19-20学年新教材高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课堂检测素养
2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2
4．1 指数4．1.1 n次方根与分数指数幂4．1.2 无理数指数幂及其运算性质内容标准学科素养1.理解方根及根式的概念．数学抽象2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义．3.掌握幂的运算.授课提示：对应学生用书第50页[教材提炼]知识点一n次方根及根式预习教材，思考问题如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？知识梳理(1)n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±naa＜0x不存在,(2)根式①定义：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②性质：(n ＞1，且n ∈N ＋)(ⅰ)(na )n ＝a .(ⅱ)na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.知识点二 指数幂及运算 知识梳理 (1)分数指数幂的意义 ①规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)． ②规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1amn＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s ； ②(a r )s ＝a rs ； ③(ab )r ＝a r b r . (3)无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．[自主检测]1．已知x 5＝6，则x 等于( )A.6B.56C ．－56D ．±56答案：B2．234化成根式形式为( )A.324B.423C.432D.243答案：B3．(0.027)－23的值是( )A.1009B.9100C.103D.310解析：(0.027)－23＝[(0.3)3]－23＝0.33×(－23)＝0.3－2＝10.32＝10.09＝1009. 答案：A4．当8<x <10时，x －82＋x －102＝________.解析：由8<x <10， 得x －82＋x －102＝|x －8|＋|x －10|＝(x －8)＋(10－x )＝2. 答案：2授课提示：对应学生用书第51页探究一 利用根式的性质化简求值[例1](1)化简a ＋41－a 4的结果是( )A ．1B ．2a －1C ．1或2a －1D ．0(2)当a 、b ∈R 时，下列各式总能成立的是( )A ．(6a －6b )6＝a －b B.8a 2＋b 28＝a 2＋b 2C.4a 4－4b 4＝a －b D.10a ＋b 10＝a ＋b(3)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[解析](1)a ＋41－a 4＝a ＋|1－a |＝1或2a －1，故选C.(2)取a ＝0，b ＝1，A 不成立． 取a ＝0，b ＝－1，C 、D 不成立． ∵a 2＋b 2≥0，∴B 正确，故选B. (3)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3＜x ＜3， ∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.[答案](1)C (2)B (3)见解析(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x ＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．若n <m <0，则 m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( )A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n 解析：m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2 ＝m ＋n2－m －n 2＝|m ＋n |－|m －n |.∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0，∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－m －n －m ＋n ＝－2m . 答案：C第四章 指数函数与对数函数 数学 必修 第一册 探究二 根式与分数幂的转化 [例2]用分数指数幂形式表示下列各式(式中a >0)：(1)a 2·a ；(2)a 3·3a 2；(3) a a ；(4)y 2xx 3y3y 6x 3.[解析](1)a 2·a ＝a 2·a12＝a 2＋12＝a 52.(2)a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.(3) a a＝(a·a12)12＝(a32)12＝a34.(4)y2xx3y3y6x3＝y2xx3y⎝⎛⎭⎪⎫y6x313＝y2xx3y·y2x＝y2xx2·y12＝⎝⎛⎭⎪⎫y2x·xy1212＝y54＝y4y.(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．(2)化简过程中，要明确字母的X围，以防错解．1．2－23等于( )A.322B.223C．－322D.1322答案：D2．计算：23×31.5×612＝________.解析：23×31.5×612＝2×312×⎝⎛⎭⎪⎫3213×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.答案：6探究三 指数幂的运算[例3]计算：(1)[12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＋34313]12；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤140.02723＋50×0.001 634－12. [解析](1)原式＝[(53)23＋(2－4)－12＋(73)13]12＝(52＋22＋7)12＝3612＝6. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫271 00023＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫1610 00034－12＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3103×23＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2104×34－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2103－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋110－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋40400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7202×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫720－1＝207.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．化简求值：(1)0.000 1－14＋2723－(4964)－12＋(19)－1.5；(2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.解析：(1)原式＝(0.14)－14＋(33)23－[(78)2]－12＋[(13)2]－32＝0.1－1＋32－(78)－1＋(13)－3 ＝10＋9－87＋27＝3147.(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3.1.授课提示：对应学生用书第52页一、条件求值的整体代换策略 (教材探究：教材P 110第8题拓展探究)1．求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．2．在进行整体代换时常用的一些公式： (1)完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2， (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.(2)平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． (3)立方和公式：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)． (4)立方差公式：a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)． (5)完全立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3， (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3.[典例] 1.已知a 12＋a －12＝3，求a 3＋a －3的值．[解析]∵a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2＋a －2－1)，由a 12＋a －12＝3得a ＋a －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122－2＝7，a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝72－2＝47，∴a 3＋a －3＝7×(47－1)＝322. 2．如果a ＋a －1＝3，求a 12＋a －12的值． [解析]∵(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5，且a 12＋a －12＞0，∴a 12＋a －12＝ 5.二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题 常用指数幂的变换技巧则a k 积：3k 乘方：(a k )3＝a 3k[典例] 设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：c ＝a ＋b.[证明]令3a ＝4b ＝6c ＝t ，则.因为3×2＝6，所以，即1a ＋12b ＝1c，所以2c ＝2a ＋1b.。
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算学案(含解析)新人教B版
第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在思考：对于式子na中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当n a 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②nan＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(na )n与na n中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n中，a ∈R ．分数指数幂的意义 知识点正分数 指数幂n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n ＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝n a m负分数 指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的m n有什么规定？提示：m n为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数． 知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t是一个确定的__实数__． 思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？ 提示：x ∈R ． 知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s＝__ar ＋s__．(2)(a r )s ＝__a rs__． (3)(ab )r＝__a r b r__．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题┃┃典例剖析__■典例1 (1)求使等式a －3a 2－9＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号． [解析] (1)a －3a 2－9＝a －32a ＋3＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]．(2)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． ┃┃对点训练__■1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的 取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__；(2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6x －26＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6x －26＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化┃┃典例剖析__■典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ；(2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．┃┃对点训练__■2．(1)用根式表示下列各式：x 35 ；x －13 ； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35 ＝5x 3；x －13 ＝13x．(2)①b 3a 2·a 2b 6＝b 3a 2·a b 3＝a －12 ． ②a －4b23ab 2＝a －4b 2·ab213 ＝a －4b 2a 13 b 23 ＝a －113 b 83 ＝a －116 b 43 ．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用┃┃典例剖析__■典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×－14×－56·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．┃┃对点训练__■ 3．化简与求值(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·a－5－12 ·a －1213．[解析] (1)原式＝(－1) －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32 ·a －23 )13 ·[(a －5)－12 ·(a －12 )13] 12 ＝(a 0) 13 ·(a 52 ·a －23 )12＝(a －4) 12 ＝a －2．易错警示┃┃典例剖析__■典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14 ＝1 (－a)4．。
高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
xn＝a
[0，＋∞) 被开方数
R 根指数
a a |a|
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质 1．分数指数幂的意义
正分数指数幂
分
数
指 负分数指数幂
数
幂
性质
0的正分数指数幂等于___0___，0的负分数指 数幂__无_意__义___
(2)将已知的式子反复利用完全平方ห้องสมุดไป่ตู้式，将x的指数升高，再代入 求值．
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指 数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号， 则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表 示．
答案：A
答案：B
答案：ABD
答案：C
课堂探究·素养提升
【答案】 D
－a π－3
方法归纳
根式化简或求值的策略 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶 次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化 简，化简时要结合条件或分类讨论．
由根式被开方数正负讨论x≥y，x<y 两种情况．
利用根式与分数指数 幂的性质意义化为根式 或分数指数幂．
答案：C
答案：C
状元随笔 (1)①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化 成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0 ＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成 幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)， 再算乘除，最后算加减．
2019_2020学年高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版
m
[微思考] 在分数指数幂与根式的互化公式 a n ＝n am中，
为什么必须规定 a>0?
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即n am＝a n
＝0，无研究价值．
m
3
②若 a<0，a n ＝n am不一定成立，如(－2) 2 ＝2 －23无意
义，故为了避免上述情况规定了 a>0.
第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4．1 指数与指数函数
4．1.1 实数指数幂及其运算 新课程标准 1．理解 n 次方根和根式的概念，掌握根式的性质、根式与分数 指数幂之间的相互转化．
m
2．通过对有理数指数幂 a n (a>0 且 a≠1；m，n 为整数且 n>0) 含义的认识，了解 指数幂的拓展过程．掌握分数指数幂的运 算性质．
m2－2mn＋n2等于 A．2m
B．2n
()
C．－2m
D．－2n
解析：原式＝|m＋n|－|m－n|，
∵n＜m＜0，∴m＋n＜0，m－n＞0.
故原式＝－2m.
答案：C
题型二 分数指数幂的运算
[学透用活]
[典例 2] 计算下列各式(式子中字母都是正数)：
2
(1)(0.027)
3
＋12275
[解]
(1)
3
a·4
1
a＝a 3
1
·a 4
＝a
7 12
.
1 11
7
(2)原式＝a 2 ·a 4 ·a 8 ＝a 8 .
23
13
(3)原式＝a 3 ·a 2 ＝a 6 .
(4)原式＝(a
1 3
)2·a
1 2
·b
2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2.1指数函数的概念课件新人教A版必修第一册
知识点一 指数函数的定义 函数__y_＝__a_x __ (a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量．定 义域为 R.
跟踪训练 1 (1)若函数 y＝(3－2a)x 为指数函数，则实数 a 的取
值范围是________；
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·( 2)x
②y＝2x－1
③y＝π2x
④y＝xx
⑤y＝3
1 x
⑥y
1
＝x 3 .
解析：(1)若函数 y＝(3－2a)x 为指数函数，
[教材解难]
规定底数 a>0 且 a≠1 的理由 (1)如果 a＝0，则当当xx><00时时，，aaxx恒无为意0义；. (2)如果 a<0，比如 y＝(－2)x，这时对于 x＝12，14，18，116，…在 实数范围内函数值不存在． (3)如果 a＝1，那么 y＝1x＝1 是常量，对此就没有研究的必要．
取值范围是( )
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C.12，1
D．(－∞，1)
(2)指数函数 y＝f(x)的图象经过点－2，14，那么 f(4)·f(2)等于 ________．
【解析】 (1)由已知，得 0<2a－1<1，则12<a<1，所以实数 a
的取值范围是12，1. (2)设 y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，所以 a－2＝14，所以 a＝2， 所以 f(4)·f(2)＝24×22＝64. 【答案】 (1)C (2)64
新教材高考数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.2 指数函数的性
第1课时 指数函数的性质与图像课 标 解 读课标要求 核心素养1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法.(重点、难点)2.能画出具体指数函数的图像,并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质.(重点)1.通过指数函数概念的学习,培养数学抽象的核心素养.2.借助指数函数的图像与性质的学习,提升直观想象、逻辑推理的核心素养.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,依此类推. 问题1:1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞?分裂x 次得到多少个细胞? 答案 22=4个,2x个.问题2:分裂多少次可得到16个呢?如何求解? 答案 设分裂y 次,由2y=16,得2y=24,解得y=4.1.指数函数的定义一般地,函数①y=a x称为指数函数,其中a 为②常数,a>0且a≠1. 思考:指数函数中为什么规定a>0且a≠1?提示 ①如果a=0,那么当x>0时,a x恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,a x无意义;②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,那么x=12,14,…时,该函数无意义;③如果a=1,那么y=1x是一个常量,没有研究的价值.为了避免上述各种情况的出现,所以规定a>0且a≠1. 2.指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图像和性质a>10<a<1图像性 质定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点③(0,1)函数值 的变化当x>0时, ④y>1; 当x<0时, ⑤0<y<1当x>0时,⑥0<y<1; 当x<0时,⑦y>1单调性在R 上是⑧增函数在R 上是⑨减函数探究一 指数函数的概念例1 (易错题)函数y=(a-2)2a x是指数函数,那么( )A.a=1或a=3B.a=1C.a=3D.a>0且a≠1易错辨析:忽视指数函数对底数、系数的要求致误.要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件.答案 C解析 由指数函数的定义知{(a -2)2=1,a >0,a ≠1,解得a=3. 易错点拨判断函数是指数函数时需抓住四点(1)底数是大于0且不等于1的常数. (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上. (3)a x的系数必须为1.(4)等号右边不是多项式,如y=a x+1(a>0且a≠1)不是指数函数.1.(1)假设函数f(x)是指数函数,且f(2)=9,那么f(x)= .(2)函数f(x)=(2a-1)x是指数函数,那么实数a 的取值范围是 . 答案 (1)3x(2)(12,1)∪(1,+∞)解析 (1)由题意设f(x)=a x(a>0且a≠1),那么f(2)=a 2=9,所以a=3,所以f(x)=3x.(2)由题意可知{2a -1>0,2a -1≠1,解得a>12且a≠1,所以实数a 的取值范围是(12,1)∪(1,+∞).探究二 指数函数的图像例2 (1)①y=a x;②y=b x;③y=c x;④y=d x的函数图像如下图,那么a,b,c,d 与0和1的关系是( )A.0<a<b<1<c<dB.0<b<a<1<d<cC.0<b<a<1<c<dD.1<a<b<c<d(2)函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1)满足f(1)>1,假设函数g(x)=f(x+1)-4的图像不过第二象限,那么a 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(2,5]C.(1,2)D.(1,5] 答案 (1)B (2)B解析 (1)由指数函数的图像可知,当底数大于1时,函数为增函数,并且底数越大图像上升得越快,因此得到c>d>1;当底数大于0且小于1时,函数为减函数,并且底数越大图像下降得越慢,因此得到1>a>b>0,所以0<b<a<1<d<c.应选B.(2)因为f(1)>1,所以a-1>1,即a>2,因为函数g(x)=f(x+1)-4的图像不过第二象限,所以g(0)=a 1-1-4≤0,所以a≤5,所以a 的取值范围是(2,5].思维突破处理指数函数图像问题的策略(1)抓住特殊点:指数函数的图像过定点(0,1).(2)巧用图像变换:函数图像的平移变换(左右平移、上下平移).2.(1)(多选)在同一平面直角坐标系中画出函数y=a x,y=x+a的图像,其中可能正确的是( )(2)函数y=a-|x|(0<a<1)的图像是( )答案(1)CD (2)A解析(1)函数y=x+a单调递增,且a为直线y=x+a在y轴上的截距,又当a>1时,函数y=a x单调递增,当0<a<1时,函数y=a x单调递减.应选项C、D中的图像符合条件,应选CD.(2)y=a-|x|=(1a )|a|,易知函数为偶函数,∵0<a<1,∴1a>1,故当x>0时,函数为增函数,当x<0时,函数为减函数,当x=0时,函数有最小值,最小值为1,应选A.探究三求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域例3 求函数y=0.31a-1的定义域、值域.解析由x-1≠0得x≠1,所以函数的定义域为{x|x≠1}.由1a-1≠0得y≠1,所以函数的值域为{y|y>0且y≠1}.思维突破指数函数y=a x与y=f(x)的复合方式主要是y=af(x)和y=f(a x ).函数y=af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,求与指数函数有关的函数的值域时,要达到指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.3.(1)(变条件)函数改为y=3a1+3a,求此函数的定义域、值域;(2)(变条件)函数改为y=4x-2x+1,求此函数的定义域、值域. 解析 (1)∵对一切x∈R,3x≠-1,∴函数的定义域为R. y=1+3a -11+3a=1-11+3a ,∵3x >0,1+3x>1, ∴0<11+3a<1,∴-1<-11+3a<0,∴0<1-11+3a<1,∴函数的值域为(0,1).(2)函数的定义域为R.y=(2x )2-2x+1=(2a -12)2+34,∵2x>0,∴2x=12,即x=-1时,y 取得最小值,最小值为34,∴函数的值域为[34,+∞).1.以下函数一定是指数函数的是( ) A.y=2x+1B.y=x 3C.y=3·2xD.y=3-x答案 D2.指数函数y=a x与y=b x的图像如下图,那么( )A.a<0,b<0B.a<0,b>0C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<1答案 C 函数y=a x的图像是下降的,所以0<a<1;函数y=b x的图像是上升的,所以b>1.3.a取任意正实数,函数f(x)=a x+1-2的图像都恒过定点( )A.(-1,-1)B.(-1,0)C.(0,-1)D.(-1,-3)答案 A4.如果函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(2,9),那么实数a= .答案 3解析指数函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(2,9),∴9=a2,解得a=3.5.函数y=(13)a在[-2,-1]上的最小值是m,最大值是n,那么m+n的值为. 答案12解析因为y=(13)a在[-2,-1]上为减函数,所以m=(13)-1=3,n=(13)-2=9,所以m+n=12.直观想象——数形结合思路的理解与应用假设曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,求b的取值范围.素养探究:指数函数问题比较抽象,解题时尽量先借助函数图像将问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想使问题灵活直观,过程中表达直观想象核心素养.解析作出曲线|y|=2x+1与直线y=b,如下图,由图像可得,假设曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,那么b应满足的条件是b∈[-1,1].直线y=2a 与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点,求实数a 的取值范围. 解析 y=|2x-1|={1-2a ,x <0,2a -1,x ≥0,函数图像如下:由图可知,要使直线y=2a 与函数y=|2x-1|的图像有两个公共点, 需0<2a<1,即0<a<12.故实数a 的取值范围是0<a<12.——————————————课时达标训练—————————————1.函数y=a x-a -1(a>0,且a≠1)的图像可能是( )答案 D 函数y=a x-a -1的图像是由函数y=a x的图像向下平移1a个单位长度得到的,A 项显然错误;当a>1时,0<1a <1,平移距离小于1,所以B 项错误; 当0<a<1时,1a >1,平移距离大于1,所以C 项错误.应选D.2.函数y=√a a -1的定义域是(-∞,0],那么a 的取值范围是( ) A.a>0 B.a<1 C.0<a<1D.a≠0答案 C 由a x-1≥0,得a x≥a 0. ∵函数的定义域为(-∞,0], ∴a 的取值范围是0<a<1.3.一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年的价值降低b%,那么n 年后这批设备的价值为( ) A.na(1-b%)万元 B.a(1-nb%)万元 C.a[1-(b%)n]万元D.a(1-b%)n万元答案 D 一年后这批设备的价值为a-ab%=a(1-b%)万元,两年后这批设备的价值为a(1-b%)-a(1-b%)b%=a(1-b%)2万元,……,n 年后这批设备的价值为a(1-b%)n万元,应选D. 4.假设函数f(x)=a 2a 2-3x +1在(1,3)上是增函数,那么关于x 的不等式a x-1>1的解集为( )A.{x|x>1}B.{x|x<1}C.{x|x>0}D.{x|x<0}答案 A ∵y=2x 2-3x+1的图像的对称轴是直线x=34,且开口向上, ∴函数f(x)在(1,3)上递增,根据复合函数同增异减的原那么,知a>1, 又a x-1>1=a 0,∴x -1>0,解得x>1,应选A.5.(原创题)函数f(x)={3a -12,x ≥1,4-a +1,x <1,那么f [a (-12)]的值为 .答案 15解析 由题意得,f (-12)=4-(-12)+1=3,那么f [a (-12)]=f(3)=33-12=15.6.定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x -a -x+2(a>0,且a≠1).假设g(2)=a,那么a= ,f(2)= . 答案 2;154解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴由f(x)+g(x)=a x-a -x+2,①得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a -x-a x+2,② ①+②,得g(x)=2; ①-②,得f(x)=a x-a -x. 又g(2)=a,∴a=2, ∴f(x)=2x-2-x, ∴f(2)=22-2-2=154.7.x∈[-3,2],求f(x)=14a -12a +1的最小值与最大值.解析 f(x)=14a -12a +1=4-x-2-x+1=2-2x-2-x+1=(2-a -12)2+34,∵x∈[-3,2],∴14≤2-x≤8,当2-x=12,即x=1时,f(x)有最小值,且最小值为34,当2-x=8,即x=-3时,f(x)有最大值,且最大值为57.8.(多选)假设函数f(x)=a x+b-1(a>0,a≠1)的图像经过第一、三、四象限,那么一定有( ) A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0答案 AD ∵函数f(x)=a x +b-1(a>0,a≠1)的图像经过第一、三、四象限, ∴{a >1,a -1<-1,解得a>1且b<0,应选AD.9.定义一种运算:g☉h={a (a ≥a ),a (a <a ),函数f(x)=2x☉1,那么函数y=f(x-1)的大致图像是( )答案 B f(x)={2a (x ≥0),1(a <0),∴f(x -1)={2a -1(x ≥1),1(a <1),应选B.10.函数f(x)=a x-1-2(a>0且x≠1)的图像恒过定点 ,f(x)的值域为 . 答案 (1,-1);(-2,+∞) 解析 由x-1=0得x=1, f(1)=a 0-2=1-2=-1,即函数f(x)的图像恒过定点(1,-1). ∵a x-1>0,∴a x-1-2>-2, ∴f(x)的值域为(-2,+∞).11.方程|2x-1|=a有唯一实数解,那么a的取值范围是.答案a≥1或a=0解析作出函数y=|2x-1|的图像,如图,由题意知,直线y=a与函数y=|2x-1|的图像的交点只有一个,∴a≥1或a=0.12.函数y=f(x)的定义域为(1,2),那么函数y=f(2x)的定义域为.答案(0,1)解析由函数的定义,得1<2x<2⇒0<x<1,所以y=f(2x)的定义域为(0,1).)a,那么:13.设f(x)=3x,g(x)=(13(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x),g(x)的图像;(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?解析(1)函数f(x),g(x)的图像如下图:)-1=3;(2)f(1)=31=3,g(-1)=(13)-π=3π,f(π)=3π,g(-π)=(13)-a=3m.f(m)=3m,g(-m)=(13从以上计算的结果看,当两个函数的自变量的取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,两函数的图像关于y轴对称.14.函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定义域为[-1,1].(1)求3a的值及函数g(x)的解析式;(2)试判断函数g(x)的单调性;..专心. (3)假设方程g(x)=m 有解,求实数m 的取值范围.解析 (1)因为f(x)=3x ,所以f(a+2)=3a+2=32·3a =18, 所以3a =2,所以g(x)=(3a )x -4x =2x -4x .(2)g(x)=2x -4x =-(2x )2+2x ,x∈[-1,1],令2x =t,那么t∈[12,2], 所以g(x)=μ(t)=-t 2+t=-(a -12)2+14在t∈[12,2]上单调递减,又t=2x单调递增,所以g(x)在x∈[-1,1]上单调递减.(3)由(2)知g(x)=μ(t)=-t 2+t=-(a-12)2+14在t∈[12,2]上单调递减,所以g(x)∈[-2,14],即m∈[-2,-14]. 故实数m 的取值范围是[-2,-14].。
2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1.1实数指数幂及其运算课时素
实数指数幂及其运算(15分钟30分)1.错误!未找到引用源。
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+(2019)0= ( )A.6B.7C.8D.错误!未找到引用源。
【解析】选B.错误!未找到引用源。
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=2+4+1=7.2.(2020·某某高一检测)下列各式计算正确的是( )A.(-1)0=1B.错误!未找到引用源。
·a2=a(a>0)C.错误!未找到引用源。
=8D.a6÷a2=a3【解析】选A.(-1)0=1,A正确;错误!未找到引用源。
·a2=错误!未找到引用源。
,故B错;错误!未找到引用源。
= 错误!未找到引用源。
≠8,C错;a6÷a2=a4,D错.3.化简错误!未找到引用源。
(其中a>0,b>0)的结果是()A.错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
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【解析】选C.错误!未找到引用源。
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,则实数a的取值X围是 ( )A.a∈RB.a=错误!未找到引用源。
C.a>错误!未找到引用源。
D.a≤错误!未找到引用源。
【解析】选D.左边=错误!未找到引用源。
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,所以|2a-1|=1-2a,即2a-1≤0.所以a≤错误!未找到引用源。
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新教材2024版高中数学第四章指数函数与对数函数4.1指数课件新人教A版必修第一册
指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
正分数指数幂
m
规定：an
＝__n__a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
分数 指数
1
负分数指数幂
规定：a－mn
＝
1
m
＝___n _a_m___(a＞0，m，n∈N*，且
an
幂
n＞1)
0 的分数 0 的正分数指数幂等于___0_____，0 的负分数指数
(1)a±2a12
1
b2
＋b＝ a ±b ；
1 2
1 2
2
(2)a－b＝ a ＋b a －b ； 1
1 1
1
2
2
2
2
3
(3)a2
＋b23
＝ a ＋b (a－a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)；
3
(4)a2
－b23
＝ a －b (a＋a 1
1
1
2
2
2
1
b2
＋b)．
易错警示 忽视条件限制致误 已知 x∈[1，2]，化简：(4 x－1)4＋6 (x2－4x＋4)3＝________．
1．(题型 2)下列运算结果中，正确的是
A．a2a3＝a5
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a－1)0＝1
D．(－a2)3＝a6
()
【答案】A 【解析】a2a3＝a2+3＝a5，(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6，( a－1)0＝1， 若成立，需要满足 a≠1，(－a2)3＝－a6，故正确的是 A．故选 A．
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数