随机变量的数字特征与正态分布
高三数学一轮复习精品教案3：随机变量的数字特征与正态分布(理)教学设计
10.9随机变量的均值与方差、正态分布1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 3．了解正态分布曲线的特点及正态分布的规律应用．『梳理自测』一、离散型随机变量的均值与方差 1．已知X 的分布列为X －1 0 1 P121316设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A.73B ．4C ．－1D ．12．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.453．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．04．若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________．ξ 0 1 2 3 4 5 P2x3x7x2x3xx『答案』1.A 2.A 3.B 4.20 9◆以上题目主要考查了以下内容：(一)离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝ni＝1『x i－E(X)』2p i』为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．(二)均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)(三)两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．二、正态分布、正态曲线1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝18πe－x－1028，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与102．若X～N(0,1)，且P(X＜1.54)＝0.938 2，则P(|X|＜1.54)＝________.『答案』1.B 2.0.876 4◆以上题目主要考查了以下内容：(一)正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(二)正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x)d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N(μ，σ2)．(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.『指点迷津』1．一个原则 3σ原则(1)服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为3σ原则． (2)正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．2．两个防范在记忆D(aX ＋b)＝a 2D(X)时要注意：(1)D(aX ＋b)≠aD(X)＋b ，(2)D(aX ＋b)≠aD(X)． 3．三种分布(1)若X 服从两点分布，则E(X)＝p ，D(X)＝p(1－p)； (2)若X ～B(n ，p)，则E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)； (3)若X 服从超几何分布，则E(X)＝n M N.4．三个概率(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.适合于任意的正态分布．5．六条性质(1)E(C)＝C(C为常数)；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)；(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)；(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)(a，b为常数)．考向一求离散型随机变量的分布列(2014·云南省昆明市调研)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t(单位：℃)t≤2222<t≤2828<t≤32t>32天数612Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9.某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t(单位：℃)t≤2222<t≤2828<t≤32t>32日销售额x(单位：千元)2568(1)求Y，Z的值；(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．『审题视点』根据频率估计天数Z及Y，再利用频率作为概率写分布列，根据分布列由条件概率计算不低于5千元的概率．『典例精讲』(1)由已知得：P(t≤32)＝0.9，∴P(t＞32)＝1－P(t≤32)＝0.1，∴Z ＝30×0.1＝3， Y ＝30－(6＋12＋3)＝9.(2)P(t≤22)＝630＝0.2，P(22＜t≤28)＝1230＝0.4，P(28＜t≤32)＝930＝0.3，P(t ＞32)＝330＝0.1，∴六月份西瓜日销售额X 的分布列为X 2 5 6 8 P0.20.40.30.1∴E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3. (3)∵P(t≤32)＝0.9，P(22＜t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7， ∴由条件概率得：P(X≥5|t≤32)＝P(22＜t≤32|t≤32)＝P22＜t≤32P t≤32＝0.70.9＝79.『类题通法』 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．1．设A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察三个试验组，用X 表示这三个试验组中甲类组的个数，求X 的分布列和数学期望．『解析』(1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2；B i表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2.依题意，有P(A 1)＝2×13×23＝49，P(A 2)＝23×23＝49，P(B 0)＝12×12＝14，P(B 1)＝2×12×12＝12.故所求的概率为P ＝P(B 0A 1)＋P(B 0A 2)＋P(B 1A 2) ＝14×49＋14×49＋12×49＝49.(2)由题意知X 的可能值为0,1,2,3，故有 P(X ＝0)＝(59)3＝125729，P(X ＝1)＝C 13×49×(59)2＝100243， P(X ＝2)＝C 23×(49)2×59＝80243， P(X ＝3)＝(49)3＝64729.从而，X 的分布列为X 0 1 2 3 P1257291002438024364729数学期望E(X)＝0×125729＋1×100243＋2×80243＋3×64729＝43. 或E(X)＝3×49＝43.考向二 均值与方差的实际应用(2012·高考福建卷)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌 甲 乙首次出现故障时间x(年) 0＜x≤1 1＜x≤2 x ＞2 0＜x≤2 x ＞2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．『审题视点』 根据古典概型求概率，写分布列，并比较期望值来确定生产方案．『典例精讲』(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋3 50＝1 10.(2)依题意得，X1的分布列为X1123P 125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9P 110910(3)由(2)得E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．『类题通法』(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用D(X)来描述X的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．2．(2014·贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好．试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料．『解析』E(X)＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，D(X)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4；E(Y)＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9；D(Y)＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8.由此可知，E(X)＝E(Y)＝9，D(X)＜D(Y)，从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料．考向三 正态分布在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120』内的概率．(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 『审题视点』 μ＝100，σ＝10，区间『80,120』，即μ－2σ≤X≤μ＋2σ，区间『90,110』，即μ－σ≤X≤μ＋σ.『典例精讲』 (1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P(80＜ξ≤120)＝P(100－20＜ξ≤100＋20)＝0.954 4， 即考试成绩位于区间(80,120』内的概率为0.954 4. (2)P(90＜ξ≤110)＝P(100－10＜ξ≤100＋10)＝0.682 6， ∴P(ξ＞110)＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．『类题通法』 关于正态总体在某个区间内取值的概率的求法 (1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相同． ②P(X ＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．3．(2014·安徽怀远期末)在正态分布N ⎝⎛⎭⎫0，19中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.002 6『解析』选D .∵μ＝0，σ＝13，∴P(x ＜－1或x ＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.离散型随机变量的期望与方差(2013·高考北京卷)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)『审题视点』根据互斥事件的概率公式及分布列的性质、数学期望公式及方差的意义求解．『思维流程』设出事件符号，求其概率．用符号表示事件“此人到达当日空气质量重度污染”的关系，求其概率．列举X可能值，并计算各个概率．写分布列并计算EX.观察图示，指明方差最大的三天．『解答过程』设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j).…………………………(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝2 13.…………………………………………(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A 3)＋P(A 6)＋P(A 7)＋P(A 11)＝413，P(X ＝2)＝P(A 1∪A 2∪A 12∪A 13) ＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 12)＋P(A 13)＝413，P(X ＝0)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝513.……………………所以X 的分布列为：X 0 1 2 P513413413………………………故X 的数学期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.12分(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.………………『规范建议』 (1)为了使解答过程简明有条理，便于叙述，应把所涉及的事件用符号及运算关系来表示．(2)求随机变量的分布列，先把随机变量所有可能的值列举出来，逐个求对应的概率；可利用分布列的性质求其中一个较复杂的概率．(如本题的P(X ＝0))(3)“连续三天，指数方差”最大，是指波动变化最大．1．(2013·高考广东卷)已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E(X)＝( ) A .32B ．2C .52D ．3 『解析』选A .把数据代入随机变量的数学期望公式进行计算即可． E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32，选A .2.(2013·高考湖北卷)如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )A .126125B .65C .168125D .75『解析』选B .先求出随机变量X 的分布列，然后利用均值的计算公式求得E(X)． 依题意得X 的取值可能为0,1,2,3，且 P(X ＝0)＝33125＝27125，P(X ＝1)＝9×6125＝54125，P(X ＝2)＝3×12125＝36125，P(X ＝3)＝8125.故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.3．(2013·高考湖南卷)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg )与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．『解析』(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P(Y ＝51)＝P(X ＝1)，P(Y ＝48)＝P(X ＝2)， P(Y ＝45)＝P(X ＝3)，P(Y ＝42)＝P(X ＝4)， 所以，只需求出P(X ＝k)(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3.由P(X ＝k)＝n kN得P(X ＝1)＝215，P(X ＝2)＝415，P(X ＝3)＝615＝25，P(X ＝4)＝315＝15.故所求Y 的分布列为Y 51 48 45 42 P2154152515所求的数学期望为E(Y)＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.4．(2013·高考重庆卷)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E(X)．『解析』设A i (i ＝0,1,2,3)表示摸到i 个红球，B j (j ＝0,1)表示摸到j 个蓝球，则A i 与B j独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A 1)＝C 13C 24C 37＝1835.(2)X 的所有可能值为：0,10,50,200，且 P(X ＝200)＝P(A 3B 1)＝P(A 3)P(B 1)＝C 33C 37·13＝1105，P(X ＝50)＝P(A 3B 0)＝P(A 3)P(B 0)＝C 33C 37·23＝2105，P(X ＝10)＝P(A 2B 1)＝P(A 2)P(B 1)＝C 23C 14C 37·13＝12105＝435，P(X ＝0)＝1－1105－2105－435＝67.综上可知，获奖金额X 的分布列为X 0 10 50 200 P6743521051105从而有E(X)＝0×67＋10×435＋50×2105＋200×1105＝4(元)．。
《高等应用数学(第2版)》电子教案 14-5 随机变量的数字特征
1
2
0 x | x 1|dx 1 | x 1| (2 x)dx
1
2
0 x(1 x)dx 1 (x 1)(2 x)dx
1. 3
例4 -11 设X ~ N (, 2 ),令Y eX ,求E(Y ).
解 因为X ~ N (, 2 ),从而X的概率密度为
因此,
令t x ,则
fX (x)
n
E( X ) xi pi , i 1
(2) 当X的可能取值为可列多个x1, x2, , xn, 时,
E( X ) xi pi. i 1
例4-1 设随机变量X的分布律为
X
-1
0
1
P 0.3 0.2 0.5
求E(X).
解 E(X)=(-1)Х0.3+0 Х 0.2+1 Х 0.5=0.2
例 甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为
14-5 随机变量的数字特征
离散型随机变量的期望
定义 设离散型随机变量X的分布律为
P{X=xk}=pk , k=1,2,…
如果 | xk | pk有限,定义X的数学期望
k 1
E( X ) xk pk
k 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.
注 : (1) 当X的可能取值为有限多个x1, x2, , xn时,
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0， 其他.
则E(X )
xf (x)dx
a 2 b.
在区间[a, b]上服从均匀分布的随机变量的数学期望是该区间中点.
2.指数分布
设随机变量X服从参数为 0的指数分布,其概率密度为
第九节 随机变量的数字特征、正态分布
第九节随机变量的数字特征、正态分布知识点预习1．离散型随机变量的数学期望与方差(1)数学期望(2)方差2．二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差3.正态曲线4．正态曲线的性质5．正态变量在三个特定区间内取值的概率值预习练习题1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 2、 (教材改编)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.93、设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4 D ．1,4＋a4、设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)，则D (X )等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16 5、设随机变量X ～B (8，p )，且D (X )＝1.28，则概率p 的值是( ) A ．0.2 B ．0.8 C ．0.2或0.8 D ．0.166、已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A ．73B ．4C ．－1D ．1 7、若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2B ．2－4C ．3×2－10D ．2－88、有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.9、某糖厂用自动打包机打包，每包重量X (kg)服从正态分布N (100,1.22)，一公司从该糖厂进货1 500包，则重量在(98.8,101.2)的糖包数量为________包．11、抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．例题选讲例1、某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和均值．例2、设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c .例3、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)．例4、计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？例5、已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)( )A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%例6、(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P 2.(1)若m ＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P 2的值；(3)设P 2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．第九节课堂练习1、若离散型随机变量X 的分布列为 则X 的数学期望E (X )＝( )A ．2B ．2或12C ．12D ．12、设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )3、已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.) A ．4.56% B ．13.59%C ．27.18% D ．31.74%4、某校在一次月考中约有600人参加考试，数学考试的成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．5、为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：(1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？ (2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验． ①求这两种金额之和不低于20元的概率；②若用X 表示这两种金额之和，求X 的分布列和数学期望．6、为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．7、有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行质量检验，结果如下：其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较两种棉花的质量．8、乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与均值．9、某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．10、在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．第九节课后作业1．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2B ．2－4C ．3×2－10D ．2－82．随机变量ξ的分布列如下，其中a 、b 、c 为等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值为( )A.49B.59C.13D.233．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)等于( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 4．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X ，则X 的均值是________．5．若随机变量X 的概率分布密度函数是f (x )＝122π·e －(x ＋2)28(x ∈R )，则E (2X －1)＝________.6．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝12k －1，k ＝1,2,3，…，n ，则P (2<ξ≤5)＝________.7．某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予9.6折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取两人．(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率； (2)设这两人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和均值．8．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．9．现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及均值．10．设随机变量X 服从正态分布N (12，σ2)，集合A ＝{x |x >X }，集合B ＝{x |x >12}，则A ⊆B 的概率为( )A.14 B.13 C.12D.2311．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E (ξ)为( ) A.16 B.13 C.12D.2312．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：请小牛同学计算ξ的均值．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.13．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)在这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列．(2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．14．气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9.某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：(1)求Y，Z的值；(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的均值和方差；(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．。
随机变量的数字特征大数定律和中心极限定理
02
大数定律
切比雪夫大数定律
定义
设${X_n}$是独立同分布的随机变量序列，若存在常 数$M$，使得$P( |X_n| > M ) leq frac{1}{n^2}$， 则对任意的$varepsilon > 0$，有$P( left| frac{X_1 + X_2 + cdots + X_n}{n} - E(X_1) right| < varepsilon ) to 1$，当$n to infty$。
相应的概率。
性质
03
数学期望具有可加性和线性性质，即E(aX+b)=a*E(X)+b。
方差
定义
方差是随机变量与其数学期望的差的平方的平均值，表示随机变 量取值与其数学期望的偏离程度。
计算方法
D(X) = Σ[(x-E(X))^2*p(x)]。
性质
方差具有可加性和线性性质，即D(aX+b)=a^2*D(X)。
矩与偏态
定义
矩是描述随机变量取值分布形状的数字特征，包括原点矩和中心矩。偏态是描述随机变量取值分布偏斜程度的数字特 征。
计算方法
原点矩包括原点均方、原点方差等；中心矩包括中心均方、中心方差等。偏态的计算公式为S=Σ[(x-μ)^n*p(x)]/n!，其中 μ为数学期望，n为正整数。
性质
偏态具有可加性和线性性质，即S(aX+b)=a^n*S(X)。
李雅普诺夫定理指出，对于任何正整数 n，如果一个随机变量的所有n阶矩都存 在，则其分布函数可以由其n阶原点矩 确定。
该定理是关于随机变量的数字特征的重要定 理，它表明随机变量的数字特征可以完全描 述其分布。
它对于研究随机变量的性质和分布 具有重要意义。
概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1
E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.
协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
x0
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理
考研数学备考：概率论各章节知识点梳理1500字概率论作为考研数学中的一部分，是考生备考的重点之一。
下面将对概率论的各章节知识点进行梳理，帮助考生进行复习备考。
1. 随机事件与概率概率论的基本概念是随机事件和概率。
随机事件是随机现象的结果，概率是事件发生的可能性大小。
在这一章节中，主要涉及到随机事件的定义、事件的性质、事件间的关系等内容。
2. 随机变量及其分布随机变量是随机现象的数值描述，它分为离散随机变量和连续随机变量。
这一章节主要涉及随机变量的定义、分布函数、概率密度函数等内容。
同时还包括常见的离散随机变量和连续随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
3. 随机事件的数学描述随机事件可以用随机变量的取值区间来表示，也可以用事件的概率来描述。
这一章节主要包括随机事件的和、差、积等概念，以及离散随机变量和连续随机变量的概率函数之间的关系。
4. 多维随机变量及其分布多维随机变量是指由多个随机变量组成的向量。
这一章节主要包括多维随机变量的定义、联合分布、边缘分布等内容。
同时还包括多维随机变量的独立性、相关性等概念。
5. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、协方差等。
这一章节主要涉及到随机变量的数学期望、方差和协方差的定义、性质以及计算方法。
6. 大数定律和中心极限定理大数定律是指随着试验次数的增加，随机事件的频率趋向于事件的概率。
中心极限定理是指当随机事件的样本量足够大时，其均值的分布接近于正态分布。
这一章节主要涉及到大数定律和中心极限定理的数学表达和推导。
7. 参数估计与假设检验参数估计是根据样本数据对总体参数进行估计，假设检验是根据样本数据对总体参数是否符合某个假设进行检验。
这一章节主要包括点估计、区间估计和假设检验的概念、方法和步骤。
8. 有序与无序排列的计数问题有序排列是指考虑元素的排列顺序，无序排列是指不考虑元素的排列顺序。
这一章节主要涉及到有序与无序排列的计数问题，如排列、组合、多重集合等。
正态分布概念
正态分布概念
正态分布是一种连续型随机变量的概率分布，它具有以下特点：
1. 正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，即中间高，两边低。
2. 正态分布的均值、中位数和众数相等。
3. 正态分布的标准差决定了曲线的宽度，标准差越大，曲线越宽，反之则越窄。
4. 正态分布的曲线下面积可以用标准正态分布表或计算机软件计算。
5. 正态分布在自然科学、社会科学和工程学等领域中都有广泛的
应用。
正态分布的概念可以用数学公式表示。
假设有一个连续型随机变
量 X，它的概率密度函数为 f(x)，则 X 服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ
是 X 的均值，σ²是 X 的方差。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^[-(x-μ)²/2σ²]
其中，e 是自然对数的底数，约等于 2.71828。
正态分布的重要性在于它可以用来描述许多自然和社会现象中的随机变量，例如人的身高、体重、智力水平、考试成绩等。
正态分布的应用包括统计推断、质量控制、金融工程等领域。
随机变量的分布与数字特征
在决策树中，期望值可以用于评估每个分支的预 期收益或损失，以选择最优路径。
概率分布的确定
通过计算期望值，可以确定概率分布的中心趋势 和平均水平。
03
方差与其他数字特征
方差的定义与性质
方差是衡量随机变量离散程度的量，其计算公 式为：$sigma^2 = E[(X-mu)^2]$，其中$X$ 是随机变量，$mu$是期望值，$E$表示期望。
离散概率分布的性质
离散随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可加性。
连续随机变量的分布
连续随机变量
连续随机变量是在一定范围内可以连续取值的随机变量，例如人 的身高。
连续概率分布
连续随机变量的概率分布可以表示为一个概率密度函数，该函数描 述了随机变量在各个取值范围内的概率。
连续概率分布的性质
连续随机变量的概率分布具有非负性、归一性和可积性。
随机变量的分布与数 字特征
目 录
• 随机变量的分布 • 随机变量的期望值 • 方差与其他数字特征 • 协方差与相关系数 • 随机变量的其他数字特征
01
随机变量的分布
离是在一定范围内可以一一列举出来的随机变量，例 如投掷一枚骰子出现的点数。
离散概率分布
离散随机变量的概率分布可以表示为一系列概率值的集合，每个 概率值对应一个可能的结果。
分位数
分位数
描述数据分布的位置。例如，中位数是位于数据中间 的数，表示数据的中心位置；上四分位数和下四分位 数分别表示位于数据分布的25%和75%位置的数。
计算方法
对于任意给定的概率p，分位数qp = inf{x | F(x) ≥ p}
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随机变量的数字特征与正态分布 知识归纳1.离散型随机变量的均值、方差 若离散型随机变量X 的分布列为：①则称n n i i p x p x p x p x x E +++++= 2211)(为随机变量X 的均值或数学期望，它刻画了随机变量取值的平均水平。
②称i ni ip x E x x D ∑=-=12))(()(为随机变量X 的方差，其算术根)(X D 叫做随机变量X 的标准差。
方差和标准差都是刻画随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度。
2.几个公式：（1）22()(())D x EX E X =-（2） 若b aX Y +=，其中X 为随机变量，b a ,为常数，则Y 也是随机变量，且 ①.,,2,1),()()(n i x p b ax P Y p i ==+= ②b X aE b aX E Y E +=+=)()()(； ③)()()(2X D a b aX D Y D =+=； 3.几种常见分布的均值与方差 （1）两点分布：如果随机随机变量X 的分布列为其中10<<p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点公布，称)1(==X P p 为成功概率；)1()(;)(p p X D p X E -==；（2）二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次为X ，在每次试验中事件A 发生的概率都为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为X 1x 2xi xn xP 1p 2pi pn pX 1 0 P p p -1n k p p C k X P k n kk n ,2,1,0,)1()( =-==-。
其分布列为则称离散型随机变量X 服从参数为p n 、的二项分布，记作),(~p n B X 。
np X E =)(，)1()(p np X D -=。
4.正态分布（1）总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线（如右图）． （2）正态曲线的特征： ①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交 . ②曲线关于直线x=μ对称 . ③当x=μ时，曲线位于最高点 . ④当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） .并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近 . ⑤μ一定时，曲线的形状由σ确定 .X 01inPnn p p C )1(00- 11)1(--n n p p Cin ii n p p C --)1()1(p p C nn n -σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。
（6）曲线与x 轴之间的面积为1（3）标准正态曲线:（1）当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线 .（4）一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足a X b <<，则,()()baP a X b x d x μσϕ<≤=⎰,（即右图中阴影部分面积），则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，记作X ～),(2σμN .（5）标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 .任何非标准正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题，转化公式为．)()(σμ-Φ=x x F 。
（6）正态变量的取值在区间(,),(2,2),(3,3)μσμσμσμσμσμσ-+-+-+上的概率分别是0.6826，0.9544，0.9974。
温馨提示：（1）参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．（2）正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布，通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 .ab在标准正态总体中，如果随机变量X 满足a X b <<，则⎰=<<badx x f b x a P )()(,（即图中阴影部分面积）。
基础自检1 马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下：x 1 2 3 P (ξ=x)？！？小牛同学在计算ξ的数学期望时．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ=__________2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，求其中含红球个数的期望3.离散型随机变量ξ只能取个值1、2、3，其概率依次成等差数列，23)(=ξE ，则.______)(=ξD4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，p P =>)1(ξ，则)01(<<-ξP 等于（ ）。
Ap 21 B p -1 C p 21- D p -215.如果随机变量2~(1,)N ξσ-，且(31)0.4P ξ-≤≤-=，则(1)P ξ≥＝ ．6.某区于2012年12月份对全区高三理科1400名学生进行了一次调研检测，经统计发现5科总分)7500(<<ξξ大致服从正态分布)130,450(2N ，若ξ在（0,280）内取值的概率为0.107,则该区1400名考生中总分在620分以上的考生大约有（ ）人，（结果四舍五入）。
A 100B 125C 150D 200 7设2(1,2)XN ，则-<≤=<≤=(13)______;(35)_____;P X P X(5)______.P X ≥=提示：2(1,2)XN 1,2μσ∴==(13)(1212)()P X P X P X μσμσ∴-<≤=-<≤+=-<≤+＝0.6826例题讲解1.(2007.四川)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是来否接收这批产品。
（1）若厂家库房中的每件产品合格率为0.8,从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收。
求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望)(ξE 。
并求出该商家拒收这批产品的概率。
2. (2011天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （1）求在1次游戏中， （i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率； （2）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )．3.某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为92,97 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为151,31,53针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理……4.（湖南高考）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力。
每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训。
已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%。
假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。
（1）任选一名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2）任选 3名下岗人员，记ξ为3人参加过培训的人数，求ξ的分布列和数学期望。
5.（2010江西理科）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间. （1）求ξ的概率分布列； （2）求ξ的数学期望。
6.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为X ． （1）求X 的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X 的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？7.“神舟十号”从太空中带回的某种植物种子，甲、乙两个种子小组分别独立开展对该植物种子离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一粒种子，甲组能使种子成活的概率为13，乙组能使种子成活的概率为12。
假定试验后种子成活，则称该次试验成功。
如果种子不成活，则称该次试验失败。
（１）求乙小组进行四次试验有三次成功的概率；（２）若甲、乙两小组各进行２次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望值。
8.已知盒子里装有除颜色外，其它方面完全相同的6个小球。
在这6个小球中，有2个红球，4个白球。
为了判断哪两个小球是红球，现在从盒子里随机抽取小球。
规定：每次从盒子里随机取出一个小球进行颜色识别，取出的小球一律不再放回盒子，一旦能判断哪两个小球是红球就停止抽取。
设X 表示能判断哪两个小球是红球需要抽取小球的次数。
（１）求2X =或4x =的概率； （２）求X 的分布列和数学期望。
课后作业1.已知随机变量8=+ηX ，若)6.0,10(~B X ，则ηηD E 、分别是（ ）。