人教A版数学选修43.3平面与圆锥面的截线同步检测

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）3.3平面与圆锥面的截线同步检测一、选择题1. 在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切.若平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥面的截线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案：B解析：解答：由于平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥母线不平行,且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合Dandelin双球性质分析即可2. 已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形,用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线的离心率为（）A.62B.63C.32D.22答案：A解析：解答：∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角α=45°.又截面与轴线的夹角β=30°,即β<α,∴截线是双曲线,其离心率e=cos4526 cos3303︒==︒分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线性质结合圆锥曲线的离心率公式:e=cosβcosα,其中β为平面与轴的交角,α为母线与轴的交角.3. 以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切,则这样的圆锥曲线是（）A.不存在的B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案：D解析：解答：由圆锥曲线的定义知,截线是抛物线,应选D.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质分析即可4. 圆锥的顶角为50°,圆锥的截面与轴线所成的角为30°,则截线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案：B解析：解答：由已知α=502°=25°,β=30°,β>α,故截线是椭圆,故选B.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线结合圆锥的有关性质分析计算即可5. 平面π与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60°,则平面与圆锥交线的离心率是（）A.2B.12C.32D.23答案：A解析：解答：设平面与轴线夹角为β,母线与轴线夹角为α,由题意,知β=0°,α=60°,故e=cosβ11 cosα2==2分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合所给条件分析计算即可6. 已知双曲线两个焦点的距离为10,双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为（）A.35B.45C.1D.53答案：D解析：解答：设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c.由题意知,2c=10,2a=6,故e=c5 a3 =分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线结合双曲线的性质计算即可7. 平面与圆锥轴线夹角为45°,圆锥母线与轴线夹角为60°,平面与圆锥面交线的轴长为2,则所得圆锥曲线的焦距为（）A.2B.22C.42D.2 2答案：B解析：解答：∵e=cosβccosαa=,∴cos45ccos601︒=︒.∴c=2,2c=22.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线结合所给截面计算即可8.圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线答案：A解析：解答：由题意知截面与圆锥的轴线成90°角，即是圆锥的正截面，故截线为圆.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质分析即可9. 工人师傅在如图1的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．工人师傅所画的曲线是（）A.一段圆弧B.一段抛物线C.一段双曲线D.一段正弦曲线答案：D解析：解答：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形，将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形．所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有D正确．故选：D．分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论10.如图所示，圆锥SO的轴截面△SAB是边长为4的正三角形，M为母线SB的中点，过直线AM作平面β⊥面SAB，设β与圆锥侧面的交线为椭圆C，则椭圆C的短半轴长为（）A.2B.3C.22D.32 答案：A 解析：解答：过椭圆C 作平行于圆锥底面的截面（圆形），交AS ，BS 于R ，T ，交椭圆C 于两点P ，Q ，则P ，Q 即是椭圆短半轴顶点，在所作的圆中，RT 为直径，如图，因为轴截面△SAB 是边长为4的正三角形，C 为AM 的中点，所以TC=12AB=2，RC=14 AB=1，，因为PQ ⊥RT ，所以PC ＝CQ ，所以利用相交弦定理可得：PC·CQ ＝TC·RC ，所以PC=2.所以橄圆C 的短半轴为2.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合所给几何关系利用相交弦的性质分析计算即可11. 轴截面是边长为43的等边三角形的圆锥的直观图如图所示,过底面圆周上任一点作一平面α,且α与底面所成的二面角为6,已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆,则此椭圆的离心率为（ ）A.34B.32C.33D.22答案：C解析：解答：本题综合考查空间几何体中的线面关系与解析几何中直线与直线的位置关系以及平面几何中圆的相关定理的应用,意在考查数形结合思想与空间想象能力.如图,根据轴截面是边长为43的等边三角形,可知椭圆的长轴长为AB=6,设O 为椭圆的中心,则a=OB=OA=3,过O 作平行于底面的平面,可得到截面圆,交椭圆于两点C 、D,则C 、D 即是椭圆短半轴的顶点.根据题意知AB ⊥BF,在直角三角形OBF 中,∠OBF=90°，所以FO=23,F 是BP 的中点,过点B 作AP 的平行线,交AM 于点G,则E 是AG 的中点,所以OE=14AP=3,由相交弦定理得CO 2=OF×OE,所以b 2=6,所以c 2=a 2-b 2=3,所以椭圆的离心率为33. 分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关条件通过构造辅助线结合所学椭圆性质及相交弦定理计算即可二、填空题12．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：____，____，____，____.答案：圆|抛物线|椭圆|双曲线解析：解答：如图分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质分析即可13. 已知圆锥母线与轴夹角为60°,平面π与轴夹角为45°,则平面π与圆锥交线的离心率是 ,该曲线的形状是 . 答案：2|双曲线解析：解答：∵e=cos452cos60︒=︒>1,∴曲线为双曲线 分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合离心率定义计算即可14. 一圆锥面的母线和轴线成30°角,当用一个与轴线成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是.答案：抛物线解析：解答：由题意知β=30°,α=30°,则β=α.则截线是抛物线,如图.分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线15. 设圆锥面是由直线l'绕直线l旋转而得,l'与l交点为V,l'与l的夹角为α（0°<α<90°）,不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面相交,设轴l与平面π所成的角为β,则当时,平面π与圆锥面的交线为圆；当时,平面π与圆锥面的交线为椭圆；当时,平面π与圆锥面的交线为双曲线；当时,平面π与圆锥面的交线为抛物线.答案：β=90°| α<β<90°| β<α |β=α解析：解答：不同倾角的截面截割圆锥，无论是两个对顶的圆锥，还是一个单个的圆锥，都有下面的关系：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线．分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线16.在圆锥内部嵌入Dandelin双球,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π和圆锥面均相切,则两个切点是所得圆锥曲线的答案：两个焦点解析：解答：根据题意可得两个切点是所得圆锥曲线的两个焦点分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质分析即可三、解答题17. 如图,讨论其中双曲线的离心率.其中π'是Dandelin球与圆锥交线S2所在平面,与π的交线为m.答案：解答：点P是双曲线上任意一点,连接PF2,过点P作PA⊥m于点A,连接AF2,过点P 作PB⊥平面π'于点B,连接AB,过点P作母线交S2于点Q2.∵PB 平行于圆锥的轴,∴∠BPA=β,∠BPQ 2=α.在Rt △BPA 中,PA=PB cos β在Rt △BPQ 2中,PQ 2=PB cos α由切线长定理,得PF 2=PQ 2,∴PF 2=PB cos α ∴e=2PF cos βPA cos α= ∵0<β<α<2π ,∴cos β>cos α.∴e>1. 同理,另一分支上的点也具有同样的性质, 综上所述,双曲线的准线为m,离心率e=cos cos βα. 解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线的性质结合切线长定理计算即可18. 顶角为60°的圆锥面中有一个半径为2的内切球,以该球为焦球作一截面,使截线为抛物线,求该抛物线的顶点到焦点的距离p 2和截面与轴的交点到圆锥顶点的距离. 答案：解答：如图是圆锥的截面,其中点P 为抛物线的顶点,点Q 为抛物线的焦点,点M 为截面与轴的交点,连接OA,OQ.设A,B 为球与圆锥的母线的切点.由∠ASB=60°,∴∠ASO=30°.又OA=2,OA ⊥SA,∴OS=4,易知OP ⊥OS,∴OP=OStan 30°=433, ∴p 2=PQ=2223OP -OQ 3= 又PM ∥SB,∴∠PMS=∠OSB=∠OSA,∴SM=2OS=8.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的性质结合所给圆与圆锥曲线位置关系计算即可19. 已知一圆锥面S 的轴线为Sx,轴线与母线的夹角为30°,在轴上取一点O,使SO=3 cm,球O 与这个锥面相切,求球O 的半径和切点圆的半径.答案：解答：如图,OH=12SO= 32cm,HC=OHsin 60°=3333224⨯=（cm ）. 所以球O 的半径为32cm,切点圆的半径为334cm. 解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线结合所给几何体满足条件计算即可20 如图,已知圆锥母线与轴的夹角为α,平面π与轴线夹角为β,Dandelin 球的半径分别为R,r,且α<β,R>r,求平面π与圆锥面交线的焦距F 1F 2,轴长G 1G 2.答案：解答：连接O 1F 1,O 2F 2,O 1O 2交F 1F 2于点O,在Rt △O 1F 1O 中,OF 1=1111O F r tan O OF tan β∠= 在Rt △O 2F 2O 中,OF 2=2222O F R tan O OF tan β∠= 则F 1F 2=OF 1+OF 2=R r tan β+ 同理,O 1O 2=R r sin β+ 连接O 1A 1,O 2A 2,过O 1作O 1H ⊥O 2A 2.在Rt △O 1O 2H 中,O 1H=O 1O 2·cos α=R r sin β+·cos α. 又O 1H=A 1A 2,由切线定理,一般验证G 1G 2=A 1A 2,故G 1G 2=R r sin β+·cos α. 解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线由β>α知截线为椭圆,通过数形结合转化到相应平面上求解21. 已知圆锥面S,其母线与轴线所成的角为30°,在轴线上取一点C,使SC=5,通过点C 作一截面δ使它与轴线所成的角为45°.求圆锥曲线的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和.答案：解答：e=2cos452cos306332︒==︒设圆锥曲线上任意一点为M,其两焦点分别为F1,F2,MF1+MF2=AB. 设圆锥面内切球O1的半径为R1,内切球O2的半径为R2.∵SO1=2R1,CO1=2R1,∴SC=（2+2）R1=5,即R1=5(2-2)2⨯∵SO2=2R2,CO2=2R2,∴SC=（2-2）R2=5,即R2=5(22)2⨯+∵O1O2=CO1+CO2=2（R1+R2）=102,∴AB=O1O2cos 30°=O1O2×32=56即MF1+MF2=56.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的性质结合圆锥曲线的有关性质分析计算即可22. 如图,已知圆锥的母线与轴线的夹角为α,圆锥嵌入半径为R的Dandelin球,平面π与圆锥面的交线为抛物线,求抛物线的焦点到准线的距离.答案：解答：设F为抛物线的焦点,A为顶点,FA的延长线交准线m于点B,AF的延长线与PO交于点C.连接OF,OA,如图,∵平面π与圆锥轴线和圆锥母线与轴线的夹角相等,∴∠APC=∠ACP=α.由切线长定理知,OA 平分∠PAC,∴OA ⊥PC.∴∠OCA+∠OAC=90°,∠AOF+∠OAC=90°, ∴∠OCA=∠AOF=α.在Rt △OAF 中,AF=OF·tan ∠AOF=Rtan α. 又由抛物线结构特点,∴AF=AB.∴FB=2Rtan α,即抛物线的焦点到准线的距离为2Rtan α.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关条件转化到相应的平面中求解,注意切线长定理的使用23. 如图，平面β与圆锥面的轴l 垂直，则交线是什么曲线？设圆锥底面半径为R ，高为h ，顶点S 到截面β的距离为h 1，（R ，h ，h 1均为正常数）.答案：解答：因为l ⊥β（垂足为O 1），所以平面β//⊙O 所在的平面.设P 为交线上的任意一点，过点P 作圆锥的母线SQ ，连接PO 1，QO ，则PO 为平面SQO 与平面β的交线，QO 为平面SQO 与⊙O 所在的平面的交线.所以PO 1//QO.于是11PO SO QO SO= . 即11PO h R h = .因此11,Rh PO r h== （r 为常数）. 所以点P 到定点O 1的距离为常数r ，故交线为一个圆.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的性质结合三角形的相似性计算即可24. 在空间中，取直线l 为轴，直线l′与l 相交于O 点，夹角为α，l′围绕l 旋转得到以O 为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l 的交角为β（当π与l 平行时，记β＝0），求证β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛物线.答案：证明：如图，设平面π与圆锥内切球相切于点F 1，球与圆锥的交线为圆S ，过该交线的平面π′，为π与π′相交于直线m.在平面π与圆锥的截线上任取一点P ，连接PF 1过点P 作PA ⊥m ，交m 于点A ，过点P 作π′的垂线，垂足为B ，连接AB ，则AB ⊥m ，∴∠PAB 是π与π′所成二面角的平面角.连接点P 与圆锥的顶点，与S 相交于点Q 1，连接BQ 1，则∠BPQ ＝α，∠APB ＝β.在Rt △APB 中，PB ＝PAcos β.在Rt △PBQ 1中PB ＝PQ 1cos α. ∴1cos cos PQ PA βα= 又∵PQ 1＝PF 1，α＝β，∴11PE PA = ， 即PF 1＝PA ，动点P 到定点F 1的距离等于它到定直线m 的距离，故当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关性质结合所给几何体的空间结构特征构造辅助线结合二面角定义分析计算即可25. 在空间中，取直线l 为轴，直线l′与l 相交于O 点，夹角为α，l′围绕l 旋转得到以O 为顶点，l′为母线的圆锥面.任取平面π，若它与轴l 的交角为β（当π与l 平行时，记β＝0），求证β＜α时，平面π与圆锥的交线为双曲线.答案：解答：当β＜α时，平面π与圆锥面的两部分相交.在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin 球，与平面π的两个切点分别是F 1、F 2，与圆锥两部分截的圆分别是S 1、S 2.在截口上任取一点P，连接PF1、PF2，过P作母线分别和两球切于Q1、Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2.，∴|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2，∵Q1Q2是两圆S1、S2所在平行平面间的母线段长，为定值，∴由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线.解析：分析：本题主要考查了平面与圆锥面的截线，解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关性质结合圆锥曲线的有关性质分析证明即可，有一定难度.。