AP第十五讲 平面向量的概念 线性运算及坐标运算

第十五讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示考点解读【基础性考点知识突破】一、向量的有关概念1．定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．AB．2．向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作||3．特殊向量(1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(2)单位向量：长度等于1个单位的向量．(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算和向量共线定理1．向量的线性运算2．向量共线定理如果λ=a b 且0≠b ，则∥a b ；反之∥a b 且0≠b ，则一定存在唯一一个实数λ，使λ=a b ．推论：①三点A ，B ，C 共线⇔AB ，AC 共线；②向量PA ，PB ，PC 中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA PB α=+PC β，且1αβ+=．三、平面向量的坐标运算1．平面向量基本定理如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数1λ，2λ，使得1122λλ=+a e e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对平面内任一向量a ，有且仅有一个实数对(,)x y ，使得x y =+a i j ，则实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)x y =a ，其中x ，y 分别叫做a 在x 轴、y 轴上的坐标，相等向量的坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．3．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，22(,)B x y ，则2(AB x =--||(AB x =②已知11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则±a b =1212(,)x x y y ±±，11(,)x y λλλ=a ，∥a b ⇔12210x y x y -=，⊥⇔a b 12120x x y y +=.【培优性方法技巧综合】 一、平面向量的概念1．向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．2．向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上，而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上．相等向量一定是共线向量．3．由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以移到同一条直线上． 二、平面向量的线性运算1．向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．2．||||||||||||-±+a b a b a b ≤≤，当且仅当,a b 至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．3．减法公式：AB AC CB -=，常用于向量式的化简．4．A 、P 、B 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+()t R ∈，这是直线的向量式方程， 【提示】(1)向量表达式中的零向量写成O ，而不能写成0．(2)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．三、平面向量的基本定理如果已知平面内两个不共线的非零向量，那么对于平面内任一向量都可找到唯一的实数对，把这一向量分解．这与物理中力的分解有共同之处，我们可以通过类比的方法加以理解，另外要注意的是这两个基底不是唯一的，只要是平面内不共线的两个非零向量都可以． 【提示】(1)零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．(2)1e 、2e 是同一平面内的一组基底，如果有且只有一对实数12(,)λλ，使11λ=+a e22λe ，则a 、1e 、2e 共面．四、平面向量的坐标表示1．向量的坐标表示，实质是向量的代数表示，从而可使向量运算代数化，将数与形紧密结合起来，使问题得以简化．2．向量与它的坐标之间是一一对应的关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一，这一点要特别注意．3．所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量． 【提示】向量的坐标表示向量的大小和方向，不表示向量的位置，这与用坐标表示的点不同，要注意区别，相等的向量的坐标虽然是相同的，但起点和终点的坐标可以不同． 五、平面向量线性运算的坐标表示1．向量的坐标表示即向量的代数表示形式，它是向量进行代数运算的基础，它使向量同时具备了数与形两方面的特征，是进行代数运算、几何证明转换的工具．2．向量平行的充要条件中要记清两个向量坐标“交叉乘积的差”为零． 【提示】若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则a b ∥的充要条件不能表示成1122x y x y =，因为2x 、2y 有可能等于0，所以应表示为12210x y x y -=．同时，若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则a b ∥ 的充要条件也不能错记为12120x x y y -=、11220x y x y -=等．考点分类精讲考点1 平面向量的概念1．与平面向量概念有关命题真假的判定． 2．确定单位向量、共线向量、相等向量的个数． 【例l 】(1)给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||=a b ，则=a b ；③若AB DC =，则ABCD 为平行四边形； ④在ABCD 中，一定有AB DC =；⑤若=m n ，=n p ，则=m p ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． 其中不正确的个数是A ．2B ．3C ．4D ．5(2)设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |0a ；②若a 与0a 平行，则a ＝|a |0a ；③若a 与0a 平行且|a |＝1，则a ＝0a ．上述命题中，假命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】(1)两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确. ||||=a b ，由于a 与b 的方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．AB DC =，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确．零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若0=b ，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确，正确的是④⑤．故选C ．(2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |0a 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与0a 平行，则a 与0a 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |0a ，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．点拨：两非零向量模相等是两向量相等的必要不充分条件，在解题过程中，要认真区分零向量、相等向量、平行向量等概念． 考点2 平面向量的线性运算1．与平面向量线性运算及其性质有关的命题真假的判定．2．平面向量的线性运算．3．平面向量线性运算几何意义的应用．【例2】(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC +＝A ．BCB ．12AD C ．AD D ．12BC (2)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD mBA nBC =+ (m ，n ∈R )，则m n＝ A ．－3 B ．13-C ．13D ．3【解析】(1)如图，EB FC +=EC CB FB BC +++＝1()2EC FB AC AB +=+＝122AD AD ⋅=． (2)如图，过D 作DE ∥AB ，13CD mBA nBC CE ED BC BA =+=+=-+，所以n ＝－13，m ＝1，所以m n＝－3．故选A ．点拨：向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．【例3】(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =A ．1142+a b B ．23a23b (2)O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心【解析】(1)如图，作OG ∥EF 交DC 于G ，由于DE EO =，可得DF FG =，EOGF DCB A又由AO OC =得FG GC =，于是1111()3322DF DC ==-+b a ， 那么11111()()22322AF AD DF =+=++-+a b b a =2133+a b ，故选B ．(2)如图，易知()||||AB AC AP AB AC λ=+，因为||AB AB 与||ACAC 是单位向量，故点P 在BAC ∠的平分线上，所以点P 的轨迹通过ABC ∆的内心，选B ． 考点3 平面向量的基本定理1．选用合适的基底，表示平面内的所有向量． 2．平面内的任一向量在基底方向上的分解．【例4】(1)如图甲，P 点是其阴影部分内任意一点（其中OM ∥AB ），且OP xOA yOB =+，则,x y 应满足的条件是____．图甲 (2)如图乙，若点M 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足3144AM AB AC =+，则 ABM ∆与ABC ∆的面积之比等于A ．34 B ．14 C ．13 D ．12【解析】(1)设OP mOB nAB =+，由图可知，OP OB OM ''=+，∴OB mOB '=，OM nAB '=，∴01m ≤≤且0n ≥，又()OP mOB n OB OA =+-()m n OB =+nOA -xOA yOB =+．而OA 与OB 不共线，∴0x n =-≤，y m n =+，即m x y =+．故应填：0x ≤且01x y +≤≤．(2)由3144AM AB AC =+，知B 、C 、M 三点共线，所以点M 在直线BC 上， 设3||||4AE AB =，1||||4AD AC =，则四边形AEMD 为平行四边形，于是1||||4BM BC =，于是点M 到直线AB 的距离是点C 到直线AB 距离的14，故ABM ∆与ABC ∆的面积之比等于14．故选B ．点拨：用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平衍四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加减法运算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形法则、平行四边形法则、减法三角形法则、三角形中位线定理、相似三角形的对应边成比例等平面几何的性质，把已知向量转化为与未知向量有直接关系的向量来求解．利用平面向量的基本定理，可以把向量进行合成与分解，利用它可以解决某些问题，这正是近两年高考的热点问题．【例5】如图，P 是ABC ∆内一点，且满足条件230AP BP CP ++=，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP =p ，试用p 表示CQ ．【解析】∵AP AQ QP =+，BP BQ QP =+，∴()2()30AQ QP BQ QP CP ++++=,∴3230AQ QP BQ CP +++=,又∵A 、B 、Q 三点共线，C 、P 、Q 三点共线，所以AQ BQ λ=，CP QP μ=，∴3230BQ QP BQ QP λμ+++=， ∴(2)(33)0BQ QP λμ+++=．而,BQ QP 为不共线向量，∴20330λμ+=⎧⎨+=⎩，∴2λ=-，1μ=-．∴CP QP PQ =-=．故22CQ CP PQ CP =+==p ．点拨：这里选取,BQ QP 两不共线向量作基底，运用化归思想，最终变成120x y +=e e 的形式求解或转化同一向量关于基底的不同表示，由平面向量的基本定理将向量问题转化为方程组的问题，其中把题中向量用基底表示是关键． 考点4 平面向量的坐标表示1．平面向量的加法、减法、数乘的坐标运算． 2．共线向量的坐标表示．【例6】已知(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，且3CM CA =，2CN CB =．求M 、N的坐标和MN ．【解析】由A 、B 、C 的坐标可求出CA 、CB 的坐标．∵(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --，∴(1,8)CA =，(6,3)CB =， ∴33(1,8)(3,24)CM CA ===，22(6,3)(12,6)CN CB === 设(,)M x y ，则(3,4)CM x y =++．∴33424x y +=⎧⎨+=⎩，得020x y =⎧⎨=⎩，∴(0,20)M ．同理可得(9,2)N ．∴(90,220)(9,18)MN =--=-．【例7】已知(1,)t =a ，(,6)t =-b【解析】由条件得2(2,26)b t t +=+-a ＝＝，当2t =时，|2|+a b 的最小值为点拨：解决平面向量坐标运算的关键是熟练掌握坐标运算的法则，并注意平面向量运算的几何意义．利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标． 考点5 平面向量的综合问题1．利用平面向量的共线定理判定点共线或直线平行等． 2．平面向量与平面几何的综合问题．3．平面向量与解析几何、函数、三角函数的综合问题．【例8】(1)已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b 若a ∥b ，则锐角θ＝_____.(2)已知向量(1,3)OA =-，(2,1)OB =-，(1,2)OC k k =+-，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________. 【解析】(1)由a ∥b ，得(1sin )(1sin )θθ-+=12，所以21cos 2θ=，所以cos 2θ=或2-，又θ为锐角，所以4πθ=． (2)若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC 不共线． 因为AB ＝OB －OA ＝(2,1)(1,3)(1,2)---=，AC ＝OC －OA ＝(1,2)(1,3)(,1)k k k k +---=+，所以1(1)20k k ⨯+-≠，解得1k ≠．【例9】已知a ，b 均为单位向量，且a ·b ＝0.若|c －4a |＋|c －3b |＝5，则|c ＋a |的取值范围是A ．B ．[3,5]C ．[3,4]D ．【解析】∵a ，b 均为单位向量，且a ·b ＝0， ∴设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(,)x y ，代入|c －4a |＋|c －3b |＝55=． 即(,)x y 到A (4,0)和B (0,3)的距离和为5．∴c 的终点轨迹是点(4,0)和(0,3)又|c ＋a |M AB最小值是点(－1,0)到直线34120x y +-=的距离， ∴|c ＋a |min ＝|312|5--＝3. 又最大值为||5MA =，∴|c ＋a |的取值范围是[3,5]．故选B.【例10】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足)c BA BC cCB CA -⋅=⋅.(1)求角B 的大小；(2)若||6BA BC -=，求ABC ∆面积的最大值．【解析】(1)由题意得)cos cos c B b C -=.根据正弦定理得sin )cos sin cos A C B B C -=，cos sin()A B C B =+，cos sin A B A =，因为A ∈(0,)π，所以sin 0A >，所以cos 2B =B ∈(0,)π，所以B ＝4π． (2)因为||6BA BC -=，所以||6CA =即b =2262(2a c ac ac =+=≥(当且仅当a c =时取等号)即3(2ac ≤，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，即ABC ∆的面积的最大值为1)2+． 【例11】ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++= ．【解析】解法一：如图所示，连接BO ，并延长交圆O 于点D ，连接CH ，CD ，AD ，则90BCD BAD ∠=∠=，∴CD BC ⊥，AD AB ⊥，又H 为ABC ∆的垂心．∴AH BC ⊥．CH AB ⊥．∴CD ∥AH ，AD ∥HC ．∴四边形AHCD 为平行四边形．∴AH DC OC OD ==-．∵O 为BD 的中点，∴OB OD =-．∴OH OA AH OA OC OD OA OB OC =+=+-=++．∴1m =．故填1．解法二：∵OH OA AH =+，(1)()AH m OA m OB OC =-++，又AH BC ⊥，∴22(1)()0AH BC m OA BC m OC OB ⋅=-⋅+-=．又O 为ABC ∆外心，∴||||OC OB =，而OA BC ⋅不一定为0，∴10m -=，即1m =．点拨：由本例可知，平面向量与平面几何有着千丝万缕的联系，并且解决平面向量与平面几何的综合问题需要较强应变能力，这类试题能有效地检测考生的能力，因而这类问题成了高考的新热点问题．解决这类问题的关键是准确把握平面向量和平面几何的各自特征，取长补短，充分发挥各自功效．另外，运用向量知识考查三角形的“心”是常见题型．常用结论有：(1)1()3PG PA PB PC =++⇔G(2)向量()||||AB AC AB AC λ+(0)λ≠所在直线过ABC ∆的内心； (3)PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 是ABC ∆的垂心．本专题试题训练详见《试题精练》。