第20讲-《信号与线性系统》第七章-2

可得其模拟框图，如下图所示。
y(k n)
e(k)
y(k 1)
D
D y(k)
an1
a1
a0
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第七章 离散时间系统的时域分析
若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k) bme(k m) bm1e(k m 1) b0e(k)
t → kT ：e(t) → e(kT) = e(k) , y(t) → y(kT) = y(k) , y(t+T) → y[(k+1)T] = y(k+1)
dy(t) yk 1T y(kT)
dt
T
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第七章 离散时间系统的时域分析
y
dy dt

y(k 1) y(k) T
a0
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第七章 离散时间系统的时域分析
3．N 阶系统后向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n阶系统的后向差分方程
y(k) an1y(k 1) a0 y(k n) e(k)
可改写为
y(k) e(k) an1y(k 1)
可得其模拟框图，如下图所示。
y(k)
a0 y(k n)
一般n阶系统的模拟图
bn1
e(k)
q(k n)
q(k 1)

D

q(k n 1)
an1
b1
q(k) D b0
y(k)

a1 a0
一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由系统的差分方程作出模 拟图，也可由模拟图求出描述系统的差分方程。
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3
第七章 离散时间系统的时域分析
例 2 下图示出电阻梯形网络，其中每一串臂电阻都 为R，每一并臂电阻值都为aR，a为某一正实数。每 个节点对地的电压为 u(k) ，k 0,1,2, ,n 。已知两边界 节点电压为 u(0) E ，u(n) 0 。试写出求第k个节点 电压的差分方程式。
u(0) R u(1) R u(2) R
bme(k m) bm1e(k m 1) b1e(k 1) b0e(k)
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第七章 离散时间系统的时域分析
(二) 差分方程的算子形式
连续系统的微分算子： p d ,
dt
定义： py(t) dy
dt
n阶微分方程的算子形式：
p n

dn dt n
,
1 p
dt
( An p n An1 p n1 A0 ) y(t) (Bm p m Bm1 p m1 B0 )e(t)
y(t) N ( p) e(t), D( p)
H ( p) y(t) N ( p) e(t) D( p)
N ( p) An pn An1 pn1 A0
且m n 时，需引入一个辅助函数q(k，) 使其满足
q(k n) an1q(k n 1) a0q(k) ek
就有
y k bmq(k m) bm1q(k m 1) b0q(k)
于是，其模拟图如下图所示。
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第七章 离散时间系统的时域分析
aR
R
R
再经整理即得该系统的差分方程
u(k 2) 2a 1u(k 1) u(k) 0 a
再利用u(0) E ，u(n) 0 两个边界条件，即可求得 u(k)。
差分方程与微分方程在形式上相似！
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第七章 离散时间系统的时域分析
比较
dy(t) Ay(t) Be(t) dt
y(k) y(k 1) e(k) ——后向形式 问题: 怎样由离散系统得到描述该系统的差分方程？
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第七章 离散时间系统的时域分析
例1 一质点沿水平方向作直线运动，其在某一秒内 所走过的距离等于前一秒所走过距离的2倍，试 列出该质点行程的方程式。
解： 设k秒末，质点的位移为y(k)
某一秒：第（k+1）秒→第(k+2) 秒 位移 [y(k+2) － y(k+1)]
d dt
(
dy ) dt
1 [ y(t 2T ) y(t T ) y(t T ) y(t)]
T
T
T
令t kT

1
y(k 2)
2
y(k 1)
1
y(k)
T2
T2
T2
A2 y(k 2) A1 y(k 1) A0 y(k)
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第七章 离散时间系统的时域分析
e(k) D
D
an1
a1
a0
14第七章 离散时间系来自的时域分析4．N 阶系统前向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n阶系统的前向差分方程
y(k n) an1y(k n 1) a0 y(k) e(k)
可改写为
y(k n) e(k) an1y(k n 1) a0 y(k)
n阶：
dny dt n

An
y(k

n)
An1 y(k

n
1)

A0 y(k)
n阶微分方程：
An
dny dtn

An1
d n1 y dt n1

A1
dy dt

A0 y

Bm
d me dt m

Bm1
d m1e dt m1

B0e
T足够小时可近似为差分方程：
an y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k)
y(k) N (S) e(k) D(S )
H (S) y(k) N(S) e(k) D(S)
——离散时间系统的转移算子
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第七章 离散时间系统的时域分析
（三）离散时间系统的模拟
离散系统的模拟与连续系统的模拟具有一定的 相似之处。
连续系统模拟采用三种基本元件：加法器、标 量乘法器、积分器。
y(k 1) ay(k) be(k)
可看出，若 y(k) 与 y(t) 相当，则 y(k+1) 与 y'(t) 相当。在
一定条件下可相互转化。
一阶微分方程 dy(t) y(t) e(t)(1)
dt
考虑离散值（T足够小）: dy(t) y(t T ) y(t)
dt
T
令t = 0 , T ,2T ,…,kT
D( p) Bm pm Bm1 pm1 B0
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第七章 离散时间系统的时域分析
离散系统移序算子：S 定义：Sy(k) y(k 1), S n y(k) y(k n),
1 y(k) y(k 1) S
n阶差分方程的算子形式： (an S n an1S n1 a0 ) y(k) (bm S m bm1S m1 b0 )e(k)
离散系统模拟采用三种基本元件：加法器、标 量乘法器、延时器。
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第七章 离散时间系统的时域分析
1. 基本模拟元件
x(k) D x (k 1)
（a）单位延时器
x(k) x(k ) y(k )
y(k)
（b）加法器
x(k) ax(k )
a
x(k) a ax(k )
x(k) a ax(k )
R u(n 1) R
E
aR
aR
aR
4
R R u(k)
u(k 1)
u(k 2)
ia
ib
aR ic
第七章 离散时间系统的时域分析
解： 为了写出此系统的差分方程 ，画出系统中第k+1个节点。 对于任一节点k+1，运用KCL不 难写出
u(k 1) u(k) u(k 1) u(k 2) u(k 1)
1 T
y(k 1) 1 T
y(k)

A1 y(k
1)
A0 y(k)
代入（1）式得：
y(k 1) (1 T)y(k) Te(k) y(k 1) (1T)y(k) Te(k)
差分方程的阶数：差分方程中未知函数中变量的最高 和最低序号的差值。
二阶:
d2y dt 2

（c）标量乘法器
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第七章 离散时间系统的时域分析
2．一阶系统的描述与模拟
描述一阶系统的前向差分方程为 y(k 1) a0 y(k) e(k)
y(k 1)
e(k)
D y(k)
a0
描述一阶系统的后向差分方程为 y(k) a0 y(k 1) e(k)
y(k)
e(k) D
第七章
离散时间系统的时域分析 （二）
第七章 离散时间系统的时域分析 7.3、 离散时间系统的描述和模拟
（一）离散系统的描述——差分方程
连续时间系统的数学模型——微分方程 微分方程：一阶 y(t) y(t) e(t) 差分方程：一阶 y(k 1) y(k) e(k) ——前向形式
前一秒：第 k 秒→第(k+1) 秒 位移 [y(k+1) － y(k)]
依题意： y(k 2) y(k 1) 2[y(k 1) y(k)]
即 y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) 0
差分方程是处理离散变量的函数关系的一种数学工具，
但离散变量并不限于时间变量。