高数同济五版 (13)
高数第五版答案（同济）总习题十
高数第五版答案（同济）总习题十总习题十 1. 填空: (1)第二类曲线积分Γ++Rdz Qdy Pdx 化成第一类曲线积分是____________, 其中α、β、γ为有向曲线弧Γ上点(x , y , z )处的_____________的方向角.解Γ++ds R Q P )cos cos cos (γβα, 切向量.(2)第二类曲面积分Rdxdy Qdzdx Pdydz ++∑化成第一类曲面积分是_______, 其中α、β、γ为有向曲面∑上点(x , y , z )处的________的方向角.解dS R Q P )cos cos cos (γβα++∑, 法向量.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设曲面∑是上半球面: x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0), 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分, 则有________. (A )xdS xdS 14∑∑=; (B )xdS ydS 14∑∑=;(C )xdS zdS 14∑∑=; (D )xyzdS xyzdS 14∑∑=.解 (C ).3. 计算下列曲线积分: (1)+Lds y x 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=ax ;解 L 的参数方程为θcos 22a a x +=, θsin 2a y =(0≤θ≤2π), 故θθθθπd y x ax ds ax ds y x LL )()()(222022'+'?==+?θθθθππd ad a=?+=204204|2cos 2|4)cos 1(2422202022)cos cos (|cos |4a tdt tdt a dt t a =-==ππππ(2θ=t 这里令).(2)?Γzds , 其中Γ为曲线x =t cos t , y =t sin t , z =t (0≤t ≤t 0); 解+++-?=Γ00221)cos (sin )sin (cos t dt t t t t t t t zds322)2(232002-+=+=?t dt t t . (3)?+-L xdy dx y a )2(, 其中L 为摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )上对应t 从0到2π的一段弧; 解-+-?+-=+-π20]sin )sin ()cos 1()cos 2[()2(dt t a t t a t a t a a a xdy dx y a L22022sin a tdt t a ππ-==?.(4)?Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(, 其中Γ是曲线x =t , y =t 2, z =t 3上由听t 1=0到t 2=1的一段弧; 解-??+?-=-+-Γ1223264222]3221)[(2)(dt t t t t t t t dz x yzdy dx z y351)32(164=+-=?dt t t . (5)-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (, 其中L 为上半圆周(x -a )2 +y 2=a 2, y ≥0, 沿逆时针方向;解这里P =e x sin y -2y , Q =e x cos y -2,22cos cos =+-=??-??y e y e yP x Q x x. 令L 1为x 轴上由原点到(2a , 0)点的有向直线段, D 为L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式+-+-1)2cos ()2sin (LL x x dy y e dx y y e dxdy yPx Q D)(-??=?? 22a dxdy Dπ==??,-+--=-+-1)2cos ()2sin ()2cos ()2sin (2L x x L x x dy y e dx y y e a dy y e dx y y e π22020a dx a aππ=-=?.(6)Γxyzdz , 其中Γ是用平面y =z 截球面x 2+y 2+z 2=1所得的截痕, 从z 轴的正向看去,沿逆时针方向.解曲线Γ的一般方程为?==++z y z y x 1222, 其参数方程为tz t y t x sin 22 ,sin 22 ,cos ===, t 从0变到2π.于是tdt t t t xyzdz cos 22cos 22cos 22cos 20=??Γπππ162cos sin 422022==tdt t .4. 计算下列曲面积分: (1)222z y x dS ++∑, 其中∑是界于平面z =0及z =H 之间的圆柱面x 2+y 2=R 2; 解∑=∑1+∑2, 其中221:y R x -=∑, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , dydz yR R dS 22-=; 221:y R x --=∑, D xy : -R ≤y ≤R , 0≤z ≤H , dydz yR R dS 22-=, 于是22222222221z y x dS z y x dS z y x dS +++++=++∑∑∑?????? ????+-=-?+=-H R R D dz z R dy y R R dydz y R R z R xt02222222211212RH arctan 2π=. (2)dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222-+-+-∑, 其中∑为锥面22y x z +=(0≤z ≤h ) 的外侧;解这里P =y 2-z , Q =z 2-x , R =x 2-y ,0=??+??+??zR y Q x P . 设∑1为z =h (x 2+y 2≤h 2)的上侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式0)()()()(2221=??+??+??=-+-+-Ω∑+∑dv zR y Q x P dxdy y x dzdx x z dydz z y ,而dxdy y x dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()()(222211-=-+-+-∑∑40222024)sin cos ()(1h d r r d dxdy y x hπθθθθπ=-=-∑, 所以42224)()()(h dxdy y x dzdx x z dydz z y π-=-+-+-∑. (3)zdxdy ydzdx xdydz ++∑, 其中∑为半球面222y x R z --=的上侧;解设∑1为xOy 面上圆域x 2+y 2≤R 2的下侧, Ω为由∑与∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式得dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(1+??+??=++Ω∑+∑332)32(33R R dv ππ===Ω,而00011====++∑∑dxdy zdxdy zdxdy ydzdx xdydz xyD ,所以33202R R zdxdy ydzdx xdydz ππ=-=++∑.(4)3222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++∑??, 其中∑为曲面9)1(16)2(5122-+-=-y x z (z ≥0)的上侧;解这里3r x P =, 3r y Q =, 3r z R =, 其中222z y x r ++=. 52331r x r x P -=??, 5 2331r y r x Q -=??, 52331r z r x R -=??,033)(3352352223=-=++-=??+??+??rr r r z y x r z R y Q x P . 设∑1为z =0)19)1(16)2((22≤-+-y x 的下侧, Ω是由∑和∑1所围成的空间区域, 则由高斯公式0)()(32221=??+??+??=++++Ω∑+∑dv zR y Q x P z y x zdxdy ydzdx xdydz ,32223222)()(1z y x zdxdyydzdx xdydz z y x zdxdy ydzdx xdydz ++++-=++++∑∑0)(0322=+=dxdy y x xyD .(5)xyzdxdy ∑, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1(x ≥0, y ≥0)的外侧. 解∑=∑1+∑2, 其中∑1是221y x z --=(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的上侧; ∑2是221y x z ---=(x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0)的下侧,xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 21∑∑∑+=dxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=-??=--=13220221sin cos 212ρρρθθθπd d dxdy y x xy xyD15212sin 103220=-=?ρρρθθπd d .5. 证明22y x ydyxdx ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分, 并求出一个这样的二元函数. 解这里22y x x P +=, 22y x y Q +=. 显然, 区域G 是单连通的, P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数, 并且xQ y x xy y P ??=+-=??222)(2, 所以22y x ydyxdx ++在开区域G 内是某个二元函数u (x , y )的全微分.C y x dy y x y dx x y x ydy xdx y x u y x y x ++=++=++=)ln(211),(220221),()0 ,1(22.6. 设在半平面x >0内有力)(3j i y x k F +-=ρ构成力场, 其中k 为常数,22y x +=ρ. 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关. 解场力沿路径L 所作的功为 dy kydx kx W L33ρρ?--=.令3ρkx P -=, 3ρky Q -=. 因为P 和Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续的偏导数, 并且xQ xy k y P ??==??53ρ, 所以上述曲线积分所路径无关, 即力场所作的功与路径无关. 7. 求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标. 解这里∑:222y x a z --=, (x , y )∈D xy ={(x , y )|x 2+y 2≤a 2}. 设曲面∑的面密度为ρ=1, 由曲面的对称性可知, 0==y x . 因为3222221a dxdy a dxdy z z y x a zdS xyxyD y x D π=='+'+?--=∑,222421a a dS ππ=?=∑, 所以 2223a a a z ==ππ.因此该曲面的质心为)2,0 ,0(a .8. 设u (x , y )、v (x , y )在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数, 分段光滑的曲线L 为D 的正向边界曲线. 证明: (1)+?-=?L D D ds n u v dxdy v u udxdy v ) (grad grad ;(2)-??=?-?L D ds nu v n v u dxdy u v v u )()(, 其中n u ??、n v ??分别是u 、v 沿L 的外法线向量n 的方向导数, 符号2222yx ??+??=?称为二维拉普拉斯算子.证明设L 上的单位切向量为T =(cos α, sin α), 则n =(sin α, -cos α). (1)+??-=??-??=??L L L ds x uv y u v ds y u x u v ds n u v ]sin cos [)cos sin (ααααdxdy yu v y x u v x D )]()([??-??-=dxdy y u v y u y v x u v x u x v D)(2222??++??+=?? dxdy y u x u v dxdy y u y v x u x v DD )()(2222??+??++= udxdy v udxdy v D D ?+?=grad grad ,所以+?-=?L D D ds nu v dxdy v u udxdy v ) (grad grad . (2)dxdy yu x u v y v x v u ds n u v n v u L L )]cos sin ()cos sin ([)(αααα??-??-??-??=??- dxdy xuv x v u y u v y v u L ]sin )(cos )[(αα??-??+??+??-=?dxdy yu v y v u y x u v x v u x D )]()([??+??-??-??-=dxdy y u v y u y v y v u y v y u x u v x u x v x v u x v x u D)(22222222??--??++??--??+=?? dxdy u v v u dxdy y u x u v y v x v u D D )()]()([22222222?-?=??+??-??+??=. 9. 求向量A =x i +y j +z k 通过闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}的边界曲面流向外侧的通量.解设∑为区域Ω的边界曲面的外侧, 则通量为 dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz )(??+??+??=++=ΦΩ∑ 33==Ωdv .10. 求力F =y i +z j +x k 沿有向闭曲线Γ所作的功, 其中Γ为平面x +y +z =1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界, 从z 轴正向看去, 沿顺时针方向.解设∑为平面x +y +z =1在第一卦部分的下侧, 则力场沿其边界L (顺时针方向)所作的功为++=L xdz zdy ydx W .曲面∑的的单位法向量为)cos cos ,(cos )1 ,1 ,1(31γβα=-=n , 由斯托克斯公式有dS xz y z y x W =∑γβαcos cos cos233sin )2(2133)111(312=?==----=∑∑πdS dS .。
同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)
解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
>>
<< >>
<<
练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3
工程数学线性代数课后答案解析同济第五版
A
E
1 5 1
1 2 b
321~r 100
0 1 0
101
知 R(AE)2 所以齐次线性方程组(AE)x0 的基础解系只有一个解向量 因此 A
不能相似对角化
16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:
(1)
2 2 0
证明 设 R(A)r R(B)t 则 rtn 若 a1 a2 anr 是齐次方程组 Ax0 的基础解系 显然它们是 A 的对应于特 征值0 的线性无关的特征向量
类似地 设 b1 b2 bnt 是齐次方程组 Bx0 的基础解系 则它们是 B 的对应
得方程(AE)x0 的基础解系 p1(1 1 1)T 向量 p1 就是对应于特征值1 的特
征值向量.
(2) 132
2 1 3
633 ;
1 2 3 解 | AE| 2 1 3 ( 1)( 9)
3 3 6
故 A 的特征值为10 21 39
11 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A35A27A|
解 令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3 是(A)的特征值 故 |A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318
12 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 2 3 求|A*3A2E|
2 5 1
1 a
b
2 3 2
111
000
解之得 1 a3 b0
(2)问 A 能不能相似对角化？并说明理由
解由
2 1 2 | AE| 5 3 3 ( 1)3
1 0 2
得 A 的特征值为1231 由
于特征值0 的线性无关的特征向量
同济第五版高数下册答案
高等数学同步练习第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1. 求定义域(1){(x,y ) 1xy e e≤≤}；(2)},122),{(22N k k y x k y x ∈+≤+≤； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.2.求极限(1)001)2x y →→=;(2)0 ;(3)22222002sin2lim 0()xyx y x y x y e →→+=+; (4)20sin cos lim.2x y xy xyx xy →→=.3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222222201lim 1x x k x k x k x k→--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y,极限为0，不存在 ;(3)222222221100x y x y x y x y x y x y x y x y+≤≤+≤+=+→+++.极限为0 .4.因当220x y +≠时，2222220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.1. 求下列函数的偏导数(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 22()1()x y x y --+-. 2.6π.3.11(11xy y =+-==. 4.1222222222222222222222222222221ln()ln(),212.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y -=+=-+∂=-=-∂++∂+--=-=∂++∂-=∂+5.22002202010sin,lim (,)0(0,0),1sin00lim 10sin 00(0,0)lim 0x y x y x x x yf x y f x f x x xf y y y→→∆→∆→≤≤+==∆-∂∆+=∂∆-∂+∆==∂∆g 因为所以连续.（0，0），不存在，.1. 求下列函数的全微分 解：(1)21z z dz dx dy x y x ∂∂=+∂∂-=+=.(2)1ln ln yz yz yz u u u du dx dy dz x y zyzx dx zx xdy yx xdz -∂∂∂=++∂∂∂=++.2.解：33222222220033332222(0,0)0033322322200,(,)(0,0)lim (,)0(0,0),000000(0,0)lim 1,lim 11x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x y f y x yx f f x y x y x x y x y y x y z x y →→∆→∆→+≤=+≤+→→+++==+∆∆+--+∆∆+====∆∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆-∆∆∆==∆+∆.所以连续.两个偏导数都存在，为222222211(0,0)0,.x y x y x yx y x y x y y x ρρ→→-∆∆∆∆+∆∆=∆+∆-∆+∆∆+∆=→==≠g g 当沿时，故不可微第四节 1.解：322235221''(1)22323(21)(5456)1(2)1(3)()ln()v vdzuv w u v w x u v x x x xdxdzdx xdz z du z duvu f x u u g xdx u dx v dx-=⋅+⋅+⋅=++-===+∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂...2.解：(1)222221121(arctan ln21()uxy xy vz z x z y u uvye xe e u vuu x u y u u v u v vv∂∂∂∂∂=+=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂∂+++.221(arctanuvz z x z y ue u vv x v y v u v v∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂+.(2)'''()(1)()()()uf x xy xyz y yzxuf x xy xyz x xzyuf x xy xyz xyz∂=++++∂∂=+++∂∂=++⋅∂3. 解：''''1212.z z zf a f b f ft x yz z za bt x y∂∂∂=⋅+⋅==∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂，，，所以，4. 解：'222'222''2222''22''22()22(()2())2()24()zf x y xxzf x y x f x yxzx f x y y xyf x yx y∂=+⋅∂∂=+++∂∂=⋅+⋅=+∂∂第五节1.解：令(,,)sin()01cos()1cos()1cos()1cos()x z y z F x y z x y z xyz F z yz xyz x F xy xyz F z xz xyz y F xy xyz =++-=∂-=-=-∂-∂-=-=-∂- 2. .解：令22222222(0,0,1)2(,,)10()|1x z F x y z x y z F z x x F z z xz x z x zx z x z zzx=++-=∂=-=-∂∂-⋅--∂∂=-=-∂∂=-∂ 3.证明：''11''''1212'1''12()().x z c c zx a b a b c z y a b z zab C x yφφφφφφφφφφφ⋅⋅∂=-=-=∂-+-+⋅∂=∂+∂∂+=∂∂所以6.（1）解：方程两边对y 求导，得：222460222642146212622242(62)(62)2(61)(61)22(61)61dz dxx ydy dy dx dz x y z dydy dx dz x y dy dy dx dz x z y dy dyy y z x x zx yx ydx y z y z dyx z x z dz y dy x z z =+++=-=-+=-------⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩-++===-++-==++（3）''12''12()(1)2u u v f u x f x x x v u vg g vy x xx ∂∂∂=⋅++⋅∂∂∂∂∂∂=⋅-+⋅⋅∂∂∂⎧⎨⎩'''121'''121''12'''''''1212121''''''''21212112''12''11''11'''''212121(1)(21)212221121122u v xf f uf x x u v g vyg g x xuf f g vyg uvyf g uf f g u x vyg vxyf g xf f g xf f g vyg xf uf g g uy vyg vxyf g xf f g ∂∂-⋅-=∂∂∂∂+-=∂∂---+∂==∂-++-----∂=∂-++'''''11111'''''''2121211221g xf g uf g vyg vxyf g xf f g --=--++-7.证明：x t dy f dx f dt =+ →x tdy dtf f dx dx=+ ① 0x y t dF F dx F dy F dt =++= → x y tF dx F dydt F +=-→y x t t F F dtdy dx F F dx=--⋅ ② ②代入①，得：()(1)y x x t t t t y t x x t tt t y x t t xt t x t t x t t yF F dydy f f dx F F dx f F f Fdy f F dx F F f F f F f F dy F dx F f F f F dy dx F f F =+--⋅+=-+-⋅=-∴=+第六节 多元函数微分学的几何应用1．解：切向量),cos ,sin (=b t a t a T 。
高等数学同济第五版第5章答案.
习题5-11. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(b>a及横轴所围成的图形的面积.解第一步: 在区间[a, b]内插入n-1个分点(i=1, 2, , n-1, 把区间[a, b]分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, , n.第二步: 在第i个小区间[x i-1, x i] (i=1, 2, , n上取右端点, 作和.第三步: 令⎣=max{x1, x2, , x n}, 取极限得所求面积.2. 利用定积分定义计算下列积分:(1(a<b;(2.解 (1取分点为(i=1, 2, , n-1, 则(i=1, 2, , n. 在第i个小区间上取右端点 (i=1, 2, , n. 于是.(2取分点为(i=1, 2, , n-1, 则(i=1, 2, , n. 在第i个小区间上取右端点(i=1, 2, , n. 于是.3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:(1;(2;(3;(4.解 (1表示由直线y=2x、x轴及直线x=1所围成的面积, 显然面积为1.(2表示由曲线、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆x2y2=1的面积的:.(3由于y=sin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[- , ]上与x轴所夹的面积的代数和为零, 即.(4 表示由曲线y=cos x与x轴上一段所围成的图形的面积. 因为cos x为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为, 即.4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小是水深h的函数, 且有p=98h (kN/m2. 若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P.解建立坐标系如图. 用分点(i=1, 2, , n-1将区间[0, H]分为n分个小区间, 各小区间的长为(i=1, 2, , n.在第i个小区间[xi-1, xi]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为Pi=9.8x i lx i .闸门所受的水压力为.将L=2, H=3代入上式得P=88.2(千牛.5. 证明定积分性质:(1;(2.证明 (1.(2.6. 估计下列各积分的值:(1;(2;(3;(4.解 (1因为当1x4时, 2x2117, 所以,即.(2因为当时, 11sin2x2, 所以,即.(3先求函数f(x x arctan x在区间上的最大值M与最小值m.. 因为当时, f (x0, 所以函数f(x=x arctan x在区间上单调增加. 于是, .因此,即.(4先求函数在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m., 驻点为.比较f(0=1, f(2=e 2, ,得, M=e 2. 于是,即.7. 设f(x及g(x在[a, b]上连续, 证明:(1若在[a, b]上, f(x0, 且, 则在[a, b]上f(x0;(2若在[a, b]上, f(x0, 且f(x≢0, 则;(3若在[a, b]上, f(xg(x, 且, 则在[a b]上f(xg(x.证明 (1假如f(x≢0, 则必有f(x0. 根据f(x在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x0, 使f(x00, 且f(x0为f(x在[a, b]上的最大值.再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x0[c, d], 使当x[c, d]时, . 于是.这与条件相矛盾. 因此在[a, b]上f(x0.(2证法一因为f(x在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x0, 使f(x00, 且f(x0为f(x在[a, b]上的最大值.再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x0[c, d], 使当x[c, d]时, . 于是.证法二因为f(x0, 所以. 假如不成立. 则只有,根据结论(1, f(x0, 矛盾. 因此.(3令F(x=g(x-f(x, 则在[a, b]上F(x0且,由结论(1, 在[a, b]上F(x0, 即f(xg(x.4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:(1还是？(2还是？(3还是？(4还是？(5还是？解 (1因为当0x1时, x2x3, 所以.又当0x1时, x2x3, 所以.(2因为当1x2时, x2x3, 所以.又因为当1x2时, x2x3, 所以.(3因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x2, 所以.又因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x2, 所以.(4因为当0x1时, x ln(1x, 所以.又因为当0x1时, x ln(1x, 所以.(5设f(x=e x-1-x, 则当0x1时f (x =e x-10, f(x=e x-1-x是单调增加的. 因此当0x1时,f(xf(0=0, 即e x1x, 所以.又因为当0x1时, e x1x, 所以.习题5-21. 试求函数当x=0及时的导数.解, 当x=0时, y=sin0=0; 当时, .2. 求由参数表示式, 所给定的函数y对x的导数.解x(t sin t , y(t cos t , .3. 求由所决定的隐函数y对x的导数.解方程两对x求导得e y y cos x 0,于是.4. 当x为何值时, 函数有极值？解, 令I (x=0, 得x=0. 因为当x0时, I (x0; 当x0时, I (x0, 所以x=0是函数I(x的极小值点.5. 计算下列各导数:(1;(2;(3.解 (1.(2.(3=-cos( sin 2x(sin x cos( cos 2x( cos x=-cos x cos( sin 2x-sin x cos( cos 2x=-cos x cos( sin2x- sin x cos( - sin2x=-cos x cos( sin2x sin x cos( sin2x=(sin x-cos x cos( sin2x.6. 计算下列各定积分:(1;解.(2;解.(3;解. (4;解.(5;解.(6;解.(7;解.(8;解. (9;解.(10;解.(11;解 cos x|cos x|cos cos0cos2cos4. (12, 其中.解.7. 设k为正整数. 试证下列各题:(1;(2;(3;(4.证明 (1.(2.(3.(4.8. 设k及l为正整数, 且kl . 试证下列各题:(1;(2;(3.证明 (1.(2.(3..9. 求下列极限:(1;(2.解 (1.(2.10. 设. 求在[0, 2]上的表达式, 并讨论∏(x在(0, 2内的连续性.解当0x1时, ;当1x2时, .因此.因为, , ,所以∏(x在x=1处连续, 从而在(0, 2内连续.11. 设. 求在(-, 内的表达式.解当x0时, ;当0x 时, ;当x 时, .因此.12. 设f(x在[a, b]上连续, 在(a, b内可导且f (x0,.证明在(a, b内有F (x0.证明根据积分中值定理, 存在⎩[a, x], 使. 于是有.由f (x0可知f(x在[a, b]上是单调减少的, 而a⎩x, 所以f(x-f(⎩0. 又在(a, b内, x-a0, 所以在(a, b内.习题5-31. 计算下列定积分:(1;解.(2;解.(3;解. (4;解.(5;解.(6;解.(7;解.(8;解. (9;解.(10;解.(11;解.(12 ;解. (13;解. (14;解. (15;解.(16;解.(17;解. (18;解.(19;解(20.解.2. 利用函数的奇偶性计算下列积分:(1;解因为x 4sin x在区间[- , ]上是奇函数, 所以. (2;解.(3;解.(4.解因为函数是奇函数, 所以.3. 证明: , 其中∏(u为连续函数.证明因为被积函数∏(x2是x的偶函数, 且积分区间[-a, a]关于原点对称, 所以有.4. 设f(x在[-b, b]上连续, 证明.证明令x=-t, 则dx=-dt, 当x=-b时t=b, 当x=b时t=-b, 于是,而,所以.5. 设f(x在[a, b]上连续., 证明.证明令x=ab-t, 则dx=d t, 当x=a时t=b, 当x=b时t=a, 于是,而,所以.6. 证明: .证明令, 则, 当x=x时, 当x=1时t=1, 于是,而,所以.7. 证明: .证明令1xt , 则, 即.8. 证明: .证明,而,所以.9. 设f(x是以l为周期的连续函数, 证明的值与a无关.证明已知f(xl f(x.,而,所以.因此的值与a无关.10. 若f(t是连续函数且为奇函数, 证明是偶函数; 若f(t是连续函数且为偶函数, 证明是奇函数.证明设.若f(t是连续函数且为奇函数, 则f(-t=-f(t, 从而,即是偶函数.若f(t是连续函数且为偶函数, 则f(-t=f(t, 从而,即是奇函数.11. 计算下列定积分:(1;解.(2;解.(3(⎤为常数;解.(4;解.(5;解. (6;解.(7;解所以,于是(8;解.(9;解. (10;解法一.因为,所以.因此.解法二,故.(11;解.(12(m为自然数;解.根据递推公式,.(13(m为自然数.解因为,所以(用第8题结果. 根据递推公式,.习题5 71. 判别下列各反常积分的收敛性, 如果收敛, 计算反常积分的值:(1;解因为,所以反常积分收敛, 且.(2;解因为, 所以反常积分发散. (3(a>0;解因为,所以反常积分收敛, 且.(4(p>1;解因为, 所以反常积分收敛, 且.(5(p0, ω0;解,所以.(6;解.(7;解这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点..(8;解这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点. 因为,而,所以反常积分发散.(9;解这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点..(10.解这是无界函数的反常积分, x=e是被积函数的瑕点..2. 当k为何值时, 反常积分收敛? 当k为何值时, 这反常积分发散? 又当k 为何值时, 这反常积分取得最小值?解当k1时, ;当k=1时, ;当k1时, .因此当k1时, 反常积分收敛; 当k 1时, 反常积分发散.当k1时, 令, 则.令f (k=0得唯一驻点.因为当时f (k0, 当时f (k0, 所以为极小值点, 同时也是最小值点, 即当时, 这反常积分取得最小值3. 利用递推公式计算反常积分.解因为,所以I n= n(n-1(n-2 2I1.又因为,所以I n= n(n-1(n-2 2I1=n!.总习题五1. 填空:(1函数f(x在[a, b]上(常义有界是f(x在[a, b]上可积的______条件, 而f(x在[a, b]上连续是f(x在[a, b]上可积______的条件;解函数f(x在[a, b]上(常义有界是f(x在[a, b]上可积的___必要___条件, 而f(x在[a, b]上连续是f(x在[a, b]上可积___充分___的条件;(2对[a, +上非负、连续的函数f(x, 它的变上限积分在[a, +上有界是反常积分收敛的______条件;解对[a, +上非负、连续的函数f(x, 它的变上限积分在[a, +上有界是反常积分收敛的___充分___条件;(3绝对收敛的反常积分一定______;解绝对收敛的反常积分一定___收敛___;(4函数f(x在[a, b]上有定义且|f(x|在[a, b]上可积, 此时积分______存在.解函数f(x在[a, b]上有定义且|f(x|在[a, b]上可积, 此时积分___不一定___存在.2. 计算下列极限:(1;解.(2(p>0;解.(3;解.(4, 其中f(x连续;解法一(用的是积分中值定理.解法二(用的是洛必达法则.(5.解.3. 下列计算是否正确, 试说明理由:(1;解计算不正确, 因为在[-1, 1]上不连续.(2因为, 所以.解计算不正确, 因为在[-1, 1]上不连续.(3.解不正确, 因为.4. 设p>0, 证明.证明. 因为,而, ,所以.5. 设f (x、g (x在区间[a, b]上均连续, 证明:(1;证明因为[f(x-⎣g(x]20, 所以⎣2g 2(x-2⎣f(xg(xf 2(x0, 从而.上式的左端可视为关于⎣的二次三项式, 因为此二次三项式大于等于0, 所以其判别式小于等于0, 即,亦即.(2,证明,又,所以.6. 设f (x在区间[a, b]上连续, 且f (x>0. 证明.证明已知有不等式, 在此不等式中, 取,, 则有,即.7. 计算下列积分:(1;解.(2;解.令则,所以.(3;解令x a sin t, 则.又令, 则,所以.(4;解.(5.解.8. 设f(x为连续函数, 证明.证明.9. 设f(x在区间[a, b]上连续, 且f(x>0, , x[a, b]. 证明:(1F (x2;(2方程F(x=0在区间(a, b内有且仅有一个根.证明 (1.(2因为f(x0, ab, 所以, ,由介值定理知F(x=0在(a, b内有根. 又F(x2, 所以在(a, b内仅有一个根.10. 设 , 求.解.11. 设f(x在区间[a, b]上连续, g(x在区间[a, b]上连续且不变号. 证明至少存在一点x[a, b], 使下式成立(积分第值定理 .证明若g(x=0, 则结论题然成立.若g(x0, 因为g(x不变号, 不妨设g(x>0.因f(x在[a, b]上连续, 所以f(x在[a, b]上有最大值M和最小值m即mf(xM,因此有m g(xf(xg(xM g(x.根据定积分的性质, 有,或.因为f(x在[a, b]上连续, 根据介值定理, 至少存在一点x(a, b, 使,即.*12.(1证明:证明=(2证明。
高等数学同济教材第五版
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2.函数与极限：重点讲解了函数的概念、连续性、可导性以及函数的极限与无穷小的关系等内容。
3.微分学：包括函数的导数、高阶导数和微分、中值定理、泰勒公式以及函数的极值和最值等内容。
4.积分学：介绍了不定积分和定积分的概念、性质和计算方法，以及变限积分、曲线长度、曲面面积和体积的计算方法等。
5.微分方程：包括一阶常微分方程和二阶线性常微分方程的基本方法与应用。
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同济大学第五版高数
设 f ( x )在 [a , b] 上连续， (a , b) 内可导, 在
x0 , x0 x (a , b ), 则有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x (0 1).
也可写成 y f ( x 0 x ) x (0 1). 增量y的精确表达式.
1
分析:
例5. 试证至少存在一点
使
法2 令 f ( x) sin ln x sin1 ln x 则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f (x) cos ln x sin1 x x
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
在(0,1)内至少存在一点, 有
f (1) f ( 0) f ( ) 1 0 2
即 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
例5. 试证至少存在一点
使
证: 法1 用柯西中值定理 . 令
f ( x) sin ln x ,
F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件, f (e) f (1) f ( ) , (1, e ) 因此 F (e) F (1) F ( ) 1 cos ln 即
F ( 2 )F (b)
x
f (b) f (a ) ( x ) f ( x ) f ( a ) [ F ( x ) F (a )]. F (b) F (a ) ( x ) 满足罗尔定理的条件,
证 作辅助函数
则在(a , b)内至少存在一点, 使得 ( ) 0.
高数课后答案详解
高数课后答案详解【篇一：高数课后习题答案】txt>▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆▆《全新版大学英语综合教程》（第三册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=77fromuid=164951《全新版大学英语综合教程》（第一册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=75fromuid=164951《会计学原理》同步练习题答案/viewthread.php?tid=305fromuid=164951《微观经济学》课后答案（高鸿业版）/viewthread.php?tid=283fromuid=164951《统计学》课后答案（第二版，贾俊平版）/viewthread.php?tid=29fromuid=164951《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印/viewthread.php?tid=289fromuid=164951毛邓三全部课后思考题答案(高教版)/毛邓三课后答案/viewthread.php?tid=514fromuid=164951新视野大学英语听说教程1听力原文及答案下载/viewthread.php?tid=2531fromuid=164951西方宏观经济高鸿业第四版课后答案/viewthread.php?tid=2006fromuid=164951《管理学》经典笔记（周三多，第二版）/viewthread.php?tid=280fromuid=164951《中国近代史纲要》课后习题答案/viewthread.php?tid=186fromuid=164951《理论力学》课后习题答案/viewthread.php?tid=55fromuid=164951《线性代数》（同济第四版）课后习题答案（完整版）/viewthread.php?tid=17fromuid=164951高等数学（同济第五版）课后答案（pdf格式，共527页）/viewthread.php?tid=18fromuid=164951中国近现代史纲要课后题答案/viewthread.php?tid=5900fromuid=164951曼昆《经济学原理》课后习题解答/viewthread.php?tid=85fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第三册）参考答案/viewthread.php?tid=5fromuid=164951谢希仁《计算机网络教程》（第五版）习题参考答案（共48页）/viewthread.php?tid=28fromuid=164951《概率论与数理统计》习题答案/viewthread.php?tid=57fromuid=164951《模拟电子技术基础》详细习题答案（童诗白，华成英版，高教版） /viewthread.php?tid=42fromuid=164951《机械设计》课后习题答案（高教版，第八版，西北工业大学）《大学物理》完整习题答案/viewthread.php?tid=217fromuid=164951《管理学》课后答案（周三多）/viewthread.php?tid=304fromuid=164951机械设计基础(第五版)习题答案[杨可桢等主编]/viewthread.php?tid=23fromuid=164951程守洙、江之永主编《普通物理学》（第五版）详细解答及辅导/viewthread.php?tid=3fromuid=164951新视野大学英语课本详解（四册全）/viewthread.php?tid=1275fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第四册）课后答案/viewthread.php?tid=7fromuid=164951新视野大学英语读写教程3册的课后习题答案/viewthread.php?tid=805fromuid=164951新视野大学英语第四册答案（第二版）/viewthread.php?tid=5310fromuid=164951《中国近现代史》选择题全集（共含250道题目和答案）/viewthread.php?tid=181fromuid=164951《电工学》课后习题答案（第六版，上册，秦曾煌主编）/viewthread.php?tid=232fromuid=164951完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案/viewthread.php?tid=47fromuid=164951《数字电子技术基础》习题答案（阎石，第五版）/viewthread.php?tid=90fromuid=164951《电路》习题答案上（邱关源，第五版）/viewthread.php?tid=137fromuid=164951《电工学》习题答案（第六版，秦曾煌）/viewthread.php?tid=112fromuid=16495121世纪大学英语读写教程（第三册）课文翻译/viewthread.php?tid=6fromuid=164951《生物化学》复习资料大全（3套试卷及答案+各章习题集）/viewthread.php?tid=258fromuid=164951《模拟电子技术基础》课后习题答案（共10章）/viewthread.php?tid=21fromuid=164951《概率论与数理统计及其应用》课后答案（浙江大学盛骤谢式千编著）/viewthread.php?tid=178fromuid=164951《理论力学》课后习题答案（赫桐生，高教版）《全新版大学英语综合教程》（第四册）练习答案及课文译文/viewthread.php?tid=78fromuid=164951《化工原理答案》课后习题答案（高教出版社，王志魁主编，第三版）/viewthread.php?tid=195fromuid=164951《国际贸易》课后习题答案（海闻 p.林德特王新奎）大学英语综合教程 1-4册练习答案/viewthread.php?tid=1282fromuid=164951《流体力学》习题答案/viewthread.php?tid=83fromuid=164951《传热学》课后习题答案（第四版）/viewthread.php?tid=200fromuid=164951高等数学习题答案及提示/viewthread.php?tid=260fromuid=164951《高分子化学》课后习题答案（第四版，潘祖仁主编）/viewthread.php?tid=236fromuid=164951/viewthread.php?tid=6417fromuid=164951《计算机网络》课后习题解答（谢希仁，第五版）/viewthread.php?tid=3434fromuid=164951《概率论与数理统计》优秀学习资料/viewthread.php?tid=182fromuid=164951《离散数学》习题答案（高等教育出版社）/viewthread.php?tid=102fromuid=164951《模拟电子技术基础简明教程》课后习题答案（杨素行第三版） /viewthread.php?tid=41fromuid=164951《信号与线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版）/viewthread.php?tid=74fromuid=164951《教育心理学》课后习题答案（皮连生版）/viewthread.php?tid=277fromuid=164951《理论力学》习题答案（动力学和静力学）/viewthread.php?tid=221fromuid=164951选修课《中国现当代文学》资料包/viewthread.php?tid=273fromuid=164951机械设计课程设计——二级斜齿圆柱齿轮减速器（word+原图）/viewthread.php?tid=35fromuid=164951《成本会计》配套习题集参考答案/viewthread.php?tid=300fromuid=164951《概率论与数理统计》8套习题及习题答案（自学推荐）/viewthread.php?tid=249fromuid=164951《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） 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/viewthread.php?tid=279fromuid=164951《公共关系学》习题及参考答案（复习必备）/viewthread.php?tid=308fromuid=164951现代汉语通论（邵敬敏版）词汇语法课后练习答案/viewthread.php?tid=1429fromuid=164951《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） /viewthread.php?tid=281fromuid=164951《教育技术》课后习题答案参考（北师大）/viewthread.php?tid=199fromuid=164951《金融市场学》课后答案（郑振龙版）/viewthread.php?tid=24fromuid=164951《组织行为学》习题集答案（参考下，还是蛮好的）/viewthread.php?tid=297fromuid=164951《分析化学》课后习题答案（第五版，高教版）/viewthread.php?tid=122fromuid=164951大学英语精读第3册答案(外教社)/viewthread.php?tid=9fromuid=164951《国际经济学》习题答案（萨尔瓦多，英文版）/viewthread.php?tid=155fromuid=164951《复变函数与积分变换》习题答案/viewthread.php?tid=70fromuid=164951《信息论与编码》辅导ppt及部分习题答案（曹雪虹，张宗橙，北京邮电大学出版社） /viewthread.php?tid=136fromuid=164951《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）/viewthread.php?tid=293fromuid=164951《物理化学》习题解答(天津大学, 第四版，106张)/viewthread.php?tid=2647fromuid=164951新视野大学英语视听说教程第一册【篇二：高数练习题及答案】xt>一、填空题（每空3分，共15分）z?的定义域为y2yy2（1）函数（2）已知函数z?arctan20?zx，则?x?＝(x?y)ds?（3）交换积分次序，?dy?f(x,y)dx（4）已知l是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则?l（5）已知微分方程y???2y??3y?0，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）?x?3y?2z?1?0?（1）设直线l为?2x?y?10z?3?0，平面?为4x?2y?z?2?0，则（） a. l平行于? b. l在?上 c. l垂直于?d. l与?斜交（2（）xyz?确定，则在点(1,0,?1)处的dz??2a.dx?dyb.dx?22d.dx?2?2（3）已知?是由曲面4z?25(x?y)及平面z?5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为（） a.?0c.2????(x?y)dv5d??rdr?dz235?2?0d??rdr?dz2?22543?2?0d??20rdr?5dz2r35d. （）1?d??rdr?dz（4）已知幂级数a. 2b. 1c. 2d. （5）微分方程y???3y??2y?3x?2e的特解y的形式为y?（）a.xx??xxb.(ax?b)xec.(ax?b)?ced.(ax?b)?cxe三、计算题（每题8分，共48分）x?11、求过直线l1:12?y?20?z?3?1且平行于直线l2：x?22?y?11?z1的平面方程?z?z2、已知z?f(xy,xy)，求?x， ?y3、设d?{(x,y)x?y?4}22，利用极坐标求??dxdxdy24、求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值?x?t?sint?(2xy?3sinx)dx?(x?e)dy?5、计算曲线积分l，其中l为摆线?y?1?cost从点2y2x2o(0,0)到a(?,2)的一段弧x?xy?y?xe6、求微分方程满足 yx?1?1的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算半球面z????2xzdydz?yzdzdx?z?dxdy，其中?由圆锥面z?与上(10? )?2、（1）判别级数?n?1(?1)n?1n3n?1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6?）n?（2）在x?(?1,1)求幂级数n?1?nx的和函数（6?）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）z?（1）函数ln(1?x?y)的定义域为；elnx0xy（2）已知函数z?e，则在(2,1)处的全微分dz?（3）交换积分次序，?1dx?f(x,y)dy2＝；（4）已知l是抛物线y?x上点o(0,0与点b(1,1之间的一段弧，则?l?；（5）已知微分方程y???2y??y?0，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）?x?y?3z?0?（1）设直线l为?x?y?z?0，平面?为x?y?z?1?0，则l与?的夹角为（）；???z?a. 0b. 2c. 3d. 4 （2）设z?f(x,y)是由方程z?3xyz?a确定，则?x yz2233?（）；xy2yz2x?xz2?a. xy?zb. z?xyc. xy?zd. z?xy （3）微分方程y???5y??6y?xe 的特解y的形式为y?（）；a.(ax?b)e2xb.(ax?b)xe222xc.(ax?b)?ce22xd.(ax?b)?cxe2x（4）已知?是由球面x?y?z?a所围成的闭区域, 将三次积分为（）； a?02?2???dv?在球面坐标系下化成a?20d??sin?d??rdra2b.?02??20d??d??rdr2?a20c.?02?d??d??rdr?ad.?02nd??sin?d??rdr??（5）已知幂级数n?1?2n?1xn，则其收敛半径（）.1a. 2b. 1c. 2三．计算题（每题8分，共48分）5、求过a(0,2,4)且与两平面?1:x?2z?1和?2:y?3z?2平行的直线方程 .?z?z6、已知z?f(sinxcosy,e22x?y)，求?x， ?y.7、设d?{(x,y)x?y?1,0?y?x}，利用极坐标计算22??arctandyxdxdy.8、求函数f(x,y)?x?5y?6x?10y?6的极值. 9、利用格林公式计算? 222l(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dyxx，其中l为沿上半圆周(x?a)?y?a,y?0、从a(2a,0)到o(0,0)的弧段.x?16、求微分方程四．解答题（共22分）y??y3?(x?1)2的通解.?1、（1）（6?）判别级数敛；n?1(?1)n?12sinn?3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收?n（2）（4?）在区间(?1,1)内求幂级数2、(12?)利用高斯公式计算 z?x?y(0?z?1)的下侧22?n?1?xnn的和函数 .??2xdydz?ydzdx?zdxdy，?为抛物面高等数学（下）模拟试卷三一．填空题（每空3分，共15分）1、函数y?arcsin(x?3)的定义域为 .2、n??3n?3n?2=.3、已知y?ln(1?x)，在x?1处的微分dy?.2lim(n?2)22?4、定积分1?1(x2006sinx?x)dx?2.dy5、求由方程y?2y?x?3x?0所确定的隐函数的导数dx57.二．选择题（每空3分，共15分）x?3x?2的间断点 1、x?2是函数（a）可去（b）跳跃（c）无穷（d）振荡y?x?1222、积分?10=.(a) ?(b)??(c) 0 (d) 13、函数y?e?x?1在(??,0]内的单调性是。
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并且
y1 y2
cotx 不恒为常数
所以 y1cosx 与 y2sinx 是方程的
线性无关解 从而方程的通解为 yC1cosxC2sinx
提示 y1 sinx y12cosx y2 cosx y12sinx
3 验证 y1 ex2 及 y2 xex2 都是方程 y4xy(4x22)y0 的解
并写出该方程的通解 解 因为
所以 y1ex y2ex y3cos x y4sin x 是方程 y(4)y0 的线性无关解 从而 YC1exC2exC3cos xC4sin x 是方程的通解
又因为
y*(4)y*0(x2)x2
所以 y*x2 是方程 y(4)yx2 的特解 因此 yC1exC2exC3cos xC4sin xx2 是方程 y(4)yx2 的通解
x2y13xy15y1x220x33x5x45x50
x2
y23xy2
5y2
x2
2 x3
3x(
1 x2
)
5
1 x
0
且
y1 y2
x6 不恒为常数
所以 y1 与 y2 是齐次方程 x2y3xy5y0 的
线性无关解
从而 Y
C1x5
C2 x
是齐次方程的通解
又因为
x2 y*3xy*5y*
x2( 2 ln x1)3x( 2x ln x x)5( x2 ln x) x2 ln x
y19y19cos3x9cos3x0
y29y29sin3x9sin3x0
且
y2 y1
tan3x 不恒为常数
所以 y1 与 y2 是齐次方程 y9y0 的线
性无关解 从而 YC1exC2e2x 是齐次方程的通解 又因为
y*9y* 1 (9sin x4xcosx)9 1 (4xcosxsin x) xcosx
且
y2 ln x 不恒为常数 y1
所以 y1 与 y2 是方程 x2y3xy4y0 的线性
无关解 从而 yC1x2C2x2ln x 是方程的通解
(4)
y
C1x5
C2 x
x2 9
ln
x
(C1、C2
是任意常数)是方程
x2y3xy5yx2ln x
的通解
解 令 y1x5
y2
1 x
y* x2 ln x 因为 9
解 令 y1ex y2ex y3cos x y4sin x y*x2 因为
y1(4)y1exex0
y2(4)y2exex0
y3(4)y3cos xcos x0
并且
y4(4)y4sin xsin x0
ex ex cosx sin x
ex ex
ex ex
sin x cosx
cosx sin x
4
0
ex ex sin x cosx
y* 1 e5x 因为 12
y13y12y1ex3ex2ex0
y23y22y24e2x3(2e2x2e2x0
且
y2 y1
ex 不恒为常数
所以 y1 与 y2 是齐次方程 y3y2y0 的线
性无关解 从而 YC1exC2e2x 是齐次方程的通解 又因为
y*3y*2y* 25e5x 3 5 e5x 2 1 e5x e5x
(7)sin2x cos xsin x
解 因为 sin2x 2 所以 sin2x cos xsin x 是线性相关的 cosxsin x
(8)excos2x exsin2x
解
因为
ex ex
s c
in 2x os2x
tan
2x
不恒为常数
所以 excos2x exsin2x 是
线性无关的
(9)ln x xln x
12
12
12
所以 y*是方程 y3y2ye5x 的特解
因此
y
C1ex
C2e2x
1 12
e5x
是方程
y3y2ye5x
的通解
(2)
y
C1c
os3x
C2
sin
3x
1 32
(4x
cosx
sin
x)
(C1、C2
是任意常
数)是方程 y9yxcos x 的通解
解 令 y1cos3x y2sin3x
y* 1 (4xcosxsin x) 因为 32
cosx sin x
40
ex ex sin x cosx
所以方程组只有零解 即 y1ex y2ex y3cos x y4sin x 线性无关
93
99
9
所以 y*是方程 x2y3xy5yx2ln x 的特解
因此
y
C1x5
C2 x
x2 9
ln
x
是方程
x2y3xy5yx2ln
x
的通解
(5)
y
1 x
(C1ex
C2ex
)
ex 2
(C1、C2 是任意常数)是方程
xy2yxyex
的通解
解
令
y1
1 x
ex
y2
1 x
ex
y* ex 因为 2
xy1 2 y1
xy1
x(
2ex x3
2ex x2
ex x
)
2(
ex x2ຫໍສະໝຸດ ex x)x ex x
0
xy2 2 y2
xy2
x(
2ex x3
2ex x2
ex x
)2(
ex x2
ex x
)
x
ex x
0
且
y1 e2x 不恒为常数 y2
所以 y1 与 y2 是齐次方程 xy2yxy0 的
线性无关解
从而
Y
1 x
(C1ex
C2ex
32
32
所以 y*是方程 y9yxcos x 的特解
因此
y
C1
c
os3x
C2
sin
3x
1 32
(4xcosxsin
x)
是方程
y9yxcos
x
的通解
(3)yC1x2C2x2ln x(C1、C2 是任意常数)是方程 x2y3xy4y0 的通解
解 令 y1x2 y2x2ln x 因为 x2y13xy14y1x223x2x4x20 x2y23xy24y2x2(2ln x3)3x(2xln xx)4x2ln x0
解
因为 ex ex
e2x 不恒为常数
所以 ex ex 是线性无关的
(5)cos2x sin2x
解 因为 sin2x tan2x 不恒为常数 所以 cos2x sin2x 是线性无关的 cos2x
(6) ex2 2xex2
解
因为
2xex2 ex2
2x
不恒为常数
所以 ex2
2xex2 是线性无关的
习题 127
1 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
(1)x x2
解 因为 x2 x 不恒为常数 所以 x x2 是线性无关的 x
(2)x 2x
解 因为 2x 2 所以 x 2x 是线性相关的 x
(3)e2x 3e2x
解
因为 3e2x ex
3
所以 e2x 3e2x 是线性相关的
(4)ex ex
)
是齐次方程的通解
又因为
xy*2y*xy* xex 2ex xex ex 222
所以 y*是方程 xy2yxyex 的特解
因此
y
1 x
(C1ex
C2ex
)
ex 2
是方程
xy2yxyex 的通解
(6)yC1exC2exC3cos xC4sin xx2(C1、C2、C3、C4 是任意常
数)是方程 y(4)yx2 的通解
解 因为 xln x x 不恒为常数 所以 ln x xln x 是线性无关的 ln x
(10)eax ebx(ab)
解
因为
ebx eax
e(ba)x
不恒为常数
所以 eax ebx 是线性无关的
2 验证 y1cosx 及 y2sinx 都是方程 y2y0 的解 并写 出该方程的通解
解 因为 y12y12cosx2cosx0 y22y22sinx2sinx0
提示 令 k1exk2exk3cos xk4sin x0
则 k1exk2exk3sin xk4cos x0 k1exk2exk3cos xk4sin x0 k1exk2exk3sinxk4cos x0
上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为
ex ex cosx sin x
ex ex
ex ex
sin x cosx
从而方程的通解为 y C1ex2 C22xex2
提示 y1 2xex2 y1 2ex2 4x2ex2
y2 ex2 2x2ex2 y2 6xex2 4x3ex2
4 验证
(1)
y
C1ex
C2e2x
1 12
e5x
(C1、C2
是任意常数)是方程
y3y2ye5x
的通解
解 令 y1ex y2e2x
y14xy1 (4x2 2)y1 2ex2 4x2ex2 4x2xex2 (4x2 2)ex2 0
y24xy2 (4x2 2)y2 6xex2 4x3ex2 4x(ex2 2x2ex2)(4x2 2)xex2 0
并且
y2 y1
x 不恒为常数
所以 y1 ex2 与 y2 2xex2 是方程的线性无关解