大教育联盟高三模考(理科数学)答案
2024届河南省名校联盟考前模拟大联考三模数学试题(解析版)
2023—2024学年高三考前模拟考试数学考生注意：1答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知直线0Ax By C ++=与直线23y x =-垂直，则（）A.20A B =-≠B.20A B =≠C.20B A =-≠D.20B A =≠【答案】D 【解析】【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.【详解】直线23y x =-的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线0Ax By C ++=的斜率为12-，即12A B -=-且0A ≠，0B ≠，所以20B A =≠.故选：D.2.若0,a b ≥∈R ，则化简2log 322+的结果是（）A.3a b ++B.3a b ++C.2a b ++D.2a b++【答案】B 【解析】【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可.【详解】由2log 323=，2a =，b =可知，2log 3223a b +=++.故选：B3.在(92-的展开式中，第8项的系数为（）A.144- B.144C.18D.18-【答案】A 【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对(92-有(()992199C 221C r rrr rrr r T x --+==⋅-，则()7777272228921C 436144T x x x =⋅-=-⨯=-.故选：A.4.已知关于x 的方程2230x x ++=的一个根为()i ,x a b a b =+∈R ，则22a b a ++=（）A.4B.3C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】解复数范围内方程可得a 及2b 的值即可得解.【详解】由2230x x ++=可得221212x -±==-±，故1a =-，(222b ==，即221212a b a ++=+-=.故选：C.5.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11ADD A 所成的角为1,A C α与AB 所成的角为β，则（）A.αβ=B.παβ+=C.π2αβ+= D.π4αβ-=【答案】C【解析】【分析】借助线面角定义与等角定理可得α与1CA D ∠相等，β与1A CD ∠相等，结合线面垂直的性质定理计算即可得.【详解】连接1A D ，由长方体的性质可得CD ⊥平面11ADD A ，故1AC 与平面11ADD A 所成的角为α与1CA D ∠相等，又1A D ⊂平面11ADD A ，故CD ⊥平面1A D ，即1π2CDA ∠=，又//AB CD ，故1AC 与AB 所成的角与1AC 与CD 所成角相等，即β与1A CD ∠相等，又111πA CD CA D CDA ∠+∠+∠=，故1ππ2CDA αβ+=-∠=.故选：C.6.有以下6个函数：①()f x =+()1f x x=；③()sin f x x =；④()cos2f x x =；⑤()11xf x x+-=；⑥()23f x x =+.记事件M ：从中任取1个函数是奇函数；事件N ：从中任取1个函数是偶函数，事件,M N 的对立事件分别为,M N ，则（）A.()()()P M P M N P N =+-B.()()()P MN P M P N=C.()()()P M N P M P N +=+D.()()||P M N P M N =【答案】D 【解析】【分析】首先判断各函数的奇偶性，再由古典概型的概率公式一一判断即可.【详解】对于①：()f x =224040x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得2x =±，所以()0f x ={}|2x x =±，故为偶函数且为奇函数；对于②()1f x x =为奇函数；对于③()sin f x x =为奇函数；对于④()cos2f x x =为偶函数；对于⑤：()11xf x x+-=定义域为{}|1x x ≠，为非奇非偶函数；对于⑥()23f x x =+为非奇非偶函数；则事件M 为：①，②，③；事件M 为：④，⑤，⑥；事件N 为：①，④；事件N 为：②，③，⑤，⑥；事件M N +为：①，②，③，④；M N +为：⑤，⑥；所以()3162P M ==，()2163P N ==，()3162P M ==，()4263P N ==，()4263P M N +==，()2163P M N +==，所以()()()P M P M N P N ≠+-，()()()P M N P M P N +≠+，故A 、C 错误；又MN 为：①；所以MN 为：②，③，④，⑤，⑥，所以()56P MN =，则()()()P MN P M P N ≠，故B 错误；又()1|2P M N =，()21|42P M N ==，所以()()||P M N P M N =，故D 正确.故选：D7.已知双曲线22:1169x y C -=的左､右顶点分别为12,,A A P 是C 右支上一点，直线12,PA PA 与直线2x =的交点分别为,M N ，记12,PA A PMN 的外接圆半径分别为12,R R ，则12R R 的最大值为（）A.839B.32C.63D.28【答案】A 【解析】【分析】容易知道1916k k=，求出M ，N 两点坐标，则968MN k k =+，由正弦定理求外接圆半径，结合基本不等式分析求解.【详解】由题意可知：()()124,0,4,0A A -，设动点(,)P x y ，则221169x y -=，即()2291616y x =-，设直线12,PA PA 的斜率分别为1,k k ，根据对称性不妨设0k >，因为4y k x =+，14y k x =-，则()212916916441616x y y k k x x x -⋅=⋅==-+-，即1916k k=，可知直线PA 方程为：()4y k x =+，则直线PB 方程为：()9416y x k=-，令2x =得6M y k =，98N y k=-，即()2,6M k ，92,8N k ⎛⎫-⎪⎝⎭，则968MN k k =+，由正弦定理得：121122sin A A R A PA =∠，22sin MN R MPN=∠，可得121211222sin 899682sin A A A A R A PA MN R MN k k MPN ∠===≤+∠，当且仅当968k k =，即4k =时，等号成立，所以12R R的最大值为9.故选：A.8.下列不等式中正确的是（）A.11πeπe>B.1eπ>C.2e2ππe<⋅D.2π2e lnπ>【答案】D 【解析】【分析】对于A，11πeπe>等价于lnπln eπe>，构造函数()ln xf xx=利用导数研究即可判断；对于B，将1eπ>2eπe>，然后利用中间值法即可判断；对于C，通过()e1,0,1x x x xπ>≥+∈即可判断；对于D，先将2π2elnπ>等价变形为2π2e2ln ln2π>-+，再构造函数()()g=e ln ln220tt t-+->研究即可.【详解】对于A，11πeπe>等价于lnπln eπe>，设()ln xf xx=，则()21ln xf xx-'=，当()0,ex∈时，()0f x'>，()f x在()0,e上单调递增；()e,+x∞∈时，()0f x'<，()f x在()e,+∞上单调递减，因为eπ<，所以()()ef fπ>，即lnπln eπe<，故A错；对于B，1eπ>lnπln ee2>，等价于2lnπeln e>，等价于2elnπln e>，等价于2eπe>，又2222 2.5eπ=10.24 2.7e e e<3.2<10.935=<，故B错；对于C，设()()e1,0,1xf x x x=--∈，则()e10xf x='->，所以()f x在()0,e上单调递增；故()0f x≥，即()e1,0,1x x x≥+∈，故()e1,0,1x x x xπ>≥+∈，则21e2e-π>，即2e2ππe⋅>，故C错误；对于D，2π2elnπ>，等价于2πeπ2lnππ>，等价于2πe2222ln ln2πππ>⎛⎫-+⎪⎝⎭，即2π2e2ln ln2π>-+，令21,1π2t⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则等价于2eln ln2tt>-+，即()()g=e ln ln220tt t-+->，所以()()e1=e ln e ln2=e ln ln2ett t t tg t t t h tt t⎛⎫--+--+=⎪⎝⎭'，所以()221110t h t t t t ='-=-+>在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()h t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()ln 2x s x x =-，则()1102s x x -'=<在()2,∞+恒成立，故()ln 2xs x x =-在()2,∞+上单调递减，所以3ln 3ln 2102--<<，故23ln 3ln 21032h ⎛⎫=-<-<⎪⎝⎭在12,23t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()0g t '<在12,23⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故()g t 在12,23⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以2233222e ln 2ln 2e ln 32π33g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为232ln e ln ln 23===<，所以2ln 23e ee<<，令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，所以()()0,e ,0x f x ∈'>，此时()f x 在()0,e 上单调递增，2ln 232ln 23lne e 2e 2el n l n <=，因为6611323928⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以113232>，所以两边取对数得3232l n l n >，所以由上2ln 232ln 23lne e 23e 23el n l n l n <=<即232333e l n <，即23ln 320e ->，所以2233222e ln 2ln 2e ln 320π33g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=--=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π2e ln ln 220π⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2π2e 2ln ln 2π>-+，所以2πe π2lnππ>，即2π2e lnπ>，故D 对.故选：D.【点睛】思路点睛：关于复杂的指数幂比较大小，常常需要根据其结构特征进行变形、同构、放缩等等，再构造函数利用导数研究其单调性，进而判断大小.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知平面向量()(),2,,3,4a m m m b =+∈=R，则下列说法正确的有（）A.,a b一定可以作为一个基底B.a一定有最小值C.一定存在一个实数m 使得a b a b+=-D.,a b的夹角的取值范围是[]0,π【答案】BC 【解析】【分析】对A ：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B ：借助模长定义计算即可得；对C ：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D ：找出反例即可得.【详解】对A ：若//a b ，即()4320m m -+=，即6m =，此时,a b 不能作基底，故A 错误；对B ：a ===≥，故aB 正确；对C ：若a b a b +=- ，则有22a b a b+=- 即222222a b ab a b ab ++=+-，即0ab =，即()3420m m ++=，解得87m =-，即当87m =-时，a b a b +=- ，故C 正确；对D ：由A 知，若//a b ，则6m =，即,a b 只能同向不能反向，故,a b的夹角不可能为π，故D 错误.故选：BC .10.已知函数()cos21(0)f x x x ωωω=-+>的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A.()f x 的图象可由2cos4y x =的图象平移得到B.()f x 在ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()f x 图象的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭D.()f x 图象的一条对称轴为直线π3x =【答案】BD 【解析】【分析】先由辅助角公式和周期公式计算得到()π2cos 213f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭=+，由图象平移的性质可得A 错误；由整体代入结合余弦函数的单调性可得B 正确；代入π12f ⎛⎫⎪⎝⎭可得C 错误；整体代入结合余弦函数对称轴的性质可得D 正确；【详解】()πcos212cos 213f x x x x ωωω⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，因为最小正周期为π，所以2ππ=12ωω=⇒，所以()π2cos 213f x x ⎛⎫+⎪⎝⎭=+，A ：由以上解析式可得()f x 的图象不可由2cos4y x =的图象平移得到，故A 错误；B ：当ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，ππ2,033x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由余弦函数的单调性可得()f x 在ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 正确；C ：πππ2cos 211012123f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；D ：当π3x =时，π2π3x +=，此时()1f x =-为最小值，所以()f x 图象的一条对称轴为直线π3x =，故D 正确；故选：BD.11.空间直角坐标系中的动点cos ,sin ,πP θθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭的轨迹为Γ，其中[]0,4πθ∈，则下列说法正确的有（）A.存在定直线l ，使得Γ上的点到l 的距离是定值B.存在定点Q ，使得Γ上的点到Q 的距离为定值C.Γ的长度是个定值，且这个定值小于14D.,M N 是Γ上任意两点，则,M N 的距离的最大值为4【答案】ACD 【解析】【分析】由题意空间直角坐标系中的动点cos ,sin ,πP θθθ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹为Γ，其中[]0,4πθ∈，可知，点P 的轨迹Γ为以坐标原点为圆心，半径为1的圆，高为4的圆柱上螺旋上升，共计旋转两次两周，根据条件即可判断。
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期第一次大联考数学(理)试题
3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（）
【点睛】
参考答案
1．B
【分析】
先求出 ,再求出 ,然后利用公式 进行计算可得.
【详解】
，∴ ，∴子集个数为4．
故选B.
【点睛】
本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.
2．C
【分析】
先由复数的除法得 ，再求其共轭复数即可得解.
【详解】
由 ，可得 .
在复平面内对应的点为 位于第三象限.
故选C.
【点睛】
【详解】
因为 ，解得 .
所Байду номын сангаас .
所以 的面积为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题.
8．D
【分析】
利用三角恒等变换、函数 的图象变换规律，得出结论．
【详解】
解：函数 ，
故将函数 的图象向右平移 个单位，可得 的图象，
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角函数的恒等变换，函数 的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，
又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，则选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，则将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{220,M xx x N x y =--<==∣∣，则M N ⋃=（ ） A.(],e ∞- B.()0,2 C.(]1,e - D.()1,2- 2.已知复数z 满足()12i 34i z -=-，则z 的共轭复数z =（ ）A.12i --B.12i -+C.12i -D.12i +3.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.若随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0684.过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r ，点1O 到C 的准线l 的距离与r 的积为25，则()12r x x +=（ ）A.40B.30C.25D.205.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度30.1mg /m为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，则竣工1周后室内甲醛浓度为36.25mg /m ,3周后室内甲醛浓度为31mg /m ，且室内甲醛浓度()t ρ（单位：3mg /m ）与竣工后保持良好通风的时间t （*t ∈N ）（单位：周）近似满足函数关系式()eat bt ρ+=，则该文化娱乐场所的甲醛浓度若要达到安全开放标准，竣工后至少需要放置的时间为（ ） A.5周 B.6周 C.7周 D.8周6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）A.14 B.4 C.12 D.27.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线右支上一点，且12MF MF ⊥，延长2MF 交双曲线C 于点P .若12MF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）8.在ABC 中90,4,,A AB AC P Q ===是平面ABC 上的动点，且2AP AQ PQ ===，M 是边BC 上一点，则MP MQ ⋅的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（ ）A.若随机变量,ξη满足21ηξ=+，则()()21D D ηξ=+B.若随机变量()23,N ξσ~，且(6)0.84P ξ<=，则(36)0.34P ξ<<=C.若样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n .若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=10.2022年12月，神舟十四号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆（都包含,M N 点）组成的“曲圆”，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,3F ，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A.椭圆的离心率为12B.AFG 的周长为6+C.ABF 面积的最大值是92D.线段AB长度的取值范围是6,3⎡+⎣11.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1AA ⊥底面ABCD ，三棱锥1A BCD -的体积是3，底面ABCD 和1111A B C D 的中心分别是O 和1,O E 是11O C 的中点，过点E 的平面α分别交11111,,BB B C C D 于点,,F N M ，且BD ∥平面,G α是线段MN 上任意一点（含端点），P 是线段1A C 上任意一点（含端点），则（ ）A.侧棱1AAB.四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积是40πC.当1125B F BB =时，则平面α截四棱柱所得的截面是六边形 D.PO PG +的最小值是512.已知()()e e ,, 1.01,1e 1e 0.9911a bc d a b c d c d a b >>==-=-=++，则（ ）A.0a b +>B.0c d +>C.0a d +>D.0b c +>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中角α的顶点为O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆229x y +=相交于点5t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 14.已知多项式5625601256(2)(1)x x a a x a x a x a x -+-=+++++，则1a =__________.15.已知函数()()2e 2ln x f x k x x x =+-和()2e xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则实数k 的最大值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1,0,1”，A 中每个1都变为“0,1,0”，所得到的新数列.例如数列:1,0A ，则数列():0,1,0,1,0,1f A .已知数列1:1,0,1,0,1A ，且数列()1,1,2,3,k k A f A k +==，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中3,,sin AC AB DAC BAC BAC ∠∠∠====.（1）求边BC ； （2）若23CDA π∠=，求四边形ABCD 的面积. 18.（本小题满分12分）在各项均为正数的数列{}n a 中()21112,2n n n n a a a a a ++==+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证1n S <19.（本小题满分12分）2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试，考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮､羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加.某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.（1）若该男生进行了3天训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一动点（与左､右顶点不重合），12PF F的内切圆半径的最大值是312.（1）求椭圆C 的方程；（2）过()4,0H 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,A B 两点，过B 作垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点Q ，连接AQ ，设ABQ 的外心为G ，求证：2AQ GF 为定值.21.（本小题满分12分）在三棱台111A B C ABC -中1AA ⊥平面111111,2,1,ABC AB AC AA A B AB AC ====⊥,E F 分别是1,BC BB 的中点，D 是棱11A C 上的动点.（1）求证：1AB DE ⊥（2）若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点12,x x ，且122x x >. （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭参考答案1.【答案】C 解析：2201,2M xx x =--<=-∣，由1ln 0x -，得0e x <，则{0,e]N x y ===∣，所以(]1,e M N ⋃=-.故选C.2.【答案】C 解析：因为()12i 34i 5z -=-==，可得()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+，所以12i z =-.故选C. 3.【答案】D 解析：设随机抽取一人进行验血，其诊断结果为阳性为事件A ，设随机抽取一人为患者为事件B ，随机抽取一人为非患者为事件B ，则()()()()()0.980.050.020.95P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=∣∣0.068.故选D.4.【答案】A 解析：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为12AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为()121252x x r ++==，则有128x x +=，故()1240r x x +=.故选A.5.【答案】B 解析：由题意可知()()()()32341e6.25,3e 1,e 125a ba b a ρρρρ++======解得2e 5a=.设该文化娱乐场所竣工后放置0t 周后甲醛浓度达到安全开放标准，则()()0001102e e e6.255t a t at b a b t ρ--++⎛⎫==⋅=⨯ ⎪⎝⎭0.1，整理得01562.52t -⎛⎫ ⎪⎝⎭.设1562.52m -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因为455562.522⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以415m <-<，即56m <<，则011t m --，即0t m 故竣工后至少需要放置的时间为6周.故选B.6.【答案】D 解析：设圆柱和圆锥底面半径分别为,r R ，因为圆锥轴截面的顶角为直，设圆柱高为h ，则,h R r h R r R R-==-，由题意得()222R r r R r πππ⨯=+⨯-，解得2r R=.故选D .7.【答案】D 解析：设1(2)MF t t a =>，由双曲线的定义可得22MF t a =-，又21PF MF t == 则12PF t a =+，由12MF MF ⊥，可得22211||MF MP PF +=，即222(22)(2)t t a t a +-=+，解得3t a =.又2221221MF MF F F +=，即222(3)4a a c +=即c =，所以c e a ==.故选D.8.【答案】B 解析：取PQ 的中点N ，则,MP MN NP MQ MN NQ MN NP =+=+=-，可得()()2221,MP MQ MN NP MN NP MN NP MN MN MA AN MA AN ⋅=+⋅-=-=-=+-当且仅当点N 在线段AM 上时，则等号成立，故|||||||||||3|MN MA AN MA -=-显然当AM BC ⊥时，则MA 取到最小值|||||3||233|MN MA ∴--=故21312MP MQ MN ⋅=--=.故选B.9.【答案】BC 解析：对于A ，由方差的性质可得()()()224D D D ηξξ==，故A 错误；对于B ，由正态密度曲线的对称性可得(36)(6)0.50.34P P ξξ<<=<-=，故B 正确；对于C ，由样本相关系数知识可得，样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，故C 正确；对于D ，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372m +，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，则30,3777,22n m =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30,40,n m =⎧⎨=⎩故70m n +=，故D 错误.故选BC. 10.【答案】BD 解析：由题知，椭圆中的几何量3b c ==，所以a =则离心率2c e a ===故A 不正确；因为3AB OB OA OA =+=+由椭圆性质可知332OA ，所以6332AB +故D 正确；设,A B 到y 轴的距离分别为12,d d则()1212113222ABFAOFOBFSSSd OF d OF d d =+=⋅+⋅=+当点A在短轴的端点处时，则12,d d 同时取得最大值3，故ABF 面积的最大值是9，故C 不正确；由椭圆定义知2AF AG a +==AFG 的周长6AFGCFG =+=+B 正确.故选BD.11.【答案】BCD 解析：对于选项A ，因为三棱锥1A BCD -的体积111323V AA=⨯⨯=解得1AA=A错误；对于选项B，外接球的半径满足22221440R AB AD AA=++=故外接球的表面积2440S Rππ==，故选项B正确；对于选项D，因为BD∥平面1111,,BD B D B Dα⊄∥平面α，所以11B D∥平面α，又平面1111A B C D⋂平面11,MN B Dα=⊂平面1111A B C D，所以11B D MN∥，又因为四边形1111A B C D是正方形1111A CB D⊥，所以11AC MN⊥，因为侧棱1AA⊥底面1111,A B C D MN⊂底面1111A B C D 所以1AA MN⊥，又1111AC AA A⋂=，所以MN⊥平面11AAC C，垂足是E，故对任意的G，都有PG PE，又因为1111114OO O E AC===，故215PO PG PO PE OE OO++==，故选项D正确；对于选项C，如图，延长MN交11A B的延长线于点Q，连接AQ交1BB于点F，在平面11CC D D内作MH AF∥交1DD于点H，连接AH，则平面α截四棱柱所得的截面是五边形AFNMH，因为1112B Q B N AB==，所以此时1113B FBB=，故11113B FBB<<时截面是六边形，1113B FB<时截面是五边形，故选项C正确.故选BCD.12.【答案】AD 解析：对于A，e e1.010,1,111a ba ba b==>∴>->-++令()e(1)1xf x xx=>-+则()2e1)xxf xx=+'所以()f x在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()01f=，又()1 1.01f>故01,10a b<<-<<令()()()()()()ln ln2ln1ln1,1,1h x f x f x x x x x=--=-++-+∈-，则()2112220111h xx x x-=-+=-<+-+-'，所以()h x在()1,1-上单调递减，且()()00,1,0h b=∈-()()()()()()ln ln0,,,f b f b f b f b f af b a b∴-->∴>-∴>-∴>-即0a b+>，故选项A 正确；对于B ，()()1e 1e 0.990,1,1c d c d c d -=-=>∴<< 令()()1e (1)x g x x x =-<，则()e x g x x '=-，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g =，又()10.99g -<，故01,10c d <<-<<.令()()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1,1,1m x g x g x x x x h x x =--=-++-+=∈-，所以()m x 在()1,1-上单调递减，且()()()()()()00,0,1,ln ln 0,m c g c g c g c g c =∈∴--<∴<- ()(),g d g c d c ∴<-∴<-，即0c d +<，故选项B 错误；对于C ，()()()()()()()11100,0.99,1,0,101f xg a a g a g d g x f a =∴-==>-∈-∴->- 又()g x 在(),0∞-上单调递增 ,0a d a d ∴->∴+< 故选项C 错误；对于D ，由C 可知 ()()(),0,1g b g c b ->-∈ 又()g x 在()0,1上单调递减，b c ∴-< 即0b c +>，故选项D 正确.故选AD.13.【答案】35- 解析：因为角α的终边与圆229x y +=相交于点t ⎫⎪⎪⎝⎭，所以cos 3α=÷=223sin 2cos22cos 12125πααα⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.【答案】74 解析：对于5(2)x -，其二项展开式的通项为515C (2)r r r r T x -+=-，令51r -=，得4r =，故4455C (2)80T x x =-=，对于6(1)x -，其二项展开式的通项为616C (1)k k k k T x -+=- 令61k -=，得5k =，故5566C (1)6T x x =-=-，所以180674a =-=.15.【答案】2e 4 解析：由()2e x g x x =可得()()22442e e e 2x x x x x x x g x x x'-⋅-⋅==，当0x <或2x >时，则()0g x '>，当02x <<时，则()0g x '<，所以()g x 的极小值点是2.由()()2e 2ln xf x k x x x=+-可得()()()()432e 2e 12,0,xx x x k f x k x x x x x x ∞-⎛⎫⎛⎫=+-='--∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的唯一极值点为2，所以3e 0x k x x -或3e 0x k x x -恒成立，所以2e x k x 或2e xk x在()0,∞+上恒成立，因为()2e xg x x=在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，当x ∞→+时，则()g x ∞→+，所以2e x k x 在()0,∞+上恒成立，则()2min e ()24k g x g ==.16.【答案】1103k -⨯ 解析：设数列k A 中0的个数为,1k a 的个数为k b ，则112,2k k k k k k a a b b a b ++=+=+，两式相加，得()113k k k k a b a b +++=+，又115,a b +=∴数列{}k k a b +是以5为首项，3为公比的等比数列153k k k a b -∴+=⨯两式相减，得17.【答案】解：（1）因为sin 14BAC BAC ∠∠=为锐角，所以cos 14BAC ∠==.因为3AC AB ==，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB BAC ∠=+-⋅⋅即279231BC =+-=，得1BC =. （2）在ADC 中由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC∠∠==，所以1CD =.在ADC 中由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD ∠+-=⋅，即211722AD AD+--=，解得2AD =.因为121331273,12sin 214423ABCACDSS π=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=所以34ABCACDABCD S SS=+==四边形. 18.【答案】解：（1）()()()211112,20n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴-+=，则120n n a a +-=或10n n a a ++= 10,2n n n a a a +>∴=∴数列{}n a 为等比数列，公比为12,2,a =∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）证明：由（1）得112,2n n n n a a ++==则n b ======∴数列{}n b 的前n项和为11n S n =+-=-1n S ∴<当2n时，则10,n n n S S b --===>∴当*n ∈N 时，则{}n S 为递增数列1n S S ∴n S1n S <19.【答案】解：（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天训练的也是“篮球运球上篮”为事件A ；当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天训练的是“篮球运球上篮”为事件B . 由题知，3天的训练过程中总共的可能情况为32212⨯⨯=种 所以，()()12112111,126126P A P B ⨯⨯⨯⨯==== 所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率()()13P P A P B =+=.（2）由题知，X 的可能取值为0,1,2,3考前最后6天训练中所有可能的结果有53296⨯=种当0X =时，则第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，所以，()5521210329648P X ⨯====⨯； 当1X=时，则共有24444220+++++=种选择，所以()20519624P X ===； 当3X =时，则共有844824+++=种选择，所以()2413964P X ===； 所以()()()()5025210139648P X P X P X P X ==-=-=-=== 所以，X 的分布列为所以()1012324824484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.【答案】解：（1）由题意知1,22c a c a =∴=，又222b a c =-，则,b =设12PF F 的内切圆半径为r ，则()()()121212112222PFF SPF PF F F r a c r a cr =++⋅=+⋅=+⋅. 故当12PF F 面积最大时，则r 最大，即点P 位于椭圆短轴顶点时r = )a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得2,1a b c === 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为4x ty =+代入椭圆方程得()()()222223424360,Δ(24)1443414440t y ty t t t +++==-+=-> 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212222436,3434t y y y y t t -+==++ 因此可得1223234x x t +=+ 所以AB 中点的坐标为221612,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为G 是ABQ 的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段BQ 的垂直平分线的交点，由题意可知,B Q 关于x 轴对称，故()22,Q x y -AB 的垂直平分线方程为2216123434tt x y t t ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭ 令0y =，得2434x t =+，即24,034G t ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以2222431,3434t GF t t =-=++ 又AQ ==221234t t ==+ 故24AQ GF =，所以2AQGF 为定值，定值为4. 21.【答案】解：（1）证明：取线段AB 的中点G ，连接1,A G EG ，如图所示 因为,E G 分别为,BC AB 的中点，所以EG AC ∥在三棱台111A B C ABC -中11AC AC ∥ 所以，11EG AC ∥，且11D A C ∈ 故1,,,E G A D 四点共面.因为1AA ⊥平面,ABC AG ⊂平面ABC ，所以1AA AG ⊥ 因为1111111,,AA A B AG AG A B AA AG ===⊥∥ 所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥. 又1111111111,,,AB AC AC AG A AC AG ⊥⋂=⊂平面1A DEG 所以1AB ⊥平面1A DEG .因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥.（2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则11DQ A B M ⋂=. 因为,F E 分别为1BB 和BC 的中点1B Q BE ∥，所以111B Q B FBE BF== 则11112B Q BE BC B C ===，所以，1B 为1C Q 的中点. 又因为D 为11A C 的中点，且11A B DQ M ⋂=，则M 为11A C Q 的重心 所以1112233A M AB == 因为1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥.因为11111,AB AC AC AC ⊥∥，所以1AB AC ⊥. 又因为1111,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B 所以AC ⊥平面11AA B B ，所以1,,AC AB AA 两两垂直以A 为原点，1,,AC AB AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系则()()()()20,0,0,0,2,0,2,0,0,1,1,0,0,,13A B C E M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()22,0,0,0,,1,1,1,03AC AM AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 设平面AMC 的法向量为()1,,n a b c =则1120,20,3n AC a n AM b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-. 设平面AME 的法向量为()2,,n x y z =则220,20,3n AE x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3y =-，可得()23,3,2n =-. 所以，12121213cos ,2213n n n n n n ⋅===⨯ 故平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值为22. 22.【答案】解：（1）()ln 1f x x ax =-+的定义域为()()110,,ax f x a x x∞-+=='- 当0a 时，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 不可能有两个零点，故舍去；当0a >时，则令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a> 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减 所以max 11()ln f x f a a ⎛⎫==⎪⎝⎭. 要使()f x 有两个零点，则max 1()ln 0f x a=>，解得01a <<. 又22111444242ln 10,ln 1110e e e e a f a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-<=-+<-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当01a <<时，则()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和214,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点21,,x x 且122x x >，所以1122ln 10,ln 10,x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩由fx 的单调性知，当()21,x x x ∈时，则()0f x > 当()1,x x ∞∈+时，则()0f x <.因为2212x x x <<，所以()220f x >，即()2222ln 221ln 1x ax x ax -+>-+ 所以2ln2ax <，而22ln 1x ax +=，即2ln 1ln2x +<，所以220ex <<，而22ln 1x a x +=.令()ln 12,0,e x h x x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln x x h x x x -'--== 因为20,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2ln ln 0ex ->->，所以()0h x '> 所以()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增所以()2ln2eln22e 2eh x h ⎫<==⎪⎭，所以eln20,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）因为1220x x >>，所以22211212e e 2x x x x x x ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号 而1220x x >>，故222112e e x xx x ⎛⎫⋅+>⋅⎪⎝⎭要证222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭2e 42⋅，即证1228e x x ，即证1228ln ln e x x 即证12ln ln 3ln22x x +-.设12x t x =，因为1220x x >>，所以2t > 由（1）得1122ln 1,ln 1,x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，两式作差，化简得21ln ln ln 1,ln 1ln 11t tx x t t t =-=-+-- 所以122ln ln ln ln 21tx x t t +=+--. 令()2ln ln 2,21tg t t t t =+->-，则()2212ln (1)t t t g t t t '--=-. 令()212ln t t t t ϕ=--，则()()2222ln ,20t t t t tϕϕ'=---''=>，易知()t ϕ'在()2,∞+上单调递增故()()222ln20t ϕϕ'>'=->，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()234ln20t ϕϕ>=->所以()g t 在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln22g t g >=-，即12ln ln 3ln22x x +>-得证.所以不等式222112e x x x x ⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭.。
2024年(新高考)名校教研联盟高三3月联考数学试题及答案
绝密★启用前（新高考卷）数学参考答案1.【答案】B 【解析】因为56221i i i i 1z ===--+-，所以1i z =-+，故选B.2.【答案】C 【解析】因为{}{}11221A x x x x =-<+<=-<<，{}20022x x B x x x x x ⎧⎫-⎪⎪=+==<<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，所以A B {}01x x =<<，故选C.3.【答案】D【解析】由23BD DA DC =- 得33BD DA DA DC +=- ，即3BA CA = ，又()2,1AC =- ，所以AB =3AC =()6,3-，故选D.4.【答案】D【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()()31231228log 8322x x f x f x ax a x +-++--=-=-+=0，所以38a =，故选D 。
5.【答案】D【解析】以8个顶点为球心的球各有18在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有12在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为22的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为344π38⨯⨯⎝⎭，故选D.6.【答案】C【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2221y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221221a x a k =+，由OA OB ⊥可得222221a x a k =+=2222a k a k +，所以()22222212211a a k OA k x a k +=+=+，22222222211a a k OB x k a k +⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭，所以()()()22222221111111a k a a k OA OB +++==++，所以22141,33a a +==，C的长轴长为2a =，故选C.7.【答案】A【解析】设()()()ln 10f x x x x =+->，则()1101f x x '=-<+，()f x 在()0,+∞上单调递减，所以()()0f x f <0=，所以()ln 1x x >+，111112ln ln 10111011+>+=6ln 5，()56ln log 61ln55=-，56lg6lg7log 6log 7lg5lg6-=-=()2lg6lg5lg71g5lg6-()2222lg5lg711lg6lg36lg35222=0lg5lg6lg5lg6+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>，所以a b c >>，故选A.8.【答案】A【解析】设圆M 与1PF ，2PF 分别切于点,A B ，则11F A F M '=，且111122F A F M F P AP F F M F ''+=-+-=1212F P F P F F -+=22a c +，所以1F M a c '=+，点(),0M a '，设()()1111,,,P x y Q x y --，则2211221x y a b-=，所以2212221y b x a a =-，12k k =211122111y y y x a x a x a -⋅=----=2221b e a =-，12F M c a F M c a '+='-=11e e +-，所以()2112219FM k k e F M '⋅=+='，2e =，故选A.9.【答案】ACD【解析】由每年增加数均为正数，可得A 正确；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B 错误；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为948-33=915，C 正确；当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数均不大于110，所以所求概率为2529C 131C 18-=，D 正确，故选ACD.10.【答案】AD【解析】设l 与()32f x x =-的图象切于点()3,2Q t t -，则切线斜率()26k f t t '==-32t b t a --=-，整理得32460t at b --=，对于A ，若P 与原点重合，则0a b ==，所以0,0t k ==，l 即x 轴，方程为0y =，A 正确；对于B ，若l 与直线60x y -=垂直，则266k t =-=-，1t =±，当1t =时460a b --=，64a b +=，当1t =-时460a b ---=，64a b +=-，B 错误；对于C ，当点P 在()f x 的图象上时32b a =-，3234620t at a -+=，所以2()(2)0t a t a -+=，解得t a =，或2a t =-，当0a ≠时，l 有2条，C 错误；对于D ，设()32460g t t at b =--=，()g t '=212t 120at -=，由()0g t '=得0t =或t a =，符合条件的l 有3条，()g t 有3个零点，则()()()3020g g a b a b =---<，所以()320b a b +<，3210a b +<，312a b <-，D 正确，故选AD ．11.【答案】AB【解析】由()()πf x f x -=-，可得A 正确；由11sin cos 22x x - ，1sin 1x - 得()3322f x - ，当π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=32-，3π342f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；()()cos sin 2sin f x x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 0x =，()1π2x k k =∈Z ，31π32π50,5022<>，所以()f x 在()0,50上有31个零点，C 错误；()f x 是以2π为周期的周期函数，当(]0,πx ∈时()3sin 22f x x =，()34f x =在(]0,π上有2个实根12,x x ，且349π2x x +=；当(]π,2πx ∈时()1sin 22f x x =-，()34f x =在(]π,2π上没有实根，()1f x =在(]2π,3π上有2个实根34,x x ，且345π2x x +=，34π5π2π,2π1212x x =+=+，所以29π49π1212t < ，12345πx x x x +++=，所以1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦，D 错误，故选AB.12.【答案】1-【解析】()612112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()()6516121C 112⨯-+⨯⨯-=-.13.【答案】()()223318x y -+-=【解析】由△ABC 的垂心()2,2G 到直线BC距离d =，设圆E 半径为r ，由塞尔瓦定理可得r EG+(2EG =+，由圆的几何性质可得(222EG r ++=，联立解得EG =r =，因为直线BC 方程为20x y +-=，所以直线EG 方程为y x =，设(),E a a ，则E 到直线BC距离d '=，解得1a =-（舍去）或3a =，所以圆E 的标准方程为()()223318x y -+-=.14.【解析】因为2BD =，由正弦定理得sin 11sin sin tan 242AD A A BAD AD A AD BD ∠===，所以sin A =1tan 2A ，即sin 22sin cos 222cos 2A A A A =，因为sin 02A ≠，所以21cos 24A =，1cos 22A =，2π3A =，所以1cos 2A =-，3sin 2A =，由余弦定理得222BD AB AD AB AD =++⋅3AB AD ⋅ ，所以43AB AD ⋅ ，当AB AD =时取等号，11sin 2S AB AD A =⋅143232⨯⨯，设BC t =，则2CD t =，在△BCD 中由余弦定理得()22222cos 22t t C t t +-=⋅22544t t -=，所以212sin 2S t t C =⋅=253t =时，2S 取得最大值43．所以12SS ．15.【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由580a a +=，4631a a a +=+得11121102821a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，……………………………………………………………………………………………(2分)解得111,2a d =-=，………………………………………………………………………………………………(4分)所以()()111112213n a a n d n n =+-=-+-⨯=-.…………………………………………………………………(6分)(2)由(1)得213n a n =-，()()1221121329n n n n a n b a a n n ++-==--，……………………………………………………………………………………(8分)当4n 时0n b <，…………………………………………………………………………………………………(10分)当5b =110313-=>-⨯，6110133b ==-<-⨯，560b b +=，7n 时0n b >，……………………………………………………………………………………………………(12分)所以n S 最小时n 的值为4或6.……………………………………………………………………………………(13分)16.【解析】(1)取CD 中点O ，连接AO ，BO ，由已知可得AC AD BC BD ===，所以,AO CD BO CD ⊥⊥，因为AO BO O = ，所以CD ⊥平面AOB ，……………………………………………………………………(2分)因为CD ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面AOB ，………………………………………………………………………………………(4分)过E 作AB 的平行线与BC 的交点即为F ，过E 作AO 的平行线与CD 的交点即为G ，因为2AE EC =，所以2BF FC =，1136CG CO CD ==，所以当2BF FC =，16CG CD =时,平面EFG 与直线CD 垂直.…………(7分)(2)由题意可得OA OB ==，因为9AB =，所以120AOB ∠=︒，以O 为原点，直线,OB OC 分别为x 轴，y 轴，过点O 与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则())339330,3,0,,,2222D A E F ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………（8分）所以9,3,,22DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭),DF =3.22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ …………………………………………………（10分）设平面DEF 的一个法向量为n ＝(),,x y z ，则有00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，得3502250x y z y ⎧++=⎪+=，取5x =，得n＝(5,，…………………………………………………………………………………(12分)设直线DA 与平面DEF 所成角为,θ则sin θ＝DA DA ⋅== n n ，所以直线DA 与平面DEF 所成角的正弦值为2309103.…………………………………………………………(15分)17.【解析】(1)由表中的数据和附注中的参考数据得51850i i x==∑，170x =，51365i i y ==∑，73y =， (1))()252222211150610282i i xx =-=++++=∑，………………………………………………………………………(2分)8.6，()()555111i i i i i i i i x x y y x yx y ===--=-∑∑∑=62194-170735⨯⨯=144，…………………………(3分)∴()()5i i xx y y r --∑=1440.99716.88.6≈⨯.………………………………………………………………(5分)因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．………………………………………………………………………………………………………………(6分)(2)由73y =及(1)得()()()51521i ii i i x x y y b x x ==--=-∑∑ =144240.5128247=≈，…………………………………………………(7分) 247317013.8147a y bx =-=-⨯- ≈，………………………………………………………………………………(9分)所以y 关于x 的回归方程为13.810.51y x =-+.…………………………………………………………………(10分)（说明：根据 730.5117013.70ay bx =-=-⨯≈- ，得出 13.700.51y x =-+也正确，）(3)X 的取值依次为2,3,4,5,6,7,9,11，………………………………………………………………………………(12分)()25212C 5P X ===，()25113C 10P X ===，()25114C 10P X ===，()25215C 5P X ===，()25116C 10P X ===，()25117C 10P X ===，()25119C 10P X ===，,()251111C 10P X ===……………………………………………………………………(14分)所以()1111111127234567911510105101010105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=..………………………………(15分)18.【解析】(1)方法1：设2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，与22y px =联立得22220tan tan p pt y y t αα-+-=，………………………………………………………………（1分）因为直线l 与抛物线C 只有1个公共点，所以2224240tan tan p pt t αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得tan p t α=，所以2,2tan tan p p A αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，…………………………………………………………………………………………（3分）又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以222tan tan tan tan 21tan 2tan 2p p p ααβααα===--，…………………………………………………（5分）因为ππ0,0242αα<<<<，所以πtan tan 20,02βαβ=><<，所以2βα=.………………………………………………………………………………………………………（7分）方法2：易知点),(00y x A 在第一象限，且直线l 与C 相切于点A ，由px y 2=，得xp y 2='，………（1分）所以l 的方程为0002)(2px x x x p y +-=，……………………………………………………………………（3分）设l 与x 交于点D ，则)0,(0x D -，………………………………………………………………………………（4分）所以由抛物线的几何性质可知DF p x AF =+=20，…………………………………………………………（5分）故α=∠=∠DAF ADF ，αβ2=∠+∠=∠=DAF ADF AFx .…………………………………………………（7分）(2)1p =时，C 的方程为22y x =，把1p =，1tan t α=代入2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得l 的方程为2x t y t =+，把12x =-代入得122t y t=-，所以11,222t P t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，……………………………………………………………………………………………（10分）由(1)知，2,2t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设200,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 方程为12x my =+，与22y x =联立得2210y my --=，0,t y 是该方程的两个根，所以01y t =-，所以01,y t=-………………………………………………………（13分）所以21112211122PA PB t t t k k t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⋅=⋅=-+，…………………………………………………………………………（16分）所以PA PB ⊥.……………………………………………………………………………………………………（17分）19.【解析】(1)因为()()3230f x x x a x =-++>，所以()236f x x x '=-+，由()0f x '<得2x >，…………………………………………………………………（1分）因为()2ln 2g x x x ax x =+-，所以()ln 21g x x ax '=+-，所以问题转化为2x >时ln 210x ax +-<恒成立，即2x >时1ln 2x a x -<恒成立，…………………………（2分）设()()1ln 22x F x x x -=>，则()2ln 22x F x x -'=，()22,e x ∈时()0F x '<，()F x 单调递减，()2e ,x ∈+∞时()0F x '>，()F x 单调递增，……………………………………………………………………………………（4分）所以()()2min 21e 2e F x F ==-，所以212e a <-，即a 的取值范围是21,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.………………………………………………………………（7分）(2)因为()()ln 2g x x x ax =+-，设()ln 2m x x ax =+-，则()1m x a x'=+，（i ）若1a <-，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0m x '>，()m x 单调递增，1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时()0m x '<，()m x 单调递减，…………………………………………………………………（9分）所以()11ln 30m x m a a ⎛⎫⎛⎫-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a <-时()()()()0,0,0m x g x h x g x <<< ，()h x 没有零点，…………………………………………………………………………………………………（10分）（ii ）若1a >，由(1)知()236f x x x '=-+，()f x 在()0,2上单调递增，且()00f a =>，所以()0f x >，…………………………………………………………………………………………………（11分）当()0,2x ∈时，()m x 单调递增，且1ln 10m a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()2ln 2220m a =+->，存在唯一()10,2x ∈使得()10m x =，()()110,0g x h x ==，……………………………………………………………………………………………（13分）当[)2,x ∈+∞时，()ln 2ln 2220m x x ax a =+->+->，()0g x >，()f x 在[)2,+∞上单调递减，且()240f a =+>，()323333464486448150f a a a a a a a a =-++<-++=-<，所以存在唯一()22,x ∈+∞使得()20f x =，()20h x =，………………………………………………………（15分）综上，1a <-时()h x 没有零点，1a >时()h x 有2个零点..…………………………………………………（17分）。
2022年华大新高考联盟高考数学教学质量测评试卷(理科)(3月份)+答案解析(附后)
2022年华大新高考联盟高考数学教学质量测评试卷（理科）（3月份）1.如图所示，在复平面内，复数z对应的点为P，则( )A.B.C.D.2.设集合，，若，则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.3.函数在单调递增( )A. B. C. D.4.已知l，m，n是空间中三条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A. 若，，，，则B. 若，，，，则C. 若，，，，，则D. 若，，，，则5.已知平面向量满足：，，若，则( )A. B. 4 C. D. 86.如图所示，圆锥SO的轴截面SMN是等边三角形，点A是线段SN上靠近S的三等分点，点B在底面圆上，且，则直线SM，AB夹角的余弦值为( )A.B.C.D.7.“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与一个正五边形组成，其中，则往五角星内投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为( )A. B. C. D.8.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年公元1584年，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是( )A. 插入的第8个数为B. 插入的第5个数是插入的第1个数的倍C. D.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，双曲线C的一条渐近线与圆A：交于P，Q两点，若，则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.10.已知函数，现有如下说法：①直线为函数图像的一条对称轴；②函数在上单调递增；③，则上述说法正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311.已知函数，若，，，且仅有1个零点，则实数m的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为( )A. B. C. D.13.若实数x，y满足，则的最大值为______.14.的展开式中项的系数为______.15.抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线C：的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为，且，则______.16.已知首项为1的数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，若，且，则______.17.2021年11月7日，在《英雄联盟》S11的总决赛中，中国电子竞技俱乐部EDG完成逆转，斩获冠军，掀起了新一波电子竞技在中国的热潮．为了调查A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度是否具有相关性，研究人员随机抽取了500人作出调查，所得数据统计如表所示：热爱电子竞技对电子竞技无感男性20050女性100判断是否有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关？若按照性别进行分层抽样的方法，从被调查的热爱电子竞技的年轻人中随机抽取15人，再从这15人中任取3人，记抽到的男性人数为X，求X的分布列以及数学期望附：，其中18.如图所示，四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC与BD交于点O，点E在线段SD上，且平面SAB，二面角，均为直二面角．求证：；若，且钝二面角的余弦值为，求AB的值．19.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，求证：是等腰直角三角形；已知点P在的内部，且，，求20.已知椭圆的离心率为，且过点求椭圆C的标准方程；过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，且，若轴，求证：存在实数t，使得直线MG过y轴上的定点．21.完成下列问题：已知函数，，求函数的最小值；若关于x的方程有两个实数根，求实数m的取值范围．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为其中为参数，，直线l的参数方程为为参数，为锐角；以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；记直线l与x，y轴的焦点分别为M，N，点P在曲线C上，直线AP的倾斜角为，若，求的值．23.已知函数的最小值为求不等式的解集；若正数m，n，p满足，判断是否存在m，，使得，若存在，请给出一组m，n的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由图可得，，则故选：根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，，若，，则实数m的取值范围为故选：可求出集合A，然后由并集的运算列出不等式即可．本题考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及并集的运算．3.【答案】D【解析】解：，根据图像可知其单调递增区间为、，单调递减区间为故选：根据抛物线图像特点可解决此题．本题考查函数的单调性，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A，若，，，，且，则，所以选项A错误；对于B，若，，，，则或，选项B错误；对于C，若，，，，则由面面垂直的性质知，又，所以，选项C正确；对于D，若，，，则，又，所以，选项D错误．故选：根据空间中线面位置关系的判定定理、性质定理等对选项中的命题进行分析判断，即可得出结果．本题考查了线面、面面平行与垂直的判断及性质，也考查了空间想象能力、推理论证能力以及逻辑推理核心素养，是中档题．5.【答案】C【解析】解：，，不妨设，，，，，解得且，故，故选：由题意不妨设，，，从而求得．本题考查了平面向量的坐标运算，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：如图所示，以O为坐标原点，OB，ON，OS所在直线分别为x、y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，，故，故直线SM，AB之间夹角的余弦值，故选：建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，利用向量的夹角公式，求得答案．本题考查线线角，考查学生的运算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：连接CD、CF，取BC的中点N，连接MN，如下图所示：由题意可知，是顶角为的等腰三角形，即，，为BC的中点，则，且，依题意，，故，即，即，因为，则，，易知，，则，设的面积为x，则和的面积均为，的面积为x，则往五角星内投郑一点，该点落在阴影区域内的概率，故选：连接CD、CF，取BC的中点N，连接MN，分析可得，设的面积为x，则和的面积均为的面积为x，再利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率．本题考查了几何概型，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：依题意，，，故，故，故A正确；因为，故B正确；因为包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，故公比，所以，要证，即证，即证，即证，即证，而，故C正确；而，要证，即证，即证，即证，即证，即证，而，故，D错误．故选：根据等比数列通项公式基本量计算出公比，从而求出及，判断出A，B选项，利用等比数列求和公式得到，通过放缩法比较M与3的大小关系，同理判断出M与4的大小关系，即可判断N与7的大小．本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于难题．9.【答案】C【解析】解：设渐近线为，若渐近线与圆A：相交，设，，联立，得，所以，所以，，所以，，，又因为，所以，所以，所以，所以，则，所以，则，所以，化简得，所以，所以，所以，所以舍或又双曲线的离心率，所以，故选：设渐近线为，，，联立，得，结合韦达定理可得，，再计算，得，化简即可得出答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：依题意，故①正确；由，故为函数的一个周期；当时，，故，在上单调递减，即在上单调递减，由对称性知，函数在上单调递增；故②正确；结合②中单调性以及函数的奇偶性可知，函数的最大值为，故③错误．故选：根据可判断①；判断出函数的周期，结合正余弦函数的单调性可判断的单调性，判断②，结合的单调性，计算函数的最大值，可判断③；由此可得答案．本题考查函数的对称性，以及单调性，属中档题．11.【答案】C【解析】解：因为、，有，即，即与同号，所以在R上单调递增，即在上单调递增，则，故；因为在处的切线方程为，即，又，所以与没有公共点，若函数仅有一个零点，所以函数与图象仅有一个交点，则与有且仅有1个公共点，且为，所以在处的切线的斜率k大于等于1，而，得，即，解得，综上，m的取值范围为故选：根据增函数的定义可知函数在上单调递增，利用分段函数的单调性求出m的取值范围；根据函数零点个数与函数图象交点个数之间的关系，利用导数的几何意义和数形结合的数学思想即可求得结果．本题考查了分段函数的性质，函数的零点问题，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：依题意，，解得，由是正三角形可知：其外接圆半径为，设点S到平面ABC的距离为h，故，解得或，则或舍去，故，则，而，故为等腰直角三角形，，故为等腰直角三角形，，则，又，故平面SCM，取CB中点F，连接NF交CM于点O，则，则平面SCM，故平面SCM，则，要求最小，首先需PQ最小，此时可得平面SCM，则；再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中位置，当A，P，共线且时，的最小值即为的长，由为等腰直角三角形，故，，，即，，可得，，故选：根据外接球表面积求得外接球半径，进而求得三棱锥的高，并推出侧面为等腰直角三角形，作辅助线，将转化为一条线段，从而确定最小时的线段的位置，再结合三角函数值，解直角三角形，求得答案．本题主要考查立体几何中的最值与范围问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．13.【答案】6【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示：目标函数可化为，平移目标函数知，当目标函数过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，由，解得，所以z的最大值为故答案为：画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，计算目标函数的最大值即可．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．14.【答案】【解析】解：展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为，故答案为：求出展开式的通项公式，令x的指数为，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：根据题意，延长BF，与抛物线C交于点，又由AF和BF与与x轴所成锐角均为，则直线的倾斜角为，且，又由，则，抛物线的焦点为，设直线的方程为，则有，联立变形可得，则有，，则，故，解可得，故答案为：根据题意，延长BF，与抛物线C交于点，由抛物线的对称性可得，进而可得，联立直线与抛物线的方程，求出的值，可得关于p的方程，解可得答案本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线的方程，属于中档题．16.【答案】0【解析】解：由，得，即，当时，，可知当时，，，两式相减整理，得，所以是以1为首项，0为公差的等差数列，所以，所以，所以，等价于，当n是正奇数时，，因为，所以，当n是正偶数时，，因为，所以，综上所述，的取值范围为，则整数的值为故答案为：先由得到，利用与的关系证明是等差数列，进而求出、，再利用裂项抵消法求出，再分n为奇数、偶数利用放缩法进行求解．本题考查了裂项相消求和与不等式恒成立问题，属于难题．17.【答案】解：完善表格如下所示：热爱电子竞技对电子竞技无感总计男性20050250女性100150250总计300200500则的观测值，所以有的把握认为A地25岁以下的年轻人的性别与对电子竞技的爱好程度有关．依题意，这15人中男生有10人，女生有5人，则X的可能取值为0，1，2，3，故，，，，故X的分布列为：X0123P则【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．依题意，这15人中男生有10人，女生有5人，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算，属于中档题．18.【答案】证明：因为平面SAB，平面SBD，平面平面，故因为四边形ABCD为矩形，故，则解：四边形ABCD为矩形，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面平面SAD，同理又，平面ABCD，平面ABCD，平面设，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设为平面ABE的法向量，，，令，则平面ABE的一个法向量设为平面CBE的法向量，，，令，则平面CBE的一个法向量，解得，即【解析】证明推出，即可证明以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量，平面CBE的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值，即可推出结果．本题考查空间线面的位置关系、向量法求二面角，考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养，是中档题．19.【答案】解：证明：依题意，，即，而，故，故，即，化简可得，因为，故而，故是等腰直角三角形，得证．由可知，，设，其中，而，则，取BC的中点D，则，故又，在中，由正弦定理，化简可得，因为，即，故【解析】由已知利用二倍角公式，余弦定理，正弦定理可求，又，即可证明是等腰直角三角形．由可知，设，其中，取BC的中点D，则，可得，中，由正弦定理可得，进而可求，利用两角差的余弦公式即可求解．本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养，属于中档题．20.【答案】解：依题意，，解得，，故椭圆C的方程为证明：当，，时，直线MG的方程为，交y轴于点；当，，时，直线MG的方程为，交y轴于点若直线MG经过y轴上定点，则，即，直线MG交y轴于点下面证明存在实数，使得直线MG经过y轴上定点联立，消y整理，得，设，，则，设点，所以直线MG的方程：令，得因为，所以所以直线MG过定点综上所述，存在实数，使得直线MG经过y轴上定点【解析】利用离心率，结合点在曲线上，解得，，可得椭圆C的方程．求出直线MG的方程为，交y轴于点；直线MG的方程为，交y轴于点直线MG经过y轴上定点，求解t，然后证明直线MG经过y轴上定点联立直线与椭圆方程，设，，利用韦达定理，转化求解直线MG的方程，利用直线系，求解即可．本题考查椭圆的方程、直线与椭圆综合性问题，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养，是中档题．21.【答案】解：依题意，因为，所以，，因此，所以在上单调递增，于是，故函数的最小值为令，，当时，，由可知，当时，，当时，而，当时，仅有1个零点，舍去．当时，，当时，，所以单调递增．当时，因为，，所以，所以单调递增．又，，因此在上存在唯一的零点，且当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增．又，，，因此在上存在唯一的零点，且当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增．又，，，所以在上存在唯一零点，因此在上有两个零点．综上所述，实数m的取值范围是【解析】求导数，可得导函数在恒大于等于0，可得函数的最小值；令，，分或时，两种情况讨论，结合，与对导函数分析，求二阶导数判断，可求得实数m的取值范围．本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，属难题．22.【答案】解：曲线C的参数方程为其中为参数，，转换为直角坐标方程为；根据，转换为极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数，为锐角；转换为直角坐标方程为，整理得由题意得：，，，；点到直线MN的距离；由于，故；整理得；由于，所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式及三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：，或或，解得或或，故不等式的解集是或；由可知，，故在上单调递减，在上单调递增，故，故，故，则，故，而，故，当且仅当时“=”成立，故不存在m，，使得【解析】利用零点分类讨论思想法可求不等式的解集；利用基本不等式可得不存在m，，使得成立．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质的应用，考查转化思想，是中档题．。
高三模考理科数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. $\sqrt{4}$B. $\sqrt{3}$C. $\pi$D. $\frac{1}{2}$答案：B2. 函数$f(x)=2x+1$的图像与直线$y=3$的交点坐标是（）A. $(1,3)$B. $(2,3)$C. $(1,2)$D. $(2,2)$答案：B3. 已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=13$，则公差$d$为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A4. 若$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$为（）A. $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$B. $\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$C. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$D. $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$答案：A5. 在平面直角坐标系中，点$P(2,3)$关于直线$y=x$的对称点坐标是（）A. $(2,3)$B. $(3,2)$C. $(3,-2)$D. $(-2,3)$答案：B6. 若$|a|=3$，$|b|=5$，则$|a+b|$的最大值为（）A. 8B. 10C. 12D. 15答案：B7. 函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=1$处的导数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C8. 已知$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$|A|$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：D9. 在$\triangle ABC$中，若$A=60^\circ$，$a=8$，$b=10$，则$c$的值为（）A. $6\sqrt{3}$B. $4\sqrt{3}$C. $3\sqrt{3}$D. $2\sqrt{3}$答案：A10. 若$y=2^x$，则$\frac{dy}{dx}$为（）A. $2^x\ln 2$B. $2^x$C. $2^x\ln 10$D. $2^x\ln e$答案：A二、填空题（每题5分，共50分）11. 若$f(x)=ax^2+bx+c$，且$f(1)=2$，$f(-1)=0$，$f(2)=6$，则$a+b+c=$______。
山东省2024届高三下学期5月联合模拟考试 数学含答案
2024年全国普通高考模拟考试数学试题（答案在最后）2024.5注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A ．3B ．3.5C ．4D ．52．已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =≤≤+()0a >，若A B =∅ ，则a 的取值范围是（）A ．()0,2024B ．(]0,2024C ．()0,2023D ．(]0,20233．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线3y =-的距离为5，则PF =（）A ．5B ．4C ．3D ．24．某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A ．120B ．72C ．64D ．485．已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b -，则a 与b 的夹角为（）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°6．已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．内含7．已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则下列数值中23a a +可能得取值是（）A ．2-B ．3-C ．4D ．68．已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A ．12B ．2C ．32D ．3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
安徽省大教育全国名校联盟2020届高三上学期质量检测第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
大教育全国名校联盟2020届高三质量检测第一次联考理科数学一、选择题1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则AB =( )A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】由已知，22172()024x x x，故B R =，所以A B ={}2,1,0,1,2--. 故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 2.若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( ) A. 3 B. 55 D. 35【答案】C 【解析】 【分析】先由已知，求出1m =-，进一步可得63i12i z+=-，再利用复数模的运算即可 【详解】由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =.因此，63631253i ii z i++==-=故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题. 3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可． 【详解】解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α， 由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交； 反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α， 则“a ∥b “是“α∥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D .【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题． 4.函数()221x x x f x =+-的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由()f x 是偶函数可排除A 、B ；再由，0x >有()0f x >可排除D.【详解】由已知，()()()2111221221xx xx f x x +⎛⎫=+= ⎪--⎝⎭， 则()()()()()()()2121221221xx xxx x f x f x --+-+-===--，所以()f x 为偶函数，故可排除A 和B ； 当0x >时，()0f x >，故可排除D. 故选：C.【点睛】本题考查已知函数解析式确定函数图象的问题，在处理这类问题时，通常利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值来处理，是一道容易题.5.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】模拟程序的运行即可求出答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得：p ＝1，S ＝1，输出S 的值为1，满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝3，S ＝7，输出S 的值为7， 满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝5，S ＝31，输出S 的值为31， 满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝7，S ＝127，输出S 的值为127， 满足条件p ≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511， 此时，不满足条件p ≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5， 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．6.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A.17B. 27C.13D.1835【答案】A 【解析】 【分析】 利用An P n=计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有23C 种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为232717C C =.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A. 9 B. 12C. 15-D. 18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.8.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )B.12【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45，有21ba=，再利用222a b c =+即可解决.【详解】由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得e =故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题. 9.已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. 函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到【答案】D 【解析】 【分析】由2πT ω=可判断选项A ；当π12x =时，ππ2=32x +可判断选项B ；利用整体换元法可判断选项C ；πsin 212y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()πcos 23x f x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭可判断选项D .【详解】由题知()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，所以A 正确；当π12x =时， ππ2=32x +，所以B 正确；当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5π2π,33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以C 正确；由sin 2y x = 的图象向左平移π12个单位，得ππππsin 2sin 2sin 212623y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()πcos 23x f x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，所以D 错误.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.10.已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A. ﹣2 B. ﹣1C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．11.已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A. 13y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 3y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率. 【详解】根据题意，点P 一定在左支上.由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c aMOF ac+-∠=.——①由2tan b MOF a ∠=，得2cos aMOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.12.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A .①③B. ②④C. ①②③D. ②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 二、填空题13.已知向量()1,1a =，2b =，且a 与b 的夹角为34π，则()a ab ⋅+=______. 【答案】0 【解析】 【分析】直接根据向量数量积的概念以及分配律即可得结果.【详解】由题知22a =，2222a b ⎛⎫⋅=⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()20a a b a a b ⋅+=+⋅=， 故答案为：0.【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算，属于基础题.14.定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意的,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y -=-；②当0x <时，()0f x >，则函数()f x 的解析式可以是______________. 【答案】()f x x =-（或()2f x x =-，答案不唯一） 【解析】 【分析】由()()()f x y f x f y -=-可得()f x 是奇函数，再由0x <时，()0f x >可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题.【详解】在()()()f x y f x f y -=-中，令0x y ==，得(0)0f =；令0x =， 则()()()()0y f y f y f f -==--，故()f x 是奇函数，由0x <时，()0f x >， 知()f x x =-或()2f x x =-等，答案不唯一.故答案为：()f x x =-（或()2f x x =-，答案不唯一）.【点睛】本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(21)3n n S a +=，若108a ka =，则k =______________. 【答案】9 【解析】 【分析】用1n -换(21)3n n S a +=中的n ，得11233(2)n n S a n --=+≥，作差可得13(2)n n a a n，从而数列{}n a 是等比数列，再由2810a k q a ==即可得到答案. 【详解】由233n n S a =+，得11233(2)n n S a n --=+≥，两式相减，得1233n n n a a a -=-，即13(2)n n a a n；又11233S a =+，解得13a =-，所以数列{}n a 为首项为-3、公比为3的等比数列，所以28109a k q a ===. 故答案为：9.【点睛】本题考查已知n a 与n S 的关系求数列通项的问题，要注意n 的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.16.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且90PAB ∠=︒.若四棱锥P-ABCD 的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA 最长时，则PDA ∠=______________；四棱锥P-ABCD 的体积为______________.【答案】 (1). 90° (2). 3【解析】 【分析】易得AB ⊥平面PAD ，P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，显然，PA 是圆1O 的直径时，PA 最长；将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -，易得PB 为球的直径即可得到PD ，从而求得四棱锥的体积.【详解】如图，由90PAB ∠=及AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ， 即P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，易知，当P 、1O 、A 三点共线时，PA 达到最长， 此时，PA 是圆1O 的直径，则90PDA ∠=； 又AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，此时可将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -， 其体对角线为28PB R ==，底面边长为2的正方形，易求出，高PD =故四棱锥体积1433V =⨯⨯=.故答案为：(1) 90° ； (2) 8143.【点睛】本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.三、解答题17.我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.（1）在93颗新发现脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？（2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值.【答案】（1）79颗；（2）5.5秒.【解析】【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1可得a，进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率，从而得到频数；（2）平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到. 【详解】（1）第一到第六组的频率依次为 0.1，0.2，0.3，0.2，2a ，0.05，其和为1所以()210.10.20.30.20.05a =-++++，0.075a =，所以，自转周期在2至10秒的大约有()9310.1579.0579⨯-=≈（颗）. （2）新发现的脉冲星自转周期平均值为0.110.230.350.270.1590.0511 5.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）.故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，涉及到平均数的估计值等知识，是一道容易题.18.在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c B =-.（1）求B ；（2）若b =AD 为BC 边上的中线，当ABC 的面积取得最大值时，求AD 的长.【答案】（1）23π；（2. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及A B C π++=可得sin sin sin B C C B =-，从而得到tan B =（2）在ABC 中，利用余弦定可得22123a c ac ac =++≥，4ac ≤，而1sin 24ABC S ac B ac ∆==，故当4ac =时，ABC 的面积取得最大值，此时2a c ==，π6C =，在ACD 中，再利用余弦定理即可解决.【详解】（1cos sin sin A B C C B =-， 结合()sin sin A B C =+，sin sin sin B C C B =-，因为sin 0C ≠，所以tan B =，由()0,πB ∈，得2π3B =. （2）在ABC 中，由余弦定得2212a c ac =++， 因为223a c ac ac ++≥，所以4ac ≤，当且仅当2a c ==时，ABC 的面积取得最大值，此时π6C =. 在ACD 中，由余弦定理得222π32cos 121223176AD CA CD CA CD ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 即7AD =.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道容易题.19.在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14BC BB ==，125AC AB ==，且160BCC ∠=︒.（1）求证：平面1ABC ⊥平面11BCC B ；（2）设二面角1C AC B --的大小为θ，求sin θ的值.【答案】（1）证明见解析；（215. 【解析】 【分析】（1）要证明平面1ABC ⊥平面11BCC B ，只需证明AB ⊥平面11BCC B 即可；（2）取1CC 的中点D ，连接BD ，以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面11ACC A 的法向量为n 与平面1ABC 的法向量为1B C ，利用夹角公式111cos ,n B C n B C n B C⋅=计算即可.【详解】（1）在ABC 中，22220AB BC AC +==， 所以90ABC ∠=，即AB BC ⊥. 因为1BC BB =，1AC AB =，AB AB =， 所以1B ABC A B ≌.所以190ABB ABC ∠=∠=，即1AB BB ⊥. 又1BC BB B =，所以AB ⊥平面11BCC B .又AB平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B .（2）由题意知，四边形11BCC B 为菱形，且160BCC ∠=， 则1BCC 为正三角形，取1CC 的中点D ，连接BD ，则1BD CC ⊥.以B 为原点，以BD ，1BB ，BA 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向， 建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()10,4,0B ，()0,0,2A ，()23,2,0C -，()123,2,0C .设平面11ACC A 的法向量为(),,n x y z =， 且()23,2,2AC =--，()10,4,0CC =.由10,0,AC n CC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得23220,40,x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取(1,0,3n =. 由四边形11BCC B 为菱形，得11BC B C ⊥；又AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥； 又1=AB BC B ⋂，所以1B C ⊥平面1ABC ， 所以平面1ABC 的法向量为()1=23,6,0B C -.所以1111cos ,443n B C n B C n B C⋅===.故sin 4θ=.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中档题.20.已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24x ay =，抛物线；（2）存在，()(),11,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）设(),Q x y y a =+，化简即得；（2）利用导数几何意义可得()2,A a a ，要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 联立直线m 与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决.【详解】（1）设(),Q x y y a =+，化简得24x ay =，所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.（2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭.因为24x y a=，所以2x y a '=，从而直线PA 的斜率为2402t at at a+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.设直线m 的方程为y kx a =-，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a -+=. 首先，()221610ak∆=->，解得1k <-或1k >.其次，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =.()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==-224204a akk a ⋅=-=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠， 此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题. 21.已知函数21()(1)ln ,2f x ax a x a R x =+--∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若),(1a ∈-∞，设()ln xg x xe x x a =--+，证明：1(0,2]x ∀∈，2(0,)x ∃∈+∞，使()()122ln2f x g x ->-.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】 【分析】 （1）()()()()'110ax x f x x x+-=>，分0a ≥，10a -<<，1a =-，1a <-四种情况讨论即可；（2）问题转化为()()min min 2ln 2f x g x ->-，利用导数找到min ()f x 与min ()g x 即可证明. 【详解】（1）()()()()()'11110ax x f x ax a x x x+-=+--=>.①当0a ≥时，10ax +>恒成立， 当01x <<时，()0f x '<； 当1x >时，()0f x '>，所以，()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数.②当10a -<<时，11a->，()()'11a x x a f x x⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=. 当01x <<时，()'0f x <；当11x a<<-时，()'0f x >； 当1x a>-时，()'0f x <，所以， ()f x 在()0,1上是减函数，在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. ③当1a =-时，()()2'10x f x x--=≤，则()f x 在()0,∞+上是减函数. ④当1a <-时，11a-<，当10x a<<-时，()0f x '<； 当11x a-<<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<， 所以，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数， 在1,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数，在()1,+∞上是减函数. （2）由题意，得()()min min 2ln 2f x g x ->-. 由（1）知，当1a <-，(]0,2x ∈时，()()min 1,2f x f f a ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()1112ln 1ln 22f f a a a ⎛⎫⎛⎫--=----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()1ln 1ln 22h x x x =-+-+，()0,1x ∈，()202x h x x-'=< 故()h x 在()0,1上是减函数，有()()11ln 2ln 02h x h >=-=>， 所以()12f f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，从而()()min 22ln 2f x f ==-. ()ln x g x xe x x a =--+，()0,x ∈+∞，则()()'11xg x x e x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 令()1xG x e x=-，显然()G x 在()0,∞+上是增函数，且1202G ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()110G e =->， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()0001e 0x G x x =-=，且()g x 在()00,x 上是减函数， 在()0,x +∞上是增函数，()()00000min ln 10x g x g x x e x x a a ==--+=+<，所以()min 2ln 212ln 22ln 2g x a +-=++-<-， 所以()()min min 2ln 2f x g x >+-，命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题，考查学生逻辑推理能力，是一道较难的题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数）.以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系. （1）设直线l 的极坐标方程为12πθ=，若直线l 与曲线C 交于两点A.B ，求AB 的长；（2）设M 、N 是曲线C 上的两点，若2MON π∠=，求OMN ∆面积的最大值.【答案】（1；（2）1. 【解析】 【分析】（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2）()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由（1）通过计算得到121πsin22S ρρ=πsin 23θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为22112x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即220x y x +-=；再将222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos sin 0ρρθθ--=，故曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然直线l 与曲线C 相交的两点中，必有一个为原点O ，不妨设O 与A 重合，即12ππ2sin 612AB OB πθρ=⎛⎫===+=⎪⎝⎭. （2）不妨设()1,M ρθ，2π,2N ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则OMN 面积为121π1πππsin 2sin 2sin 222626S ρρθθ⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ πππ2sin cos sin 2663θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当πsin 213θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即取π12θ=时，max 1S =. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.23.已知不等式111x x x m +++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立. （1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足23a b c M ++=.求证11222a b b c+≥++【答案】（1）[]3,1-（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=，0x ≥，得112x x x +++-≥，则12m +≤，由此可得答案；法二：由题意()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．【详解】解：（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=（当且仅当11x -≤≤时取等号），又0x ≥（当且仅当0x =时取等号）， 所以112x x x +++-≥（当且仅当0x =时取等号）， 由題意得12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；法二：因为对于任意x ∈R 恒有111x x x m +++-≥+成立，即()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，所以()()min 02f x f ==，即12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，故m 的取值范围是[]3,1-；（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=， ∴1122a b b c +++()112322a b c a b b c ⎛⎫=++⋅+ ⎪++⎝⎭()()23211222a b b c a b b c +++⎛⎫=⋅+ ⎪++⎝⎭ ()32124222b c a b a b b c +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦ 1422⎡≥+=+⎣故不等式11222a b b c +≥++ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．。
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2017-2018学年大教育联盟高三第一次模拟考试理科数学参考答案及评分标准（Ⅰ卷）选择题答案 一、选择题1.D2.C3.B4.A5.A6. B7.C 8.A 9.A 10.C 11.D 12.C 非选择题答案 二、填空题13. －1 14. －9 15.e 16. ①②④. 三、解答题 17.解：（1）由正弦定理，得=sin sin a c A C，即sin =sin a C c A ，…………………2分 结合cos =sin a C c A ，得sin =cos a C a C ，………………………………4分 即tan 1C =，又0C π<<，所以4C π=.……………………………………6分（2）法一：由余弦定理，得222cos =22a b c C ab+-=，…………………8分结合22a c bc -=，得bc +=，由正弦定理，得sin sin .B C A +=………………………………………10分将4C π=及()4B A ππ=-+代入上式，得sin()42A A π++=， 化简，得sin cos 1A A -=. 由304A π<<，得.2A π= 故△ABC 为等腰直角三角形. ……………………………………………………12分法二：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，………………………………8分再结合22a c bc -=，消去a 得2cos cbc A =-，………………………………9分由正弦定理，得sin sin 2sin cos sin()2sin cos sin()C B C A C A C A A C =-=+-=-，x……………………………………………………………………………………………11分 因为0,C A C πππ<<-<-<， 所以C A C =-，即2A C =，故△ABC 为等腰直角三角形. ………………………………………………………12分法三：由余弦定理，得222cos =22a b c C ab+-=，………………………………8分 结合22a c bc -=，得b c +=，即a =10分 再代入22a c bc -=，得22c bc -=， 化简，得b c =，故△ABC 为等腰直角三角形. ………………………………12分 18. 解：（1）取AC 的中点E ，连接EF ，则EF 是△P AC 的中位线， 所以EF ∥P A .又EF ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ，从而EF ∥平面P AD . ………………………………………………………………2分 因为P A ⊥平面ABCD ，又P A =4，则AD =AB =AE =CE =2，AC =4. 又因为∠ADC =∠ABC =90°，所以∠DAE =∠BAE =60°，从而△ADE 和△ABE 于是四边形ABED 为菱形，则BE ∥AD . 又BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD . 又EF ∩BE =E ，所以平面BEF ∥平面P AD . 又BF ⊂平面BEF ，所以BF ∥平面P AD . （2）取AB 的中点G ，连接EG ，由△ABE 为正三角形，得EG ⊥AB . 因为P A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ， 所以EG ⊥P A . 又AB ∩P A =A ，所以EG ⊥平面P AB . ………………………………………………8分 以A 为原点，分别以AC,AP 为y 轴,z 轴建立如图的空间直角坐标系.又P A =AC =4，则A (0,0,0)，E (0,2,0)，P (0,0,4)，B，D (，C (0,4,0)，则G1,02)，DC =u u u r ，(0,4,4)PC =-u u u r.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n DC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r即30,440.y y z +=-=⎪⎩ 取y =1，可得(,1)n =r.………………………………………………10分由EG ⊥平面P AB ，得平面P AB的一个法向量为3(,0)22EG =-uu u r . 设平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则33||||cos ||||n EG n EG θ--⋅===r uuu r r uuu r故平面P AB 与平面PCD所成锐二面角的余弦值为5.…………………………………12分 19. 解：（1）这40名学生测试成绩的平均分801670247440x ⨯+⨯==.…………………2分（2） 由公式2211()n i i s x x n ==-∑2222121[()]n x x x nx n =+++-.设第一组学生的测试成绩分别为12324,,,,x x x x ，第二组学生的测试成绩分别为25262740,,,,x x x x ，则第一组的方差为222222112241[()2470]424s x x x =+++-⨯=， 解得22221224=24(1670)x x x ++++；………………………………………………………4分第二组的方差为22222222526401[()1680]616s x x x =+++-⨯=，解得2222252640=16(3680)x x x ++++.………………………………………………………6分这40名学生的方差为2222222212242526401[()()40]40s x x x x x x x =+++++++-⨯2221[24(1670)16(3680)4074]=4840=+++-⨯，所以7s =≈.综上，这40名学生测试的平均分为74，标准差为7. ……………………………8分 （3）由=74,7x s ≈，得μ的估计值为，s 的估计值为.由(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，得P (74－14<X <74+14)= P (60<X <88)=0.9544，所以11(60)(88)[1(6088)](10.9544)0.022822P X P X P X <=≥=-<<=-=， …………………………………………………………………………………………………10分从而全校1000名学生中，“不合格”的有1000×0.0228=22.8≈23(人)，而2350=5%10001000<，故该校学生“体能达标”预测“合格”. …………………………………………………………………………………………………12分20. 解：(1) 法一：不妨设2(,)(0)4a P a a >,2(,)4b M b .由四边形OPFM 是平行四边形，得OP MF =，即22,1,44a b a b ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………2分于是221,44,a b a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩结合0a >，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以1(2P，1(,2M ，故直线PM 与y 轴平行. ………………………………4分 法二：由四边形OPFM 是平行四边形及F (1,0)，得四边形OPFM 对角线交点G 就是OF 的中点，即1(,0)2G ，同时G 也是PM 的中点.不妨设2(,)(0)4a P a a >，则2(1,)4a M a --，………………………………………2分代入24y x =，得22()4(1)4a a -=-，结合0a >，解得a =所以1(2P，1(,2M ，故直线PM 与y 轴平行. ………………………………4分 (2)设(),P x y ，直线OP 的方程为1y k x =,代入24y x =,得2214k x x =,考虑到0x ≠，解得214x k =，14y k =，即21144,P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，…………………………………6分所以1OP ==…………………………………………………7分 当直线l 的斜率不存在时，MN =4，不合题意.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()21y k x =-，代入24y x =整理，得()2222222220k x k x k -++=.设()()1122,,,M x y N x y ，则122242x x k +=+.……………………………………………8分 由抛物线定义，得MN =4.…………………………9分从而()()22224222161444444k MN MN k k k +⎛⎫⎛⎫-=++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由()24OP MNMN =-，得()()22124412161161k k k k ++=，化简得12k k =±.…………11分当12k k =时，OP ∥l ，此时αβ=；当12k k =-时，OP 与l 的倾斜角互补，此时αβπ+=.综上，αβ=或αβπ+=.…………………………………………………………………12分 21. 解：(1)由已知，得()1=a x a f x x x-'=-.……………………………………………………1分 ①当0a ≤时，()0f x '>，则函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，此时函数()f x 无极值；…………………………………………………………………………………………………2分 ②当0a >时，由()0f x '=，得x a =.因为当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数，……………………………4分 于是函数()f x 存在极小值，且极小值是()ln f a a a a =-， 根据题意，得ln a a a a -<，解得1a >.综上，实数a 的取值范围是(1,)+∞.…………………………………………………………6分 (2)由（1）得1a >，所以11121,(1)22a a a a a a a ++>=>+>>.设()112,1,aa y a y a +==+则12ln (1)ln ,ln =ln(1)y a a y a a =++，所以12ln ln (1)ln ln(1)y y a a a a -=+-+.………………………………………………7分 构造函数()(1)ln ln(1)(1)g x x x x x x =+-+>，则11()ln ln(1)ln 111x x x x xg x x x x x x x x ++'=+-+-=+-+++. 设1(1)12x t t x =<<+，1()ln h t t t t =+-，则22113()[()]024h t t t '=--+<， 所以()h t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，从而1(1)()()2h h t h <<.……………………………………9分而13(1)0,()ln 222h h ==-，所以30()ln 22h t <<-，即30()ln 22g x '<<-， 从而()g x 在(1,)+∞上是增函数.……………………………………………………10分又(2)3ln 22ln3ln8ln90g =-=-<，(3)4ln33ln 4ln81ln 640g =-=->，所以0(2,3)x ∃∈，使得0()0g x =.因此，当01a x <<时，()0g a <，即12ln ln (1)ln ln(1)0y y a a a a -=+-+<，即1(1)a aa a +<+，不适合题意. …………………………………………………………………………11分 当0a x >时，()0g a >，即12ln ln (1)ln ln(1)0y y a a a a -=+-+>，即1(1)a a a a +>+. 综上，存在最小的3k =，当a k >时，1(1)a a a a +>+成立. ………………………………12分22.解：（1）由22cos ,2sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩消去参数t ，得22(2)4x y -+=，将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并整理得4cos ρθ=.所以圆1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.…………………………3分由4cos ,4sin ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos sin θθ=.设4πθ=，则4|4cos 4d πθπρ====……………5分（2）射线12πθ=与圆1C 的交点为A 的极径为4cos12A πρ=；………………………6分射线12πθ=与圆2C 的交点为B 的极径为4sin12B πρ=，…………………………7分所以||||4(cossin)cos sin sin )12124124123A B AB πππππππρρ=-=-=-==……………………………………………………………………………………………10分 23. 解：（1）当2a =时，原不等式化为|2||1|x x -≥-，两边平方，得22(2)(1)x x -≥-，……………………………………………3分 解得32x ≤， 故原不等式的解集为3{|}2x x ≤………………………………………………………5分（2）()|||1||1||1|f x x a x a x a x a a a =---+≤-+-+=-+，所以()2f x ≥的解集是非空集合等价于|1|2a a -+≥，………………①…………………………………………………………………………………………………7分当1a ≤时，①化为12a a -+≥，此时无解； 当1a >时，①化为12a a -+≥，解得32a ≥. 综上，实数a 的取值范围是3[,)2+∞.………………………………………………………10分。