复习笔记6 解析几何
高中数学中的解析几何知识点总结
高中数学中的解析几何知识点总结解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究几何图形在坐标系中的性质和关系。
在高中数学中，解析几何是一个重要的学习内容。
本文将对高中数学中的解析几何知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基础，用来描述平面上的点和直线。
平面直角坐标系由x轴和y轴组成，它们相交于原点O。
在平面直角坐标系中，每个点都可以用有序数对(x, y)表示，其中x是该点在x轴上的坐标，y是该点在y轴上的坐标。
二、点的位置关系在平面直角坐标系中，可以根据点的坐标确定其位置关系。
1. 同一直线上的点：设A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)和C(x₃, y₃)是平面直角坐标系中的三个点，如果它们满足斜率相等的条件，即 (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (y₃ - y₁) / (x₃ - x₁)那么点A、B和C在同一直线上。
2. 垂直关系：设AB和CD是平面直角坐标系中两条直线，如果它们的斜率互为负倒数，即(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = -1 / ((y₄ - y₃) / (x₄ - x₃))那么直线AB和CD垂直。
3. 平行关系：设AB和CD是平面直角坐标系中两条直线，如果它们的斜率相等，即(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (y₄ - y₃) / (x₄ - x₃)那么直线AB和CD平行。
三、直线的方程在解析几何中，直线可以用不同的形式表示其方程。
常见的有点斜式、斜截式和一般式。
1. 点斜式：设直线L过坐标系中的点A(x₁, y₁)且斜率为k，那么直线L的点斜式方程为y - y₁ = k(x - x₁)2. 斜截式：设直线L与y轴相交于点B，且直线L的斜率为k，那么直线L的斜截式方程为y = kx + b3. 一般式：设直线L的方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数且A和B不同时为0，那么该直线L的一般式方程为Ax + By + C = 0四、直线的性质在解析几何中，对于两条直线的位置关系，有以下几个重要的性质。
解析几何知识点归纳整理
解析几何知识点归纳整理解析几何是数学中的一个分支，涉及到空间形状和位置关系的研究。
下面是几何学中常见的重要知识点的归纳整理：1.点、线、面：解析几何中的基本元素包括点、线和面。
点是几何中最基本的概念，没有大小和方向；线是由无数个点连成的，具有长度，没有宽度；面是由无数条线构成的，具有长度和宽度，没有厚度。
2.直线与平面：在解析几何中，直线是由无数个点连成的，具有无限延伸性的线段；平面是由无数个直线连接在一起形成的，具有无限延伸性的平面区域。
3.曲线与曲面：曲线是由一系列连续点所组成的，可以在平面或者空间中弯曲的线；曲面是由一系列连续曲线所组成的，可以在空间中弯曲的平面区域。
4.坐标系：坐标系是解析几何中用来表示点的一种方式。
常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
在直角坐标系中，一个点的位置可以通过它在x、y、z三个轴上的坐标来确定。
5.基本图形：解析几何中的一些基本图形包括：线段、射线、角、多边形和圆。
线段是有两个端点的线，定长；射线是有一个起点的线，可以无限延伸；角是由两条射线共享一个端点所形成的；多边形是由多个线段组成的封闭图形；圆是由一条曲线所围成的等距点的集合。
6.距离和长度：距离是一个点到另一个点之间的直线距离；长度是一个线段的大小。
在直角坐标系中，可以通过勾股定理计算距离和长度。
7.相似与全等：相似性是解析几何中一个重要的概念，表示一对图形在形状上相似，但大小不一定相等。
全等性表示一对图形在形状和大小上完全相同。
8.垂直与平行：垂直表示两条线段或者平面之间成直角的关系；平行表示两条直线或者平面之间永不相交的关系。
9.角的性质：解析几何中的角有许多性质。
例如，对顶角是两条互相垂直且相交于一点的直线所形成的角；对称角的度数相等；互补角的和为90度。
10.三角形：三角形是解析几何中的一个重要图形。
三角形有许多性质，包括内角和为180度、中线相交于一点、高相交于底边垂直平分等。
11.四边形：四边形是含有四条边的多边形。
复习笔记六解析几何.docx
复习笔记6丨解析几何［基础知识要记牢］1. 直线方程的五种形式⑴点斜式：y —n=k (x —xJCfi 线过点P|(X ］, /),且斜率为化不包括尹轴和平行于尹 轴的直线).(2) 斜截式：y=kx+b(b 为直线/在y 轴上的截距，且斜率为k,不包括y 轴和平行于y 轴的直线).(3) 两点式：尹』］=X 二' I (直线过点P|(x b 门)，P1(X 2,乃)，一几X ］冷2，尹的2，不包括坐yi ~y\ 兀2一X ］标轴和平行于坐标轴的直线).(4) 截距式：》+扌=l(e b 分别为直线的横、纵截距，凡刊0,舜0,不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的肓线).(5) —般式：Ax+By+C=^其中4 B 不同时为0).2. 直线/i ： Aix+B^+C^0与直线厶：A 1x+B 1y+C 2=0的位置关系 ⑴平行^A }B 2-A 2B }=0(斜率相等)且轴上截距不相等);(2) 相交 0/02—05 工 0；(3) 重合<^A l B 2-A 2B l =0 R B l C 2-B 2C } =0； (4) •垂 r 1/2+B 02=O .3. 点到直线的距离及两平行直线间的距离⑴点P(x(), yo)到直线Ax+By +C=0的距禺为d=4. 圆的方程⑴圆的标准方程：(x —a)2+(y~b)2=r 2.(2) 圆的一般方程：x+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2~4F>0)・(3) 圆的直径式方程：(x —x 1)(%—x 2)+(y —y\)^ —yi)=0(圆的直径的两端点是A(x lt 门),Bg,力))・5. 直线与圆位置关系的判定方法⑴代数方法(判断直线与関方程联立所得方程组的解的情况)：/>00相交，/<00相离, / =0<=> 相切.(2)儿何方法(比较圆心到直线的距离与半径的人小)：设圆心到直线的距离为d,则d<r Q 相交，Q 厂O 相离，d=g 相切.(主要掌握儿何方法).禺()+莎o+q(2)两平行线/】：Ax+By+C }=0, /2： Ax+By+C 2=0间的距离为d=鱼一C2I6.圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O】，。
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题六解析几何第一讲直线和圆
专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A 到圆上距离最近为|AO |－r ，最远为|AO |＋r ； (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d ＋r ，最小为d －r ； (4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积． (5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离． 4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为( )A ．2√7B ．2√2C ．4√3D ．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y ＝2x ＋1上的点作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，则切线长的最小值为( )A ．2B ．√3C ．1D ．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232 C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx 的最大值为43 B ．y x 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D．x＋y的最大值为3＋√2听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l：ax－y＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为()A．1 B．√2C．2 D．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M为圆C：(x＋1)2＋y2＝2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是()A．直线l与圆C相切B．直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为3√22D．|PM|的最小值为√22专题六解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a )＝－1⇒a ＝13. 答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等， ∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0.综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3. 因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题[例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b 22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12).答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12)[巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP ⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2. 答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题[例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为y x 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43， ∴y x ∈[0，43]，∴(y x )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12，所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对． 答案：(1)D (2)ABD[巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2. 答案：C2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离，A 不正确，B 正确；|PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22，C 不正确，D 正确．答案：BD。
解析几何知识点总结
解析几何知识点总结一、直线1、直线的倾斜角直线倾斜角的范围是0, π)。
当直线与 x 轴平行时，倾斜角为 0；当直线与 x 轴垂直时，倾斜角为π/2 。
2、直线的斜率经过两点 P₁(x₁, y₁)，P₂(x₂, y₂)（x₁≠x₂）的直线的斜率 k ＝（y₂ y₁)／（x₂ x₁)。
当直线的倾斜角α≠π/2 时，直线的斜率 k ＝tanα 。
3、直线的方程（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁) ，其中（x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b ，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
（3）两点式：（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁) ，其中（x₁, y₁)，（x₂, y₂) 是直线上的两点。
（4）截距式：x/a ＋ y/b ＝ 1 ，其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b是直线在 y 轴上的截距。
（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （A、B 不同时为 0）。
4、两条直线的位置关系（1）平行：若两条直线的斜率都存在，分别为 k₁，k₂，则 k₁＝k₂；若两条直线的一般式方程分别为 A₁x ＋ B₁y ＋ C₁＝ 0 ，A₂x＋ B₂y ＋ C₂＝ 0 ，则 A₁B₂ A₂B₁＝ 0 且 A₁C₂ A₂C₁ ≠ 0 。
（2）垂直：若两条直线的斜率都存在，分别为 k₁，k₂，则k₁k₂＝－1 ；若两条直线的一般式方程分别为 A₁x ＋ B₁y ＋ C₁＝0 ，A₂x ＋ B₂y ＋ C₂＝ 0 ，则 A₁A₂＋ B₁B₂＝ 0 。
5、点到直线的距离点 P(x₀, y₀) 到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
6、两条平行线间的距离两条平行线 Ax ＋ By ＋ C₁＝ 0 ，Ax ＋ By ＋ C₂＝ 0 （C₁≠C₂）间的距离 d ＝｜C₁ C₂| ／√（A²＋ B²) 。
解析几何常用知识点总结
“解析几何”一网打尽（一）直线1.[)⎪⎭⎫⎝⎛≠≠--==∈2112122tan 0x x x x y y k l ，，，直线的倾斜角πααπα 2.直线的方程（1）点斜式11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).特别的：（1）已知直线纵截距，常设其方程为或；已知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k 存在时，为k 的倒数)或.知直线过点，常设其方程为或(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点； 直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等 直线的斜率为或直线过原点.(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合. 3、几个距离公式（1）两点间距离公式：1122(,)(,)A x y B x y AB =点点 (2)00(,)x y P 到直线0Ax By C ++=的距离为d =特别地，当直线L: 0x x =时，点P (00,x y )到L 的距离0d x x =-； 当直线L: 0y y =时，点P (00,x y )到L 的距离0d y y =-.(3).两平行线间的距离公式：设1122:0,:0,l Ax By C l Ax By C d ++=++==则4.两直线的位置关系：；；重合5.三角形的重心坐标公式 ：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心b y kx b =+0x =0xx my x =+m 0y =00(,)x y 00()y k x x y =-+0x x =⇔⇔⇔1±12121212121()0l l k k k k A A B B ⊥⇔=-⇔+=、都存在时{{1212211212121221//()k k A B A Bl l k k b b AC A C==⇔⇔≠≠、都存在时的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.（二）圆1. 圆的三种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ) 注意：（1）.圆心必在弦的中垂线上；两圆相切，两圆心连线必过切点；辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点。
解析几何课堂笔记
一、点，直线和圆锥曲线的位置关系及判定 1.2.直线和圆锥曲线的位置关系及判定 ① 直线与椭圆的位置关系判定0)(2)(1222222222222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=b m a kmx a x k a b b y ax mkx y ⎪⎩⎪⎨⎧<∆=∆>∆相离（无公共交点）相切（有一个交点）相交（有两个交点）000 ② 直线与双曲线的位置关系判定0)(2)(1222222222222=+---⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=b m a kmx a x k a b b y ax m kx y ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<∆=∆⎪⎩⎪⎨⎧±=±==-≠->∆相离（无公共点）相切（一个交点）线有一交点与渐进线平行且与双曲若与双曲线有一个交点若相交00,,000222222x a b y a b k k a b k a b③ 直线与抛物线的关系⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∆=∆⎩⎨⎧==≠>∆⇒=+-+⇒⎩⎨⎧=+=相离（无公共交点）相切（一个交点）与抛物线有一个交点则若与抛物线有两个交点若相交000000)(222222m y k k m x p km x k px y m kx y二、“直线与曲线相交的问题方法”① ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧>∆⋯⋯⋅+⋅++=+=-=-0:::)()(:)(][:])[(:::6521212121430021，验证验证，依题的情况而定”转化为坐标关系、范围、最值将“弦长、向量、面积或根据韦达定理得：的二次方程或得到一个关于或，消带入曲线方程把轴的截距为与消或带入知斜率或过定点存在时设直线方程，不存在时进行解题韦达定理法：s s y y y y x x x x s y x x y C l s x n y n m y x b kx y l x x k y y l k s k s ② 点差法：三、公式总结：① 弦长公式：||]4)[()11(]4)[()1(||212212212212a y y y y k x x x x k AB ∆=-+⋅+=-+⋅+= ② 向量公式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⋅⎩⎨⎧+=+=⇔+=⎩⎨⎧==⇔==+⇔=⋅⇔⊥212121212121212100y y x x b a yx yx y nx m x x b n a m c yy x x b a y y x x b a b a c c λλλ③ 分式化简公式：1. 最简分式函数：（分子分母为一次）)()(b ax a bcad a c b ax d cx x f +-+=++=2. 二次分式函数：][终极目标化成对勾函数一次二次⎪⎭⎫⎝⎛ )()()()()(])[()()()(222tm nt m t nm t t n m t t f x f a b t x b ax t tpt p t f b ax t bax pqb ax p b ax q b ax p b ax q b ax p b ax e dx cx x f +=+=+=-=+=+=+=+++=+++=+++=+++=整理得带入②或设则令① 3. 二次分式函数：⎪⎭⎫⎝⎛二次一次求值域。
高中数学解析几何知识点总结
高中数学解析几何知识点总结一、基本概念1. 点、直线和平面•点：在平面上，点是最基本的几何对象，可以用坐标表示。
在空间中，点可以用三维坐标表示。
•直线：由无数个点连成的无限延伸的轨迹，可以由两个不重合的点唯一确定。
•平面：由无数点在同一平面上组成。
2. 基本图形•线段：连接两点的线段，有起点和终点，可以用线段的长度表示。
•射线：一个起点和一个终点在同一条直线上的线段，有起始点但没有终结点。
•角：由两条半直线和公共端点组成，以顶点为中心点，夹在两条半直线之间。
二、坐标系与向量1. 坐标系•笛卡尔坐标系：直角坐标系，是一个由两条垂直的坐标轴组成的平面，用于表示点的位置。
•极坐标系：以一个点为极点，在此点设一根射线作为极轴，并规定每一个点到该射线的距离和与该射线正方向所成角度来表示该点的坐标。
2. 向量•向量的定义：向量是有大小和方向的量，表示一段膨胀或者收缩的箭头。
•向量的运算：向量可以做加法和乘法运算，具备平移、缩放和旋转的特性。
•向量的表示：向量可以用有序数组、列矩阵或坐标表示。
三、直线与圆1. 直线的方程•点斜式方程：通过已知点和斜率来表示直线的方程。
•斜截式方程：通过截距和斜率来表示直线的方程。
•两点式方程：通过两个已知点来表示直线的方程。
•一般式方程：直线的一般方程为Ax + By + C = 0。
2. 圆的方程•标准方程：圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
•一般方程：圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0。
四、曲线与曲面1. 二次曲线•椭圆：由平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹组成。
•抛物线：由平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等的点的轨迹组成。
•双曲线：有两个定点F1和F2称为焦点，对于任意一点P的到两个焦点的距离之差是常数。
2. 二次曲面•椭球面：由空间中到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹组成。
•抛物面：由空间中到一个定点的距离与到一条定直线的距离相等的点的轨迹组成。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考专题辅导与测试·数学
6．圆与圆的位置关系 已知两圆的圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，则 (1)当|O1O2|＞r1＋r2 时，两圆外离； (2)当|O1O2|＝r1＋r2 时，两圆外切； (3)当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2 时，两圆相交； (4)当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切； (5)当 0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含．
高考专题辅导与测试·数学
5．直线与圆位置关系的判定方法 (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的 情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切． (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设 圆心到直线的距离为 d，则 d<r⇔相交，d>r⇔相离，d＝r⇔ 相切．(主要掌握几何方法)．
高考专题辅导与测试·数学
4．圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程： x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． (3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆 的直径的两端点是 A(x1，y1)，B(x2，y2))．
高考专题辅导与测试·数学
[易错易混要辨明] 1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾 斜角的关系， 导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出 错． [针对练 1] 已知直线 xsin α＋y＝0， 则该直线的倾斜角 的变化范围是________．
高考专题辅导与测试·数学
解析：由题意得，直线 xsin α＋y＝0 的斜率 k＝－sin α， ∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k≤1，当－1≤k＜0 时，倾斜
复习笔记 6
解析几何
高考专题辅导与测试·数学
[基础知识要记牢] 1．直线方程的五种形式 (1)点斜式： y－y1＝k(x－x1)(直线过点 P1(x1， y1 ) ， 且斜率为 k， 不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直线)．
高考专题辅导与测试·数学
解析：当截距为 0 时，直线方程为 5x－y＝0； 当截距不为 0 时，设直线方程为 x＋y＝a，则 a＝6. ∴直线方程为 x＋y－6＝0.
答案：5x－y＝0 或 x＋y－6＝0
高考专题辅导与测试·数学
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的 讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在， 另一条直线斜率为 0. [针对练 3] 已知直线 l1：(t＋2)x＋(1－t)y＝1 与 l2：(t－ 1)x＋(2t＋3)y＋2＝0 互相垂直，则 t 的值为________．
高考专题辅导与测试·数学
2．直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的位置关系 (1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且 B1C2－B2C1≠0(在 y 轴 上截距不相等)； (2)相交⇔A1B2－A2B1≠0； (3)重合⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1＝0； (4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.
3 角的变化范围是4π，π；当
0≤k≤1 时，倾斜角的变化范围
π π 3 是0，4.故直线的倾斜角的变化范围是0，4∪4π，π.
π 3 答案：0，4∪4π，π
高考专题辅导与测试·数学
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直 线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为 0 的情况，直 x y 接设为a＋a＝1；再如，过定点 P(x0，y0)的直线往往忽视斜 率不存在的情况直接设为 y－y0＝k(x－x0)等． [针对练 2] 已知直线过点 P(1,5)，且在两坐标轴上的 截距相等，则此直线的方程为________．
解析：l1⊥l2⇔(t＋2)(t－1)＋(1－t)(2t＋3)＝0⇔t＝1 或 t ＝－1.
答案：－1 或 1
高考专题辅导与测试·数学
4．在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注 意有可能这两条直线重合； 在立体几何中一般提到的两条直 线可理解为它们不重合． [针对练 4] 设直线 l1：x＋my＋6＝0 和 l2：(m－2)x＋ 3y＋2m＝0， 当 m＝________时， l1∥l2； 当 m＝________时， l1⊥l2；当________时 l1 与 l2 相交；当 m＝________时，l1 与 l2 重合．
高考专题辅导与测试·数学
y－y1 x－x1 (3)两点式： ＝ (直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， y2－y1 x2－x1 且 x1≠x2，y1≠y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)． x y (4)截距式： b 分别为直线的横、 纵截距， 且 a≠0， a＋b＝1(a， b≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中 A，B 不同时为 0)．
高考专题辅导与测试·数学
高考专题辅导与测试·数学
高考专题辅导与测试·数学
8.抛物线 y2＝2px，过焦点的弦 AB 有如下结论： p2 (1)xA· xB＝ 4 ； (2)yA· yB＝－p2； 2p (3)|AB|＝sin2α(α 是直线 AB 的倾斜角)； (4)|AB|＝xA＋xB＋p.
ห้องสมุดไป่ตู้
1 答案：－1 2 m≠3 且 m≠－1 3
高考专题辅导与测试·数学
5．求解两条平行线之间的距离时，考生易忽视两直线 |C1－C2| 系数不相等，而直接代入公式 2 2，导致错解． A ＋B [针对练 5] 两平行直线 3x＋2y－5＝0 与 6x＋4y＋5＝0
高考专题辅导与测试·数学
3．点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1) 点 P(x0 ， y0) 到 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的 距 离 为 d ＝ |Ax0＋By0＋C| ； 2 2 A ＋B (2)两平行线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距 |C1－C2| 离为 d＝ 2 2. A ＋B