第五章 一阶逻辑推理
设D为个体域
D中所有的x都有性质F D中有的x有性质F 对D中所有的x而言，如果x有性质F，x就
有性质G D中有的x有性质F的同时有性质G 对于D中所有的x、y而言，如果x有性质F， y有性质G，则x与y就有关系H
对于D中所有的x而言，如果x有性质F，
就存在y有性质G，使得x与y就有关系H 存在着D中x有性质F，并且对D中所有的y 而言，如果y有性质G，则x与y就有关系H
5.3 一阶逻辑的推理理论
定义5.3 自然推理系统F定义如下： 1字母表 同一阶语言P的字母表 2合式公式 同P的合式公式 3推理规则 （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则 （4）假言推理规则 （5）附加规则 （6）化简规则
（7）拒取式规则
人都生活在地球上 有的人长着黑头发 并不是所有的实数都能表示成分数 没有能表示成分数的无理数
将下列命题符号化
任意的偶数x与y都有公约数 存在奇数x与y没有公约数 说所有的火车比所有的汽车都快是不对的 说有的火车比所有的汽车都快是正确的
引例——苏格拉底三段论
所有人的都是会死的 苏格拉底是人 所以苏格拉底是会死的
例5.7求下面公式的前束泛式,填出每一步
的依据 (1) xF(x)xG(x) (3) xF(x)xG(x)
例5.8 求下面公式的前束泛式 (1)xF(x,y)yG(x,y) (2)( x1 F(x1 ,x2 )x2 G(x2 ))x1
H(x1 ,x2 ,x3)
3.代替规则
设A为一个公式，将A中某自由出现的个 体变项的所有出现用A中未曾出现的某个 体变项符号代替，公式A中其余部分不变， 设所得公式为A'，则A A'。
例5.1 将下面公式化成与之等值的公式，
使其没有既是約束出现又是自由出现的个 体变项。 （1）xF(x、y、z)yG(x、y、z) （2）x(F(x、y)yG(x、y、z))
例5.5证明下列各等值式。 （1）x(M(x)F(x))x(Mx)F(x)) （2）x(F(x)G(x))x(F(x)G(x)) （3）xy(F(x)G(y)H(x、
y))xy(F(x)G(y)H(x、y) （4）xy(F(x)G(y)L(x、 y))xy(F(x)G(y)L(（9）析取三段论规则 （10）构造性二难推理规则 （11）合取引入规则 （12）UI规则 （13）UG规则 （14）EG规则 （15）EI规则
例题
任何自然数都是整数，存在着自然数。所
以存在着整数。个体域为实数集合R。
重要的等值式
消去量词等值式 量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
1.置换规则
设（A）是含公式A的公式， （B）是 用公式B取代（A）中所有的A之后的公 式，若AB，则（A） （B）
2.换名规则
设A为一个公式，将A中某量词辖域中某
約束变项的所有出现及相应的指导变元， 改成该量词辖域中未曾出现的某个体变项 符号，公式中其余部分不变，设所得公式 为A'，则A A’。
一阶逻辑的前束范式
定义5.2 设A为一阶逻辑公式，若A具有如
下行式：Q1 x1 Q2 x2 …Qk xk B，则称A 为前束范式，其中Qi（ 1 ik) 为或 ， B为不含量词的公式。
定理5.1
一阶逻辑中任何公式都存在与之等值的前
束范式。
例5.6求下面公式的前束泛式 （1）xF(x)xG(x) （2）xF(x)xG(x)
例5.2 证明 （1）x(A(x)B(x)) ≠ xA(x)xB(x) （2） x(A(x)B(x)) ≠ xA(x)xB(x)
例5.3
设个体域为D={a,b,c}，将下面公 式的量词消去 (1)x(F(x)G(x)) (2)x(F(x)yG(y)) (3)xyF(x、y)
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
§5.1 一阶逻辑等值式与置换规则 §5.2 一阶逻辑前束范式 §5.3 一阶逻辑的推理理论
引例
没有不犯错误的人。 所有的人都犯错误。 不存在不犯错误的人。 命题符号化。
定义5.1
设A、B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真式，则称A与B等值。记为 AB。
D中所有的x都有性质F D中有的x有性质F 对D中所有的x而言，如果x有性质F，x就
有性质G D中有的x有性质F的同时有性质G 对于D中所有的x、y而言，如果x有性质F， y有性质G，则x与y就有关系H
对于D中所有的x而言，如果x有性质F，
就存在y有性质G，使得x与y就有关系H 存在着D中x有性质F，并且对D中所有的y 而言，如果y有性质G，则x与y就有关系H
5.3 一阶逻辑的推理理论
定义5.3 自然推理系统F定义如下： 1字母表 同一阶语言P的字母表 2合式公式 同P的合式公式 3推理规则 （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则 （4）假言推理规则 （5）附加规则 （6）化简规则
（7）拒取式规则
人都生活在地球上 有的人长着黑头发 并不是所有的实数都能表示成分数 没有能表示成分数的无理数
将下列命题符号化
任意的偶数x与y都有公约数 存在奇数x与y没有公约数 说所有的火车比所有的汽车都快是不对的 说有的火车比所有的汽车都快是正确的
引例——苏格拉底三段论
所有人的都是会死的 苏格拉底是人 所以苏格拉底是会死的
例5.7求下面公式的前束泛式,填出每一步
的依据 (1) xF(x)xG(x) (3) xF(x)xG(x)
例5.8 求下面公式的前束泛式 (1)xF(x,y)yG(x,y) (2)( x1 F(x1 ,x2 )x2 G(x2 ))x1
H(x1 ,x2 ,x3)
3.代替规则
设A为一个公式，将A中某自由出现的个 体变项的所有出现用A中未曾出现的某个 体变项符号代替，公式A中其余部分不变， 设所得公式为A'，则A A'。
例5.1 将下面公式化成与之等值的公式，
使其没有既是約束出现又是自由出现的个 体变项。 （1）xF(x、y、z)yG(x、y、z) （2）x(F(x、y)yG(x、y、z))
例5.5证明下列各等值式。 （1）x(M(x)F(x))x(Mx)F(x)) （2）x(F(x)G(x))x(F(x)G(x)) （3）xy(F(x)G(y)H(x、
y))xy(F(x)G(y)H(x、y) （4）xy(F(x)G(y)L(x、 y))xy(F(x)G(y)L(（9）析取三段论规则 （10）构造性二难推理规则 （11）合取引入规则 （12）UI规则 （13）UG规则 （14）EG规则 （15）EI规则
例题
任何自然数都是整数，存在着自然数。所
以存在着整数。个体域为实数集合R。
重要的等值式
消去量词等值式 量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
1.置换规则
设（A）是含公式A的公式， （B）是 用公式B取代（A）中所有的A之后的公 式，若AB，则（A） （B）
2.换名规则
设A为一个公式，将A中某量词辖域中某
約束变项的所有出现及相应的指导变元， 改成该量词辖域中未曾出现的某个体变项 符号，公式中其余部分不变，设所得公式 为A'，则A A’。
一阶逻辑的前束范式
定义5.2 设A为一阶逻辑公式，若A具有如
下行式：Q1 x1 Q2 x2 …Qk xk B，则称A 为前束范式，其中Qi（ 1 ik) 为或 ， B为不含量词的公式。
定理5.1
一阶逻辑中任何公式都存在与之等值的前
束范式。
例5.6求下面公式的前束泛式 （1）xF(x)xG(x) （2）xF(x)xG(x)
例5.2 证明 （1）x(A(x)B(x)) ≠ xA(x)xB(x) （2） x(A(x)B(x)) ≠ xA(x)xB(x)
例5.3
设个体域为D={a,b,c}，将下面公 式的量词消去 (1)x(F(x)G(x)) (2)x(F(x)yG(y)) (3)xyF(x、y)
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
§5.1 一阶逻辑等值式与置换规则 §5.2 一阶逻辑前束范式 §5.3 一阶逻辑的推理理论
引例
没有不犯错误的人。 所有的人都犯错误。 不存在不犯错误的人。 命题符号化。
定义5.1
设A、B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真式，则称A与B等值。记为 AB。
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5.3 一阶逻辑的推理理论
例5.12 在自然推理系统 F中，构造下面推理的证明： 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。 因此，有理数都不是无理数。个体域为实数集合。 解： 设 F（x）：x为无理数，G（x）：x为有理数， G H（x）：x能表示成分数。 前提： ┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ∧H（ ））， →H（ 结论： ∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（
7
全称量词引入规则（ UG规则，∀+） 全称量词引入规则（简称UG UG ， ） xA（ A（y）⇒∀xA（x） 公式成立的条件是： 1、在A（y）中y自由出现，且y取任何值时A均为真。 A y A 2、取代y的x不在A（y）中出现。 y x A
8
存在量词消去规则（ EI规则，∃-） 存在量词消去规则（简称EI EI ∃ ） xA（ ∃xA（x）⇒ A（c） 公式成立的条件是 1、c是使A为真的特定的个体常项 A 2、c不能已在A（x）中出现过 A 3、∃xA（x）中没有自由出现的个体变项 ∃xA（
9
例 设个体域为实数集合，F(x，y)为x>y。 ， 指出在推理系统 F中，以① ∀x∃y F(x，y)（真命题）为前 ① ∃ ， （ ） 提，推出④ ∀x F(x，c)（假命题）的原因。 ④ ， （ ） ① ∀x∃y F（x，y） 前提引入 ∃ （ ， ） ② ∃y F（z，y） （ ， ） ① UI规则 ③ F（z，c） （ ， ） ② EI规则 ④ ∀x F（x，c） ③ UG规则 （ ， ） 解: 错误出在第③步， ③ 由于∃yF(z,y)有自由出现的z，不满足EI规则的条件3。 ∃ 所以对② ∃yF(z,y)不能使用EI规则。 ②
4
构造证明方法在自然推理系统F中进行。 F 定义（自然推理系统F） F 自然推理系统F由以下三个部分组成： F 1、字母表 2、公式 3、推理规则（15个） （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则
一阶逻辑基本概念
设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{0，1} 上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn表 示集合D的n次笛卡尔乘积。
例：令G(x，y)： “x高于y”，G(x，y)是一个二元谓词。 将x代以个体 “张三”，y代以个体 “李四”，则G(张 三，李四)就是命题： “张三高于李四”。
G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。 将x，y代以任意确定的个体，由G(x，y)都能得到一个
如例 (1)和(4)的合取 (x)P(x) ∧ (x)R(x) x∈{老虎} x∈{人}
不便之处(续)
（3）若个体域的注明不清楚，将造成无法确定命题真值。 即对于同一个n元谓词，不同的个体域有可能带来不同的真 值。
例如 对于语句“(x)(x+6 = 5)”可表示为：“有一些x ，使得x+6 = 5”。该语句在下面两种个体域下有不同的真 值：
它的含义(是x：)(“U(对x)于→任P(意x)的) x, x是老虎，并且x 会它吃的人含”，义与是原：命“题对“于所任有意的的老x,虎如都果要x是吃老人虎”的，逻则辑x 含会义吃不人符”。，符合原命题的逻辑含义。
（2）令 S(x)：x登上过月球
U(x)：x是人
若则符符号号化化为的正(确x)(形U(式x)应→该是S(x))
全总个体域（universe）——由宇宙间一切事物组成 。
说明 本教材在论述或推理中，如果没有指明所采 用的个体域，都是使用的全总个体域。
谓词及相关概念
谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相 互关系的词。
(1) 是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号 化为F() 。
(2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号 化为G(x)。
例：令G(x，y)： “x高于y”，G(x，y)是一个二元谓词。 将x代以个体 “张三”，y代以个体 “李四”，则G(张 三，李四)就是命题： “张三高于李四”。
G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。 将x，y代以任意确定的个体，由G(x，y)都能得到一个
如例 (1)和(4)的合取 (x)P(x) ∧ (x)R(x) x∈{老虎} x∈{人}
不便之处(续)
（3）若个体域的注明不清楚，将造成无法确定命题真值。 即对于同一个n元谓词，不同的个体域有可能带来不同的真 值。
例如 对于语句“(x)(x+6 = 5)”可表示为：“有一些x ，使得x+6 = 5”。该语句在下面两种个体域下有不同的真 值：
它的含义(是x：)(“U(对x)于→任P(意x)的) x, x是老虎，并且x 会它吃的人含”，义与是原：命“题对“于所任有意的的老x,虎如都果要x是吃老人虎”的，逻则辑x 含会义吃不人符”。，符合原命题的逻辑含义。
（2）令 S(x)：x登上过月球
U(x)：x是人
若则符符号号化化为的正(确x)(形U(式x)应→该是S(x))
全总个体域（universe）——由宇宙间一切事物组成 。
说明 本教材在论述或推理中，如果没有指明所采 用的个体域，都是使用的全总个体域。
谓词及相关概念
谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相 互关系的词。
(1) 是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号 化为F() 。
(2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号 化为G(x)。
第5章一阶逻辑等值演算与推理
二、基本规则 ．置换规则 设Φ()是含公式的公式，Φ()是用公式取代
Φ()中所有的之后的公式，若 ，则Φ() Φ(). 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置
换规则形式上完全相同，只是在这里，是一阶 逻辑公式。
．换名规则 设为公式，将中某量词辖域中某约束变项 的所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域 中未曾出现过的某个体变项符号，公式的其余 部分不变，设所得公式为'，则' .
．存在量词引入规则(简称规则或)
该式成立的条件是： （）是特定的个体常项。 （）取代的不能在()中出现过。
．存在量词消去规则(简记为规则或)
该式成立的条件是： （）是使为真的特定的个体常项。 （）不在()中出现。 （）若()中除自由出现的外，还有其它自由
出现的个体变项，此规则不能使用。
三、一阶逻辑自然推理系统 定义 自然推理系统定义如下：
()→() (换名规则) 原公式中，，都是既约束出现又有自
由出现的个体变项，只有仅自由出现。而在 最后得到的公式中，，，，，中再无既是约 束出现又有自由出现个体变项了。还可以如 下演算，也可以达到要求。
()→() ()→() (代替规则) ()→() (代替规则)
(2)(()→()) (()→()) (代替规则)
本例说明，全称量词“”对“∨”无分配律。 同样的，存在量词“”对“∧”无分配律。但 当()换成没有出现的时，则有
(()∨) ()∨ () (()∧) ()∧ ()
例 设个体域为＝{}，将下面各公式的量词消
去： () (()→()) () (()∨()) () () 解 () (()→())
(()→())∧(()→())∧(()→()) () (()∨())
一阶逻辑推理理论
一阶逻辑推理实例
命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中
的代换实例，在一阶逻辑推理中仍然使 用 量词消去和引入规则
例1: 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。 苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。” 命题符号化：F（x）：x是人（特性谓词）； G（x）：x是要死的； a：苏格拉底 前提：x（F(x)→G(x)），F(a) 结论：G(a) 证明： （1）x（F(x)→G(x)） 前提引入 （2）F(a)→G(a) UI(1) （3）F(a) 前提引入 （4）G(a) (2)(3)假言推理
xA(x) A(y)中， y应为任意的不在A(x)中约束 出现的个体变项。
全称量词引入规则（简称UG规则） A(y) xA(x) ③ 公式成立的条件是 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真 2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
例:设定义域为实数， 取F(x,y)为x>y，A(y)=xF(x,y)=x(x>y)， A对任意给定的y都是真的。 如下推理是否正确 : ①xF(x,y) 前提引入 ②xxF(x,x) ①UG xx(x>x)是假命题，推理出错。 出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y) 中约束出现 ②zxF(x,z) ①UG √
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x 是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理 是否正确： (1) xF(x)∧xG(x) 前提引入 (2) xF(x) (1)化简规则 (3) xG(x) (1)化简规则 (4) F(a) (2)EI (5) G(b) (3)EI (6) F(a)∧G(b) (4)(5)合取规则 (7) x(F(x)∧G(x)) (6)EG
前提: x ( F(x) → G(x)) ，x ( F(x) ∧ H(x) ) 结论: x ( G(x) ∧ H(x) )
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
本章说明
本章的主要内容 –一阶逻辑等值式与基本等值式 –置换规则、换名规则、代替规则 –前束范式
–一阶逻辑推理理论
本章与其他各章的关系 –本章先行基础是前四章
–本章是集合论各章的先行基础
本章主要内容
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
5.2 一阶逻辑前束范式 5.3 一阶逻辑的推理理论 主要内容 作 业
一阶逻辑中的一些基本而重要等值式
代换实例
消去量词等值式
量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
代换实例---命题公式的推广
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永 真式，因而第二章的16组等值式模式给出的代换实例都是 一阶逻辑的等值式的模式。 例如：
x(A(x)∧B(x))x A(x)∧ x B(x)
谓词演算蕴含式 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
x(A(x)∧B(x)) x A(x)∧ x B(x)
多个量词间的次序排列等值式。
多个量词同时出现时,其顺序是至关重要的.
(1) xyA( x, y) yxA( x, y ) (2) xyA( x, y ) yxA( x, y )
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真 式，则பைடு நூலகம்A与B是等值的。 记做AB，称 AB 是等值式。
例如：
x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
说 明
判断公式A与B是否等值，等价于判断公式AB是否 为永真式。 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关 等值式类似。
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式 上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'， 则A'A。
一阶逻辑等值式与置换规则讲解学习
3
3、量词辖域收缩与扩张等值式 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是
不含x的公式，则 （1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B x（A（x）∧B）xA（x）∧B x（A（x）→B）xA（x）→B x（B →A（x）） B→xA（x） （2）x（A（x）∨B） xA（x）∨B x（A（x）∧B） xA（x）∧B x（A（x）→B） xA（x）→B x（B→A（x）） B→xA（x）
4
5、同种量词顺序置换等值式 对于任意的公式A（x，y）
(1)xyA（x，y） yxA（x，y） (2)xyA（x，y） yxA（x，y）
6
一阶逻辑的等值演算
一阶逻辑的等值演算中三条重要的规则： 1、置换规则 设ф(A)是含公式A的公式，ф(B)是用公式B置换 了 ф(A) 中 所 有 的 A 后 得 到 的 公 式 ， 若 AB， 则 ф(A) ф(B)。
x ┐（F（x）→G（x）） x ┐（┐F（x）∨G（x）） x（F（x）∧┐G（x））
14
（3）┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
证明： ┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y））
x ┐y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y ┐（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y ┐（┐（F（x）∧G（y））∨H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
7
例 设个体域为D={a，b，c}，将下面公式的量词消去。 （1）x（F（x）→G（x）） （2）x（F（x）∨yG（y）） （3）xyF（x，y）
解：（1）x（F（x）→G（x）） （F（a）→G（a））∧ （F（b）→G（b））∧ （F（c）→G（c））
3、量词辖域收缩与扩张等值式 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，B是
不含x的公式，则 （1）x（A（x）∨B）xA（x）∨B x（A（x）∧B）xA（x）∧B x（A（x）→B）xA（x）→B x（B →A（x）） B→xA（x） （2）x（A（x）∨B） xA（x）∨B x（A（x）∧B） xA（x）∧B x（A（x）→B） xA（x）→B x（B→A（x）） B→xA（x）
4
5、同种量词顺序置换等值式 对于任意的公式A（x，y）
(1)xyA（x，y） yxA（x，y） (2)xyA（x，y） yxA（x，y）
6
一阶逻辑的等值演算
一阶逻辑的等值演算中三条重要的规则： 1、置换规则 设ф(A)是含公式A的公式，ф(B)是用公式B置换 了 ф(A) 中 所 有 的 A 后 得 到 的 公 式 ， 若 AB， 则 ф(A) ф(B)。
x ┐（F（x）→G（x）） x ┐（┐F（x）∨G（x）） x（F（x）∧┐G（x））
14
（3）┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
证明： ┐x y（ F（x）∧G（y）→H（x，y））
x ┐y（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y ┐（ F（x）∧G（y）→H（x，y）） x y ┐（┐（F（x）∧G（y））∨H（x，y）） x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y））
7
例 设个体域为D={a，b，c}，将下面公式的量词消去。 （1）x（F（x）→G（x）） （2）x（F（x）∨yG（y）） （3）xyF（x，y）
解：（1）x（F（x）→G（x）） （F（a）→G（a））∧ （F（b）→G（b））∧ （F（c）→G（c））
第五章 一阶逻辑推理理论
六、量词分配: 对∧, 对∨ 量词分配 设公式A(x),B(x)含自由出现的个体变项 ，则： 的个体变项x， 设公式 含自由出现的个体变项 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) ∧ ∧ x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) ∨ ∨ 但是: 但是 对∨, 对∧不可分配 x(A(x)∨B(x)) ≠xA(x) ∨xB(x) (*) 1≠0 ∨ ≠ ∧xB(x) (**) 0≠1 x(A(x)∧B(x)) ≠xA(x) ∧ ∧ ≠ 要证谓词公式等值要穷尽所有解释, 要证谓词公式等值要穷尽所有解释 不等,只要 只要1个解释 不等 只要 个解释 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 自然数! 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 A(x)解释为 是奇数 解释为x是奇数 解释为x是偶数 解释为 是奇数,B(x)解释为 是偶数 则 解释为 是偶数,则 是所有自然数是奇数， 而xA(x)是所有自然数是奇数，是不对的！为0 是所有自然数是奇数 是不对的！ 是所有自然数是偶数， 是所有自然数是偶数 是不对的！ 而xB(x)是所有自然数是偶数，是不对的！为0 x(A(x)∨B(x))是“任何自然数是奇数或偶数”, ∨ 是 任何自然数是奇数或偶数” 为1
将下面公式化成等值的公式,使其不含有既是 等值的公式 例1 将下面公式化成等值的公式 使其不含有既是 约束出现又是自由出现的个体变项。 约束出现又是自由出现的个体变项。 自由出现的个体变项 →yG(x,y,z) xF(x,y,z)→ → 解：x在前件中是约束变元，在后件是自由变元, 在前件中是约束变元，在后件是自由变元 在前件中是约束变元 y在前件中是自由变元，在后件是约束变元， 在前件中是自由变元， 在前件中是自由变元 在后件是约束变元， 约束变元改名 改名： →sG(x,s,z) 约束变元改名： tF(t,y,z)→ → 自由变元改名 改名： →yG(t,y,z) 对自由变元改名： xF(x,s,z)→ → →yG(x,y,z)) x(F(x,y)→ → 在前件是自由， 解：y在前件是自由，在后件是约束，有歧义！ 在前件是自由 在后件是约束，有歧义！ →sG(x,s,z)) x(F(x,y)→ →
一阶逻辑的推理演算
1一阶逻辑的推理演算这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。
其功能是由若干前提12,,,n A A A 推导出一条结论B 。
这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧∧→1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。
例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。
进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：(()())()()F x G x F x G x →∧→定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。
证明 略。
证毕2. 永真蕴含式和推理定律永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。
将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。
根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。
因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。
由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。
例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。
这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。
因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。
这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。
因此，推理定律可以当作推理规则使用。
2再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。
命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。
3. 量词消去与引入规则与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。
见课本第75页。
这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。
1） 全称量词消去规则（简记为∀-）（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。
第五章 演绎推理(一)
我们的事业是正义的，而正义的事业是任何敌人也 攻不破的。 正义的事业是任何人也攻不破的， 我们的事业是正义的事业， 所以，我们的事业是任何人也攻不破的。 这是一个省略了结论的推理。
一切反动派都是纸老虎，……沙皇不是纸老虎吗？ 希特勒不是被看做很有力量吗？但是历时证明了他 是一只纸老虎。墨索里尼是如此，日本帝国主义也 是如此。 沙皇是纸老虎， 希特勒是纸老虎 墨索里尼是纸老虎， 日本帝国主义是纸老虎， 沙皇、希特勒、日本帝国主义等都是反动派。 所以，一切反动派都是纸老虎。 因此这是一个先说结论后说前提的归纳推理。 因此这是一个先说结论后说前提的归纳推理。
（四）矛盾关系的直接推理 有八种有效的逻辑形式： ¬ 以真推假：1、 SAP→ SOP 所有的商品都有使用价值， 所以，并非有的商品没有使用价值。 ¬ 2、 SEP→ SIP 所有无毒蛇都不是有毒的， 所以，并非有的无毒蛇是有毒的。 ¬ 3、 SIP→ SEP 有的大学生是喜欢踢足球的， 所以，并非所有的大学生都不是喜欢踢足球的。 ¬ 4、 SOP→ SAP 有些干部不是称职的， 并非所有的干部都是称职的。
第三节 三段论推理
一、三段论概述 （二）三段论的结构 三段论实际上是三个概念之间的逻辑推演，其中 结论的主项叫小项，用S 表示，结论的谓项叫大项， 用P 表示，前提中两次出现 ，而结论中未出现的项 叫中项，用M 表示，中项起到媒介作用。任何一个 三段论都包含着三个不同的判断， 即大前提、小前 提和结论，其中包含大项的前提叫大前提，包含小 项的前提叫小前提。
(一)换质法推理： 换质法推理： 根据以上规则，以A，E，I，O判断为前提进行换质法推理 1、 SAP→SE p 所有的人都是动物， 所以，所有的人都不是非动物。 2、 SEP→SA p 所有的罪犯都不是有投票权的公民， 所以，所有的罪犯都是没有投票权的公民。 3、 SIP→SO p 有些社会现象是无阶级性的， 所以，有些社会现象不是有阶级性的。 4、 SOP→SI p 有些政治家不是贪官污吏， 所以，有些政治家是非贪官污吏。
一阶逻辑基本概念知识点总结
一阶逻辑基本概念知识点总结一阶逻辑是一种形式化的逻辑系统，也称为一阶谓词演算。
它由一组基本的概念组成，包括：1. 项（Term）：一阶逻辑中的项是指个体或对象，可以是常量、变量或函数应用。
常量是指已知的个体，变量是指代未知个体，函数应用是将一个函数应用于一组参数得到的结果。
2. 公式（Formula）：一阶逻辑中的公式是用来描述真假性的陈述。
公式可以是原子公式或复合公式。
原子公式是一个谓词应用，谓词是一个描述性的关系符号，用来描述个体之间的关系。
复合公式是由逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含等）连接的一个或多个公式。
3. 量词（Quantifier）：一阶逻辑中的量词用来描述一个谓词在某个个体集合上的性质。
常见的量词包括全称量词（∀，表示对所有个体都成立）和存在量词（∃，表示存在至少一个个体成立）。
4. 推理规则（Inference Rule）：一阶逻辑中的推理规则用来进行逻辑推理，在给定一组前提条件的情况下，得出结论的过程。
常用的推理规则包括引入规则（例如全称引入和存在引入）、消去规则（例如全称消去和存在消去）、逆反法和假设法等。
5. 自由变量和限定变量：一阶逻辑中的变量可以分为自由变量和限定变量。
自由变量是没有被量词约束的变量，限定变量是被量词约束的变量。
6. 全称有效性和存在有效性：一阶逻辑中的一个论断是全称有效的，如果它在所有模型中都为真；一个论断是存在有效的，如果它在某个模型中为真。
这些是一阶逻辑的基本概念，它们提供了一种描述和推理关于个体和关系之间的真假性的形式化方法。
一阶逻辑在数学、人工智能、计算机科学等领域有广泛的应用。