1.4运动的图象 追及与相遇问题
第一章 第4课时 专题：运动的图象 追及和相遇问题
解析
从图中看出， ～ 这段时间内，兔子没有运动， 从图中看出，0～t1 这段时间内，兔子没有运动，而乌龟
在做匀速运动， 选项错；乌龟一直做匀速运动， 在做匀速运动，所以 A 选项错；乌龟一直做匀速运动，兔子先 静止后匀速再静止最后匀速， 选项错； 静止后匀速再静止最后匀速，所以 B 选项错；在 t5 时刻以后兔 子的速度比乌龟的速度大， 选项错； 子的速度比乌龟的速度大，所以 C 选项错；在 0～t5 时间内，乌 ～ 时间内， 龟位移比兔子的位移大， 所以乌龟的平均速度比兔子的平均速度 龟位移比兔子的位移大， 大，即 D 选项正确． 选项正确．
1．在追及和相遇问题中“速度相等”(同向运动 是两物体相距 ．在追及和相遇问题中“速度相等” 同向运动 同向运动)是两物体相距 最近或最远的临界点，后面的物体能否追上前者往往需要考 最近或最远的临界点，后面的物体能否追上前者往往需要考 虑此时的位置关系． 虑此时的位置关系． 2．在追及和相遇问题中常有三类物理方程：①位移关系方程； ．在追及和相遇问题中常有三类物理方程： 位移关系方程； ②时间关系方程；③临界关系方程． 时间关系方程； 临界关系方程．
图6
解析
AB 段静止； 段表示的运动方向与初始运动方 CD
向相反且运动最快；运动 4 h 汽车的位移为 0.
3．a、b 两车在平直公路上沿同一方向行 ． 、 所示， 驶，其 v－t 图象如图 7 所示，在 t＝0 － ＝ 时，b 车在 a 车前方 s0 处，在 t＝t1 时 ＝ ) 图7 2 时刻相遇， A．若 a、b 在 t1 时刻相遇，则 s0＝ s ． 、 3 t1 B．若 a、b 在 时刻相遇，则下次相遇时刻为 2t1 时刻相遇， ． 、 2 t1 s 时刻相遇， C．若 a、b 在 时刻相遇，则 s0＝ ． 、 2 2 D．若 a、b 在 t1 时刻相遇，则下次相遇时刻为 2t1 ． 、 时刻相遇， 间内， 间内，a 车的位移为 s，则 ， (
运动的图象 追及相遇问题_课件
A. 物体在1s末速度方向改变 分析物体的运动情况
1s末、3s末速度方向都没有改变
B. 物体在3s末速度方向改变 沿正方向做加速运动
沿正方向做减速运动
C. 前4s内物体的最大速度出现在第3s末， 大小为3.5m/s
D. 物体在第2s末与第4s末的速度大小相 等，方向也相同
在第3s末物体的速度最大
练习——运动图像的六要素
例题——运动图像的六要素
同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动
匀减速至静止 ①横截距表示初速度
图线a过原点 图线a表示的运动初速度为零
b表示乙的运动
a表示甲的运动
在分析图像问题时，首先要 弄清楚该图像究竟是哪一种 图像，这可以通过观察图像 的纵坐标的意义来区分，这 是解题最关键的一步，其次 再理解图像的物理意义，分 析物体的运动性质。
某同学在开展研究性学习的过程中，利用加速度传感器研究某一物体以初速度
2m/s做直线运动的加速度a随时间t变化的规律，并在计算机上得到了前4s内物
体加速度随时间变化的关系图象，如图所示。以物体的初速度方向为正方向，
则下列说法正确的是（ D ）
A. 物体在1s末速度方向改变 a-t图象的“面积”大小
等于速度变化量
C.两球运动过程中不会相遇
v-t图象的“面积” 大小等于位移
v-t图象的“斜率” 表示加速度
D.两球做初速度方向相反的匀减速直
线运动，加速度大小相等、方向相反 甲乙同时回到出发点
例题——运动图像的六要素
同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动
匀减速至静止
②图像为x-v图像 找出x与v的定量关系式
在分析图像问题时，首先要 弄清楚该图像究竟是哪一种 图像，这可以通过观察图像 的纵坐标的意义来区分，这 是解题最关键的一步，其次 再理解图像的物理意义，分 析物体的运动性质。
物理：运动图象的实验、追及和相遇问题的实验
运动图象的实验、追及和相遇问题的实验 本类考题解答锦囊解答“运动图象的实验、追及和相遇问题的实验”一类试题，应学习以下内容：图象的应用，除了其本身表示的物理量以外，更多的是使问题变得直观、简单，在分析运动过程的时候，如果加入图象，会很明白的找到各个物理量的关系和运动的关系． 对于追及和相遇问题1．解答追及相遇问题的常用方法：(1)物理分析法：抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，按位移之间的关系来分析． (2)相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．(3)极值法：设相遇时间为t ，根据条件列方程，得到关于t 的一元二次方程用判别式进行讨论，若△>0．即有两个解，说明相遇两次：若△=0，说明刚好追上或相碰；若△<0说明追不上或不能相碰． (4)图象法：将两者的速度—时间图象在同二个坐标系中画出，然后利用图象求解 2．求解追及和相遇问题的基本思路 (1)分别对两物体研究； (2)画出运动过程示意图； (3)列出位移方程；(4)找出时间、速度、位移关系；(5)解出结果，必要时进行讨论． I 高考最新热门题1 (典型例题)质点所受的力F 随时间变化的规律如图4-3-1所示，力的方向始终在一直线上．巳知t=0时质点的速度为零．在图示t 1、t 2、t 3和t 4各时刻中，那一时刻质点的动能最大?A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4命题目的与解题技巧：本题主要考查质点的运动与受力的关系，识读图象，建立运动情景的能力．在解题过程中，要注意利用牛顿定律和运动学的图象的知识来分析．[解析] 根据图象分析，在0～t 1时间内，质点受力逐渐增大，加速度逐渐增大，质点做加速运动，速度增大；在t 1～t 2时间内，质点受力逐渐减小，但方向没有改变，所以质点仍然做加速运动，速度继续增大，只是加速度大小在逐渐减小；在t 2～t 3内，质点受力方向改变，大小逐渐增大，此时质点的速度方向与受力方向相反，质点做加速度逐渐增大的减速运动，速度减小；同理，在t 3～t 4时间内，质点做加速度逐渐减小的减速运动，速度继续减小．由以上分析可知，质点在t 2的速度最大，则动能最大．故B 项对． [答案] B2 (典型例题)为了安全，在行驶途中，车与车之间必须保持一定的距离．因为，从驾驶员看见某一情况到采取制动动作的时间里，汽车仍然要通过一段距离(称为思考距)；而从采取制动动作到车完全停止的时间里，汽车又通过一段距离(称为制动距离)．下表给出了汽车在不同速度下的思考距离和制动距离等部分数据．请分析这些数据，完成表格．**18、55、53(按列排序)．指导：由题目中所给数据，思考距离与速度成正比关系，18.21105901575945====x x ；停车距离等于思考距离与制动距离之和，则当速度为75 km/h 时，停车距离为15 m+38 m=53 m ；当速度为90km/h 时，制动距离为73m —18 m=55 m ．3(典型例题)一打点计时器固定在斜面上某处，一小车拖着穿过打点计时器的纸带从斜面上滑下，如图4-3-2所示，图4-3-3是打出的纸带的一段．已知打点计时器使用的交流电频率为50Hz ，利用图4-3-3所给出的数据可求出小车下滑的加速度a=_______.**4．0m/s 2指导：每相邻的两个计数点间的运动时间 T=2×0．02 s=0．04 s 利用数据中应用0逐差法可求得 222222456789/0.4/)04.04(1026.10)4()()(s m s m T s s s s s s s a =⨯⨯=++-+++=-4 (典型例题)实验装置如图4-3-4所示，一木块放在水平长木板上，左侧拴有一细软线，跨过固定在木板边缘的滑轮与一重物相连．木块右侧与打点计时器的纸带相连．在重物牵引下，木块在木板上向左运动，重物落地后，木块继续向左做匀减速运动．图4-3-5给出了重物落地后打点计时器在纸带上打出的一些点，试根据给出的数据求木 块与木板间的摩擦因数μ，要求写出主要的运算过程，结果保留两位有效数字．(打点计时器所用交流电频率为50Hz ，不计纸带与木块间的拉力．取重力加速度g=10m ／s 2)**0．3 指导：由给出的数据可知，重物落地后，木块在连续相等的时间T 内的位移的分别是s1≈7．72cm ，s 2≈7．21 cm ，≈6．71 cm ，s 4≈6．25 cm ，s 5 ≈5．76 am ，s 6≈5．29 cm ，s7≈4．81cm ，s8≈4．3lcm 以a 表示加速度，根据匀变速直线运动的规律，有 2483726154)]()()()[(41aT s s s s s s s s s =-+++-+-=∆ 又知了T=0．04s 解得O=3．0m/s 2重物落地后木块只受摩擦力的作用，以m 表示木块的质量根据牛顿定律，有-μg=ma 解得μ=0．30Ⅱ 题点经典类型题1 (典型例题)甲、乙两物体相距s ，同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零，加速度a 1，的匀加速直线运动，乙在后做初速度为v 0，加速度为a 2的匀加速 直线运动，则 A.若a 1=a 2，则两物体可能相遇一次 B ．若a 1>a 2，则两物体可能相遇二次 C.若a 1<a 2，则两物体可能相遇二次D.若a 1＞a 2，则两物体也可相遇一次或不相遇命题目的与解题技巧：考生追及问题某些情况，在解答时应该注意一元二次方程的解法 [解析] 设乙追上甲的时间为t ，追上时它们的位移有v o t+s t a t a =-21222121上式化简得：(a 1-a 2)t 2-2v o t+2s=0解得：s=)(2)(8422121200a a a a s v v ---±(1)当a 1>a 2时，判别式“△”的值由”v 0、a 1，a 2，s 共同决定，且∆<2vo ，而△的值可能小于零、等于零、大于零、则两物体可能不相遇，相遇一次，相遇两次，所以选项B 、D 正确． (2)当a1＜a2时，t 的表达式可表示为 )(2)(842121200a a a a s v v t ---±-=显然，△一定大于零，且∆>2vo ，所以t 有两解，但t 不能为负值，只有一解有物理意义，只能相遇一次，故C 选项错误．(3)当a 1=a 2时，解一元一次方程得t=s/v o ，一定相遇一次，故A 项正确，综合得正确答案为A 、B 、D ． [答案] ABD2 (典型例题)如图4-3-8所示，物体从斜面上的A 点由静止开即下滑，第一次沿光滑斜面AB 滑到底端用时间t 1，第二次沿光滑折面ACD 下滑,滑到底端时间t 2，已知AC+CD=AB ，在各斜面的等高处，物体的速率均相等，下列判断正确的是 A ．t 1>t 2 B ．t 1=t 2C.t 1<t 2D.不能确定**2．A 指导：用图象求解，第一次做加速度恒定的匀变速直线运动，设为 a ，第二次先做加速度较大的匀变速直线运动，设为a 1，a 1>a ，然后再做加速度较小的匀变速直线运动，设为a 2，a 2<a ，到达底部时速度相等，在D4-4图中分别做由其运动图象；如图D4-4所示，由图象可得t 1>t 23 (典型例题)某人骑自行车以4m ／s 的速度匀速前进，某时刻在他前面7 m 处以10 m ／s 的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以2m ／s 2的加速度匀减速前进，此人需要多长时间才能追上汽车? **8s 指导：汽车匀减速前进的时间s a v t 50==，此时汽车距骑车人的初始位置为m at t v s s 32)21(2200=-+= 在时间t 内骑车人前进的距离为s ′=20m<s 这说明骑车人应在汽车停下后才能追上汽车，所以骑车人追上汽车t4 (典型例题)一辆汽车在十字路口等候绿灯．当绿灯亮时汽车以3 m ／s 2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m ／s 的速度驶来，从后边赶过汽车，试求(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少? (2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少? **(1)2s,6m(2)4s,12m/sm at t v s 62321262122=⨯⨯-⨯=-=∆自 汽车追上自行车时，二车位移相等，则有：s m s m t a v st at t v /12/434212=⨯='='=''='解得 Ⅲ 新高考命题方向预测1 两辆完全相同的汽车，沿水平直线一前一后匀速行驶，速度均为v o ，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住后，后车以前车刹车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行的距离为s ，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为A ．1 sB ．2 sC ．3 sD ．4 s** B 指导：前车刹车的位移av s 220=，后车在刹车的过程中匀速，行驶的位移：s 1=v 0t ，且av s a v t 2,200==，后车刹车的位移：a v s 2202= 后车的总位移m av s s s s 3232211==++='，所以两车在匀速行驶时保持的距离至少是ΔS=S ′-S=2m 2 甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16m ／s ．已知甲车紧急刹车时加速度a 1=3m/s 2，乙车紧急刹车时加速度a 2=4m ／s 2，乙车司机反应时间为0.5s(即乙车司机看到甲车刹车后o.5 s 才开始刹车)，求为保证两车紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离?**2．9．5 m 指导：设经过时间°两车相遇，且速度大小相等，设原来相距5，由位置关系看；16×0．6+16s-s t t t +⨯-=-⨯3232116)5.0(421① 速度关系：16-4(t-0．5)=16—3t ② 由①②得s=9．5 m3 一宇宙空间探测器从某一星球的表面垂直升空，假设探测器的质量恒为1500ks ，发动机的推力为恒力，宇宙探测器升空到某一高度时，发动机突然关闭，如图4-3-9表示其速度随时间的变化规律．(1)升高后9s ，25 s ，45 s ，即在图线上A 、B 、C 三点探测器的运动情况如何? (2)求探测器在该行星表面达到的最大高度．(3)计算该行星表面的重力加速度及发动机的推动力． (假设行星表面没有空气) **(1)略 (2) 800m (3)1．65×104N指导：(1)升空过程是探测器做初速为零的匀加速直线运动， 9s 未发动机关闭，此时速度最大；此后作匀减速运动，25 s 未速度为零，此时探测器离行星表面最高；再后探测器返回，做自由落体运动，45s 未落地，速度大小为80m/s(2)由上述分析知25g 末探测器距行星表面最高，最大高度.800642521m m h m =⨯⨯=(3)由9s ～45 s 计算图象的斜率可得该行星表面的重力加速度2/49456480s m g =-+=，对0～9s 过程中运用牛顿第二定律有F —mg=ma 而./7/96422s m s m a ==故F=m(g+a)=1500×(4+7)N=1．67×104N ．考场热身探究性命题综合测试1 一质点由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a 1，经时间t 后做匀减速直线运动，加速度大小为a 2，若再经时间t 恰能回到出发点，则a 1：a 2应为 A ．1：1 B ．1：2C ．1：3D ．1：4**1．C 指导：画出质点运动示意图，如图15，设质点由A 点从静止运动，加速度向右大小为a1，经时间t 到B 点，设此时速度为vB ，之后匀减速直线运动，到C 点速度减为零后又反向匀加速运动到出发点A ，质点由B →C →A 所用时间为t ，显然质点前后两段时间内位移大小相等，方向相反，由运动学规律前段时间内 后段时间内t a v t a s B 1211.21==后段时间内22221t a t v s B -==其中s 1=-s 2 即)21(.212221t a t v t a B --= 将v B 代入即可解得a 2=3a12 物体沿一直线运动，在t 时间内通过的路程为s ，它在中间位置s 21处的速度为v 1,在中间时刻21时的速度为v 2，则v 1和v 2的关系为A.当物体做匀加速直线运动时，v 1＞v 2 B ．当物体做匀减速直线运动时，v 1＞v 2C.当物体做匀速直线运动时，v 1=v 2D ．当物体做匀减速直线运动时，v 1＜v 2 ** ABC 指导：(1)公式法：2102220121212021,2,222,22v v vv v v v v s av v s a v v t t >∴+=+=∴=-=-又 (2)图象法：图D4—5甲乙分别表示匀加速情况和匀减速情况，显然v 1>v 2.(3)分析法：如图17甲，设物体由A →B 为匀加速，由于是加速，故在中间时刻物体位于中点位置左侧，即v 1>v 2；而减速时，中间时刻物体位于中点位置右侧，则有v 1>v 2．3 一质点沿直线Ox 做加速运动，它离开O 点的距离x 随时间t 的变化关系为x=5+2t 3，其中x 的单位是m ，t 的单位是s ．它的速度v 随时间t 变化的关系为v=6t 2，v 的单位是m ／s ，t 的单位是s ．设该质点在t=0到t=2s 间的平均速度为v 1,t=2s 到t=3s 间的平均速度v 2，则 A ．v 1=12 m ／s ，v 2=39 m ／s B ．v 1=8 m ／s ，v 2=38 m ／s C ．v 1=12 m ／s ，v 2=19.5 m ／s D ．v 1=8 m ／s ，v 2=13 m ／s** B 指导：将t=0，t=2 s ，t=3 s 分别代人x=5+2t 3，得s 1、 s 2、s 3 的值, s m t ss v s m t s s v /8,/822322321=∆-==∆-=4 做匀加速直线运动的质点，连续经A 、B 、C 三点，已知AB=BC ，且知质点在AB 段的平均速度为3 m ／s ，在BC 段平均速度为6 m ／s ，则质点在B 点时速度为 A ．4 m ／s B ．4.5 m ／sC ．5 m ／sD ．5.5 m ／s** C 指导：由21v =v 知，AB 中间时刻速度为3m/s ，BC 中间时刻速度为6m/s ，又AB=BC可知，,236==BC AB t t 设v 1-v 0=at 有6-3=a(t+2t ),故v B =3+at=5m/s5 汽车正以10m ／s 的速度在平直公路上行驶，在它的正前方s 处有一辆自行车以4 m ／s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车司机立即刹车做加速度a=-6m ／s 2的匀减速直线运动，若汽车恰好不碰上自行车，则s 的大小为A ．9.67 mB ．3.3 mC ．3 mD ．7 m**C 指导：由题可知，当汽车减速到4m/s 时恰好与自行车同位置是满足条件的临界．时间,61040=--=-=s a v v t t ,7)6(210422220211m m a v v s =-⨯-=-=所以． S=s 1-v 自t=(7-4×1)m=3m.6 如图Z4-1所示，传送带装置保持1m ／s 的速度水平向右平移，现将一质量m=0.5ks 的物体在离传送带很近a 点轻轻的放上，设物体与传送带间的摩擦因数μ= 0.1，a 、b 间的距离L=2.5m ，则物体从a 点运动到b 点所经历的时间为 A.s B s)16(.5-C ．3 sD ．2.5 s** C 指导：物体开始作匀加速直线运动，a=μg=1m/s 2，速度达到皮带的速度时发生的位移s=av 22=0．5m<L ，故物体接着做匀速直线运动，第1段时间s a v t 11==第2段时间t 2.3,221s t t t s vs L =+==-=总 7 甲物体在地面上A 点竖直上抛，同时乙物体在A 点正上方H 高处自由下落，若两物体恰好不能在空中相遇，则甲物体上升的最 大高度是多少?**指导：要满足题目条件，必须满足甲恰好落回地面时被乙追上，则，所以乙追上,则.41,22,212H h g h t gt H ===所以 8 跳伞运动员做低空跳伞表演，飞机离地面224m 水平飞行，运动员离开飞机在竖直方向做自由落体运动；经过一段时间后，立即打开降落伞，展开伞后运动员以12.5 m ／s 2的加速度在竖直方向上匀减速下降，为了运动员的安全，要求运动员落地时竖直方向的速度最大不超过5 m ／s(g=10m ／s 2)，求： (1)运动员展开伞时，离地面的高度至少多少?(2)运动员在空中的最短时间是多少?**(1)99m 1．25 m(2)8．6s 指导：运动员跳伞表演的过程可分为两个阶段，即降落伞打开前和打开后，由于降落伞的作用，在满足最小度且安全着地的条件下，可认为5m/s 的着地速度方向是竖直向下的，因此求解过程中只考虑其竖直方向的运动情况即可，在竖走方向上的运动情况如图D 4—6所示，g=10m/s 2a=12.5m/s 2(1)由公式可得可得as v v t 2202=-第一阶段：v 2=2gh ① 第二阶段：v 2-52=2ah 2 ②又 h 1+h 2=224 ③由①②③式得。
运动图象-追及和相遇问题
运动图象 追及和相遇问题★一、考情直播 １.考纲解读考纲内容能力规定考向定位匀变速直线运动及其图象（课标中规定能用图象描述匀变速直线运动)1掌握运动图象及其物理意义．２.掌握追及和相遇问题旳运动学条件,会运用位移和时间及速度旳关系解决有关旳临界问题.新课标非常注重用图象来反映信息或用图象解决信息，图象在每年旳高考中，肯定均会波及2.考点整合考点1运动图象旳物理意义及应用 １.位移-时间(s-t)图象（如图1-４-１） 图线上旳某点旳纵坐标值表达运动物体该时刻对参照位置旳距离,任意一段时间间隔相应旳纵坐标值旳变化值表达该段时间内旳位移（正负表达位移旳方向）.图线旳斜率（曲线某点旳切线斜率）表达速度．2.速度－时间（v-t)图象(如图1-4-2） 图线旳斜率(曲线某点旳切线斜率)表达加速度．速度图线与时间轴围成旳几何图形旳“面积”表达该段时间内物体发生旳位移旳大小,时间轴上方旳面积表达正向位移,下方旳面积表达负向位移,代数和表达总位移,绝对值之和表达路程．我们可以根据图线旳形状判断直线运动旳性质,如图１-4－1和图1-4－2中旳图线:图线错误!描述旳是匀速直线运动;图线错误!描述旳图1-4-1图1-4-2是初速度为零旳匀加速直线运动；图线错误!描述旳是初速不为零旳匀加速直线运动;图线错误!描述旳是匀减速直线运动．速度图象和位移图象中旳图线也许相似,但描述旳运动性质却不同，如图1-４－２中旳图线错误!表达物体做初速度为零旳匀加速直线运动,图1－4－1中旳图线＼o ＼a ｃ(○,1)表达物体做匀速直线运动.【例1】一质点沿直线运动时旳速度—时间图线如图1-4-３所示,则如下说法中对旳旳是：A ．第1s 末质点旳位移和速度都变化方向.B.第2ｓ末质点旳位移变化方向.C.０-４s 内质点旳位移为零.D ．第3s 末和第５s 末质点旳位置相似.解析:该图象为速度图象,从图线中可以直接从纵坐标轴上读出速度，其正、负就表达速度方向,位移为速度图线下旳“面积”，在坐标轴下方旳“面积”为负.由图1－3－3中可直接看出,速度方向发生变化旳时刻是第2s 末、第4s 末，而位移始终为正值，前2ｓ内位移逐渐增大,第3s 、第４s 内又逐渐减小.第４s 末位移为零,后来又如此变化．0-3s 内与0-5s 内旳位移均为0.５ｍ．故选项ＣD 对旳．答案：ＣD[规律总结] 速度图线(切线)旳斜率表达加速度;位移图线（切线)旳斜率表达速度.速度图线与横轴围成旳面积与位移大小相等【例2】训练集中营1t/s V/m0 1-11 2 3 4 5 图图１-１.[易错题］如图1-4-4所示为表达甲、乙物体运动旳s─t图象,则其中错误旳是：Ａ．甲物体做变速直线运动,乙物体做匀速直线运动B.两物体旳初速度都为零Ｃ.在t1 时间内两物体平均速度大小相等D.相遇时，甲旳速度不小于乙旳速度解析：s-t图象描述物体运动位移随时间变化旳关系，图线（某点切线）斜率表达速度，故B错，Ａ、Ｄ对旳;图线交点表达两物体相遇,又从图线上看两物体从同一位置出发,t1 时间内旳位移相等，因此平均速度大小相等，C对旳.答案：B.考点2 追及和相向相遇追及和相遇问题旳特点:追及和相遇问题是一类常见旳运动学问题，从时间和空间旳角度来讲,相遇是指同一时刻达到同一位置.可见,相遇旳物体必然存在如下两个关系:一是相遇位置与各物体旳初始位置之间存在一定旳位移关系．若同地出发，相遇时位移相等为空间条件.二是相遇物体旳运动时间也存在一定旳关系.若物体同步出发,运动时间相等;若甲比乙早出发Δt，则运动时间关系为t甲=ｔ乙＋Δｔ．要使物体相遇就必须同步满足位移关系和运动时间关系．【例3】火车以速率Ｖ1向前行驶，司机忽然发目前前方同一轨道上距车为S处有另一辆火车，它正沿相似旳方向以较小旳速率V2作匀速运动，于是司机立虽然车作匀减速运动，加速度大小为ａ,要使两车不致相撞,求出a 应满足关式．解析:设通过t 时刻两车相遇，则有21221at t V S t V -=+，整顿得:02)(2122=+-+S t V V at ，要使两车不致相撞，则上述方程无解，即08)(442122<--=-=∆aS V V ac b ,解得SV V a 2)(221-≥.答案:SV V a 2)(221-≥[规律总结]无论那种追及或相遇问题，都可以建立位移和时间关系方程进行求解，在分析时注意辨别几种追碰(或规避)状况旳条件:（１）两物体同方向运动且开始相距一定距离，设前后物体旳加速度分别为1a 、2a ，如下几种状况能追及（碰)：①两者同向加速，12a a >,如果两者速度相等时距离等于零,则能追上;若两者速度相等时距离不等于零则后来无法追上;；②两者同向加速,12a a <;③前一物体减速，后一物体加速,一定能追及;④前一物体加速，后一物体减速,如果两者速度相等时不能追上则后来无法追及;⑤两者均减速运动，12a a <,如果两者速度相等时不能追及则无法追及;12a a >,两者不相撞旳安全条件是两者速度等于零时后一物体正好追上前一物体.（2）两物体相反方向运动,列写位移和时间关系方程即可求解．【例4】［易错题]甲、乙两质点同步开始在彼此平行且接近旳两水平轨道上同步运动,甲在前,乙在后,相距s ．甲初速度为零,加速度为a ,做匀加速直线运动;乙以速度0v 做匀速运动，有关两质点在相遇前旳运动，某同窗作了如下分析：设两质点相遇前，它们之间旳距离为s ∆,则t v s at s 0221-+=∆,当a v t 0=时，两质点间距离s ∆有最小值,也就是两质点速度相等时,两质点之间距离近来.你觉得他旳分析与否对旳？如果觉得是对旳旳,祈求出它们旳最小距离;如果觉得是不对旳旳,请阐明理由并作出对旳旳分析．解析：不对旳.在两质点相遇之前,它们之间旳距离s ∆也也许不断减小，直到0=∆s (相遇),而不存在先变小后变大旳状况,这完全取决于两质点之间旳初始距离s 与0v 、a 之间旳大小关系.由s t v at s +-=∆0221可解得:判断式as v 220-=∆.当as v 22≥，即avs 220≤时，甲、乙之间旳距离始终在减小,直至相遇(最小距离0=∆s ),两质点相遇前不会浮现s ∆最小旳状况．当as v 22<,即a v s 220>时,甲与乙不也许相遇,当avt 0=时,两质点之间旳距离近来,avs s 220min-=∆．答案：(略)★二、高考重点、热点题型探究重点：t x -图象旳应用．t x -图象不一定是指位移时间图象,ｘ可以表达位移、也可以表达其他物理量．[真题预测１］（广东）平行板间加如图1-４-８（a）所示周期变化旳电压，重力不计旳带电－粒子静止在平行板中央，从t ＝0时刻开始将其释放,运动过程无碰板状况．图１-4-8（b)中,能定性描述粒子运动旳速度图象对旳旳是[解析］ 带电粒子只受电场力作用，在02T -时间内做匀加速运动,2TT -时间内做匀减速运动,在接下来旳一种周期内先继续向原方向做匀加速运动后做匀减速运动,B 、C 、D 三个图象均错.[答案]A[名师指引］考点：电场力、牛顿第二定律、匀变速直线运动规律、ｖ-t 图象．根据变化旳电压分段分析带电粒子所受旳电场力,并应用牛顿运动定律和匀变速直线运动规律求出速度旳函数体现式，或根据运动性质求出特殊时刻旳速度和相应速度图象旳特点画出速度图象．[真题预测2］(海南)两辆游戏赛车ａ、b 在两条平行旳直车道上行驶．t =0时两车都在同一计时处，此时比赛开始．它们在四次比赛中旳ｖ-t 图如图1－4-10所示．哪些图相应旳比赛中，有一辆赛车追上了另一辆？ABCD图1-4-8[解析]v-t 图线与时间轴围成旳几何图形旳面积等于这段时间位移旳大小．B 、D 两图中无法得到相等时间面积相等旳几何图形，但在A 、C 两图中都可以实现.A 图所描述旳是a 在前,ｂ在后,最后b 追上ａ并超过;Ｃ图所描述旳是a 在前做减速运动，b 在后做加速运动，最后ｂ追上ａ并超过.[答案］AC[名师指引］考点：v-t 图象．速度图线旳斜率为加速度值,图线与时间轴围成旳几何图形旳面积等于位移旳大小.[真题预测3]（山东理综）如图1-4-1２(ａ)所示，光滑轨道ＭO 和ON 底端对接且ON ＝2M Ｏ，M 、N 两点高度相似.小球自Ｍ点右静止图1-4-12（a ）图1-4-12(b)ABCD/A/B /C/D图1-4-10自由滚下，忽视小球通过Ｏ点时旳机械能损失，以v、s、a、ＥＫ分别表达小球旳速度、位移、加速度和动能四个物理量旳大小．图1-4-１２(ｂ）图象中能对旳反映小球自M点到N点运动过程旳是[解析]小球无论在那个面上运动其加速度都是恒定旳，即做加速度不同旳匀变速运动，因此Ｂ、Ｃ均不对旳.由于全过程只有重力做功，故机械能守恒．在任一斜面上，由于小球旳速度大小随时间均匀变化,因此动能与时间成二次函数关系，故Ｄ错误．［答案］A[点评]考点:ｓ－t图象、ｖ-t图象、a-t图象、E t 图象.无论上k述那个图象都是反映相应物理量随时间变化旳曲线,如果该物理量与时间成一次函数关系则图线为斜直线，如果是有关时间旳二次函数则图线为曲线．热点:波及几种图象旳信息题［真题预测4]（上海)固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一种光滑小环,小环在沿杆方向旳推力F作用下向上运动,推力F 与小环速度ｖ随时间变化规律如图１-4-14所示，取重力加速度g＝10 ｍ/ｓ2.求：⑴小环旳质量m;⑵细杆与地面间旳倾角．图1-4-14α F6 F /N 0 2 4 55.5 t /s 6 v /m·s －10 2 4 1t /s[解析］ 由图得：20.5 m/s v a t== ,前2 s 有：Ｆ2－mg sin =ma ，2 s 后有:F 2=mg sin代入数据可解得:m =1 ｋg ，＝30[答案] m ＝1 k ｇ，=30［名师指引]考点：F-t 图象、ｖ-t 图象及物理意义、牛顿第二定律．由速度图象计算物体运动旳加速度,结合F-ｔ图象分析物体受力状况并应用牛顿第二定律进行求解.。
运动图像、追和、相遇问题
1
3
6
1
2
23 4
912 15345• 1、画法：横 坐标表示时 间t，纵坐标 表示速度v
5 t/s
二、速度与时间图像
2、从图像能得到的物理量： ①可知任一时刻所对应的速度。 ②某一段时间内速度的改变量。 ③可知物体运动的加速度，利用斜率 ④判断物体的运动状态。 ⑤通过求图像和坐标轴围城的“面积
”求物体运动的位移。
二、速度与时间图像
• 3、位移与时间图像的意义 • <1>物理意义：反映了做直线运动
的物体的速度随时间变化的规律． • <2>图线斜率的意义： • ①图线上某点切线的斜率的大小表
示物体运动的加速度． • ②图线上某点切线的斜率的正负表
示加速
二、速度与时间图像
• <3>图象与坐标轴围成的“面积”的意义 • ①图象与坐标轴围成的面积的数值表示
x/m
度图像与横轴平行
0.3
30
0.2
20
0.1
10
0 1 2 3 4 t/s
0 1 2 3 4t/s -0.1
-0.2
0 10 20 30
-0.3
x/m
三、巩固练习
应用：根据图象描述质点的运动情况：
x/m
v/m*s-1
30
C
30
C
20
20
10
O
-10
AB
D t/s 1 2345
10
O
-10
AB
D t/s 1 2345
间图像
一、位移与时间图像
• 3、位移与时间图像的意义 • <1>物理意义：反映了做直线运动的物
专题1追及相遇问题和运动图像问题
匀速直线运动或静止 匀速直线或匀变速运 动
曲线 图象的斜率
变速运动 等于速度,斜率为正 (或负)值,表示速度为 正(或负)方向
变加速运动 等于加速度,斜率为正 (或负)值,表示加速度 为正(或负)方向
图象积”在 时间轴上(或下)方,则 位移取正(或负)值
vv a
过B车,则相撞,反之则不能相撞。A车减为与B车同速用时t= 0 =
20 6 s=28 s,此时间内B车的位移为x =v t=6×28 m=168 m,A车的位移
2 2
0.5 v 2 v0 2 400 36 x 1 = = m=364 m,两车位移之差Δx=x1-x2=(364-168) m=196 2a 0.5 2
图有机结合起来。
3.图象的识别及基本应用
【例4】 (2011· 海南单科)一物体自t=0时开始做直线运动,其速度图象
如图所示。下列选项正确的是(
)。
A.在0~6 s内,物体离出发点最远为30 m B.在0~6 s内,物体经过的路程为40 m C.在0~4 s内,物体的平均速率为7.5 m/s
D.在5~6 s内,物体所受的合外力做负功
图所示。则0~4 s时间内,下列说法正确的是( A.A车的加速度为5 m/s2 B.3 s末A车速度为7 m/s C.在2 s末A车追上B车 D.两车相距最远为5 m )。
解析:根据题图可知,A车的加速度 a=2.5 m/s2,3 s末的速度v=at=7.5 m/s, 选项A、B错误;2 s末B车的位移xB=2×5 m=10 m,A车的位移xA=5 m, 二者速度相等,相距最远为xB-xA=5 m,选项C错,D对。 答案:D
传送带以恒定的加速度a0开始运动,当其速度达到v0后,便以此速度做 匀速运动。经过一段时间,煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后,煤 块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。
运动的图像 追及和相遇问题精讲
(1)无论是x－t图像还是v－t图像都只能描述直线运动．
(2)x－t图像和v－t图像不表示物体运动的轨迹．
第4页
高考一轮总复习
三、追及和相遇问题 1．追及、相遇问题的概述．
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，
所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越 小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题． 2．追及问题的两类情况(两物体由同一位置出发)． (1)速度大者匀减速追速度小者(如匀速运动)：
斜率的大小表示加 速度的大小 斜率的正负表示加 速度的方向 表示相应的时间内 的位移
第19页
高考一轮总复习
名师提示：(1)速度图像向上倾斜即斜率大于零时，物体不一定是 做加速运动，向下倾斜即斜率小于零，物体也不一定做减速运动，物体
加速或减速取决于a和v的符号，v与a同正或同负则加速，v与a一正一负
图 2－ 3－ 5
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高考一轮总复习
解析：由图像知三个质点在t0时间内的位移相等，则平均速度也相 等，故 A 、 B错误， C 正确；质点 B 、 C一直朝着正方向做直线运动，而
质点A过了位移为x0的位置后又返回此位置，因此其路程最大，D错误．
答案：(1)3 m/s2
(2x－t图像分析物体的运动
【例1】 A、B、C三质点同时同地沿一直线运动，其x－t图像如图 2－3－5所示，则在0～t0这段时间内，下列说法中正确的是( A．质点A的位移最大 )
B．质点C的平均速度最小
C．三质点的位移大小相等
D．三质点的路程相等
A．0～1s内的平均速度是2 m/s B．0～2 s内的位移大小是3 m
C．0～1 s内的加速度大于2～4 s
高中物理讲义：运动图像 追及和相遇问题
高中物理讲义：运动图像追及和相遇问题一、运动图像[注1]1．xt图像(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。
(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小,斜率正负表示物体速度的方向。
[注2]2．vt图像(1)物理意义：反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律。
(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小,斜率正负表示物体加速度的方向。
(3)“面积”的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。
②若面积在时间轴的上方,表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方,表示位移方向为负方向。
二、追及和相遇问题1．追及问题的两类情况[注3](1)若后者能追上前者,追上时,两者处于同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。
(2)若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度相等时,两者相距最近。
2．相遇问题[注4]相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。
【注解释疑】[注1] 无论vt图像还是xt图像,描述的一定是直线运动。
[注2] 斜率是数学语言,表示直线的倾斜程度；斜率具有物理意义,可表示物体运动的速度或加速度。
[注3] 速度相等是判断追上或追不上的切入点。
[注4] 同向追及时,当追赶者位移等于被追赶者位移与初始间距之和时即相遇。
[深化理解]1．识图中常见的三类错误(1)错误地认为图像就是质点的运动轨迹。
(2)错将图线的交点都当成相遇,而vt图线的交点表示该时刻速度相同。
(3)错误理解图线斜率的意义,比如认为vt图像斜率为正,则质点一定做加速运动,斜率为负,则质点一定做减速运动。
2．追及和相遇问题分两类,一类为一定能追上,直接列位移方程,找位移关系；另一类为可能追上,需根据速度关系判断能否追上。
[基础自测]一、判断题(1)xt图像和vt图像都表示物体运动的轨迹。
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2(a1 - a 2 )
当a1>a2时，判别式Δ的值由v0、a1、a2、s共同决定，且
<2v0 ，而Δ的值可能小于零、大于零、等于零，则两物
体可能相遇一次、相遇两次、不相遇，所以选项B、D 正确．
当a1<a2时，t的表达式可表示为 t＝
2v0 4v 0 8 s (a1 - a 2 )
2
x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知x＝
1 2
v0·t＝ v0·
2
1
v0 3a
＝
v0
2
，所以要使两车不相撞，
6ax.
6a
A车的初速度v0应满足的条件是v0≤
【方法与知识感悟】(1)求解追及和相遇问题的基本 思路
①分别对两物体进行研究，画出运动过程示意图； ②列出位移方程； ③找出时间关系、速度关系、位移关系；
的距离称为“加速距离”，离地后重心继续上升，在此 过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”．现有下
列数据：人原地上跳的“加速距离”d1＝0.5 m，“竖直
高度” h1 ＝1.0 m；跳蚤原地上跳的“加速距离” d2 ＝ 0.00080 m，“竖直高度”h2＝0.10 m．假想人具有与跳 蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为0.50 m，则 人跳的“竖直高度”是多少？
第4节 运动的图象
追及与相遇问题
一、运动的图象
1．直线运动图象的意义
图象法是一种通过建立坐标系来表达物体运动规律的 重要方法．形状类似的图象在不同的坐标系中表示的 物理规律不同，因此，应用图象时，首先要看清纵、 横坐标代表哪种物理量．
对直线运动的图象的认识应该做到：
(1)能根据图象识别物体运动的性质； (2)能认识图象截距的意义；
坐标轴所围面积表示位移，由图
象可知位移相同时t乙最小，故B正确．
4．甲、乙两物体相距s，同时同向沿同一直线运动，
乙在前面做初速度为零、加速度为a1 的匀加速直线运
动，甲在后做初速度为v0 、加速度为a2 的匀加速直线 运动，则( ABD )
A．若a1＝a2，则两物体可能相遇一次
B．若a1>a2，则两物体可能相遇两次
匀减速 直线运动．图线下边覆盖的面积表示运动 的 位移 ．两图线的交点P可反映出在时刻t两个运动 (c和d) 有相同的速度 ．
二、追及和相遇问题
1．追及和相遇问题概述
同一直线上 运动时，由于两物体的 距离 会不断 运动情况不同，所以两物体之间的 当两个物体在 发生变化，两物体间距或越来越大或越来越小，这时 就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．
2(a1 - a 2 )
显然Δ一定大于零，且>2v0 ，所以t有两解，但t不能为负 值，只有一解有意义，只能相遇一次，故C不正确．
当a1 ＝a2 时，解一元一次方程得t＝s/v0 ，一定相遇 一次，故A正确． 综上所述ABD正确． 解法二：图象法 用速度—时间图象来进行分析．先作出两物体的速 度—时间图象，根据加速度大小关系可能有三种情 况，如图所示．
由两物体在同一位置坐标处的速度大小关系讨论两物
体能否追上、相遇或碰撞的条件． ③图象法：画出两物体的速度图象，利用图线下面所 围面积即为物体运动的位移大小的特点，解决物理问 题．
1．某物体的位移图象如图所示，则 下列叙述正确的是 ( BCD )
A．物体运行的轨迹是抛物线
B．物体运动的时间为8 s C．物体运动所能达到的最大位移为80 m D．在t＝4 s时刻，物体的瞬时速度为零
④解出结果，对结果进行必要的讨论．
(2)求解追及和相遇问题的方法
①数学方法：根据两物体相遇时的位置坐标相同及两 物的运动时间，求出各自的位移方程．再根据它们位 移间的几何关系，建立两物的位移与运动时间之间
的一元二次方程．然后利用根的判别式Δ＝b2－4ac满
足的条件来讨论． ②物理方法：首先根据两物体相遇时的位置坐标相同 及两物的运动时间，求出各自的位移方程．再根据两 物位移的几何关系，建立出两物体的位移方程．然后
②若两者位移相等时，则追上．
3．相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于
开始时两物体的距离时即相遇．
题型一：对运动图像的认识和理解 例1 如图是甲、乙两物体做直
线运动的v一t图象．下列表述正
确的是 ( )
A．乙做匀加速直线运动 B．0～1 s内甲和乙的位移相等 C．甲和乙的加速度方向相同 D．甲的加速度比乙的小
、s＝ vc(t－t0) ，都是 匀速 直线运动的
位移—时间图象．纵轴截距s0表示在t＝0时a在b
前方s0处 ； 横 轴 截 距 t0 表 示 c 比 b 和
a 晚出发t0时间 ；斜率表示运动 速度 ，容易看出
vc>vb＝va ；交点P可反映出t时刻 c追上b . 3．速度—时间(v－t)图象 物体运动的v－t图象表示物体运动的速度随时间变化
的面积为d2、ΔABC的面积为h2、ΔODF的面积为d1、 ΔDEF的面积为h(所求量)．由相似三角形知识可得
d1 h
d1 h2
＝
，解得h＝
d1 d2
h2＝62.5 m.
【方法与知识感悟】对于一些较复杂的运动学问题， 采用v－t图象分析解答比较简便．解题的关键是： (1)能正确的分析物体的运动情况； (2)准确地画出其v－t图象； (3)能从图象中找出各物理量的关系，特别是图象与 时间轴所围的面积表示位移．
6ax .
解法二：(数学法)利用判别式求解，由解法一可知xA ＝x＋xB，即v0t＋
1 2
×(－2a)×t2＝x＋
1 2
at2，整理得
3at2－2v0t＋2x＝0，这是一个关于时间t的一元二次方
程，当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2x<0时，t无实
数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的
当a1＝a2时，如图(a)所示，在相等时间内甲的位移总是比 乙的位移大，所以，总有一个时刻t1，甲与乙的位移差正
好等于s，也就是一定能相遇一次；
当a1>a2时，如(c)图所示，先是甲比乙快，后又乙比
甲快，图中阴影部分“面积”表示甲的位移比乙的 位移多出部分的最大值，如果图中阴影部分“面积” 小于s，就不可能相遇；如果阴影部分“面积”等于 s，就会相遇一次，即在图中时刻t2 相遇；如果阴影 部分“面积”大于s，就可能相遇两次，即图中时刻 t1和t3，一次是甲赶上乙，另一次是乙反超甲； 当a1<a2时，如(b)图所示，在相等时间内甲的位移总
2．追及问题的两类情况
(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如
匀速运动)：
①当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移， 则永远追不上，此时两者间有 最小 距离．
②若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上， 也是两者 避免碰撞 的临界条件． ③若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度， 则因追者是减速运动，被追者还有一次追上追者的机会， 最大 其间速度相等时两者间距离有一个 值． (2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速 度大者(如匀速运动)： ①当两者速度相等时有 最大 距离．
(3)能认识图象斜率的意义； (4)能认识图象覆盖面积的意义； (5)能说出图线上任一点的状况． 2．位移—时间(s－t)图象
物体运动的s－t图象表示物体的位移随
时间变化的规律，与物体运动的轨迹 无任何直接 关系．右图中a、b、c三条 直线对应的s－t关系式分别为s＝ vat＋s0 s＝ vbt 、
v1 + v 2 2
，
所以物体做加速度减小的减速运动中的平均速度应 小于 v 1 + v 2 ，故CD错误．
2
3．甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度经过某一路标， 从此时开始，甲车做匀速直线运动，乙车先加速后减 速，丙车先减速后加速，三车经过下一路标时速度相 同，则( )B A．甲车先经过下一路标 B．乙车先经过下一路标 C．丙车先经过下一路标 D．三辆车同时经过下一路标 【解析】根据题意可作出三辆汽车 运动的v－t图象如图所示，图象与
2．如图所示是物体在某段运动过程中的v－t图象， 在t1和t2时刻的瞬时速度分别为v1和v2，则物体由t1到
t2的过程中( A
)
A．加速度不断减小 B．加速度不断增大 C．平均速度 v =
v1 + v 2 2 v1 + v 2 2
D．平均速度 v
【解析】从图线的斜率可知物体 的加速度逐渐减小，故A正确， B错误；若物体从t1时刻到t2时 刻做匀减速运动，则其v－t图 如图中直线2所示，从v－t图上可知两种运动情况 下，匀减速运动的位移较大，其平均速度较大，物 体做匀减速运动在t1到t2的平均速度等于
④表示物体做匀减速直线运动；初速度 为v0
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共 同速度 ⑥t1时刻物体速度为v1(图中阴影部分面 积表示质点在0～t1时间内的位移)
题型二：运用运动图像解答运动学问题 例2 原地起跳时，先屈腿下蹲，然后蹬地，从开始蹬地
到离地是加速过程(视为匀加速)，加速过程中重心上升
的规律，与物体运动的轨迹 无任何直接 关系．
右图中a、b、c、d四条直线对应的
v－t关系式分别为va＝
vb＝ vd＝ v0＋at v0－a′t 、vc＝
常数 at
、
、
，直线a是匀速
直线运动的速度图象，其余都是匀变速直线运动的速度 b、d的初速度 ，横轴截距 图象．纵轴截距v0表示
tm表示 d做匀减速直线运动到速度等于零需要的时间 . 斜率表示运动的 加速度 ，斜率为负者(如d)对应于
s－t图 ①表示物体做匀速直线 运动(斜率表示速度v) ②表示物体静止
v－t图 ①表示物体做初速为零的匀加速直线运 动(斜率表示加速度a) ②表示物体做匀速直线运动