数列第1课时
人教版高中数学必修第一册数列 第1课时
数列（第一课时）教学目标：1．理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式教学重点：1．理解数列概念；2．用通项公式写出数列的任意一项教学过程一、几个实例：1．堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102．正整数的倒数 Λ51,41,31,21,1 3．ΛΛ，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.012 4．-1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5.无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、数列1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性）注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2．名称：项 一般形式n a a a ,,,21Λ。
…，表示法{}n a项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 53．通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式如 数列1： 3+=n a n 数列2：na n 1=数列4：*,)1(N n a n n ∈-= 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列3；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。
5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
高考数学一轮复习第6章数列第1课时数列的基本概念课件理
∴an＝32＋·3nb－1
（n≥2）， （n＝1）.
【答案】 (1)an＝4n－5 (2)当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；当 b≠
－1 时，an＝32＋·3nb－1
（n≥2）， （n＝1）.
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★状元笔记★ 已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值； (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式； (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段 表示an； (4)写出an的完整表达式．
5．(2018·沧州七校联考)设函数{an}通项为an＝
2
＋cos
nπ 3
(n∈N*)，又k∈N*，则( )
A．ak＝ak＋3 C．ak＝ak＋5
B．ak＝ak＋4 D．ak＝ak＋6
答案 D
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6．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10 条 直线相交，交点的个数最多是( )
a10－a9＝9. 累加得 a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.
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授人以渔
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题型一 归纳通项公式 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)1，0，13，0，15，0，17，0，… (4)32，1，170，197，…
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【解析】 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各
项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝
【高中数学】第4章 4.1 数列的概念(第1课时)
4．1数列的概念(第1课时)素养目标学科素养1.理解数列的概念，能根据所给的一列数，归纳总结数列的通项公式．2．理解数列的函数特性，会画数列的图象，会根据数列的通项判断数列的单调性.1.数学抽象；2．数学运算情境导学树木的生长，由于新生的枝条往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新的枝条．所以，一株树苗在一段间隔，例如一年以后长出一条新枝；第二年新枝休息，老枝依旧萌发．此后，老枝与“休息”过一年的枝条同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”．这样，一株树苗各个年份的枝数，便构成了一个数列．你能写出这个数列的前10项吗？1．数列的概念及分类(1)定义数列按照确定的顺序排列的一列数项数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用a n表示．其中第1项也叫做首项表示a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}(2)分类①项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．②从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列． (3)数列与函数数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．另一方面，对于函数y ＝f (x )，如果f (n )(n ∈N *)有意义，那么f (1)，f (2)，…，f (n )，…构成了一个数列{f (n )}．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)数列中的项互换次序后还是原来的数列．(×) (2)所有的数列可分为递增数列和递减数列两类．(×) (3){a n }与a n 的意义一样，都表示数列．(×) 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·(n 2－1)，则a 6＝( ) A ．35 B ．－11 C ．－35D ．11A 解析：a 6＝(－1)6×(62－1)＝35.故选A ．1．下列各项表示数列的是( ) A ．a ，b ，c ，…，x ，y ，z B ．2 008,2 009,2 010，…，2 017C ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形D ．a ＋b ，a －b ，ab ，λaB 解析：数列必须由数组成，A ，C ，D 中均不是数． 2．数列{a n }的通项公式为a n ＝12(n －1)(n ＋1)，则a 5＝( )A ．10B ．12C ．14D ．16B 解析：由题意，通项公式为a n ＝12(n －1)(n ＋1)，则a 5＝12×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B ．3．数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋1，则{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定A 解析：因为a n ＋1－a n ＝1>0，即a n ＋1>a n ，故{a n }是递增数列． 4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2(n ∈N ＋)，则数列{a n }的图象是( ) A ．一条直线B ．一条抛物线C ．一个圆D ．一群孤立的点D 解析：由于n ∈N ＋，所以a n ＝n 2的图象是一群孤立的点．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________；a 2a 3＝________.3－4n15 解析：∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.【例1】下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1){1,3,5,7,9}；(2)4,3,2,1,0；(3)所有无理数；(4)1,2,3,4，…；(5)2,2,2,2,2.解：(1)是集合，不是数列；(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来；(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．数列及其分类的判定方法：(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．下列说法正确的是( ) A ．1,2,3,4，…，n 是无穷数列 B ．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列 C ．同一个数在数列中不能重复出现 D ．数列{2n ＋1}的第6项是13D 解析：A 错误，数列1,2，…，n ，共n 项，是有穷数列． B 错误，数列是有次序的． C 错误，数列中的数可以重复出现． D 正确，当n ＝6时，2×6＋1＝13.【例2】写出下列数列{a n }的一个通项公式： (1)12，2，92，8，252，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)9,99,999,9 999，…；(4)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(5)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (6)4,0,4,0,4,0，….解：(1)先将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n＝n 22. (2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为A n ＝2n －1.考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列{a n }的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)各项加1后，分别变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为A n ＝10n ，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1.(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为A n ＝2n －1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为B n ＝(n ＋1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为C n ＝n ，综合得原数列的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n2n －1.(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ·1n (n ＋1).(6)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示通项公式，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n 为奇数，0，n 为偶数.该数列也可改写为2＋2,2－2,2＋2,2－2,2＋2,2－2，…，因此其通项公式又可表示为a n ＝2＋2×(－1)n ＋1.【例3】已知数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 是奇数)，2n －2(n 是偶数)，写出这个数列的前3项，并判断该数列的单调性．解：因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 是奇数)，2n －2(n 是偶数)，所以a 1＝3×1＋1＝4，a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10. 因为a 1>a 2，a 3>a 2，所以数列{a n }不具有单调性．(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住分式中分子、分母的特征，相邻项的变化特征，拆项后的特征，各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳得出的结果不一定是可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．写出下列数列{a n }的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，12，－13，14，…；(2)3，3，15，21，…； (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9，…；(4)3,5,3,5，….解：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看作是自然数数列的倒数，故该数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·1n.(2)数列可化为3，9，15，21，…，即3×1，3×3，3×5，3×7，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数的通项公式为 A n ＝2n －1，故原数列的一个通项公式为a n ＝3(2n －1)＝6n －3.(3)原数列可变形为1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故数列的一个通项公式为a n ＝1－110n. (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以该数列的通项公式的一种表示方法为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n 为奇数，5，n 为偶数.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为3＋52＝4,4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为a n ＝4＋(－1)n .【例4】在数列{a n }中，a n ＝n 2－8n . (1)画出{a n }的图象；(2)根据图象写出数列{a n }的增减性． 解：(1)列表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … a n－7－12－15－16－15－12－79…n ，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…. 图象如图所示．(2)数列{a n }在n ＝1,2,3,4时是递减的，在n ＝5,6,7，…时是递增的．【例5】数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n 3n ＋1是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列A 解析：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n 3n ＋1中，a n ＝2n3n ＋1，a n ＋1－a n ＝2n ＋23n ＋4－2n 3n ＋1＝2(3n ＋1)(3n ＋4)＞0，所以a n ＜a n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n 3n ＋1是递增数列．1．画数列的图象的方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n 为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n ，a n )描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2，3，…，n })，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 2．判断数列增减性的方法 (1)作差比较法：①若a n ＋1－a n ＞0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n ＋1－a n ＜0恒成立，则数列{a n }是递减数列； ③若a n ＋1－a n ＝0恒成立，则数列{a n }是常数列． (2)作商比较法： ①若a n ＞0，则当a n ＋1a n ＞1时，数列{a n }是递增数列； 当a n ＋1a n ＜1时，数列{a n }是递减数列； 当a n ＋1a n ＝1时，数列{a n }是常数列． ②若a n ＜0，则当a n ＋1a n ＜1时，数列{a n }是递增数列； 当a n ＋1a n＞1时，数列{a n }是递减数列；当a n ＋1a n＝1时，数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }是递减数列，则其通项公式可能是( ) A ．a n ＝2n B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝⎝⎛⎭⎫13nD ．a n ＝log 2nC 解析：由于函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 是减函数，故数列a n＝⎝⎛⎭⎫13n是递减数列，选C ． B 解析：令n ＝4，a 4＝42－7×4＋6＝－6，故选B ．2．若通项公式为a n ＝n 2＋bn 的数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围是________． (－3，＋∞) 解析：由题意知a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2＋b (n ＋1)]－(n 2＋bn )＝2n ＋1＋b ＞0恒成立，即2n ＋1＋b ＞0，b ＞－2n －1恒成立，而n ∈N ＋时，－2n －1的最大值为－3(n ＝1时)，所以b ＞－3，即b 的取值范围为(－3，＋∞)．1．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6，则a 4＝( ) A ．2 B ．－6 C ．－2D ．1B 解析：令n ＝4，a 4＝42－7×4＋6＝－6，故选B ． 2．下列说法正确的是( )A ．数列1，－2，－3，－4，…是一个递减数列B ．数列－2,3,6,8可以表示为{－2,3,6,8}C ．{a n }和a n 是相同的概念D ．每一个数列的通项公式都是唯一确定的A 解析：A 正确；数列－2,3,6,8 不能表示为集合{－2,3,6,8}，数列有次序，集合和元素顺序无关，故B 错误；{a n }表示数列的全部的项，而a n 表示数列的第n 项，不是同一个概念，故C 错误；数列的通项公式可以有多个，故D 错误．故选A ． 3．若数列{a n }满足a n ＝2n ，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列A 解析：a n ＋1－a n ＝2n ＋1－2n ＝2n >0， ∴a n ＋1>a n ，即{a n }是递增数列．故选A ．1．判断所给对象是否为一个数列，关键看它们是不是按照一定次序排列的数．2．数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，按单调性可分为递增数列、递减数列、常数列．3．已知数列的前几项，按“从特殊到一般”进行归纳．4．已知一个数列的通项公式，只需将项数n代入即可求出其中的任意一项．课时分层作业(一)数列的概念(第1课时)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1数列的概念1．(5分)有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点．其中真命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个B解析：对①，数列1，－1,1，－1，…其通项公式a n＝(－1)n＋1，也可以是a n＝(－1)n＋3，故①错误；对②，数列的项与n具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误；对④，由数列的定义知命题正确．故选B．2．(5分)(多选)下列关于数列的说法正确的是()A．按一定次序排列的一列数叫作数列B．若{a n}表示数列，则a n表示数列的第n项，a n＝f(n)表示数列的通项公式C．同一个数列的通项公式的形式不一定唯一D．同一个数列的任意两项均不可能相同ABC解析：因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如说常数列，所以D项错误，A，B，C均正确．3．(5分)下列说法错误的是()A．数列4,7,3,4的首项是4B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1,2,3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是代数式B 解析：根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A 正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B 错误；根据数列的相关概念可知C 正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D 正确．故选B ． 知识点2 数列的通项公式4．(5分)数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) B ．a n ＝(－1)n ·(2n －1) C ．a 1＝(－1)n ＋1·(2n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)A 解析：将n ＝1代入四个选项，可知C 中a 1＝1，D 中，a 1＝1.排除C ，D ． 当n ＝3时，代入B 项可得a 3＝－5，排除B ．故选A ． 5．(5分)数列{8n －1}的最小项等于( ) A ．－1 B ．7C ．8D ．不存在B 解析：数列{8n －1}的最小项为a 1＝8×1－1＝7.故选B ．6．(5分)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝nn 2＋8(n ∈N *)，则数列的第4项为( )A ．110B ．16C ．14D ．13B 解析：由题意，根据数列{a n }的通项公式，得a 4＝442＋8＝16. 知识点3 数列的函数特性7．(5分)已知数列{a n }满足a 1>0，对一切n ∈N ＋，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定B 解析：因为a n ＋1a n ＝12，所以数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1⎝⎛⎭⎫12n －1. 又a 1>0，则a n >0，所以a n ＋1a n ＝12<1，a n ＋1<a n ，故数列{a n }是递减数列．故选B ．8．(5分)若数列{a n }的通项公式a n ＝2nn ＋1，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列D ．以上都不是A 解析：因为a n ＝2n n ＋1＝2(n ＋1)－2n ＋1＝2－2n ＋1，所以a n －a n －1＝⎝⎛⎭⎫2－2n ＋1－⎝⎛⎭⎫2－2n ＝2n －2n ＋1＝2n (n ＋1)>0.因此数列{a n }是递增数列．故选A ． 9．(5分)数列{a n }的通项公式是a n ＝－n 2＋4n ＋21(n ∈N *)，这个数列最大的项是(B)A ．第1项B ．第2项C ．第3项D ．第4项能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．先递增后递减数列D ．常数列A 解析：由已知得a n ＋1－a n ＝3>0，故{a n }为递增数列．11．(5分)数列0，13，12，35，23，…的通项公式为( ) A ．a n ＝n －2nB ．a n ＝n －1nC ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝n －2n ＋2C 解析：原数列可变形为02，13，24，35，46，…， ∴a n ＝n －1n ＋1. 12．(5分)在数列{a n }中每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第41项( )A ．不是原数列的项B ．是原数列的第10项C ．是原数列的第11项D ．是原数列的第12项C 解析：由于每相邻两项间插入3个数，因此原数列中的第n 项在新数列中是第1＋4(n －1)＝4n －3项．由4n －3＝41，得n ＝11，即第41项是原数列的第11项．故选C ．13．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( )A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1C ．12，0，12，0D ．2,0,0A 解析：a 1＝1＋(－1)1＋12＝1＋12＝1； a 2＝1＋(－1)2＋12＝1－12＝0； a 3＝1＋(－1)3＋12＝1＋12＝1； a 4＝1＋(－1)4＋12＝1－12＝0.故选A ． 14.(5分)已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.2 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a ＝2， ∴a ＝2或a ＝－1.又a <0，∴a ＝－1.又a ＋m ＝2，∴m ＝3，∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2.15.(5分)已知数列{a n }中，a n ＝n n －15.6(n ∈N *)，则数列{a n }的最大项为第________项．16 解析：因为a n ＝n n －15.6＝1＋15.6n －15.6.又n ∈N *，所以当n ＝16时，a n 最大. 16.(12分)根据下面的通项公式，写出数列的前5项．(1)a n ＝n 2＋12n －1； (2)a n ＝(－1)n －1·2n －13n. 解：(1)当n ＝1时，a 1＝12＋12×1－1＝2；当n ＝2时，a 2＝22＋12×2－1＝53；当n ＝3时，a 3＝32＋12×3－1＝2；当n ＝4时，a 4＝42＋12×4－1＝177；当n ＝5时，a 5＝52＋12×5－1＝269. (2)当n ＝1时，a 1＝(－1)1－1×2×1－13×1＝13；当n ＝2时，a 2＝(－1)2－1×2×2－13×2＝－12；当n ＝3时，a 3＝(－1)3－1×2×3－13×3＝59；当n ＝4时，a 4＝(－1)4－1×2×4－13×4＝－712；当n ＝5时，a 5＝(－1)5－1×2×5－13×5＝35.17.(13分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝cn ＋dn －1，且a 2＝32，a 4＝32，求a n 和a 10.解：∵a 2＝32，a 4＝32，代入通项公式a n 中得⎩⎨⎧ 32＝2c ＋d 2，32＝4c ＋d 4，解得c ＝14，d ＝2， ∴a n ＝n 4＋2n ，∴a 10＝104＋210＝2710.。
江苏专版高中数学第4章数列4.1数列第1课时数列的概念及通项公式课件苏教版选择性必修第一册
解
观察数列中的数，可以看到 0 = 1 − 1 ， 3 = 4 − 1 ， 8 = 9 − 1 ， 15 = 16 − 1 ，
24 = 25 − 1 ， … ，所以它的一个通项公式为 = 2 − 1 .
② 1 ， −3 ，5， −7 ，9， … ；
数列各项的绝对值为1，3，5，7，9， … ，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，
的通项公式可能为( ABC )
A. = −1
B. = ቊ
C. = cos π
−1, = 2 − 1,
( ∈ ∗ )
1, = 2
D. = sin
π
2
[解析] 观察数列 { } 的前5项可知， { } 的通项公式可能为
= −
−, = −
题型分析·能力素养提升
【课标要求】通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图
象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.数列及其有关概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项.数列
的一般形式可以写成 1 , 2 , 3 , … , , … ,简记为 { } ，其中 1 称为数列 { } 的第1项
6 = 4 + 2 ，分母满足 5 = 3 × 1 + 2 ， 8 = 3 × 2 + 2 ， 11 = 3 × 3 + 2 ，
14 = 3 × 4 + 2 ，所以它的一个通项公式为 =
+2
.
3+2
（3） −3 ，7， −15 ，31;
数列的概念(第一课时)课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
典例分析
例1 根据下列数列{an}的通项公式 , 写出前5项 , 并画出它们的图象：
n2 + n
( n - 1)π
(1) an =
；(2) an =cos
．
2
2
an
15
解:(1)当通项公式中的n=1 , 2 , 3 , 4 , 5时 ,
首项 第2项
第n项
注: 右下角标表
示这一项在数列
中的位置序号
概念辨析
追问：在数列中，符号的{an}与an所表示的意义是否相同？
{an}表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ；
an只是表示数列 { an }中的第 n 项，
问题6：对于不同的数列，他们的项数有何特点？
①
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
②
5 , 10 , 20 , 40 , 80 , 96 , 112 , 128 , 144 , 160 , 176 , 192 , 208 , 224 , 240.
1 1
1 1
③ − ， ，− ， ......
2 4
8 16
有穷数列：项数有限的数列
无穷数列：项数无限的数列
新知探究：数列与函数的关系
列表法
图像法
解析法
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，
165，168.
数列③− ， ，
可以表示为
−
2022年秋高中数学第四章数列4.1数列的概念第1课时数列的概念与简单表示课件新人教A版选择性必修第
1
1
1
1
(5)-1×2 , 2×3,-3×4 , 4×5,…;
(6)4,0,4,0,4,0,….
分析观察、分析项的特征,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系.
解 (1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,
1 4 9 16 25
1
所以 是数列的第
10
4
令 2
+3
解得
=
16
,则
27
3
n=2或
5 项.
4n2+12n-27=0,
9
n=-2,
注意到 n∈N
16
,所以27 不是此数列中的项.
*
探究点四 数列的单调性及其应用
角度1 数列单调性判断
【例4】已知数列{an}的通项公式
an=2+3 (k∈R).
(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
2 ++1
.
2-1
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项
1
n
为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是 an=(-1) ·(+1).
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数
的形式表示通项公式,即 an=
4,为奇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
0,为偶数.
得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为
2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,其通项公式为(n+1)2,分
数列的概念(第一课时)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
函数值
=
自变量
项
n
an =
序号
问题1:你能求出这个函数的解析式吗?
数列通项公式
如果数列 的第n项与序号n之间的
关系可以用一个公式来表示,那么这
个公式就叫做这个数列的通项公式.
探究新知
, , , , ⋯
项
序号
1 2 3 4
=
, , , , , … .
解析 (3)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项统一成分数再观察:
, , , , , ⋯ .所以,它的一个通项公式为
=
.
(4)可看作＋,可看作＋,可看作＋,可看作＋,
人教A版同步教材名师课件
数列的概念
---第一课时
学习目标
学习目标
核心素养
了解数列的概念
掌握数列的几种表示方法
能由数列的递推关系写出数列的通项公式
数学抽象
数学运算
数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解数列的概念.
2.掌握数列的通项公式及应用.
3.理解数列是一种特殊的函数,理解数列与函数的关系 .
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
=
, 为偶数, ∈ ∗ .
法二: =
即 =
+ + − + −
−
+
.
=
+ − + −
方法归纳
1.常见数列的通项公式归纳
(1)数列, , , , …的一个通项公式为＝;
高中数学：第2章 数列 §2.1-第1课时
第二章 数列§2.1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与通项公式1.下列说法中正确的是A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D.数列0，2，4，6，…可记为{2n }解析 {1，3，5，7}是一个集合，故选项A 错；数虽相同，但顺序不同，不是相同的数列，故选项B 错；数列0，2，4，6，…可记为{2n －2}，故选项D 错，故选C. ★答案★ C2.已知数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的有 (1)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；(2)a n ＝sin 2n π2；(3)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；(4)a n ＝1－cos n π2；(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n 为奇数），0（n 为偶数）.A.1个B.2个C.3个D.4个解析 对于(3)，将n ＝3代入，则a 3＝3≠1，易知(3)不是通项公式.根据三角中的半角公式可知(2)和(4)实质是一样的，都可作为数列{a n }的一个通项公式.数列1，0，1，0，…的通项公式可猜想为a n ＝12＋12×(－1)n ＋1，即为(1)的形式.(5)是分段表示的，也为数列的一个通项公式.故选D.★答案★ D3.在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于 A.11B.12C.13D.14解析 观察数列可知，后一项是前两项的和， 故x ＝5＋8＝13. ★答案★ C4.数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________.解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2， ∴a 26＝3×26－2＝76＝219. ★答案★ 2195.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项.解析 令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项.★答案★ 4[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列有四个结论，其中叙述正确的有①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.A.①②B.②③C.③④D.①④解析数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.★答案★ B2.数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是A.a n＝n－2n B.a n＝n－1nC.a n＝n－1n＋1D.a n＝n－2n＋2解析已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n＝n－1n＋1.★答案★ C3.已知数列12，23，34，…，nn＋1，则0.96是该数列的A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项解析由nn＋1＝0.96，解得n＝24.★答案★ C4.已知数列{a n}的通项公式a n＝nn＋1，则a n·a n＋1·a n＋2等于A.n n ＋2B.n n ＋3C.n ＋1n ＋2D.n ＋1n ＋3解析 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. ★答案★ B5.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是 A.15 B.5C.6D.log 23＋log 31325解析 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132 ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. ★答案★ B6.(能力提升)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为 A.3n －1B.3nC.3n ＋1D.3(n ＋1)解析 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根).★答案★ C二、填空题(每小题5分，共15分)7.在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项.解析 令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10⎝⎛⎭⎫n ＝52舍去，即为第10项. ★答案★ 108.若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________.解析 根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项. 因为a n ＝3－2n ，所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ， a 2a 3＝3－223－23＝15. ★答案★ 3－4n159.(能力提升)如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析 因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a n ＝n . ★答案★n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解析 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填108， 通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .11.(12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 017；(3)2 018是否为数列{a n }中的项？解析 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2. (2)a 2 017＝4×2 017－2＝8 066.(3)令2 018＝4n －2，解得n ＝505∈N *， ∴2 018是数列{a n }的第505项.12.(12分)(能力提升)数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (3)区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列的项？若有，有几项？ 解析 (1)a 7＝7272＋1＝4950.(2)证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1，∴0<a n <1，故数列的各项都在区间(0，1)内.(3)因为13<n 2n 2＋1<23，所以12<n 2<2，又n ∈N *，所以n ＝1，即在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有且只有一项a 1.。
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思考1:数列的表示方法会有哪些? 思考 :数列的表示方法会有哪些? 1,通项公式法 , 数列的表示法: , 数列的表示法: 2,列表法 3,图象法 ,
{
思考2: 思考 :已知数列的通项公式会有哪 些作用? 些作用? 已知数列的通项公式可以求数列中的 任何一项. 任何一项.
例1. 已知数列 n}的通项公式为 n=2n-1 ,用列 已知数列{a 的通项公式为 的通项公式为a
数列的通项公式
如果数列 {an }的第 n项 an与序号 n之间的 关系可以用一个公式表示, 那么这个公 式叫做这个数列的通项公式. 通项公式就是 a n与 n之间的函数关系式
如数列 2, 4, 6, …, 2n, … an = 2n 1 1 1 1 1 1 如数列 1, , , , , … , , … an = n 2 3 4 5 n
{}
1 1 1 , , , … , 1 , … 可简记为: 1 可简记为: 2 3 n n
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个 对于数列中的每个序号 都有唯一的一个 与之对应. 数(项)an与之对应
如数列( ) 序号n 如数列(1) 序号 1 2 3 4 ……64 (自变量) 自变量)
2 3 4 5
an =
(n + 1 )
2
1
n +1
(2)
-1, 1, -1, 1
an=(-1)n
n 变式1: 变式 : 1 , 1 , 1 , 1 ; ( 1) 1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 a n 0, 2
an=1+(-1)n
数列的概念和简单表示
国王为什么不能兑现他对国际象棋发明者 的奖赏承诺? 的奖赏承诺? 印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋 的大臣西萨班 达依尔 达依尔, 的大臣西萨 班达依尔,并问他想得到什 么样的奖赏,大臣说: 陛下, 么样的奖赏,大臣说:"陛下,请您在这 张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子, 张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子, 在第二个小格内给两粒, 在第二个小格内给两粒,在第三个小格内 给四粒,照这样下去, 给四粒,照这样下去,每一小格内都比前 一小格内的麦粒数加一倍, 一小格内的麦粒数加一倍,直到把每一小 格都摆上麦粒为止. 格都摆上麦粒为止.并把这样摆满棋盘上 六十四格的麦粒赏给您的仆人. 六十四格的麦粒赏给您的仆人."
1,本节学习的数学知识:数列的概念 ,本节学习的数学知识: 和表示. 和表示. 2,本节学习的数学思想:归纳猜想的 ,本节学习的数学思想: 思想,函数的思想,化归的思想, 思想,函数的思想,化归的思想,数 形结合的思想方法等. 形结合的思想方法等.
�
中的数列各项的值随着n的增大而增大 例1中的数列各项的值随着 的增大而增大, 中的数列各项的值随着 的增大而增大, 这样的数列称为递增数列. 这样的数列称为递增数列. 因此数列 按照单调性可分为递增数列,递减数列, 按照单调性可分为递增数列,递减数列, 常数列,摆动数列. 常数列,摆动数列. 按照项数:项数有限的数列叫做有穷数列, 按照项数:项数有限的数列叫做有穷数列, 项数无限的数列叫做无穷数列. 项数无限的数列叫做无穷数列.
n + 2n an = ( 1) 2n + 1
n 2
8 15 24 变式3: 1, , , ; 5 7 9
(3)9,99,999,9999; (4)0.7, 0.77, 0.777, 0.7777;
(3) an = 10 1
n
7 n (4) an = (1 10 ) 9
观察法求数列的通项公式的方法 (1)关键是寻找 n与序号 的对应关系 )关键是寻找a 与序号n的对应关系 an =f(n); ; 来调节; (2)符号用 )符号用(-1)n或(-1)n+1来调节; (3)分式的分子,分母可以分别找通项, )分式的分子,分母可以分别找通项, 但要充分借助分子与分母的关系. 但要充分借助分子与分母的关系. 注:(1)给出数列的前几项,可以归纳出不止 )给出数列的前几项,
区别1:数列中的项一定是数, 区别 :数列中的项一定是数,而集合中
的元素不一定是数. 的元素不一定是数.
区别2:数列中的项有一定的次序, 区别 :数列中的项有一定的次序,而
集合中的元素没有顺序. 集合中的元素没有顺序.
区别3:数列中的项可以相同, 区别 :数列中的项可以相同,但集合中
的元素不能相同. 的元素不能相同.
思考:上述例子有何共同特点? 思考:上述例子有何共同特点?
定义
★按一定次序排列的一列数叫数列. 按一定次序排列的一列数叫 次序排列的一列数 ★数列中的每一个数叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(首项), 各项依次叫做这个数列的第 项 首项), 第2项,…,第n项… 项 , 项
问题1: 数列:1, , , , 问题 : 数列 ,2,3,4,5 数列:5, , , , 数列 ,4,3,2,1 它们是否是同一数列? 它们是否是同一数列? 问题2: , , , 是否是一数列 是否是一数列? 问题 : -1,1,-1,1是否是一数列? 问题3: 问题 : 数列中的项和集合中的元素 有何区别? 有何区别?
写出数列的一个通项公式,使它的前4 例2. 写出数列的一个通项公式,使它的前 项分别是下列各数: 项分别是下列各数: 关键是 (1) 1,4,9,16; , , , ; 什么? 什么? 找出项a 与序号n的对应关系 的对应关系. 找出项 n与序号 的对应关系.
an=n2
练习: 练习: 3 , 8 , 15 , 24 ;
表法写出这个数列的前5项 并作出图象 表法写出这个数列的前 项,并作出图象. n an =2n-1 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 解:
an
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=2x-1 an=2n-1
O
1
2
3
4
5
6
7
n
数列的图象有何特点? 数列的图象有何特点? 数列的图象是一群孤立的点. 特点 :数列的图象是一群孤立的点.
已知数列{a 的通项公式为 的通项公式为a 例1.已知数列 n}的通项公式为 n=2n-1 ,用列 表法写出这个数列的前5项 并作出图象 表法写出这个数列的前 项,并作出图象. n an =2n-1 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 解:
问题1:写出这个数列的第 项 问题 :写出这个数列的第10项? 问题2: 是这个数列的项吗? 问题 :2005是这个数列的项吗?2006呢? 是这个数列的项吗 呢
数列的一般形式可以写成: 数列的一般形式可以写成: a1 , a2 , a3 , … , an , …
其中右下标n表示项的位置序号, 其中右下标 表示项的位置序号, 上面的数列又 表示项的位置序号 可简记为 {an }
{ 表示一个数列. 注意:a n 表示第 n 项,an}表示一个数列. 注意:
如数列 又如数列 1,2,3,,n ,可简记为: n , , , 可简记为: 可简记为
项 an 1 2 22 23
…… 263
(函数值) 函数值)
从函数的观点看:数列可以看成以正整数集 函数的观点看 N*(或它的有限子集 ,2, …k})为定义域的函 (或它的有限子集{1, , 为定义域的函 数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值 当自变量按照从小到大的顺序依次取值 一列函数值. 所对应的一列函数值 简言之, 时,所对应的一列函数值.简言之,数列是一种 特殊的函数. 特殊的函数. 数列的项a 与它对应的序号n能否用一个公 数列的项 n与它对应的序号 能否用一个公 式来表示呢? 式来表示呢?
1, 2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , … , 263 18446744073709551615
OK
?
情境1: 情境 :故事中棋盘上麦粒数按放置的先后排成的 一列数: , , 一列数:1,2,2 2,2 3,…,2 63 , 情境2:某剧场有10排座位 第一排有20个座位 排座位, 个座位, 情境 :某剧场有 排座位,第一排有 个座位, 后一排都比前一排多2个 则各排的座位数依次为: , 后一排都比前一排多 个,则各排的座位数依次为:20, 22,24,26,…,38 , , , , 情境3:人们在1740年发现了一颗彗星,并推算出 年发现了一颗彗星, 情境 :人们在 年发现了一颗彗星 它每隔83年出现一次 则从出现那次算起, 年出现一次, 它每隔 年出现一次,则从出现那次算起,这颗彗星 出现的年份依次为1740,1823,1906,1989, … 出现的年份依次为 , , , , 情境4: 年到今年, 情境 :从1984年到今年,我国体育健儿共参加了 年到今年 7次奥运会,获得的金牌数依次排成一列数: 15,5, 次奥运会, 次奥运会 获得的金牌数依次排成一列数: , , 16,16,28,32,51 , , , ,
是此数列的项, 解:设2006是此数列的项,则 是此数列的项 2n-1=2006 ∴ n=1003.5 N* 不是这个数列的项. ∴ 2006不是这个数列的项. 不是这个数列的项
例1. 已知数列 n}的通项公式为 n=2n-1 ,用列 已知数列{a 的通项公式为 的通项公式为a
表法写出这个数列的前5项 并作出图象 表法写出这个数列的前 项,并作出图象. n an =2n-1 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 解:
一个通项公式. 一个通项公式. (2)并不是所有的数列都可以求出其通项公式. )并不是所有的数列都可以求出其通项公式.
为 an =
7 例3.已知数列 2, , 2 的通项公式 已知数列 4 2 an + b
cn
第五项及第2n-1项. 第五项及第 - 项
,求这个数列的第四项, 求这个数列的第四项,
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