算，找出规律，是这一类型题的特点.举一反三【变式】化简求值：已知：a是4的小数部分，求代数式+的值．【答案】解：∵4=，∴6＜4＜7，∴a=4﹣6，∴a﹣1＜0，∴+=+=a﹣1+=a﹣1﹣=4﹣6﹣1﹣=4﹣7﹣=4﹣7﹣﹣=﹣7．（资料素材和资料部分来自网络，供参考。
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二次根式（课堂例题）
【典型例题】
类型一、二次根式的概念
1（2015春•潍坊期中）下列各式中
，一定是二次根式的有（ ）个．
A.2
B.3
C.4
D.5
【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）13
；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >） A ．2 B.3 C.4 D.5
2．当x 是__________时，+在实数范围内有意义？
【变式】（2015•随州）若代数式11
x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1
3. （2016•贵港）式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ＜1
B ．x ≤1
C ．x ＞1
D ．x ≥1
【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）.
A. 23-
B.
()20.3- C. 2- D. x
类型二、二次根式的性质
4. 计算下列各式： (1)232()4
-⨯- (2)2(3.14)π-
【变式】（1）2)2
52
(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________.
5. （2015春•孝南区月考）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示， 化简：22||()||a a c c b b -++---|．
【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5
m m m +=+<且则m 的值是___________.
6.根据下列条件，求字母x 的取值范围：
(1)
； (2).
【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？
（1）y=x -－
1
1+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________；
7. （2016•潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+
的结果是（ ）
A ．﹣2a +b
B ．2a ﹣b
C ．﹣b
D ．b
8.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= ．。