近年来自主招生数学试卷解读及应试策略190410
自主招生试题中常用的解题策略
自主招生试题中常用的解题策略李保荣【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)014【总页数】2页(P15-16)【作者】李保荣【作者单位】河北省邯郸市第一中学【正文语种】中文自主招生作为高校选拔的有益补充，受到越来越多学生及家长的重视,自主招生选拔出具有学科特长和创新潜质的优秀学生,其题目相对于高考在知识及方法上有其独到的考查视角.为了使学生适应自主招生考试,通过对近几年自招题的研究,下面几个解题策略值得重视．1 观察、归纳与猜想及数学归纳法例1 已知(1)求an；(2)设求证:{bn}的前n项和(1)由a1=2,依次可得a2=3,a3=4,a4=5,…,故猜an=n+1.下面用数学归纳法证明: 当n=1时,a1=2=1+1,假设当n=k时,ak=k+1,则当n=k+1时,当n=k+1时,命题也成立.综上,对任意n∈N*, an=n+1.(2)由(1)可得所以2 变量代换法例2 已知(1)求an；(2)求证:2n+1·an<7.(1)令则由于所以所以(2)令则f′(x)=1-cos x≥0,所以f(x)在区间内单调递增，f(x)≥f(0)=0，故对任意恒成立,证毕.例3 已知x,y,z>0,且x2+y2+z2+2xyz=1,求证:证明由条件易知x,y,z∈(0,1),x=cos A,y=cos B,z=cos 代入条件以cos A为主元配方，化简得cos A=-cos (B+C)，即A+B+C=π,此时在△ABC中,所以证毕.3 变更主元法例4 设k≥9,解关于x的方程x3+2kx2+k2x+9k+27=0.若以x为主元,则方程是关于x的一元三次方程，求解方程有些困难.若以k为主元,则方程是关于k的一元二次方程xk2+(2x2+9)k+x3+27=xk2+(2x2+9)k+(x+3)(x2-3x+9)=[k+(x+3)][kx+(x2-3x+9)] .所以x1=-k-3或x2+(k-3)x+9=0,Δ=(k-3)2-36=k2-6k-27=k(k-6)-27≥9×3-27=0,所以一元二次方程的解为综上原方程的解为x1=-k-3,4 逆向思维法例5 试求一个整系数多项式f(x),使f(x)=0有一根为从方程的根入手逐步去掉根号,由得所以(x3+6x-3)2=2(3x2+2)2,x6-6x4-6x3+12x2-36x+1=0.即f(x)=x6-6x4-6x3+12x2-36x+1满足题意.5 构造法例6 已知存在正实数x,y,z满足则xy+2yz+3zx=________.题目中3个等式隐含余弦定理的结构,可以尝试构造三角形来解决.构造直角△ABC,AB=4,BC=3,CA=5,在△ABC内取一点P,使得以上构造满足题中所有条件，且S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC，即所以在具体问题的求解过程中可以更快地掌握自主招生考试的考查重点及解题策略,为解决新问题提供了思路．这些策略并不是常规的解法,但是即使简单几步的尝试,就可能打开你的思路,本文列举的几种常用策略,希望能对大家的自主招生及高考有所帮助!。
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
近年来自主招生数学试卷解读及应试策略
近年来自主招生数学试卷解读及应试策略上海华东师大二附中 范端喜 200241自从2006年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校高考改革试验“破冰”以来，各高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台，全国自主招生高校不断增多，而且各高校自主招生比例也在增大. 2010年自主招生中一些名牌高校首次实行联合统一考试，如清华大学等5所高校实行“五校联考”. 2011年自主招生呈三足鼎立之势：以清华大学为首的7所高校自主招生称为“华约”；以北京大学为首的13所高校自主招生称为“北约”；9所工科院校组成的自主招生联盟称为“卓越联盟”. 这引起教育界人士和家长们的高度关注，更引起了广大中学生对自主招生考试的兴趣.2012年的自主招生考试难度不减. “华约”、“北约”的自主招生考试中，教材基本内容大约占60%，其余内容涉及竞赛的相关知识. 2012年自主招生考试热点知识为：三角、方程的根的问题、排列组合、二项式定理、概率、解析几何、平面几何、组合、导数、不等式等.1. 试卷特点分析1.1基础知识、基本技能仍是考查的重点没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水、无本之木. 基础知识、基本技能是数学教学的重要任务之一，是培养学生能力的前提.纵观清华大学、北京大学、复旦大学、上海交通大学、浙江大学等高校近几年自主招生笔试题目，我们会发现，大部分的题目仍是比较基础的问题. 以复旦大学为例，其笔试30道左右的选择题中，也多半是考查学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点.1.2考查知识点的覆盖面广，但侧重点有所不同近几年自主招生的试题，知识点的覆盖面还是很广的，基本上涉及高中数学教学大纲的所有内容，如函数、集合、数列、复数、三角、排列组合、概率统计、向量、立体几何、解析几何等.然而，高校自主招生考试命题是由大学教授完成的，试题侧重考查高等数学与初等数学的衔接. 仍以复旦大学为例，以下是几个在近几年该校自主招生考试中出现的频率较高的知识点：三角、函数和方程问题、排列组合和概率统计、不等式等.1.3注重数学知识和其他科目知识的整合，考查学生应用知识解决问题的能力例如，2010年清华大学等“五校联考”有这样一个问题：已知基因型为AA Aa aa 、、的比例为:2:,2 1.u v w u v w ++=且（1）求子一代AA Aa aa 、、的比例；（2）子二代与子一代比例是否相同？这是一道与生物学知识有密切联系的数学问题，若考生缺乏有关生物学方面的知识，则肯定不能解决此问题. 这道题目在考生中引起了强烈的反响，它考查了学生应用数学解决问题的能力. 本题详细解答见《名牌大学自主招生高效备考 数学》的第十讲，为了简便，下称本书.2011年“华约”又考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：有一个圆柱形水杯，质量为a 克（底面质量不计），重心在中轴线中点，装满水时，水的质量为b 克.（1）若3b a =,求水装到一半时，重心到底面的距离与整个水杯高度之比；（2）水的质量是多少时，整体重心最低？2012年复旦大学也考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）：某船从B 点出发，以速度v 匀速向东航行，观察者在B 点正南距离为s 的A 点进行观察，当观察者感觉速度是B 处速度的14时，观察者的视线跟随行船偏转的角度为( ). A. 30 B. 60 C. 45 D. 2251.4突出对思维能力和解题技巧的考查近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，难度上有时与全国高中数学联赛一试试题相当.例如，2007年上海交通大学冬令营自主招生试题中有这样一个问题：设432()(1)(32)4f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ：（1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，横有0()0.f x ≠这两小问解决的策略和方法是：换一个角度，将函数看成一个关于a 的一次函数. 该题的详解见本书第四讲.又如，对解决学习型问题的能力的考查，一直是高中数学教学大纲中提到的对学生能力要求较高的问题. 学习型问题要求对过去没有学习过的概念、公式、定理或方法，在当前情景下通过阅读理解，即时学习，并运用其解决与之相关的问题.学习型问题对培养学生的阅读理解问题、独立获取知识的能力以及创新精神和实践能力都是大有裨益的，在平时的学习中应适当加以训练.2007年清华大学自主招生考试中有这样一个学习型问题（见本书第一讲）：对于集合2M ⊆R (2R 表示二维点集)，称M 为开集，当且仅当0,0,P M r ∀∈∃>使得{}20.P PP r M ∈<⊆R判断集合{}{}(,)4250(,)0,0x y x y x y x y +->≥>与是否为开集，并证明你的结论.2010年复旦大学自主招生考试32道试题中，有六七道题涉及此方面的问题，例如：设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点. 用Z 表示整数集，则在下列集合{}1(1),0,(2)\0,(3),0,1n n n n n n n ⎧⎫⎧⎫∈≥∈≠⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭Z R Z (4)Ζ整数集中，以0为聚点的集合有（ ）. A (2)(3) B.(1)(4) C.(1)(3) D.(1)(2)(4).该题的详细解答请参考本书的第一讲.“开集”、“聚点”等是高等数学中非常重要的概念，同学们以后会在数学分析、拓扑等课程中学习到.1.5 考试题量大、对考生熟练程度要求极高由于自主招生考试只是针对少数特长生、优秀精英学生的考试，无论是“北约”、“华约”，还是“卓越联盟”、复旦大学“千分考”等，对考生的解题速度都有很高的要求.2012年，“北约”考试题型是文理科各7道（文科1-7题，理科3-9题），全部是解答题，语、数、外三科合在一起，考试时间共计3小时；“卓越联盟”试卷有6道解答题、6道填空题，考试时间是90分钟；“华约”试卷有10道选择题、5道解答题，考试时间是90分钟；复旦大学“千分考”十门共计200道选择题，其中数学题32道，考试时间为3小时，平均每道题54秒.2. 应试和准备策略针对自主招生试题的上述特点，大家在复习时应注意以下几点：2.1注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，知识一般都是靠平时积累，剩下的就是个人的临场发挥. 数学需要靠平时扎扎实实的学习才能考出好成绩.另外，对有些平时不太注意或高考不一定考的知识点，如矩阵、行列式等也不能忽视.2.2适当做一些近几年的自主招生考试的真题俗话说，知己知彼，百战百胜. 同学们可适当地训练自己报考的或其他高校近几年自主招生考试的试题，熟悉一下题型是有益的.自主招生考试中有一些题是前几年的考试真题改编，甚至是原题，例如前面提到的2007年上海交通大学冬令营的问题，其实在2004年上海交通大学冬令营中就已出现过类似问题（见本书第四讲）：已知432()(58)69.f x ax x a x x a =++-+-试求出：当实数x 取何值时，（1）总有()=0f x ；（2）总有()0f x ≠.又如，下面两题是同一类问题：（2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）求：cos ()2sin y θθθ=∈+R 的值域. （2005年复旦大学，本书第十二讲）求：1sin 2cos x y x +=+的最大值. 再如，下面3道都是姊妹题：（2012年复旦大学，本书第十七讲） 记2012=1232012⨯⨯⨯⨯！为从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是 .A.504B.503C.502D.501（2003年上海交通大学，本书第十七讲）100！的末尾有 个连续的零.（2006年上海交通大学，本书第十七讲）2005！的末尾有 个连续的零.大家留意一下2012年苏州大学自主招生的最后一道压轴题（见本书第七讲）：已知数列{}{},n n a b 满足12,n n n a a b +=--且166,n n n b a b +=+ 且112,4,,.n n a b a b ==求其实，这道题就是2004年复旦大学自主招生的试题.2.3注重知识的延伸全国重点院校自主招生考试试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍易.有些问题有一定的深度，这就要求考生平时要注意知识点的延伸.例如，2012年复旦大学“千分考”的第128题（见本书第七讲）：{}101101______.2211A. B. D.332n n n n x x x x x x -++===设，，，则数列的极限为 这道题实际上是利用特征方程特征根求数列通项公式.又如，2012年复旦大学“千分考”的第113题（见本书第十五讲）：设1234,,,P P P k P k (1,2,3)(2,4,1)(1,,5)(4,+1,3)是空间直角坐标系中一个体积为1的四面体的四个顶点，其中k 是实数，那么k 的值为 .A.-B.-C.-D.- 1或2 1或2 3或4 6或12这道题实际上是要用到用四阶行列式表示四面体的体积公式，是教材中三阶行列式表示三角形面积公式的一个推广.再如，2008年复旦大学“千分考”的第88题（见本书第十五讲）：123312323131220x x x x x x x x x x x x x x ++=设、、是方程的三个根，则行列式=( ). A.4 B.1 C.0 D.2--此题要用到两个课本之外的知识点，即三次方程的韦达定理和公式3332223()().a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---三次方程的韦达定理虽不难推导，但平时同学们对三次方程比较陌生. 而该公式对于参加过数学竞赛的同学并不陌生.再看一下2010年“五校联考”中有这样一个问题：在三角形ABC ∆，H 为垂心，O 为外心，中线AD 交OH 于G ，求AGH OGDS S ∆∆. 参加过数学竞赛的同学都清楚，这实际上是一道与欧拉线有关的问题，若平时接触或了解欧拉线的知识，则做这道题就不费吹灰之力.2.4 关注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的内容；注重教材之外、课本中没有出现的知识 自主招生与高考大约有60%-70%的知识点是重合的，如数列、解析几何、不等式等，这些知识点无论是高考还是自主招生都是重点，但下面几个知识点要提醒考生注意：（1）三角：高考对三角的要求比较低，高考中一般出现在解答题的第一或第二题，属于送分题. 但在自主招生中，三角所占的比例比较高，尤其是三角变换，而积化和差、和差化积公式在自主招生考试中是“家常便饭”. 大学教授对三角比较重视是有道理的，这是因为大学里很多内容，比如：微积分、复变函数、傅里叶级数等都要用到三角.以下两题分别是2012年“卓越联盟”和“北约”自主招生试题，都有相当的挑战性.（2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）设()sin()(0,)f x x ωφωφ=+>∈R ，设)0(<T T ，若存在T ，使)()(x Tf T x f =+恒成立，则ω的范围为 .（2012年“北约”，本书第十二讲）有唯一解的sin4sin2sin sin3求使得在[)-=x x x x a0π，.a（2）平面几何：这块内容是高中数学联赛加试中必考的，但除了少数省市，如北京市、江苏省等在高考中还没涉及平面几何内容，大多数省市高考不考平面几何.显然，初中也学习过平面几何，但由于时间长，多数同学早已忘得一干二净，所以平面几何得分率很低，多数同学在考试中碰到平面问题时，往往不知所措.以下两道题是2012年“北约”自主招生考试中与平面几何中圆有关的真题：（2012年“北约”，本书第十九讲）求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形.∆的外接圆圆心为O，求O到三角形三边的距离比（用三角形的（2012年“北约”）如果锐角ABC角和三角函数表示）.（3）组合：熟悉和学习过数学竞赛的同学知道，组合是全国高中数学联赛加试中必考的内容之一（联赛加试共四道），2012年“华约”和“北约”分别考到一道组合问题，其中“北约”的组合问题带有数论的味道，下面是2012年“华约”和“北约”自主招生真题：n n≥位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比（2012年“华约”，本书第十八讲）有(2)赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能值.，，，中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，（2012年“北约”，本书第十八讲）在122012最多能取多少个数？2.5 加强运算能力的训练，提高解题速度前面提到，自主招生考试中对考生解题速度要求极高，在此提醒同学们注意的是，平时少用计算器，尤其是上海的考生. 首先我要说的是适当的使用计算器并不是坏事，但确实有不少学生过分依赖计算器，而自主招生考试中是禁止使用计算器的，所以习惯使用计算器的不少上海学生，在自主招生考试中会手忙脚乱，不知所措.（注：本文是根据作者编著《名牌大学自主招生高效备考数学》（华东师范大学出版社）一书改编）。
自主招生考试数学试题分析
2014年自主招生数学试题分析及高考备考冲刺自主招生笔试已经过去几天了，在家长口中轰轰烈烈的讨论了数月之久的自招形势也终于随着最后一考的落幕而最终尘埃落定。
就数学而言，北约、华约两大联盟的最终考试方向和考前从各个渠道得到的信息差别并不大，如同高考一般，两大联盟的自招数学考试都走上了趋易的道路。
先撇开试题简单的利弊不谈，单从考试本身而言，试题的趋易必定会一定程度上减轻学生备考的负担。
至少对于高压下的高三考生，这并不算什么坏消息。
回到试卷本身，我们再来看看北约和华约两大联盟的自招数学考试中，到底发生了些什么事。
北约篇：下表是2013年、和2014年的北约自招考试的对比情况。
第1题第2题第3题第4题第5题2013 方程的根排列组合多项式数列平面几何2014 几何排列组合抽象函数、数列函数不等式第6题第7题第8题第9题第10题2013 复数数论数列、不等式三角函数数论、不等式2014 三角函数数论方程数列、数论不等式从上面可以看出来，北约两年的自主招生的考点大方向是完全吻合的。
基本上就是集合、函数、方程、不等式、数列、排列组合、几何等大模块。
2014年的北约考试基本可以看做是2013年的北约考试的“平行削弱版”，甚至可能相较于某些省份的高考题并没有难处太多。
北约考试向来具备的特点是对应于数学思想要求特别高，试题往往具备“要么满分，要么零分”的特点，想到了正确的解法，基本就是迎刃而解，过程不会花费太多的时间和精力。
也就是“起点不低、落点不高”。
今年的试题也是有这样的特点的，只不过，相较于往年，今年试题的起点似乎“更不低”。
也为多数学生提供了拿到高分的可能性。
华约篇：下表是2013年、和2014年的北约自招考试的对比情况。
第1题第2题第3题第4题第5题2013 数论三角函数几何概率数列2014 数论概率函数、三角函数函数几何第6题第7题2013 数列、不等式函数、不等式2014 数列不等式华约考试在知识点上的重合度，较之北约有过之而无不及。
初中数学自主招生解题技巧
初中数学自主招生考试通常要求学生具备较高的数学素养和思维能力。
以下是一些解题技巧，供参考：
多做真题。
自主招生考试重视考查学生的基础知识和解题能力，而真题是最好的检验方式。
多做真题可以帮助学生熟悉考试题型和难度，提高应对能力。
掌握基本概念和定理。
数学是一个基础学科，很多问题都离不开基本概念和定理。
掌握基本概念和定理，能够快速理解题目，准确把握解题思路。
熟悉常用公式和方法。
自主招生考试中常常会涉及到一些常用公式和方法，例如平方差公式、因式分解、勾股定理等，学生应该熟练掌握这些公式和方法，能够灵活应用。
注意细节。
在做题的过程中，细节很重要。
要仔细阅读题目，注意计算过程中的符号、单位等细节问题，避免因为细节问题导致失分。
提高解题能力。
解题能力是自主招生考试的关键。
学生应该注重思维训练，多做一些拓展性、创新性的数学题目，提高解题能力和应对能力。
总之，数学自主招生考试需要学生全面掌握数学知识，熟练运用数学方法，提高解题能力和应对能力。
自主招生数学典例解析
一、数学能力和数学思想
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1. 注重考查学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际 问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加 强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养。
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色 (2)知识点的考查覆盖面广, 侧重点有所不同
知识点涉及高中数学教学大纲的所有内容, 如集合、函数、 三角、数列、向量、解析几何、立体几何、复数等.
考虑到大学与中学、高等数学与初等数学的衔接，近几年 在试题中出现频率较高的有 :函数和方程、排列组合和概率 统计、不等式等. 还出现了微积分、行列式、矩阵等新颖考点的相关试题.
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色
(4)突出思维能力和解题技巧的考查
2010年复Hale Waihona Puke 大学自主招生有几道这方面的试题 :
设集合 X 是实数集 R的子集, 如果点 x0 R满足 :对任意a 0, 都存在 x X , 使得 0 x x0 a, 那么称 x0 为集合 X 的聚点. 用Z 表示整数集, 则在下列集合 :
解决策略: 等价转换 f (x) 0 (a) 0
二、试卷特点分析
变知识立意为能力立意 考查数学的基本思想和方法
1、试题构思特色 (4)突出思维能力和解题技巧的考查
学习能力型问题对培养学生的阅读理解能力、独立获取 知识的能力以及创新精神和实践能力都是十分重要的.
2007年清华大学自主招生有一道试题 : 对于集合 M R2, 称 M 为开集, 当且仅当 P0 M , r 0, 使得 P R2 | PP0 r M . 判断集合 (x, y) | 4x 2 y 5 0 与 (x, y) | x 0, y 0 是否为开集? 并证明你的结论.
自主招生数学解读(二)
1.方程论的相关知识
1.(2008年南开大学) 求证: 方程2x x2 7 0有唯一的实数根x 5.
f (x) 2x ln 2 2x(x 4) f (x) 2x ln2 2 2(x 4) 且24 ln 2 2 ln 2 2 0.35.
4 而很显然有ln 2 1 ,即ln 4 1
3.函数与方程
6.(2010年南京大学)
函数f (x)是定义在(0, )上的减函数,满足f (x y) f (x) f ( y).
(1)证明:f ( x ) f (x) f ( y); y
(2) f (4) 4,求f (x) f ( 1 ) 12的解集. x 12
解 : (1)令x y 1,则f (1) f (1) f (1),得f (1) 0.
2 从而f (x) 0(x 4),所以f (x)单调递增, 且f (4) 16ln 2 8 8(ln 4 1) 0,知f (x) 0. 所以f (x)在[4, )上单调递增,因而原命题成立.
1.方程论的相关知识
其实本题，我们可以非常容易地利用观察法发 现x=5是原方程的一个根，但利用观察法的缺点 是会减根，不能找到全体的根.确定唯一性的方 法是多种多样的，构造函数证明该函数的单调 性来进行说明唯一性是我们最常用的一种方法. 但对本题而言，直接证明单调性却很难做出， 应该首先对根所在的区间进行缩小范围，再来 证明其单调性.类似的题目在2009年的南京大学 的自主招生试题中也有所体现，例如：
1.方程论的相关知识
2.(2009年南京大学)
解方程 x3 3x x 2.
令x 2cos,0
则方程变为8cos3 6cos 2cos 2,
s三c即io从n又s倍233而因c角o得为 s公334s3式cion:s3202,c4o4ss3i[2nc0,o34,(s720.])sicno(s3于(所3是以 )3ns)icno0s2或 sincn(o2s3(n31.(n)) Z )
数学自招试卷八年级解析
一、试题概述本次数学自招试卷主要考察八年级学生的数学基础知识、基本技能以及思维能力。
试卷共分为填空题、选择题、解答题三个部分，共计20题。
试题内容涉及代数、几何、概率等多个方面，旨在全面考察学生的数学素养。
二、试题解析1. 填空题（1）题目：若x+2=5，则x=______。
解析：这是一道简单的代数方程求解题。
由题意可得x=3。
（2）题目：在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点为______。
解析：这是一道几何题。
根据对称点的定义，点A关于y轴的对称点坐标为（-2，3）。
2. 选择题（1）题目：下列各数中，属于有理数的是______。
A. πB. √2C. 0.1010010001…D. -1/3解析：这是一道有理数概念题。
有理数包括整数、分数和有限小数。
选项A、B是无理数，选项C是无限不循环小数，只有选项D是分数，属于有理数。
（2）题目：若一个正方形的对角线长为10cm，则该正方形的面积为______。
A. 50cm²B. 100cm²C. 100√2cm²D. 50√2cm²解析：这是一道几何题。
正方形的面积等于对角线长度的平方除以2。
所以，该正方形的面积为10²/2=50cm²。
3. 解答题（1）题目：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，且∠BAC=45°，求证：AD=BD。
证明：首先，由等腰三角形的性质，得∠ABC=∠ACB。
因为∠BAC=45°，所以∠ABC=∠ACB=45°。
又因为AD是底边BC上的高，所以∠ADB=∠ADC=90°。
由三角形内角和定理，得∠BAD=∠DAC=45°。
因此，三角形ABD和三角形ACD是两个等腰直角三角形。
所以，AD=BD。
（2）题目：已知一元二次方程x²-3x+2=0，求该方程的解。
解：由求根公式可得，x1=(3+√(3²-4×1×2))/2=2，x2=(3-√(3²-4×1×2))/2=1。
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A. 1或-2 B. -1或2 C. -3或4
D. -6或12
这道题实际上是要用到用四阶行列式表示四面体的体积公式，是教材中三阶行列式表示 三角形面积公式的一个推广. 再如，2008 年复旦大学“千分考”的第 88 题（见本书第十五讲）：
设x1 、x 、 x 2 x 是方程 3
3
x1 x 2 x3 x 2 0的三个根，则行列式 x2 x3 x =(
S
解欧拉线的知识，则做这道题就不费吹灰之力.
AGH
.
2.4 关注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的内容；注重教材之外、课本中没有 出现的知识 自主招生与高考大约有 60%-70%的知识点是重合的，如数列、解析几何、不等式等，这 些知识点无论是高考还是自主招生都是重点，但下面几个知识点要提醒考生注意： （1）三角：高考对三角的要求比较低，高考中一般出现在解答题的第一或第二题，属 于送分题. 但在自主招生中，三角所占的比例比较高，尤其是三角变换，而积化和差、和差 化积公式在自主招生考试中是“家常便饭”. 大学教授对三角比较重视是有道理的，这是因 为大学里很多内容，比如：微积分、复变函数、傅里叶级数等都要用到三角. 以下两题分别是 2012 年“卓越联盟”和“北约”自主招生试题，都有相当的挑战性. （2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）设 f (x) sin(x )( 0, R) ，设T(T 若存在T ，使 f
4
x 3 (5 8a)x
2
6x 9a.试求出：当实数
x
取何值时，（1）总有
f (x)=0；（2）总有 f (x) 0.
又如，下面两题是同一类问题： （2012年“卓越联盟”，本书第十二讲）求： y （2005年复旦大学，本书第十二讲）求： y 再如，下面 3 道都是姊妹题： （2012年复旦大学，本书第十七讲） 记 2012！=123
1. 试卷特点分析
1.1 基础知识、基本技能仍是考查的重点 没有扎实的“双基”，能力培养就成了无源之水、无本之木. 基础知识、基本技能是数 学教学的重要任务之一，是培养学生能力的前提. 纵观清华大学、北京大学、复旦大学、上海交通大学、浙江大学等高校近几年自主招生 笔试题目，我们会发现，大部分的题目仍是比较基础的问题. 以复旦大学为例，其笔试 30 道左右的选择题中，也多半是考查学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点.
2. 应试和准备策略
针对自主招生试题的上述特点，大家在复习时应注意以下几点：
2.1 注意知识点的全面 数学题目被猜中的可能性很小，知识一般都是靠平时积累，剩下的就是个人的临场发挥. 数学需要靠平时扎扎实实的学习才能考出好成绩. 另外，对有些平时不太注意或高考不一定考的知识点，如矩阵、行列式等也不能忽视.
cos ( R) 的值域. 2 sin 1 sin x 的最大值. 2 cos x
2012 为从 1到 2012之间
.
所有整数的连乘积，则 2012！值的尾部（从个位往前计数）连续的 0的个数是
A.504 B.503 C.502 D.501
（2003年上海交通大学，本书第十七讲）100！的末尾有 （2006年上海交通大学，本书第十七讲） 2005！的末尾有 个连续的零. 个连续的零.
近年来自主招生数学试卷解读及应试策略
上海华东师大二附中 范端喜 200241
自从 2006 年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校高考改革试验“破冰”以来，各 高校“深化自主选拔录取改革试验”招生方案不断出台，全国自主招生高校不断增多，而且 各高校自主招生比例也在增大. 2010 年自主招生中一些名牌高校首次实行联合统一考试，如 清华大学等 5 所高校实行“五校联考”. 2011 年自主招生呈三足鼎立之势：以清华大学为首 的 7 所高校自主招生称为“华约”；以北京大学为首的 13 所高校自主招生称为“北约”；9 所工科院校组成的自主招生联盟称为“卓越联盟”. 这引起教育界人士和家长们的高度关 注，更引起了广大中学生对自主招生考试的兴趣. 2012 年的自主招生考试难度不减. “华约”、“北约”的自主招生考试中，教材基本内容 大约占 60% ，其余内容涉及竞赛的相关知识. 2012 年自主招生考试热点知识为：三角、方 程的根的问题、排列组合、二项式定理、概率、解析几何、平面几何、组合、导数、不等式 等.
1 4
).
1.4 突出对思维能力和解题技巧的考查 近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次，难度 上有时与全国高中数学联赛一试试题相当. 例如，2007 年上海交通大学冬令营自主招生试题中有这样一个问题： 设 f (x) (1 a)x
4
x 3 (3a 2)x 2 4a
0) ，
(x T) Tf (x) 恒成立，则 的范围为
.
（2012年“北约”，本书第十二讲） 求使得sin 4xsin 2x sin xsin 3x a在 0，
有唯一解的a.
（2）平面几何：这块内容是高中数学联赛加试中必考的，但除了少数省市，如北京市、 江苏省等在高考中还没涉及平面几何内容，大多数省市高考不考平面几何. 显然，初中也学习过平面几何，但由于时间长，多数同学早已忘得一干二净，所以平面 几何得分率很低，多数同学在考试中碰到平面问题时，往往不知所措ห้องสมุดไป่ตู้ 以下两道题是 2012 年“北约”自主招生考试中与平面几何中圆有关的真题： （2012年“北约”，本书第十九讲）求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正 五边形. （2012年“北约”）如果锐角 ABC 的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边的距离比（用 三角形的角和三角函数表示）. （3）组合：熟悉和学习过数学竞赛的同学知道，组合是全国高中数学联赛加试中必考 的内容之一（联赛加试共四道），2012 年“华约”和“北约”分别考到一道组合问题，其中“北 约”的组合问题带有数论的味道，下面是 2012 年“华约”和“北约”自主招生真题： （2012年“华约”，本书第十八讲）有 n(n 2) 位乒乓球选手，他们互相进行了若干场 乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问 n 的所有可 能值.
n
，则数列 的极限为 x ______. 2 1 C.n D. 2 2
n1
这道题实际上是利用特征方程特征根求数列通项公式. 又如，2012 年复旦大学“千分考”的第 113 题（见本书第十五讲）： 设 P1( 1, 2, 3),P2( 2, 4, 1),P3( 1, k, 5),P4 ( 4, k+1, 3) 是空间直角坐标系中一个体积为 1的 四面体的四个顶点，其中 k 是实数，那么 k 的值为 .
（1）方程 f (x) 0 总有相同实根； （2）存在 x 0 ，横有 f (x ) 0. 0
，试 证明 对任 意实 数a ：
这两小问解决的策略和方法是：换一个角度，将函数看成一个关于 a 的一次函数. 该题 的详解见本书第四讲.
又如，对解决学习型问题的能力的考查，一直是高中数学教学大纲中提到的对学生能力 要求较高的问题. 学习型问题要求对过去没有学习过的概念、公式、定理或方法，在当前情 景下通过阅读理解，即时学习，并运用其解决与之相关的问题. 学习型问题对培养学生的阅读理解问题、独立获取知识的能力以及创新精神和实践能力 都是大有裨益的，在平时的学习中应适当加以训练. 2007 年清华大学自主招生考试中有这样一个学习型问题（见本书第一讲）： (R 表示 二维点 集)，称 M. PR2 PP0 r 为开集， 当且仅当 P 判断集合 ( x, y) 4x 2y 5 0 与 x, y) x 0, y 0 是否为开集，并证明你的结论 . ( 0
2.3 注重知识的延伸 全国重点院校自主招生考试试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍易.有些问题有 一定的深度，这就要求考生平时要注意知识点的延伸. 例如，2012 年复旦大学“千分考”的第 128 题（见本书 第七讲）：
x ， 1， 设x0 0 1x A. 2 3 B. 1 3
n1
x 2 x
1.5 考试题量大、对考生熟练程度要求极高 由于自主招生考试只是针对少数特长生、优秀精英学生的考试，无论是“北约”、“华约”， 还是“卓越联盟”、复旦大学“千分考”等，对考生的解题速度都有很高的要求. 2012 年，“北约”考试题型是文理科各 7 道（文科 1-7 题，理科 3-9 题），全部是解答题， 语、数、外三科合在一起，考试时间共计 3 小时；“卓越联盟”试卷有 6 道解答题、6 道填 空题，考试时间是 90 分钟；“华约”试卷有 10 道选择题、5 道解答题，考试时间是 90 分 钟；复旦大学“千分考”十门共计 200 道选择题，其中数学题 32 道，考试时间为 3 小时， 平均每道题 54 秒.
1.3 注重数学知识和其他科目知识的整合，考查学生应用知识解决问题的能力 例如，2010年清华大学等“五校联考”有这样一个问题： 已知基因型为 AA、Aa、aa 的比例为u : 2v : w,且u 2v w 1. （1）求子一代 AA、Aa、aa 的比例； （2）子二代与子一代比例是否相同？ 这是一道与生物学知识有密切联系的数学问题，若考生缺乏有关生物学方面的知识，则 肯定不能解决此问题. 这道题目在考生中引起了强烈的反响，它考查了学生应用数学解决问 题的能力.本题详细解答见《名牌大学自主招生高效备考 数学》的第十讲，为了简便，下称 本书. 2011年“华约”又考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）： 有一个圆柱形水杯，质量为 a 克（底面质量不计），重心在中轴线中点，装满水时，水 的质量为b 克. （1）若b 3a ,求水装到一半时，重心到底面的距离与整个水杯高度之比； （2）水的质量是多少时，整体重心最低？ 2012年复旦大学也考了一道数学与物理学相结合的问题（见本书第十九讲）： 某船从 B 点出发，以速度 v 匀速向东航行，观察者在 B 点正南距离为 s 的 A点进行观察， 当观察者感觉速度是 B 处速度的 时，观察者的视线跟随行船偏转的角度为( A. 30 B. 60 C. 45 D. 225