函数的对称性

则函数图像关于 点 (
a+b 2
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于 点 (
a+b 2
,C
) 对称
.
15
☺ 知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b
x
x
1 2345678
.
5
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
.ห้องสมุดไป่ตู้
6
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
.
7
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
x 6
x0
x6
思考？若函数f ( x ) 图像关于xa轴对称，
f ( x ) 有怎样的.对称关系式？
30
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’ 也在f(x)图像上．
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
.
9
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
xa
特例：a=0
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于 直线 x=
a+b 2
对称
.
10
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
即： f(x)=f(2a-x)
.
8
（代数证明） 求证
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
证明：（必要性）
f(a x )f(a x )x D
.
25
.
26
-3 -2x x-1x
1xx x 2 3 4 5 6
.
27
-x
-3 -2 -1
x
12
.
28
.
29
F(1)F(1) F(2)F(2)
f( 6x)f( 6x) F(x)F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f(6x)f(6x)
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
.
11
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
a
xx
.
12
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
.
3
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
即：F(-x)+F(x)=0
-x
x
.
20
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
.
21
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
.
22
函数图像关于(a,0)中心对称
.
23
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a+x
a
x
.
13
类比探究
中心对称性
y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
b
o
a
x
.
14
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
.
1
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1)F(1) F(2)F(2)
F(x)F(x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
X
x0
.
2
从”形”的角度看，
P’
P(x0,y0) 则由P的任意性可知
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
F(a-x)+F(a+x)=2b
.
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
.
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x
求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
.
18
谢谢!
.
19
函数图像关于(0,0)中心对称 奇函数
F(-x)=-F(x)
从”数”的角度看，
f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
.
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
.
a F(x)+F(2a-x)=0
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F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f ( x ) 图像关于xa轴对称