27章图形的相似导学案

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人教版九年级数学下册27.1图形的相似导学案

第二十七章相像27.1图形的相像学习目标：1. 从生活中形状同样的图形的实例中认识图形的相像, 理解相像图形观点．认识成比率线段的观点，会确立线段的比．2.知道相像多边形的主要特色，即：相像多边形的对应角相等，对应边的比相等．3.会依据相像多边形的特色辨别两个多边形能否相像，并会运用其性质进行有关的计算．学习重、难点：1.要点：相像图形的主要特色与辨别．2.难点：运用相像多边形的特色进行有关的计算．学习过程：一、依标独学1、同学们，请察看以下几幅图片，你能发现些什么？你能对察看到的图片特色进行概括吗？2、小组议论、沟通．获得相像图形的观点．相像图形3、如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不一样镜像，它们相像吗?二、围标群学实验研究：假如把老师手中的教鞭与铅笔，分别当作是两条线段AB 和 CD，那么这两条线段的比是多少？成比率线段：关于四条线段a, b, c, d ，假如此中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a c（即 ad bc ），我们就说这四条线段是成比率线段，简称比率线段．b d【注意】（ 1 ）两条线段的比与所采纳的长度单位没有关系，在计算时要注意一致单位；线段的比是一个没有单位的正数；（ 2 ）四条线段 a,b, c, d 成比率，记作ac或 a : bc :d ；bd （ 3 ）若四条线段知足a cbc ．b，则有 add小应用：一张桌面的长 a1.25m ，宽 b 0.75m ，那么长与宽的比是多少？（ 1）假如 a 125cm ， b 75cm ，那么长与宽的比是多少？（ 2）假如 a1250mm ， b750mm ，那么长与宽的比是多少？三、研究1、如图的左侧格点图中有一个四边形，请在右侧的格点图中画出一个与该四边形相像的图形．问题：关于图中两个相像的四边形，它们的对应角，对应边的比能否相等．2．【结论】：（1）相像多边形的特色：相像多边形的对应角______，对应边的比 _______．反之，假如两个多边形的对应角 ______，对应边的比 _______，那么这两个多边形 _______．几何语言：在四边形 ABCD 和四边形 A 11 1 1 中B C D若 ? A 行A 1; B =行B 1; C =行C 1； D =?D 1．AB =BC=CD =DAA 1B 1B 1C1C 1D 1 D 1 A 1则四边形 ABCD 和四边形 A 1 1 1D 1 相像B C（2）相像比：相像多边形 ________的比称为相像比．问题：相像比为 1 时，相像的两个图形有什么关系？结论：相像比为 1 时，相像的两个图形 ______，所以 ________形是一种特别的相像形．四、自我检测1．在比率尺为 1：10 000 000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm，求两地的实质距离．2．如下图的两个直角三角形相像吗？为何？3．如下图的两个五边形相像，求未知边 a 、b、c、d的长度．五、概括小结。

新人教版九年级数学下册第二十七章《图形的相似(二)》导学案

新人教版九年级数学下册第二十七章《图形的相似（二）》导学案课题27.1 图形的相似（二）课型新授主备人备课组审核级部审核学生姓名教师寄语学而不思则罔，思而不学则殆。

学习目标1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算一、新知链接1．如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．2．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．3．【结论】：（1）相似多边形的特征：反之，（2）相似比：问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：二、合作探究例1下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似例2（教材P39例题）．例3已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:B1C1:C1D1:D1A1=7:8:11:14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．解：三、课堂练习 1．△ABC 与△DEF 相似，且相似比是32，则△DEF 与△ABC 与的相似比是（）． A ．32 B ．23 C ．52 D ．94 2．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10cm 和4cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1中最长的边长是多少？4．如图，AB ∥EF ∥CD ，CD=4，AB=9，若梯形CDEF 与梯形EFAB 相似，求EF 的长．5．如图，一个矩形ABCD 的长AD= a cm ，宽AB= b cm ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接E 、F ，所得新矩形ABFE 与原矩形ABCD相似，求a :b 的值．四、课堂小结：本节课你的收获是什么？自我评价专栏(分优良中差四个等级)自主学习：合作与交流：书写：综合：。

人教版九年级数学教案第27章《相似》全章导学案(共13课时)

人教版九年级数学《相似》全章导学案第1课时图形的相似知识点1：相似图形的概念【例1】下列图形不是相似图形的是( C )A. 同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中的原有图案和放大图案C. 某人的侧身照片和正面照片D. 大小不同的两张同版本中国地图,1. 如图1－27－68－1，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是( A )图1－27－68－1A. 相似B. 平移C. 轴对称D. 旋转知识点2：相似图形的识别【例2】下列四组图形不是相似图形的是( D ),2. 观察下列各组图形，其中不相似的是( A )知识点3：比例尺的计算【例3】在一幅比例尺是1∶1 000 000的地图上，量得北京到天津的距离是12 cm，则北京到天津的实际距离是120km.,3. 要建一个长40 m，宽20 m的厂房，在比例尺是1∶500的图纸上，长要画cm( B )A. 5B. 8C. 7D. 6知识点4：画相似图形【例4】如图1－27－68－2的左边的格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.图1－27－68－2略.,4. 图1－27－68－3中的三角形称为格点三角形，请画出一个与图中三角形相似的格点三角形.图1－27－68－3略.A组5. “相似的图形”是指( A )A. 形状相同的图形B. 大小不相同的图形C. 能够重合的图形D. 大小相同的图形,6. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是( D )A. 图形中线段的长度与角的大小都会改变B. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变C. 图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变7. 如图1－27－68－4，下面选项中的四个图形与其相似的是( C )图1－27－68－4A B C D,8. 下列各组图形相似的是( B )B组9. 下列各组图形一定相似的是( C )A. 两个菱形B. 两个矩形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形,10. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形. 其中，一定相似的有①②④⑤.(填序号)11. 在比例尺是1∶1 000 000的地图上量得广州到深圳的距离是16 cm，广州到深圳的实际距离是160km.,12. 两地实际距离为2 000 m，图上距离为2 cm，则这张地图的比例尺为( D )A. 1 000∶1B. 100 000∶1C. 1∶1 000D. 1∶100 000C 组13. 在比例尺是1∶25 000 000的地图上，量得北京到上海的距离长4.2 cm ，如果一列直达火车以每小时175 km 的速度从上海开出，经过几小时可以到达北京？解：由题意，得 4.2×25 000 000＝105 000 000(cm)＝1 050(km). ∴1 050÷175＝6(h).∴经过6 h 可以到达北京.,14. 下面四个图案：不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图形中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( D )第2课时相似多边形及其性质知识点1：成比例线段【例1】下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. a ＝2，b ＝6，c ＝4，d ＝12 B. a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C. a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝ 3D. a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝1,1. 以下列长度(同一单位)为长的四条线段中，不成比例的是( C ) A. 2,5,10,25 B. 4,7,4,7C. 2，12，12，4 D. 2，5，2 5，5 2知识点2：相似多边形的性质【例2】如图1－27－69－1，四边形CDEF 与四边形C ′D ′E ′F ′相似，求未知边x ，y 的长度和角β的度数.图1－27－69－1解： x ＝12，y ＝20，β＝80°.,2. 如图1－27－69－2的两个五边形相似，求未知边a ，b ，c ，d 的长度.图1－27－69－2解： a ＝3，b ＝4.5，c ＝4，d ＝6. 知识点3：相似多边形的判定【例3】如图1－27－69－3，一个矩形广场的长为100 m ，宽为80 m ，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m ，如果设两条横向小路的宽都为x m ，那么当x 为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？图1－27－69－3解：当100－1.5×2100＝80－2x 80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.解得x ＝1.2.答：当x 为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似. ,3. 如图1－27－69－4，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ＝12，AB ＝6，设AB 与A′B′，BC 与B′C′，CD 与C′D′，DA 与D′A′之间的距离分别为a ，b ，c ，d ，a ＝b ＝c ＝d ＝2，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD 吗？为什么？图1－27－69－4解：不相似，理由如下： ∵AD A′D′＝128＝32，AB A′B′＝62＝3， ∴AD A′D′≠AB A′B′. ∴不相似.A 组4. 下列线段成比例的是( C ) A. 1,2,3,4 B. 5,6,7,8 C. 1,2,2,4 D. 3,5,6,9,5. 下列各组中的四条线段成比例的是( A ) A. 1 cm,2 cm,20 cm,40 cm B. 1 cm,2 cm,3 cm,4 cm C. 4 cm,2 cm,1 cm,5 cmD. 5 cm,10 cm,15 cm,20 cm B 组6. 如图1－27－69－5的相似四边形，求未知边x ，y 的长度和角α的大小.图1－27－69－5解：x ＝632，y ＝27，α＝88°.,7. 如图1－27－69－6，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似，且AD ＝BC ，DC ∥AB ，∠A ＝∠B ，∠A′＝65°，A′B′＝6 cm ，AB ＝8 cm ，AD ＝5 cm ，试求：四边形ABCD 各角的度数与A ′D ′，B ′C ′的长.图1－27－69－6解：四边形ABCD 各角的度数分别为∠A ＝65°， ∠B ＝65°，∠C ＝115°，∠D ＝115°，B′C′＝A′D′＝154cm .8. 在一张由打印机打印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这个多边形的另一条边由原来4 cm 变成了( C )A . 4 cmB . 8 cmC . 16 cmD . 32 cm ,9. 已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10 cm 和4 cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6 cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1的最长边的长是 15 cm .C 组10. 将一个三角形和一个矩形按照如图1－27－69－7的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( A )图1－27－69－7A . 新三角形与原三角形相似B . 新矩形与原矩形相似C . 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似,11. 如图1－27－69－8，已知矩形ABCD 与矩形BCFE 相似，且AD ＝AE ，求AB ∶AD 的值.图1－27－69－8解：依题意，得 AB AD ＝BC BE ，即AB AD ＝AD AB －AD . ∴AB AD ＝1ABAD－1. 解得AB ∶AD ＝1＋52(负值已舍去).第3课时相似三角形的简单性质知识点1：找相似三角形的对应边、对应角【例1】如图1－27－70－1，已知△ADE ∽△ABC ，AD ＝2，BD ＝3. (1)写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式； (2)求△ADE 与△ABC 的相似比.图1－27－70－1解：(1)相似三角形的对应角为∠A 与∠A ，∠ADE 与∠ABC ，∠AED 与∠ACB ；对应边的比例式为AD AB ＝AE AC ＝DEBC .(2)25.1. 如图1－27－70－2，已知△OAB ∽△OCD ，且DC ∥AB ，请写出这对相似三角形的对应角和对应边的比例式.图1－27－70－2解：相似三角形的对应角为∠A 与∠C ，∠B 与∠D ，∠AOB 与∠COD ；对应边的比例式为OA OC ＝OB OD ＝AB CD .知识点2：相似三角形简单性质的直接运用【例2】如图1－27－70－3，已知△ABC ∽△DEF ，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－3解： x ＝6，y ＝72. ,2. 如图1－27－70－4，△ABC 与△DEF 相似，∠B ，∠E 为钝角，求未知边x ，y 的长度.图1－27－70－4解： x ＝12，y ＝7或x ＝967，y ＝647.知识点3：相似三角形简单性质的综合运用【例3】如图1－27－70－5，D ，E 分别是AC ，AB 边上的点，△ADE ∽△ABC ，且DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，求AE ，BE 的长.图1－27－70－5解：∵△ADE ∽△ABC ， ∴AE AC ＝AD AB ＝DE BC. ∵DE ＝4，BC ＝12，CD ＝9，AD ＝3，∴AC ＝12. ∴AE ＝4，AB ＝9. ∴BE ＝AB －AE ＝5.3. 如图1－27－70－6，AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°，且△ABC ∽△DAC. (1)求∠BAD 的大小； (2)求DC 的长.图1－27－70－6解：(1)∵△ABC ∽△DAC ， ∴∠DAC ＝∠B ＝36°， ∠BAC ＝∠D ＝117°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴AC DC ＝BC AC. 又∵AC ＝4，BC ＝6，∴DC ＝83.A 组4. 已知△ABC ∽△A 1B 2C 2，如果∠A ＝40°，那么∠A 1等于( A ) A. 40° B. 80° C. 140° D. 20°,5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( C )A. 3 cmB. 4 cmC. 4.5 cmD. 5 cmB 组6. 如图1－27－70－7，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA . 若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为 6 .图1－27－70－7,7. 如图1－27－70－8，在正方形网格中有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为( D )图1－27－70－8A . 105°B . 115°C . 125°D . 135°8. 如图1－27－70－9，已知△ABC ∽△AED ，AD ＝5 cm ，AC ＝10 cm ，AE ＝6 cm ，∠A ＝66°，∠ADE ＝65°，求AB 的长及∠C 的度数.图1－27－70－9解：∵△ABC ∽△AED ，∠ADE ＝65°，∴∠C ＝∠ADE ＝65°，AD AC ＝AEAB.∴510＝6AB. 解得AB ＝12(cm ).,9. 如图1－27－70－10，已知△ABC ∽△DEC ，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ，求AD 的长.图1－27－70－10解：∵△ABC ∽△DEC ， ∴AC DC ＝BC EC. ∵AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，CE ＝6 cm ， ∴3DC ＝46. ∴DC ＝92(cm ).∴AD ＝3＋92＝152(cm ).C 组10. 如图1－27－70－11，点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB .(1)求∠APB 的大小.(2)说明线段AC ，CD ，BD 之间的数量关系.图1－27－70－11解：(1)∵△PCD 是等边三角形， ∴∠PCD ＝60°.∴∠A ＋∠APC ＝60°. ∵△ACP ∽△PDB. ∴∠APC ＝∠PBD. ∴∠A ＋∠B ＝60°. ∴∠APB ＝120°.(2)∵△ACP ∽△PDB ，∴AC PD ＝PCBD.又∵PC ＝PD ＝CD ，∴CD 2＝AC·BD.11. 如图1－27－70－12，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，求AP 的长.图1－27－70－12解： ∵AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠A ＝180°－∠ABC ＝90°. ∴∠PAD ＝∠PBC ＝90°. AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，设AP 的长为x ，则BP 的长为 8－x .若AB 边上存在点P ，使△P AD 与△PBC 相似，则分下列两种情况. ①若△APD ∽△BPC ，则AP ∶BP ＝AD ∶BC ，即x ∶(8－x )＝3∶4.解得x ＝247；②若△APD ∽△BCP ，则AP ∶BC ＝AD ∶BP ，即x ∶4＝3∶(8－x ).解得x ＝2或x ＝6.综上所述，AP ＝247或AP ＝2或AP ＝6.第4课时相似三角形的判定(1)——平行线法知识点1：平行线分线段成比例【例1】如图1－27－71－1，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD AB ＝13，AE ＝1，则EC 等于( B )图1－27－71－1A . 1B . 2C . 3D. 4 ,1. 已知l 1∥l 2∥l 3，直线AB 和CD 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，E ，B 和点C ，F ，D. 若AE ＝2，BE ＝4，则CFCD的值为( B )图1－27－71－2A . 12B . 13C . 23 D. 34知识点2：相似三角形的判定——平行线法【例2】如图1－27－71－3，DE 是△ABC 的中位线. 那么△ADE 和△ABC 是否相似？说明理由.图1－27－71－3解：△ADE 和△ABC 相似. 理由如下： ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC.∴△ADE ∽△ABC. ,2. 如图1－27－71－4，已知AB ∥CD ∥EF ，请你找出图中所有的相似三角形.图1－27－71－4解：△AOB ∽△DOC ， △AOB ∽△FOE ，△DOC ∽△FOE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－71－5，DE ∥BC ，且AD ＝3，AB ＝5，CE ＝3，求AE 的长.图1－27－71－5解：AE ＝4.5.,3. 如图1－27－71－6，AB 与CD 相交于点O ，AC ∥BD ，AO BO ＝35，AC ＝9，求BD 的长.图1－27－71－6解：BD ＝15.A 组4. 如图1－27－71－7，AD ∥BE ∥CF ，直线m ，n 与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，已知AB ＝5，BC ＝10，DE ＝4，则EF 的长为( C )图1－27－71－7A . 12B . 9C . 8 D. 4,5. 如图1－27－71－8，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，若AO ＝2，DO ＝4，BO ＝3，则BC 的长为( B )图1－27－71－8A . 6B . 9C . 12D . 15 B 组6. 如图1－27－71－9，已知DE ∥BC ，AE ＝50 cm ，EC ＝30 cm ，BC ＝70 cm ，∠A ＝45°，∠C ＝40°，求：(1)∠AED 和∠ADE 的度数； (2)DE 的长.图1－27－71－9解：(1)∠AED 和∠ADE 的度数分别为40°，95°.(2)DE ＝1754cm.,7. 如图1－27－71－10，在▱ABCD 中，点E 在DC 上，若EC ∶AB ＝2∶3，EF ＝4，求BF 的长.图1－27－71－10解：BF 的长为6. C 组8. 如图1－27－71－11，用三个完全一样的菱形ABGH ，BCFG ，CDEF 拼成平行四边形ADEH ，AE 与BG ，CF 分别交于点P ，Q . 若AB ＝6，求线段BP 的长.图1－27－71－11解：由菱形的性质可知，AD ＝3AB ＝18，DE ＝6. ∵BP ∥DE ，∴△ABP ∽△ADE. ∴BP DE ＝AB AD ，即BP 6＝618. 解得BP ＝2.,9. 如图1－27－71－12，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G.(1)填空：图中与△CEF 相似的三角形有 △DAF ，△BEA ，△GFA ；(写出图中与△CEF 相似的所有三角形)(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似.图1－27－71－12解：(2)略.第5课时相似三角形的判定(2)——三边法和两边及其夹角法知识点1：相似三角形的判定——三边法【例1】如图1－27－72－1，O 为△ABC 内一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，求证：△DEF ∽△ABC.图1－27－72－1证明：∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，∴DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，DF ＝12AC ，即DE AB ＝EF BC ＝DFAC.∴△DEF ∽△ABC.,1. 如图1－27－72－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么△ABC 与△A 1B 1C 1是否相似？为什么？图1－27－72－2解：相似. 理由如下：∵AB ＝5，AC ＝10，BC ＝5， A 1B 1＝2，A 1C 1＝2，B 1C 1＝10， ∴AB A 1B 1＝102，AC A 1C 1＝102，BC B 1C 1＝102.∴AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝BCB 1C 1. ∴△ABC ∽△A 1B 1C 1.知识点2：相似三角形的判定——两边及其夹角法【例2】如图1－27－72－3，D ，E 分别是△ABC 两边AB ，AC 上的点，AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4，EC ＝2. △ADE 与△ACB 是否相似，并说明理由.图1－27－72－3解：相似.理由如下：∵AD ＝3，BD ＝5，AE ＝4， EC ＝2， ∴AD AC ＝34＋2＝12，AE AB ＝43＋5＝12. ∴ AD AC ＝AE AB .∵∠A ＝∠A ，∴△AED ∽△ABC.,2. 如图1－27－72－4，AB·AE ＝AD·AC ，且∠1＝∠2，求证：△ABC ∽△ADE.图1－27－72－4证明：∵AB·AE ＝AD·AC ，∴AB AD ＝ACAE.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠BAE ，即∠BAC ＝∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE.知识点3：相似三角形判定与性质的综合运用【例3】如图1－27－72－5，D 是△ABC 的边AB 上的一点，BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2.(1)△BCD 与△BAC 相似吗？请说明理由；(2)若CD ＝53，求AC 的长.图1－27－72－5解：(1)△BCD ∽△BAC. 理由如下：∵BD ＝43，AB ＝3，BC ＝2，∴BD BC ＝432＝23，BC BA ＝23. ∴BD BC ＝BC BA. 而∠DBC ＝∠CBA ，∴△BCD ∽△BAC.(2)∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BCBA ，即53AC ＝23.∴AC ＝52.,3. 如图1－27－72－6，已知四边形ABCD ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5.(1)证明：△ABC ∽△DCA ； (2)求AD 的长.图1－27－72－6(1)证明：∵AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝7.5， ∴AB CD ＝BC AC ＝45且∠B ＝∠ACD. ∴△ABC ∽△DCA.(2)解：∵△ABC ∽△DCA ， ∴AC AD ＝BC AC ＝45. ∴5AD ＝45. ∴AD ＝254.A 组4. 如图1－27－72－7，根据所给条件，判断△ABC 和△DBE 是否相似，并说明理由.图1－27－72－7解：△ABC ∽△DBE.理由如下： ∵AC DE ＝BC BE ＝AB DB ＝12， ∴△ABC ∽△DBE.,5. 如图1－27－72－8，AC ＝20，BC ＝10，EC ＝16，CD ＝8，证明：△ABC 和△EDC 相似.图1－27－72－8证明：∵AC EC ＝2016＝54， BC CD ＝108＝54， ∴AC EC ＝BC CD. 又∵∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ∽△EDC. B 组6. 如图1－27－72－9，点D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点. 求证：△DEF ∽△ABC .图1－27－72－9证明：∵点 D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点， ∴EF ，FD ，DE 为△ABC 的中位线.∴EF ＝12BC ，FD ＝12AC ，DE ＝12AB.∴EF BC ＝FD AC ＝DE AB ＝12. ∴△DEF ∽△ABC.,7. 如图1－27－72－10，AD ，BC 交于点O ，AO·DO ＝CO·BO ，求证：△ABO ∽△CDO.图1－27－72－10解：∵AO·DO ＝CO·BO ， ∴AO CO ＝BO DO. 而∠AOB ＝∠COD ， ∴△ABO ∽△CDO.C 组8. 如图1－27－72－11，在正方形ABCD 中，P 是BC 边上的点，BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点. 求证：△QCP ∽△ADQ .图1－27－72－11证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ＝BC ，∠C ＝∠D ＝90°. ∵BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，∴CP ＝14BC ，CQ ＝DQ ＝12CD .∴CP ∶DQ ＝CQ ∶DA ＝1∶2.∴△QCP ∽△ADQ .,9. 如图1－27－72－12，四边形ABEG ，GEFH ，HFCD 都是边长为a 的正方形，△AEF 与△CEA 相似吗？为什么？图1－27－72－12解：△AEF 与△CEA 相似.理由如下：由勾股定理，得AE ＝AB 2＋BE 2＝2a. ∴AE EF ＝2a a ＝2， EC AE ＝2a 2a ＝ 2. ∴AE EF ＝EC AE. 又∵∠AEF ＝∠CEA ， ∴△AEF ∽△CEA. 第6课时相似三角形的判定(3)——两角法知识点1：相似三角形的判定——两角法【例1】如图1－27－73－1，在△ABC 中，AC ＞AB ，点D 在AC 上(不与A ，C 重合)，∠ABD ＝∠ACB ，求证：△ABD ∽△ACB.图1－27－73－1证明：∵∠BAD ＝∠CAB ，∠ABD ＝∠ACB ， ∴△ABD ∽△ACB.,1. 如图1－27－73－2，DE ∥AB ，AD ∥BC ，求证：△EAD ∽△ACB.图1－27－73－2解：∵DE ∥AB ， ∴∠BAC ＝∠DEA. ∵AD ∥BC ， ∴∠C ＝∠DAE.∴△EAD ∽△ACB.知识点2：相似三角形判定与性质的综合应用【例2】如图1－27－73－3，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上一点，且∠AED ＝∠B. 若AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6.(1)求证：△AED ∽△ABC ； (2)求DE 的长.图1－27－73－3(1)证明：∵∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A ， ∴△AED ∽△ABC.(2)解：∵△AED ∽△ABC ， ∴AE AB ＝DE CB. ∵AE ＝5，AB ＝9，CB ＝6，∴59＝DE6.解得DE ＝103.∴DE 的长为103.,2. 如图1－27－73－4，AB ，CD 相交于点O ，且∠C ＝∠B ，若AC ＝4 cm ，AO ＝3 cm ，BD ＝8 cm.(1)求证：△AOC ∽△DOB ； (2)求OD 的长.图1－27－73－4(1)证明：∵∠C ＝∠B ，∠AOC ＝∠DOB ，∴△AOC∽△DOB.(2)解：∵△AOC∽△DOB，∴ACDB＝OAOD，即48＝3OD.解得OD＝6(cm).∴OD的长为6 cm.知识点3：圆中的相似三角形【例3】如图1－27－73－5，⊙O的弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，求证：△BDP ∽△CAP.图1－27－73－5证明：∵∠A与∠D都为所对的圆周角，∠B与∠C都为所对的圆周角，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴△BDP∽△CAP.,3. 如图1－27－73－6，延长圆内接四边形ABCD的边AD和边BC，相交于点E，求证：△ABE∽△CDE.图1－27－73－6解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.又∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠B＝∠EDC.∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△CDE.A组4. 如图1－27－73－7，AB∥DE，AC∥DF，点B，E，C，F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF.图1－27－73－7证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠F. ∴△ABC ∽△DEF.,5. 如图1－27－73－8，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC. 求证：△ABC ∽△BDC.图1－27－73－8证明：∵∠A ＝30°，∠C ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠DBC. 又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC. B 组6. 如图1－27－73－9，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∠B ＝∠D. (1)△ABC 与△ADE 相似吗？为什么？(2)已知AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，求DE 的长.图1－27－73－9解：(1)△ABC ∽△ADE.理由如下：∵在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE. 又∵∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE.(2)由(1)知，△ABC ∽△ADE ，则AB AD ＝BCDE .∵AB ＝2AD ，BC ＝8 cm ，∴2AD AD ＝8DE.解得DE ＝4(cm )，即DE 的长是4 cm . ,7. 如图1－27－73－10，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高. 求证： (1)△ACD ∽△ABC ；(2)△CBD ∽△ABC .图1－27－73－10证明：(1)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°. ∴∠ADC ＝∠ACB. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.(2)∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°. ∴∠BDC ＝∠ACB. ∵∠B ＝∠B ，∴△CBD ∽△ABC. C 组8. 如图1－27－73－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的角平分线. (1)△ABC 与△BDC 相似吗？请说明理由； (2)求证：AD 2＝AB ·CD .图1－27－73－11(1)解：相似. 理由如下： ∵在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠A ＝36°，∴∠ABC ＝180°－36°2＝72°.∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠CBD ＝12∠ABC ＝36°.∴∠CBD ＝∠A .又∵∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC . (2)证明：∵△ABC ∽△BDC ， ∴BC DC ＝ACBC. ∴BC 2＝AC ·CD . 由题意，可得BC ＝BD ＝AD . 又∵AB ＝AC ，∴AD 2＝AB ·CD .,9. 如图1－27－73－12，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连接BD .(1)求证：△ABD ∽△AEC ；(2)试写出图中其他各对相似三角形.图1－27－73－12(1)证明：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC. ∵∠D ＝∠C ， ∴△ABD ∽△AEC.(2)解：△AEC ∽△BED ， △BED ∽△ABD.第7课时相似三角形的简单性质与判定的综合习题课知识点1：求线段的长【例1】如图1－27－74－1，AD 与BC 交于O 点，∠A ＝∠C ，AO ＝4，CO ＝2，CD ＝3，求AB 的长.图1－27－74－1解：∵∠A ＝∠C ， ∠AOB ＝∠COD ， ∴△AOB ∽△COD. ∴AB CD ＝AO CO ，即AB 3＝42. ∴AB ＝6. ,1. 如图1－27－74－2，在△ABC 中，点D 在AB 边上，∠ABC ＝∠ACD ， AD ＝2，AB ＝5. 求AC 的长.图1－27－74－2解：∵∠ABC ＝∠ACD ， ∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ACD.AD AC∵AD ＝2，AB ＝5， ∴AC 2＝5AC .∴AC ＝10.知识点2：证明角相等【例2】如图1－27－74－3，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 上，已知AE·AB ＝AD·AC ，求证：∠B ＝∠ADE.图1－27－74－3解：∵AE·AB ＝AD·AC ，∴AE AC ＝AD AB . ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC.∴∠B ＝∠ADE. ,2. 如图1－27－74－4，在△ABC 中，D ，E 分别为BC 边上的两点，且AC AD ＝AB DE ＝BCAE，求证：∠B ＝∠AEB.图1－27－74－4证明：∵AC AD ＝AB DE ＝BC AE， ∴△ABC ∽△DEA. ∴∠B ＝∠AED.知识点3：证明等比式【例3】如图1－27－74－5，已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，证明：AD AE ＝ACAB.图1－27－74－5解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ， ∴∠ADC ＝∠AEB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△AEB .AE AB,3. 如图1－27－74－6，在平行四边形ABCD 中，F 为AD 上一点，CF 的延长线交BA延长线于点E . 求证：DC BE ＝DFBC.图1－27－74－6证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D ，BE ∥CD. ∴∠E ＝∠ECD. ∴△DCF ∽△BEC. ∴DC BE ＝DFBC .知识点4：证明等积式【例4】如图1－27－74－7，在△ABC 中，∠ADE ＝∠ABC ，BD ，CE 交于点O. 求证：AE·AB ＝AD·AC.图1－27－74－7证明：∵∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠ABC ， ∴△ADE ∽△ABC.∴ AE AC ＝AD AB . ∴AE·AB ＝AD·AC.,4. 如图1－27－74－8，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，证明：AC 2＝AB ·AD .图1－27－74－8证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽∠ABC . ∴AC AB ＝AD AC . ∴AC 2＝AB ·AD .知识点5：证明线段平行或垂直【例5】如图1－27－74－9，AB 与CD 相交于点O ，OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185.求证：AC ∥BD .图1－27－74－9证明：∵OA ＝3，OB ＝5，OD ＝6，OC ＝185，∴OA OB ＝OC OD ＝35. 而∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△BOD. ∴∠A ＝∠B. ∴AC ∥BD.,5. 如图1－27－74－10，在△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AB ，BC 上的点，且BD·AB ＝BE·BC. 求证：DE ⊥AB.图1－27－74－10证明：∵BD·AB ＝BE·BC ，∴BD BC ＝BE BA. 又∵∠DBE ＝∠CBA ， ∴△BDE ∽△BCA. ∴∠BDE ＝∠C ＝90°，即DE ⊥AB .知识点6：圆中的相似三角形【例6】如图1－27－74－11，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，，AC 交BD 于点E ，CE ＝4，CD ＝6.(1)求证：△CDE ∽△CAD ； (2)求AE 的长.图1－27－74－11(1)证明：∵， ∴∠BAC ＝∠CAD ＝∠CDE. ∵∠ACD ＝∠DCE ， ∴△CDE ∽△CAD.(2)解：∵△CDE ∽△CAD ， ∴CE CD ＝CD CA ，即46＝6CA . 解得CA ＝9.∴AE ＝AC －CE ＝9－4＝5.,6. 如图1－27－74－12，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C ，连接BC.(1)求证：∠BAC ＝∠CBP ； (2)求证：PB 2＝PA·PC.图1－27－74－12证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ， ∴∠ACB ＝∠ABP ＝90°.∴∠BAC ＋∠ABC ＝∠ABC ＋∠CBP ＝90°. ∴∠BAC ＝∠CBP.(2)∵∠ABP ＝∠PCB ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△ABP ∽△BCP . ∴PB P A ＝PC PB . ∴PB 2＝P A ·PC .A 组7. 如图1－27－74－13，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE BC ＝25，AD ＝4，求BD 的长度.图1－27－74－13解：BD ＝6.,8. 如图1－27－74－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D . 求BD 的长.图1－27－74－14解：BD ＝6.B 组9. 如图1－27－74－15，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝9 cm ，DB ＝4 cm ，求CD 和AC 的长.图1－27－74－15解：如答图27－74－1，连接BC. ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，可得△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB.由△ADC ∽△CDB ，得CD BD ＝ADCD，即CD 2＝AD·DB ＝36. 解得CD ＝6(cm).答图27－74－1由△ADC ∽△ACB ，得AC AB ＝ADAC，即AC 2＝AB·AD ＝117. 解得AC ＝313(cm ).∴CD 的长为6 cm ，AC 的长为313 cm. ,10. 如图1－27－74－16，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且△ABC 三个顶点都在⊙O 上，求证：AB ·AC ＝AE ·AD .图1－27－74－16证明：如答图27－74－2，连接CE. 由圆周角定理可知，∠B ＝∠E. ∵∠ADB ＝∠ACE ＝90°， ∠B ＝∠E ，∴△ADB ∽△ACE .答图27－74－2∴AB ∶AE ＝AD ∶AC. ∴AB·AC ＝AE·AD.C 组11. 如图1－27－74－17，边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 上的点(D ，E 与顶点不重合)，∠BDE ＝60°.(1)求证：△ABD ∽△CDE ；(2)设CD ＝x ，BE ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最小值.图1－27－74－17(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠C ＝60°. ∵∠BDE ＝60°，∴∠ADB ＋∠CDE ＝120°. ∵∠ABD ＋∠ADB ＝120°， ∴∠ABD ＝∠CDE. ∵∠A ＝∠C ， ∴△ABD ∽△CDE.(2)解：∵△ABD ∽△CDE ，∴AD CE ＝ABCD.∴CE ＝x(4－x)4 ＝－14x 2＋x.∴y ＝4－CE ＝14x 2－x ＋4.∵y ＝14(x －2)2＋3，∴y 的最小值为3. ,12. 如图1－27－74－18，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动；点Q 从点C 出发，以1 cm /s 的速度向点A 移动.若点P ，Q 分别从点B ，C 同时出发，设运动时间为t s ，当t 为何值时，△CPQ 与△CBA 相似？图1－27－74－18解：分以下两种情况.①当CP 和CB 是对应边时，△CPQ ∽△CBA ，∴CP CB ＝CQCA ，即16－2t 16＝t 12. 解得t ＝4.8；②当CP 和CA 是对应边时， △CPQ ∽△CAB ，∴CP CA ＝CQCB ，即16－2t 12＝t 16. 解得t ＝6411.综上所述，当t ＝4.8 s 或6411s 时，△CPQ 与△CBA 相似.第8课时相似三角形的周长和面积知识点1：相似三角形周长的比等于相似比【例1】在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的1 cm 变成4 cm ，那么它的周长由原来的3 cm 变成( B )A . 6 cmB . 12 cmC . 24 cmD . 48 cm ,1. 如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么这两个三角形的相似比为( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16知识点2：相似三角形对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比【例2】如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是( B ) A . 1∶2 B . 1∶4 C . 1∶8 D . 1∶16,2. 若△ABC ∽△DEF ，且相似比为2∶3，则它们对应边上的高之比为( A )A . 2∶3B . 4∶9C . 3∶5D . 9∶4知识点3：相似三角形面积的比等于相似比的平方【例3】已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为( A ) A . 1∶4 B . 4∶1C . 1∶2D . 2∶1,3. 如图1－27－75－1，已知△ADE ∽△ABC ，且AD ∶DB ＝2∶1，则S △ADE ∶S △ABC＝( D )图1－27－75－1A . 2∶1B . 4∶1C . 2∶3D . 4∶9知识点4：利用相似三角形周长和面积的性质计算【例4】如图1－27－75－2，已知DB ＝2AD ，EC ＝2AE. (1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若△ABC 的周长为27 cm ，求△ADE 的周长.图1－27－75－2解：(1)证明略.(2)△ADE 的周长为9 cm.,4. 如图1－27－75－3，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD BD ＝32，S △ABC ＝25.(1)求证：△ADE ∽△ABC ； (2)求S △ADE 和S 四边形DBCE 的值.图1－27－75－3解：(1)证明略.(2)S △ADE ＝9，S 四边形DBCE ＝16.A 组5. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶3，那么它们的对应中线之比是( A ) A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9,6. 如图1－27－75－4，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D )图1－27－75－4A .BC DF ＝12B . ∠A 的度数∠D 的度数＝12C . △ABC 的面积△DEF 的面积＝12D . △ABC 的周长△DEF 的周长＝12B 组7. 若相似三角形△ABC 和△A′B′C′的面积比为1∶4，则它们的相似比为( C ) A . 1∶4 B . 1∶3C . 1∶2D . 1∶1,8. 如图1－27－75－5，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED ＝( C )图1－27－75－5A . 1∶3B . 1∶2C . 1∶3D . 1∶49. 已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 是△ABC 的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若AD A′D′＝12，且△ABC 的周长为20 cm ，求△A′B′C′的周长.解：△A′B′C′的周长是40 cm .10. 已知△ABC 的三边长分别为5,12,13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积.解：△A′B′C′的面积是120.C 组11. 如图1－27－75－6，在△ABC 中，DE ∥BC ，S 1表示△ADE 的面积，S 2表示四边形DBCE 的面积，若D 是AB 边的中点，则S 1∶S 2＝ 1∶3 ；若S 1＝S 2，则AD ∶AB ＝ 22.图1－27－75－6,12. 如图1－27－75－7，在矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1 ＝ S 2＋S 3；(填“＞”“＝”或“＜”)(2)若CE ＝3，DE ＝4，求S 2的值.图1－27－75－7解：(2)S 2＝323.第9课时相似三角形的应用举例(1)——高度与河宽问题知识点1：利用相似测量物体的高度【例1】如图1－27－76－1，利用标杆BE 测量建筑物的高度. 已知标杆BE 高1.2 m ，测得AB ＝1.6 m ，BC ＝12.4 m. 求建筑物CD 的高.图1－27－76－1解：建筑物CD 的高是10.5 m . ,1. 图1－27－76－2是小明测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，然后，后退至点B ，从点A 经平面镜刚好看到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求该古城墙的高度.图1－27－76－2解：该古城墙的高度是8 m .知识点2：利用相似测量河的宽度(测量距离)【例2】如图1－27－76－3，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河岸的另一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点为点D ，若测得BD ＝180 m ，DC ＝60 m ，EC ＝50 m ，你能知道小河的宽是多少吗？图1－27－76－3解：由题意，可知△ABD ∽△ECD ， ∴AB EC ＝BD CD ，即AB 50＝18060. ∴AB ＝150(m ).∴小河的宽是150 m .,2. 如图1－27－76－4，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定了一个目标点O ，在近岸取点A ，C 使O ，A ，C 三点共线，且线段OC 与河岸垂直，接着在过点C 且与OC 垂直的直线上选择适当的点D ，使OD 与近岸所在的直线交于点B. 若测得AC ＝30 m ，CD ＝120 m ，AB ＝40 m ，求河的宽度OA .图1－27－76－4解：∵AB ⊥OC ，CD ⊥OC ， ∴AB ∥CD.∴△OAB ∽△OCD. ∴OA OC ＝AB CD ，即OA OA ＋30＝40120. ∴OA ＝15(m ).故河的宽度OA 为15 m.A 组3. 已知某一旗杆的影子长6 m ，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10 m ，如果此时附近的一棵小树影子长3 m ，那么小树高是( A )A. 4 mB. 5 mC. 8 mD. 20 m,4. 如图1－27－76－5，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连接AC ，BC ，在AC 上取一点E ，使AE ＝3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF ＝6 m ，则AB 的长为 24 m .图1－27－76－5B 组5. 如图1－27－76－6，小明家的窗口面对大楼，相距AB ＝80 m ，窗高CD ＝1.2 m ，小明从窗口后退2 m ，眼睛从点O 处恰好能看到楼顶M 和楼底N ，求大楼的高度.图1－27－76－6解：由题意，知AB ＝80 m ，CD ＝1.2 m ，OA ＝2 m ， ∵CD ∥MN ，∴△OCD ∽△OMN. ∴CD MN ＝OA OB ，即1.2MN ＝22＋80. ∴MN ＝49.2(m ).答：大楼的高度为49.2 m .,6. 如图1－27－76－7，小明为了测量楼MN 的高度，在离MN20 m 的A 处放了一块平面镜，小明沿NA 后退到点C ，正好从镜中看到楼顶M ，若AC ＝2 m ，小明的眼睛离地面的高度BC 为1.8 m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度.图1－27－76－7解：∵BC ⊥CA ，MN ⊥AN ， ∴∠C ＝∠N ＝90°.根据题意，可知∠BAC ＝∠MAN ， ∴△BCA ∽△MNA. ∴BC MN ＝AC AN . ∴1.8MN ＝220. 解得MN ＝18(m ). ∴楼房的高度为18 m .C 组7. 如图1－27－76－8，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上. 已知纸板的两条边DF ＝50 cm ，EF ＝30 cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ，求树高AB .图1－27－76－8解：∵∠DEF ＝∠DCB ＝90°，∠D ＝∠D ， ∴△DEF ∽△DCB. ∴BC EF ＝DC DE. ∵DF ＝50 cm ＝0.5 m ，EF ＝30 cm ＝0.3 m ，AC ＝1.5 m ，CD ＝20 m ， ∴由勾股定理求得DE ＝0.4 m . ∴BC 0.3＝200.4. ∴BC ＝15(m ).∴AB ＝AC ＋BC ＝1.5＋15＝16.5(m ).,8. 如图1－27－76－9，李华晚上在两根相距40 m 的路灯杆下来回散步，已知李华身高AB ＝1.6 m ，灯柱CD ＝EF ＝8 m .(1)若李华距灯柱CD 的距离DB ＝16 m 时，求他的影子BQ 的长； (2)若李华的影子PB ＝5 m ，求李华距灯柱EF 的距离.图1－27－76－9解：(1)∵AB ∥CD ，∴△ABQ ∽△CDQ. ∴AB CD ＝BQ DQ ，即1.68＝BQ 16＋BQ . ∴BQ ＝4(m ). ∴他的影子BQ 的长为4 m .(2)∵AB ∥EF ，∴△ABP ∽△EFP. ∴AB EF ＝PB PF ，即1.68＝5PF . ∴PF ＝25(m ). ∴BF ＝PF －PB ＝20 m .∴李华距灯柱EF 的距离是20 m .第10课时相似三角形的应用举例(2)——盲区及其他问题知识点1：作辅助线构造相似三角形解决实际问题【例1】如图1－27－77－1，一位同学在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，他立即又测量建筑物的影子，因建筑物AB 靠近另一个建筑物CE ，所以AB 的影子没有完全落在地上，一部分影子落在墙上，他测得地上部分的影子长BC 为7.2 m ，又测得墙上部分的影子高CD 为1.2 m ，请你帮他计算建筑物AB 的高度.图1－27－77－1解：如答图27－77－1，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，则DH ＝BC ＝7.2 m ，BH ＝CD ＝1.2 m .∵在某一时刻测得直立的标杆高为1 m 时，影长为1.2 m ，答图27－77－1∴AH HD ＝11.2，即AH 7.2＝11.2. ∴AH ＝6.∴AB ＝AH ＋BH ＝6＋1.2＝ 7.2(m ).答：建筑物AB 的高度为7.2 m . ,1. 如图1－27－77－2，现要测量旗杆的高CD ，在B 处立一标杆AB ＝2.5 cm ，人在F 处，眼睛为E.标杆顶点A 、旗杆顶点C 在一条直线上. 已知BD ＝3.6 m ，FB ＝2.2 m ，EF ＝1.5 m. 求旗杆的高度.图1－27－77－2解：如答图27－77－2，过点E 作EH ∥FD 分别交AB ，CD 于点G ，H. ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴EF ＝GB ＝HD.∴AG ＝AB －GB ＝2.5－1.5＝ 1(m )，EG ＝FB ＝2.2(m )，GH ＝BD ＝3.6(m)，CH ＝CD －1.5.答图27－77－2又∵AG CH ＝EG EH ，∴1CD －1.5＝2.25.8. ∴CD ＝4322(m ).∴旗杆的高度为4322m .知识点2：运用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题【例2】如图1－27－77－3是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外的景物的宽CD .图1－27－77－3解：CD ＝43m .,2. 如图1－27－77－4是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE 为80 cm ，步枪上的准星宽度AB 为0.2 cm ，目标的正面宽度CD 为50 cm ，求眼睛到目标的距离OF .图1－27－77－4解：眼睛到目标的距离为200 m.A 组3. 如图1－27－77－5是一个照相机成像的示意图. 如果像高MN 是35 mm ，焦距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，那么拍摄点L 离景物有 7 m.,图1－27－77－54. 如图1－27－77－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上. 若光源到幻灯片的距离为30 cm ，到屏幕的距离为90 cm ，且幻灯片中的图形的高度为7 cm ，则屏幕上图形的高度为( C )图1－27－77－6 A . 6 cm B . 12 cm C . 21 cm D . 24 cmB 组5. 如图1－27－77－7，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m 有一棵树，在河的北岸边每隔50 m 有一根电线杆，小丽站在离南岸15 m 的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度.图1－27－77－7解：如答图27－77－3，过点P 作PF ⊥AB ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，设河宽为x m.答图27－77－3∵AB ∥CD ，∴△PDC ∽△PBA. ∴PF PE ＝AB CD . ∴15＋x 15＝5025.解得x ＝15.答：河的宽度为15 m .6. 如图1－27－77－8，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3 m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4 m . 如果小华的身高为1.5 m ，求路灯杆AB 的高度.图1－27－77－8解：∵CD ∥EF ∥AB ， ∴△CDF ∽△ABF ， △EFG ∽△ABG . ∴CD AB ＝DF BF ，FE AB ＝FG BG. 又∵CD ＝EF ，∴DF BF ＝FGBG.∵DF ＝3 m ，FG ＝4 m ，BF ＝BD ＋3，BG ＝BD ＋7，∴3BD ＋3＝4BD ＋7. 解得BD ＝9(m ). ∴BF ＝12(m ). 由CD AB ＝DF BF ，得1.5AB ＝312.解得AB ＝6(m ). 则路灯杆AB 的高度是6 m . C 组7. 如图1－27－77－9，要在一块△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型. 其中，G ，F 在BC 边上，D ，E 分别在AB ，AC 边上，AH ⊥BC 交DE 于点M ，若BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求正方形DEFG 的边长.图1－27－77－9解：设正方形边长为x cm .由相似可得DE BC ＝AMAH，∵BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ， AM ＝(8－x)cm ， ∴x 12＝8－x 8.解得x ＝4.8. ∴正方形的边长是4.8 cm . ,8. 如图1－27－77－10，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm ，要把它加工成长方形零件PQMN ，使长方形PQMN 的边QM 在BC 边上，其余两个顶点P ，N 分别在AB ，AC 边上，求这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值.图1－27－77－10解：设长方形零件PQMN 的边PN ＝a ，PQ ＝x ，则AE ＝80－x. ∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC. ∴PN BC ＝AE AD. ∴a 120＝80－x 80. 解得a ＝120－32x. 所以长方形PQMN 的面积S ＝xa ＝x ⎝⎛⎭⎫120－32x ＝－32x 2＋120x ＝－32(x －40)2＋2 400. 当x ＝40时，S 值最大，S 最大值＝2 400(mm 2).∴这个长方形零件PQMN 的面积S 的最大值是2 400 mm 2.第11课时位似知识点1：位似图形及其性质【例1】若两个图形位似，则下列叙述不正确的是( C ) A . 每对对应点所在的直线相交于同一点 B . 两个图形上的对应线段之比等于相似比 C . 两个图形上的对应线段必平行D . 两个图形的面积比等于相似比的平方 ,1. 下列关于位似图形的4个表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比. 正确的有( B )A . 1个B . 2个C . 3个 D. 4个知识点2：位似图形的画法【例2】如图1－27－78－1，以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的13.。

人教版九年级数学下册27图形的相似导学案

知人者智，自知者明。

《老子》原创不容易，【关注】，不迷路！第二十七章相似27.1图形的相似学习目标：1.了解相似图形和相似比的概念.2.理解相似多边形的定义.3.能根据多边形相似进行相关的计算，会根据条件判断两个多边形是否相似.(重点、难点)一、知识链接全等形指的是两个能完全重合的图形，请画出两个可以完全重合的五边形，说说它们的对应边的比为多少？对应角有什么关系？一、要点探究探究点1：相似的概念观察与思考下面的“神烦狗”有什么相同和不同的地方？【要点归纳】形状相同的图形叫做相似图形.相似图形的大小不一定相同.思考1下面这2组分别是图形放大或缩小的情况，请问它们相似吗？1.图形的放大：2.图形的缩小：【要点归纳】两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.思考2你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？【针对训练】放大镜下的图形和原来的图形相似吗？探究点2：比例线段【概念提出】对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比）与另两条线段的比相等，如dcb a （即ad=bc ），我们就说这四条线段成比例.【典例精析】下列四组长度中的四条线段能成比例的是（）A.1cm，2cm，3cm，4cmB.2cm，4cm，6cm，8cmC.5cm，30cm，10cm，15cmD.5cm，10cm，15cm，20cm探究点3：相似多边形与相似比观察与思考多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的，而多边形A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的.问题1这两个多边形相似吗？问题2在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？问题3在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？思考1任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？分析已知等边三角形的每个角都为60°,三边都相等.所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.推理同理，任意两个正方形都相似.归纳任意两个边数相等的正多边形都.思考2任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？【典例精析】ABCD和EF，则甲、乙两地的实际距离是（）A.3000mB.3500mC.5000mD.7500m3.如图所示的两个四边形是否相似？说明理由.4.观察下面的图形(a)~(e)，其中哪些是与图形(1)或(2)相似的？5.填空：(1)如图①是两个相似的四边形，则x=，y=，α=； (2)如图②是两个相似的矩形，x=.6.如图，把矩形ABCD 对折，折痕为EF ，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1． (1)求BC 的长；(2)求矩形ABFE 与矩形ABCD 的相似比.参考答案作探究一、要点探究探究点1：相似的概念【针对训练】解：相似，放大镜下的图形，只是大小变了，形状没有变. 探究点2：比例线段【典例精析】C探究点3：相似多边形与相似比归纳相似【典例精析】ABCD 和EFG.【针对训练】解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得55.72=a ，55.73=b ，55.76=c ，，解得a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知边a ，b ，c ，d 的长度分别为3，4.5，4，6. 当堂检测 1.ABDF2.D3.解：不相似.因为四条对应边的比例不相等.4.解：（1）与（a ）、（2）与（d ）相似.5.(1)2.51.590°(2)2.56.解：∵E 是D 的中点，∴BC AD AE 2121==. 又∵矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1， ∴AB BC AE AB =，∴AB2=AE ·BC ，∴BC BC ⋅=2112.解得2=BC ∴矩形ABEF 与矩形ABCD 的相似比为2221==BC AB .【素材积累】从诞生的那一刻起，我们就像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。

九年级数学下册第二十七章相似图形的相似导学案新人教

1x77°α117°82°77°18121827.1图形的相似一、自主学习1.预习课本24页至26页.的图形叫做相似图形. 2.观察以下两组图片中的两个图形相似吗？3.说明(1)相似图形的_______一定要相同，______________无关。

(2)两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形______或______得到。

4.哈哈镜及平面镜中的形象与你本人相似吗？二、合作探究(自学课本26页至27页的内容)1.成比例线段的概念：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中______的比与的比，就称这四条线段是，简称 .练习：若a=3,b=6,c=12,则a 、b 、b 、c 线段是成比例的吗？2.相似多边形：__________________________________.3.相似多边形的性质：相似多边形相等边。

说一说如何识别两个多边形相似？三、展示交流1.如图所示的相似四边形中，求未知边x 的长度和角度α的大小．学习目标1.通过观察图形，学生进行分析、归纳、体会、理解并掌握两个图形相似的概念．2.了解成比例线段的概念，会求线段的比．学习重点相似图形的概念与成比例线段的概念．学习难点成比例线段概念、求线段的比，注意线段长度的单位要统一．2.如图，△ABC与△DEF相似，求未知边x,，y的长度。

3.在比例尺为1:10 000 000的地图上，量的甲、乙两地的距离是30cm ,求两的实际距离.四、【随堂检测】1.下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似2.下列各组线段中（单位是cm），能成比例的是（）A、 1，3，4，6B、 30，12，0.8，0.2C、 0.1，0.2，0.3，0.4D、 12，16，45，603.△ABC与△DEF相似，如果AC=3，DF=1.8，则△DEF 与△ABC与的相似比是_________．4.观察下列图形，指出哪些是相似图形：5、在比例尺是1:10000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是.5.已知线段3，4，6与x是成比例线段，则_______x。

人教版九年级下第27章《相似》27.3位似导学案

第27．3位似导学案一、新知引入：1、如果两个图形不仅是相似图形，而且，像这样的两个图形叫=====》位似图形.2、位似中心与位似比K二、位似性质1、对应顶点的连线经过位似中心，对应边相互平行2、位似中心可以出现在任何位置，但只要k值相同，则所得新图全等3、通过位似，可以将图形放大或缩小；k>1图形放大，k<1图形缩小例1、如图，在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）．以原点O为位EABC D F 似中心，相似比为31，把线段AB 缩小，求出对应点之间坐标例2、在平面直角坐标系中，有两点A （4，1），B （6，4），C （2，3）以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大2倍，求出对应点的坐标三、课堂练习1、如图，△OAB 和△OCD 是位似图形，AB // CD 吗？2、以O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍3、已知△ABC 与△DEF 是位似三角形，请确定其位似中心4、如图，四边形ABCD 的坐标分别为A （－6，6），B （－8，2），C （－4，0），D （－2，4），画出它的一个以原点O 为位似中心，相似比为 21的位似图形．并写出其对应顶点的坐标5、如图表示△AOB 和把它缩小后得到的△COD ，求它们的相似比6、如图，写出矩形ABCD 各点的坐标，如果矩形STUV 相似于ABCD ，点S 的坐标为(2，7),按照下列相似比,分别写出T 、U 、V 各点的坐标.①相似比为4；②相似比为21四、补充练习：1、下列图形是否是位似图形？如果是请指出位似中心，如果不是请说明理由。

2：将四边形ABCD 缩小为原来的一半五、课后反思：EABDEABCDF G HO DA。

新人教版初中数学9年级下册27章相似导学案(52页)

第二十七章相似课题27.1 图形的相似1班级：姓名：导学目标知识点：从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似，理解相似图形概念.了解成比例线段的概念，会确定线段的比.课时1课时导学方法：整理、分析、归纳法导学过程：一、自主探究（课前导学）1、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点2、小组讨论、交流•得到相似图形的概念进行归纳吗？（课本图27.1-1）（课本图27.1-2）相似图形 ___________________________________________________3、思考：如图，是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗、合作探究（课堂导学）实验探究：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段 AB 和CD ,那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比. 成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a c a c（即ad 二bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. b d【注意】（1 ）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；线段的比是一个没有单位的正数；（2）四条线段a,b,c,d 成比例，记作a =—或a : b = c : d ；b da c（3）若四条线段满足—二一，则有ad 二be .b d例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）例2 一张桌面的长a 二1.25m ，宽b 二0.75m ，那么长与宽的比是多少?观察思考，小组讨论回答:ABCD（1）如果a = 125cm, b =75cm，那么长与宽的比是多少？（2）如果a = 1250mm, b = 750mm，那么长与宽的比是多少？小结：上a面分别采用m,cm, mm三种不同的长度单位，求得的一的值是________________ 的，所b以说，两条线段的比与所采用的长度单位____________ ，但求比时两条线段的长度单位必须____ .三、讨论交流（展示点评）四、课堂检测（当堂训练）已知：一张地图的比例尺是1:32000000 ，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km?分析：根据比例尺=图上距离，可求出北京到上海的实际距离.实际距离拓展延伸（课外练习）：1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2•如图，图形a〜f中，哪些是与图形（1）或⑵ 相似的?CL h3、下列说法正确的是（）A. 小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似 .B. 商店新买来的一副三角板是相似的.C. 所有的课本都是相似的.D •国旗的五角星都是相似的. 4、填空题形状 ______ 的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的 _______ 或 _______ 而得到的。

人教版九年级数学下《27.1.1相似图形》导学案

第二十七章相似27.1 图形的相似第1课时相似图形1.通过对事物的图形的观察、思考和分析，认识理解相似的图形.2.经历动手操作的活动过程，增强学生的观察、动手能力.3.体会图形的相似在现实生活中的存在与应用，进一步提高学生的数学应用意识.阅读教材P24-25，弄清楚相似图形的概念，能正确判断两个图形是否相似；自学反馈学生独立完成后集体订正①把图形叫做相似图形.②两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形和得到的.③从放大镜里看到的三角板和原来的三角板相似吗？④哈哈镜中人的形象与本人相似吗？⑤全等三角形相似吗？⑥生活中哪些地方会见到相似图形？研究几何主要是研究几何图形的形状、大小与位置，只要形状相同的两个图形就叫做相似图形.活动1 小组讨论例下列各图中哪组图形是相似图形( C )观察图形，要从本质入手，如C，将小图的位置稍加旋转就可以发现它们是相似图形.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.下列说法中，不正确的是()A.两幅比例不同的中国行政地图是相似图形B.两个图形相似与形状有关而与位置无关C.哈哈镜中人的形象与本人是相似的D.同一底片洗出来的不同尺寸的照片是相似的2.下列各组多边形每一组中各取两个大小不同的多边形，一定是相似图形的是.①三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤菱形；⑥正方形；⑦梯形；⑧直角三角形.活动3 课堂小结本节课学习的数学知识:形状相同的图形是相似图形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.本节学习的数学方法:观察类比法.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①形状相同的图形②放大缩小③相似④不相似⑤相似⑥略【合作探究】活动2 跟踪训练1.C2.②⑥。

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27.1图形的相似（一）教学目的:(1)从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．(2)了解成比例线段的概念，会确定线段的比．重点、难点1．重点：相似图形的概念与成比例线段的概念．2．难点：成比例线段概念．一. 观察图片，体会相似图形1 、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ (课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)2 、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．什么是相似图形?3 、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?观察思考，小组讨论回答：二、成比例线段概念1．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的比是多少？归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比．2、成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如dc b a=（即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【注意】（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足dc b a =，则有ad=bc ．三、巩固练习1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？2、填空题形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。

3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，（1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ；（大）长是_______cm ，宽是_______cm ；（2）（小）=长宽；（大）=长宽．（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？5．AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？课题 27.1 图形的相似（二）一、教学目标1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．二、重点、难点1．重点：相似多边形的主要特征与识别．2．难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算．三、探索新知1、观察图片，体会相似图形性质(教材P36页)(1) 图27.1-4(1)中的△A 1B 1C 1是由正△ABC 放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？图27.1-4(2)对于图27.1-4(2)中两个相似的正六边形，是否也能得到类似的结论？(3)什么叫成比例线段？(阅读课本回答)2 、如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．3．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1中若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．111111C A AC C B BC B A AB == 则⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．四、例题讲解例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（）A ．所有的平行四边形都相似B ．所有的矩形都相似C ．所有的菱形都相似D ．所有的正方形都相似分析：A 中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A 错；B 中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B 错；C 中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C 也错；D 中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D 说法正确，因此此题应选D ．例2、例(教材P37页)如图27.1-6，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的大小和EH 的长度x ．27.1-6例3（补充）已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，且A 1B 1:B 1C 1:C 1D 1:D 1A 1=7:8:11:14，若四边形ABCD 的周长为40，求四边形ABCD 的各边的长．分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．解：五、课堂练习1．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．六、当堂检测1．（选择题）△ABC 与△DEF 相似，且相似比是32，则△DEF 与△ABC 与的相似比是（）． A ．32 B ．23 C ．52 D ．942．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（）（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个3．已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10cm 和4cm ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6cm ，那么四边形A 1B 1C 1D 1中最长的边长是多少？4．如图，AB ∥EF ∥CD ，CD=4，AB=9，若梯形CDEF 与梯形EFAB 相似，求EF 的长．5．如图，一个矩形ABCD 的长AD= a cm ，宽AB= b cm ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接E 、F ，所得新矩形ABFE 与原矩形ABCD 相似，求a:b 的值．（2:1）课题 27.2.1相似三角形的判定（一）【总第3课时】教学目的:(1) 会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △C B A ''';(2) 知道当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时，△C B A '''与△ABC 的相似比为1/k ．(3) 理解掌握平行线分线段成比例定理重点、难点教学重点: 理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．教学难点: 掌握平行线分线段成比例定理应用．一、知识链接1、相似多边形的主要特征是什么？2、相似三角形有什么性质？二合作探究1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''．我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''． 2）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？明确（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。

（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △C B A ''';（3）当△ABC 与△C B A '''的相似比为k 时，△C B A '''与△ABC 的相似比为1/k ．3) 活动1 (教材P40页探究1)(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4, l 5.分别量度l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, AB︰BC 与DE︰EF相等吗?(2) 问题，AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF．强调“对应线段的比是否相等”(3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。

应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；4）例1 如图、若AB=3cm，BC=5cm，EK=4cm，写出EKKF= =_____、ABAC=______。

A E求FK的长?B KF C4) 活动2平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？2、如果把图27.2-1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、归纳总结：平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.三. 练习巩固如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.四. 小结巩固（1）谈谈本节课你有哪些收获．“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．（2）相似比是带有顺序性和对应性的：如△ABC ∽△A ′B ′C ′的相似比k AC CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△A ′B ′C ′∽△ABC 的相似比就是k1CA A C BC C B AB B A =''=''=''，它们的关系是互为倒数．五、当堂检测1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．3 、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，AE=FC ，364EB =，153DF =，求：AE 的长。