排列、组合和概率名师讲座

第十章排列、组合和概率§10.2 排列一、素质教育目标【知识教学点】使学生理解并掌握排列、排列数的概念，排列数的公式，并能运用这些知识解决一些简单的应用题。

【能力训练点】通过对排列知识的学习和解排列应用题，学会分析问题的方法并提高计算能力和解决应用问题的能力。

【德育渗透点】结合解简单的排列应用题的计算以及直接法和间接法的运用，即正向思考和逆向思考，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，以及辩证思维能力。

【美育渗透点】通过排列的学习，领略诸如“特殊元素优先考虑法”“插空法”“捆绑法”“去杂法”等不同建模方式的解题功效，体会数学的简洁美、应用美。

二、学法引导1、排列问题是有序问题，换句话说，无序问题不是排列问题，可从具体的计算排列数的实践中，抽象出排列的概念，排列问题中“有序”的要求，可以表现为一组互不相同的元素要与另一组互不相同的“位置”确定某种对应关系。

2、比较复杂的排列问题，常常结合分类计数原理或分步计数原理来解决。

3、排列问题，是有很强实际背景的数学问题，要习惯于用具体的“排队”方法来检验计算公式是否得当，即注意把一个计算过程与一个具体的完成事情的过程对应起来，这样才能把排列问题学活、学透。

三、重点、难点、疑点及解决办法【重点】解有关排列的应用题主要是把“元素”“排列”“排列数”这三个概念灵活地运用到具体问题里去，要通过典型例题来分析解题步骤，即先看问题能不能归结为排列问题，再看是否有限制条件，然后考虑直接计算法或间接计算法。

【难点】排列问题中有些限制条件是明显的，但的比较隐蔽，要理解题意，防止重复或遗漏，用不同的方法去解同一个问题，不仅可以开拓思路，提高分析问题的能力，还能起到核对答案，避免出现差错的作用。

【疑点】排列问题的得数一般很大，用直观的方法检验是不可能的，解决的办法是：严格审题，看分类（或分步）时是否有相交部分，或者有遗漏符合条件的情况，再有就是减少元素，同法计算，再检验结果。

四、课时安排：5课时五、教学步骤：排列(一)【教材】10.2排列【目的】1.理解排列、排列数的概念.2.了解排列数公式的推导,培养学生化归的数学思想方法.3.能用排列数公式计算排列数.【过程】： 一、复习引入1.分类计数原理和分步计数原理及其区别(“分类”、“分步”完成一件事)2.用分步计数原理计算下面两个问题.(用多媒体显示教材上的问题1、问题2)问题1分析:分2步完成,第1 步,确定参加上午活动的同学,有3种方法;第2步,确定参加下午活动的同学,有2种方法,根据分步计数原理,共有3×2=6种方法.问题2分析:仿问题1分析 二、新课1.排列和排列数的概念从以上两个实例的结果中,引出排列和排列数的概念一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数.指出:1)排列定义中包括:a.取出元素,b.按照一定顺序排列.因此,两个排列相同,必须它们的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2)排列和排列数是两个既有联系又有区别的两个概念.3)排列数用mn A 表示.2.排列数公式的推导提问:从n 个不同的元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少? 3n A 呢?分析:求2n A 化归为从n 个元素中任取2个填入排好顺序的2个空位.分两步进行:第1步,填第1个位置的元素,有n 中方法;第2步,填第2个位置的元素,有(n-1)种方法.根据分步计数原理共有n(n-1)种方法,从而)1(2-=n n A n .求3n A (仿求2n A 的方法)得)2)(1(3--=n n n A n ，求出2nA 、3n A 后,第1位 第3位第2位 第2位 第1位{用同样的方法,求mn A ， 所以得到公式:)1()2)(1(+---=m n n n n A mn这里*,N m n ∈,且n m ≤,这个公式叫做排列数公式.公式特点:左边第一个因数是n ,后面的每个因数都比它前面一个因数少1,最后一个因数为1+-m n ,共有m 个因数相乘.3.例题:例1 (教材91页例1)通过例1的讲解,使学生熟悉公式,掌握公式的特点.引伸:1)若451617⨯⨯⨯⨯= mn A ,则=n ,=m .(17,14)2)若N n ∈,则)69)(68()57)(56)(55(n n n n n ----- 用排列数符号表示为 .(1569n A -)3)若33210n n A A =,则=n .( 8 )例2 写出从A,B,C,D 四个元素中任取两个元素的所有排列. 分析:如何不重不漏地写出所有的排列－－树图. 4.练习: 教材第94页练习1、2、3题 三、小结:1.排列的定义中包含下列两个基本内容(1)选元素从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,要注意被取的元素是什么?取出的元素是什么?即明确m,n.(2)排顺序 将取出的m 个元素按照一定顺序排成一列,是排列问题的基本属性. 2.排列数公式要抓住其特点,能用它求排列数.3.如何写出符合条件的所有排列:一般先分类,后分步,用画树图的方法,逐一写出所有的排列.4.注意分步思想在本节中的应用. 四、作业:教材第95页 习题第1、3、4题.第1位 第2位 第3位第m 位……排列(二)【教材】10.2排列【目的】1.理解全排列、阶乘的意义,会求一个正整数的阶乘. 2.掌握排列数的另一个计算公式3.能用排列数公式计算和解决简单的实际问题,提高分析问题和解决问题的能力.【过程】：一、复习引入 1.排列与排列数公式.2.计算:66A ,nn A .由66A ,n n A 的意义导入新课.二、新课1.全排列、阶乘的概念一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列.这时在排列数公式中n m =,即有123)2()1(⋅⋅-⋅-⋅= n n n A nn正整数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,用!n 表示,所以!n A nn =. 问题:11++n n A 与n n A 1+相等吗?11++n n A 与n n A n )1(+呢?2.排列数的另一个公式的推导由已经学习果的排列数公式)1()2)(1(+---=m n n n n A m n12)(12))(1()2)(1(⋅-⋅-+---=m n m n m n n n n =)!(!m n n -得公式 )!(!m n n A mn -=指出:(1)为使此公式在n m =时也成立,规定0!=1;(2)此公式的作用,一是当m 、n 较大时,可从计算器上直接按出相应阶乘数,计算较方便;二是当对含字母的排列数的公式进行变形、讨论时,用这种形式相互转化. 3.例题:例1、(1)证明:①1)1(-⋅+-=m n m n A m n A ②mn i m n m n A A m A 1+-=⋅+(2)解方程或不等式:①2213623x x x A A A +=+ ②2886-<x x A A ( ① 5;② 8 ) 例2、(教材例2)问题:2个足球对之间进行比赛,要进行几场比赛?(与顺序无关,1场比赛)2个足球队之间在主、客场分别进行比赛,要进行几场比赛?(与顺序有关,2场比赛) 分析:本题转化为排列问题,它是与两队的顺序有关的问题,所以比赛的场数,对应于从14个元素中任取2个的一个排列,即1821314214=⨯=A 场.引伸:某段铁路上有12个车站,共需要准备多少种不同的车票? 例3、(教材例3)分析一:(1)设有三位同学(下左图中三个空位),要完成每个人送1本书,分为3步.第1步,送1本书给第一位同学有5种方法,第2步,送1本书给第二位同学有4种方法,第3步,送1本书给第三位同学有3种方法,由分步计数原理共有5×4×3=60种方法.(2)设有三位同学(下右图中三个空位),要完成每人买1本书,分为3步,第1步,第一位同学有5种买法,第2步,第二位同学仍有4种买法,第3步,第三位同学还是有5种买法,由分步计数原理共有5×5×5=125种.引伸:1.车上有7个座位,5名乘客就座,有多少种就座方式?(排列问题57A )2.四个同学,争夺3项竞赛冠军,冠军获得者的可能种数有多少?(不是排列问题,用分步计数原理有4×4×4=43种)4.练习:教材第95页练习4、5、6、7、8题 三、小结:1.全排列、阶乘的意义,排列数的阶乘形式.2.解决排列问题的一般思路:(1)把问题分步来完成,用分步计数原理求解; (2)转化为求排列数问题来解决. 四、作业:教材第95页 习题第5、6题.5第1位第2位第3位43第1位第2位第3位555排列(三)【教材】10.2排列【目的】1.能运用分类计数原理和与分步计数原理和排列数公式解决较简单的排列应用题. 2.初步学会解带有简单限制条件的排列应用题,提高分析问题和解决实际问题的能力. 【过程】：一、复习引入1.排列与排列数公式.2.引入 上节课我们学习了利用排列数公式解决简单的应用题,解题的关键是把实际问题化归为排列问题,这节课继续研究有关排列的应用题.二、新课有关排列的应用题可分为两大类 1.无条件限制的排列问题解题关键:(1)确定该题是否为排列问题; (2)正确地找出m ,n 的值; (3)准确地运用两个基本原理. 例1、 (教材93页例4)分析:(1)要做一件什么事?怎样就叫把这件事做完了?(2)什么是信号?为什么是排列问题? (3)如何求解?解:信号可分为三类,第一类:挂1面旗的信号有13A 种;第二类,挂2面旗的信号有23A 种;挂3面旗的信号有33A 种,根据分类计数原理,共有信号13A +23A +33A =15种.引伸:由1,2,3,4这4个数字可组成多少个无重复数字的正整数?分析:把所要排的正整数分为三类:一位数有14A 个,二位数有24A 个,三位数有34A 个,四位数有44A 个,根据分类计数原理,共可组成无重复数字的正整数的个数为14A +24A +34A +44A =64个.例2、 10个人走进放有6张椅子的屋子,若每张椅子必须且只能坐一个人,问有多少种不同的坐法?( 151200610 A )指出:在这一类问题中有两种不同的对象:人和椅子.一般处理的方法是:把其中某一种对象(数量较多的)作为元素,另一种对象作为位置.引伸:(1)在7本不同的书中任选5本借给5名学生,每人必须且只能借1本,问有多少种不同的借法?(2)6个人走进放有10张椅子的屋子,若每张椅子必须且只能坐一个人,问有多少种不同的坐法? 2.有限制条件的排列问题这里所说的限制为:某位置不能排某元素,或某元素只能排在某位置等.这一类问题常用的不同解法有:(1)特殊位置先排;(2)特殊元素先排;(3)排除法.百 位 个 位十 位例3、 (教材第93页例5)用0到9这10个数字可组成多少个无重复数字的三位数?分析:本题中有一个限制元素“0”,有一个受限位置“首位”,因此我们应从限制条件出发去考虑. 解一:(特殊位置先排)先画出数字框图.(1)受限位置百位上的数字有几种排法?(19A 种)(2)十位、个位上的数字又有几种排法?(29A 种或1819A A ⋅种) (3)本解法中数字的组成是分类完成还是分步完成? (19A ×29A =648个)解二:(特殊元素先排)根据受限元素0出现的位置把符合条件的三位数分成3类(如下框图),由分类计数原理,共有不同的三位数39A +29A +29A =648个.解三:(排除法)从0到9这十个数字中任取3个数字的排列数为310A ,其中0在百位上的排列数为29A ,故所求的三位数的个数为310A -29A =648个.指出:用排除法解题时,特别要注意不合要求的排列有哪几种?要做到不重不漏.引伸:(1)7个人排成一排拍照留念,其中甲不站在中间也不站在两端,问有多少种不同的排法?(4436A A ⋅或6614A A ⋅或288036637=-A A 种)(2)由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,其中小于5000的偶数共有多少个?(331312A A A ⋅⋅或361233134455=--A A A A A 个)三、小结:1.注意弄清分类计数原理和分步计数原理的区别:分类时,每类中的任一种方法都可独立完成事件;分步时,必须依次完成所有步骤才能完成事件.2.解有限制条件的排列应用题时,通常可从特殊元素和特殊位置入手分析,或用排除法,解题时可根据具体情况灵活运用.四、作业:教材第95页 习题第5、6题.百 位0 十 位百 位 个 位 十 位百 位 个 位排列(四)【教材】10.2排列【目的】1.巩固复习本节知识.2.进一步掌握带有限制条件的排列应用题的解法.3.能综合应用排列数公式及分类计数原理和分步计数原理解排列应用题,提高学生解较复杂一些的排列应用题的能力.【过程】：一、复习引入1.排列数公式)1()2)(1(+---=m n n n n A mn 或)!(!m n n A m n-=,公式的前者主要用于排列数的计算,而后者主要用于排列数等式的求解和证明.2.利用排列数公式与两个基本原理解排列应用题,是本节的重点和难点,解题的基本原则是:(1)选原理——分类计数原理与分步计数原理;(2)选思路——直接法或间接法;(3)画框图——帮助理解,提高解题的直观性.二、新课例1、 (1)解方程 19843-=n n A A ( 6=n ) (2)解不等式 333x A xA < ( {}*,4N x x x ∈> (3)求证 n m n m n m A nA A 11+-=+例2、 若m ∈{2,5,8,9},n ∈{1,3,4,7},则方程122=+ny m x 可表示多少个焦点在x 轴上的相异椭圆?分析:分为四类①m=2时,n=1;②m=5时,n=1、3、4;③m=8时,n=1、3、4、7;④m=9时,n=1、3、4、7.故可表示不同椭圆的个数为:1+3+4+4=12个.例3、 7人排成一排,根据下列条件,分别求各有多少种不同的排法.(1)甲只能排在中间或两头的位置; (2)甲、乙两人必须排在两头; (3)甲不排在两头.分析:考虑特殊元素和特殊位置(1) 21606613=A A 种(2) 甲、乙的排法有22A ,故共有2405522=A A 种甲 甲甲 甲乙 甲乙(3)甲有15A 种排法,故共有36006615=A A 种 (或3600661277=-A A A 种)例4、 从1到9这9个数字中任选5个,可以组成多少个符合下列条件的五位数.(1)奇数;(2)能被25整除;(3)50000到90000之间的偶数.分析:(1)个位数为奇数 84004815=A A 个(2)末两位必须是25的倍数,即25或75,有12A 种,故共有4203712=A A 种.(3)既要考虑个位,又要考虑最高位.当万位是5或7时,如上图,有12A 种排法,个位有14A 种排法,中间三位有37A 种排法,此时共有12A 14A 37A 个; 万位是6或8时,如上图,这时共有12A 13A 37A 个 故共有12A 14A 37A +12A 13A 37A =2940个. 例5、 4名男生,3名女生排成一排,按下列要求,求各有多少种不同的排法.(1)男、女生都排在一起; (2)女生不全排在一起; (3)男、女生必须相间.分析：(1)思路:分别将男、女生看成一个整体.将4名男生,3名女生分别看成一个整体(两个元素),有22A 种排法;男、女生各自在整体内分别有44A 和33A 种排法,故不同排法共有22A 44A 33A =288种. (2)思路:“全排”和“不全排”是互斥的,用间接法.女生全排在一起的情况,把3名女生看成一个整体A,则4名男生和A 共有55A 种排法.在A 内又有33A 种排法,因而女生在一起有55A 33A 种排法,因此女生不全在一起的排法有77A -55A 33A =4200种排法. (3)如图,只有这样,才能使男女生相间,因此符合条件的不同排法共有44A 33A =144种. 指出:(3)为相间的排列问题,一般用“插空法”.如果将它改为“任何两个女生不相邻”,则和“男女生相间”是有区别的.“任何两个女生不相邻”只要求她们之间排有男生,至于排几个男生则无关紧要.如下图,先排无附带条件的男生(圆圈),4名男生之间及两头有5个空档(图中△),3名女生只要排在空档位置,都符合任何两个女生不相邻,共有44A 35A =1440种.5 7 24 6 824 86 2 4 68男 男 男 男女 女 女男 男 男 男A例6、 7人排成一排,按下列要求,求各有多少种不同的排法.(1)若C 、D 、E 三人两两不相邻; (2)若A 、B 两人连排在一起,C 、D 、E 三人两两不相邻; (3)若A 、B 两人不相邻,C 、D 、E 三人也两两不相邻.分析：(1)C 、D 、E 三人两两不相邻,即三人间隔排,可采用“插空法”.先排余下4人,再在留下的5个空档中插入C 、D 、E,共有44A 35A =1440种. (2)A 、B 连排可采用“捆绑法”,把A 、B 两个元素看作一个集团元素.先排这个集团元素和C 、D 、E 外两人,有33A 种排法,再在留下的4个空档中插入C 、D 、E,有34A 种排法,但应注意A 、B 两人可交换位置,有22A 种排法,故共有的排法总数为33A 34A 22A =288种. (3)因为同时解决两个不相邻问题比较困难,可通过“补集法”转化为用(2)解决. 设全集I=｛C 、D 、E 三人两两不相邻的排法｝,集合A=｛C 、D 、E 三人两两不相邻,且A 、B 连排在一起的排法｝, 则A =｛C 、D 、E 三人两两不相邻,且A 、B 不相邻的排法｝故n(A )=n(I)-n(A)=44A 35A -23A 22A 34A =1440-288=1152种. 指出:(1)连排问题采用“捆绑法”,间排问题采用“插空法”. (2)用“补集法”解题时,必须先确定全集,以化难为易,化繁为简为宗旨. 例7、 7人排成一排,按下列要求,求各有多少种不同的排法.(1)甲不能排在首位,乙不能排在末位; (2)甲、乙两人间恰好间隔两人; (3)甲、乙、丙三人顺序一定. 分析：(1)直接法——元素分析法甲不能排在首位,只能排在后面六个位置,注意到乙不能排在末位,所以甲的排法分为两类: 甲在末位,有66A 种排法甲排在中间5个位置,有15A 种,乙排除末位的其余5个位置,有15A 种,其余的元素还有55A 种,故共有15A 15A 55A 种排法. 因此共有66A +15A 15A 55A =3720种排法. (2)把甲、乙两人连同中间2人看作一个集团元素,它的位置有14A 种,甲、乙外的五人作全排,有55A 种排法,甲、乙可交换位置有22A 种,由分步计数原理共有14A 55A 22A =960种. 另解:先从甲、乙外5人中选2人填在甲、乙之间的两个空档内,有25A 种,再把它们看作一个元素,与余下3人作全排,有44A 种,甲、乙可交换位置有22A 种,由分步计数原理共有25A 44A 22A =960种. 甲甲 甲 甲 甲 甲(3)当甲、乙、丙顺序选定7个位置中的某3个时,其他人位置不动,这时甲、乙、丙3人在这3个位置上的排法只有一种是符合题中顺序要求的,因此共有37A /33A =840种.(“等几率问题”)另解:当甲、乙、丙外的4人在7个位置上作选排列,留下的3个位置给甲、乙、丙排列,符合条件的排法只有1种,故共有47A =840种.指出:题(2)中,设立“集团元素”体现了整体思想,尤其是法一采用先整体后局部,先特殊后一般的解题程序,思路清晰,形象直观,避免出现重复或遗漏的错误.题(3)中,法一体现了“动中求静”的思维方式,一旦甲、乙、丙外的4人位置固定,甲、乙、丙3人都有33A 种排法,但只有一种符合条件;法二中运用逆向思维方式,把对甲、乙、丙3人的顺序要求转化为余下4人在7个位置上的选排问题.例8、 用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列:(1)第114个数是多少?(2)3796是第几个数?分析(1)∵千位数是“1”的四位数有35A =60个,∴第114个数的千位数字应是“3”.又千位数字为3,十位数字是“1”即“31”开头的四位数又24A =12个.同理,“36”,“37”,“38”,“39”开头的四位数也分别又12个,∴第114个数的前两位必为“39”,而在“39”开头的四位数中,3968排在第6个位置,∴第114个数应该是3968.(2)由(1)可知“37”开头的数的前面有60+12+12=84个,而3796在“37”开头的四位数中排在第11个(倒数第2个),故3796是第95个数.指出:正确认识排列的“序”及多位正整数的有序排列规律是解决此类问题的关键.三、小结:对于带有限制条件的排列应用题,其解题的基本思路是:先找出受限制的元素(或位置),按照特殊优先的方法分步解决;而在解决问题的过程中有两种思路——正向思考与逆向思考.利用正向思考时,既可以从特殊元素出发也可从特殊位置出发.四、作业:教材第95页 习题第8、9、10题.排列(五)【教材】10.2排列【目的】1.巩固复习本节知识.2.进一步掌握带有限制条件的排列应用题的解法.3.能综合应用排列数公式及分类计数原理和分步计数原理解排列应用题,提高学生解较复杂一些的排列应用题的能力.【过程】：一、复习引入1.排列数公式)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!(!m n n A m n -=,公式的前者主要用于排列数的计算,而后者主要用于排列数等式的求解和证明.2.利用排列数公式与两个基本原理解排列应用题,是本节的重点和难点,解题的基本原则是:(1)选原理——分类计数原理与分步计数原理;(2)选思路——直接法或间接法;(3)画框图——帮助理解,提高解题的直观性.二、新课例1、 7人排成一排,按下列要求,求各有多少种不同的排法.(1)甲不能排在首位,乙不能排在末位;(2)甲、乙两人间恰好间隔两人;(3)甲、乙、丙三人顺序一定.分析(1)直接法——元素分析法甲不能排在首位,只能排在后面六个位置,注意到乙不能排在末位,所以甲的排法分为两类:甲在末位,有66A 种排法 甲排在中间5个位置,有15A 种,乙排除末位的其余5个位置,有15A 种,其余的元素还有55A 种,故共有15A 15A 55A 种排法. 因此共有66A +15A 15A 55A =3720种排法. (2)把甲、乙两人连同中间2人看作一个集团元素,它的位置有14A 种,甲、乙外的五人作全排,有55A 种排法,甲、乙可交换位置有22A 种,由分步计数原理共有14A 55A 22A =960种. 另解:先从甲、乙外5人中选2人填在甲、乙之间的两个空档内,有25A 种,再把它们看作一个元素,与余下3人作全排,有44A 种,甲、乙可交换位置有22A 种,由分步计数原理共有25A 44A 22A =960种. (3)当甲、乙、丙顺序选定7个位置中的某3个时,其他人位置不动,这时甲、乙、丙3人在这3个甲甲 甲 甲 甲 甲位置上的排法只有一种是符合题中顺序要求的,因此共有37A /33A =840种.(“等几率问题”)另解:当甲、乙、丙外的4人在7个位置上作选排列,留下的3个位置给甲、乙、丙排列,符合条件的排法只有1种,故共有47A =840种.指出:题(2)中,设立“集团元素”体现了整体思想,尤其是法一采用先整体后局部,先特殊后一般的解题程序,思路清晰,形象直观,避免出现重复或遗漏的错误.题(3)中,法一体现了“动中求静”的思维方式,一旦甲、乙、丙外的4人位置固定,甲、乙、丙3人都有33A 种排法,但只有一种符合条件;法二中运用逆向思维方式,把对甲、乙、丙3人的顺序要求转化为余下4人在7个位置上的选排问题.例2、 用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列:(1)第114个数是多少?(2)3796是第几个数?分析(1)∵千位数是“1”的四位数有35A =60个,∴第114个数的千位数字应是“3”.又千位数字为3,十位数字是“1”即“31”开头的四位数又24A =12个.同理,“36”,“37”,“38”,“39”开头的四位数也分别又12个,∴第114个数的前两位必为“39”,而在“39”开头的四位数中,3968排在第6个位置,∴第114个数应该是3968.(2)由(1)可知“37”开头的数的前面有60+12+12=84个,而3796在“37”开头的四位数中排在第11个(倒数第2个),故3796是第95个数.指出:正确认识排列的“序”及多位正整数的有序排列规律是解决此类问题的关键.处理课本习题的作业及课课练排列（一）三、小结:对于带有限制条件的排列应用题,其解题的基本思路是:先找出受限制的元素(或位置),按照特殊优先的方法分步解决;而在解决问题的过程中有两种思路——正向思考与逆向思考.利用正向思考时,既可以从特殊元素出发也可从特殊位置出发.四、作业:课课练排列（二）专题：构造黑白棋模型巧解排列组合题排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题一筹莫展，无计可施.下面就构造围棋的“黑白子”模型解题作一些探讨（本文例题仅谈此解法，其他方法不再赘述）.例1.从1，2，3，…，100这100个自然数中，挑出20个互不相邻的自然数，有多少种方法？ 有位学生告诉笔者，这道题他思考了几天仍没寻求到解决的办法，一天偶然地看到别人下围棋时，思路突然开朗，他一下跳了起来，宣布自己找到了答案.在他的脑海中，这100个数字突然变成了棋子，这不就是在一排80个黑棋中放进20个互不相邻的白棋子吗？答案也出来了：C.2081例2.（1988年全国高中数学联赛试题）甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全部被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？如果滞留在棋赛的各种胜负情况的考查上，那么思路就无法展开.如果能直觉到一个数学模型：甲方获胜，则必胜7场，用7个“黑棋”表示，该方最多只能负6场，用6个“白棋”表示，这就成了排列组合中，一排13个空格内摆上7个黑棋的方法有多少种的问题了，得C713种.再加上乙方取胜的C713种，因而可能出现的比赛过程为2C713种.这种直觉的构想表现在从题设条件特点到构造数学模型的飞跃上.例3.某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少1人，名额分配方案共有种.简析：构造一个“黑白子”模型○●○○●○○○●○●○○○●○○●○●○○●○●○○如上图（这是其中的一种插法），取出18枚白棋子排成一列，在相邻的每两枚白棋子形成的17个间隙中选取9个插入黑棋，将18枚白棋子分隔成10个区间，第i(1≤i≤10)个区间的白棋子数对应第i个班级学生的名额.因此名额分配方案的种数与黑棋插入数相等.因黑棋插入数为C917，故名额分配方案共有C917=24310种.例4. 20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（）A.560B.364C.120D.91简析：构造一个“黑白子”模型.如图，取出20枚白棋子排成一列，在相邻的每两枚白棋子形成的19个间隙中选取两个间隙插入黑棋，将20枚白棋子分隔成3个区间，第i(1≤i≤3)个区间的白棋子数对应第i个盒子的小球的个数.○●○○●○4○5○6○7○8○9○10○11○12○13○14○15○16○17○○○第一枚黑棋插在第1个间隙时，第二枚黑棋可插在第3～17个间隙中的任意一个，共15种插法.第一枚黑棋插在第2个间隙时，第二枚黑棋可插在第4～17个间隙中的任意一个，共14种插法，…，依此类推，第一枚黑棋插在第15个间隙时，第二枚黑棋只能插在第17个间隙，共1种插法.故共有15+14+…+3+2+1=120种方法.例5.求方程x1+x2+x3+x4=9的正整数解的组数.简析：由方程的结构特征及x1,x2,x3,x4是正整数，可想象问题的一个背景情形：把9看成9枚白棋子，问题就是把9枚白棋子分成4部分，每部分至少1枚，有多少种分法？○○○●○●○○○●○○如上图，只须用3枚黑棋子插入到9枚白棋子形成的8个间隙中，共有C38=56种.故方程有56组解.。