2021高考数学大一轮复习考点规范练9对数与对数函数理新人教A版202006100192

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2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)

(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三对数函数的性质及应用【例 3－1】已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、经典例题
考点一对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.

2021届高考数学总复习(人教A版,理科)配套题库：对数与对数函数(含答案解析)

第5讲对数与对数函数一、选择题1．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c 1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a .答案 D 2．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1. ∴f (x )＝lgx ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1， ∴－1＜x ＜0. 答案 A3．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )． A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析由于y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C. 答案 C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( )．解析由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，00且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )．A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a2时递减，从而⎩⎨⎧a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D.答案 D6．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )． A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a 3.故选C. 答案 C 二、填空题。

2021年高考数学一轮复习 9对数与对数函数限时检测新人教A版

2021年高考数学一轮复习 9对数与对数函数限时检测新人教A 版3322 由对数函数的性质可知log 52＜log 32，∴b ＜a ＜c ，故选D. 【答案】 D5．(xx·辽宁高考)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝ln 1＋2＝2，由上式关系知f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝2.【答案】 D6．(xx·长沙模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x， x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】 ①当a ＞0时，－a ＜0，由f (a )＞f (－a )得log 2a ＞log 12a ，∴2log 2a ＞0，∴a ＞1.②当a ＜0时，－a ＞0，由f (a )＞f (－a )得，log 12 (－a )＞log 2(－a )，∴2log 2(－a )＜0，∴0＜－a ＜1，即－1＜a ＜0. 由①②可知－1＜a ＜0或a ＞1. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(xx·四川高考)lg 5＋lg 20的值是________．【解析】 lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 【答案】 18．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点________．【解析】 ∵log a 1＝0，∴x －1＝1，即x ＝2，此时y ＝2.因此函数图象恒过定点(2,2)．【答案】 (2,2)9．(xx·烟台模拟)已知函数f (x )＝ln x ，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 且x 1＜x 2，则①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0 ②f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜fx 1＋f x 22③x 1f (x 2)＞x 2f (x 1) ④x 2f (x 2)＞x 1f (x 1) 上述结论中正确的命题序号是________．【解析】 f (x )＝ln x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 的图象如图所示显然f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增，故①不正确．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是凸函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞fx 1＋f x 22，所以②不正确．令F (x )＝ln xx ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，则F ′(x )＝1－ln x x 2.∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，F ′(x )＞0，即F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 上为增函数，又x 1＜x 2，故F (x 1)＜F (x 2)，从而ln x 1x 1＜ln x 2x 2，即x 1ln x 2＞x 2ln x 1，所以③正确．令F (x )＝x ln x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ，由F ′(x )＝1＋ln x 可知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，F ′(x )＜0，所以F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上为单调减函数．又x 1＜x 2，从而F (x 1)＞F (x 2)，故x 2f (x 2)＜x 1f (x 1)，所以④不正确．【答案】 ③三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)若a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【解】 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎨⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是{x |0＜x ＜1}．11．(12分)设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．【解】由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.12．(13分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)． (1)判断函数f (x )在其定义域内的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)内恒为正，试比较a －b 与1的大小关系．【解】 (1)由a x－b x＞0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1.∵a ＞1＞b ＞0，∴a b＞1，∴x ＞0，∴f (x )定义域为(0，＋∞)．设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则由a ＞1＞b ＞0，得ax 2＞ax 1，bx 1＞bx 2，所以ax 2－bx 2＞ax 1－bx 1＞0，∴f (x 2)＝lg(ax 2－bx 2)＞lg(ax 1－bx 1)＝f (x 1)， ∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数．(2)由(1)，得x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)恒成立．要使f (x )＞0，则只需f (1)≥0，即a －b ≥1.X29764 7444 瑄?29933 74ED 瓭;21365 5375 卵22705 58B1 墱34760 87C8 蟈28956 711C 焜20919 51B7 冷39587 9AA3 骣x25468 637C 捼40034 9C62 鱢。

2020版高考数学新设计大一轮复习-第6节对数与对数函数习题理(含解析)新人教A版

第6节对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.知识梳理1.对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.[微点提醒]1.换底公式的两个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nmlog a b.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)log2x2＝2log2x.( )(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )(3)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )(4)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b.( )解析(1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错.(2)形如y＝log a x(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错.(4)当x＞1时，log a x＞log b x，但a与b的大小不确定，故(4)错.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D3.(必修1P74A7改编)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________.解析由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，14.(2018·嘉兴调研)计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0B.2C.4D.6解析原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25)＝4＋log 525＝4＋2＝6. 答案 D5.(2019·武汉月考)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 解析由f (3)＝1得log 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 答案－7考点一对数的运算【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.解析 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.答案 (1)－20 (2)1规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1B.0或18C.18D.log 23(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.解析 (1)由题意知lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2. 又a b ＝b a ，所以b 2b ＝b b2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 答案 (1)D (2)4 2考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到. 因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 答案 (1)D (2)C规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【训练2】 (1)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0<a －11.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，即log a a －1<log a b <log a 1，所以，a －1<b <1. 综上有0<a －1<b <1.(2)作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点，故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞). 答案 (1)A (2){0}∪[2，＋∞) 考点三对数函数的性质及应用多维探究角度1 对数函数的性质【例3－1】 (2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C角度2 比较大小或解简单的不等式【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)解析 (1)法一因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案 (1)D (2)C角度3 对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a cc b(2)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)由y ＝x c与y ＝c x的单调性知，C ，D 不正确； ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确； log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.又a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负， ∴log a c 与log b c 的大小不能确定.(2)令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 答案 (1)B (2)(0，＋∞)[思维升华]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. [易错防范]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.24B.16C.12D.8解析因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.答案 A2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b解析 log 13 15＝log 3－15－1＝log 35，因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，所以log 35>log 372>log 33＝1，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，故c >a >b . 答案 D3.(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax ，g (x )＝log a (x ＋2)(a >0，且a ≠1)的图象大致为( )解析由题意，知函数f (x )＝2－ax (a >0，且a ≠1)为单调递减函数，当0<a <1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a>2，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C ，D均不满足；当a >1时，函数f (x )＝2－ax 的零点x ＝2a <2，且x ＝2a>0，又g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B ，综上只有A 满足.答案 A4.(2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )，则( )A.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f (x )是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f (x )是偶函数，且在(0，10)上是减函数解析由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x >0，10－x >0，得x ∈(－10，10)，且f (x )＝lg(100－x 2).∴f (x )是偶函数，又t ＝100－x 2在(0，10)上单调递减，y ＝lg t 在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，10)上单调递减.答案 D5.已知函数f (x )＝|ln x |，若f (m )＝f (n )(m >n >0)，则2m ＋1＋2n ＋1＝( ) A.12 B.1 C.2 D.4 解析由f (m )＝f (n )，m >n >0，可知m >1>n >0，∴ln m ＝－ln n ，则mn ＝1.所以2m ＋1＋2n ＋1＝2（m ＋n ）＋4mn ＋m ＋n ＋1＝2（m ＋n ＋2）m ＋n ＋2＝2. 答案 C二、填空题6.lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 答案－17.(2019·昆明诊断)设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 答案 (－1，0)8.(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2（3－x ），x <2，2x －2－1，x ≥2，若f (2－a )＝1，则f (a )＝________.解析当2－a <2，即a >0时，f (2－a )＝－log 2(1＋a )＝1.解得a ＝－12，不合题意. 当2－a ≥2，即a ≤0时，f (2－a )＝2－a －1＝1，即2－a＝2，解得a ＝－1，所以f (a )＝f (－1)＝－log 24＝－2.答案－2三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3).(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ). 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·商丘二模)已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a ||x |－b |的图象是( )解析 ∵函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝1，又函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋b )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a >1.所以g (x )＝log a ||x |－1|，当x >1时，g (x )＝log a (x －1)为增函数，排除B ，D ；当0<x <1时，g (x )＝log a (1－x )为减函数，排除C ；故选A.答案 A12.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z 解析令t ＝2x ＝3y ＝5z ，∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5. ∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t （2lg 3－3lg 2）lg 2×lg 3＝lg t （lg 9－lg 8）lg 2×lg 3>0， ∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t （2lg 5－5lg 2）l g 2×lg 5＝lg t （lg 25－lg 32）lg 2×lg 5<0， ∴2x <5z ，∴3y <2x <5z .答案 D13.已知函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)，若f (x )的值域为R ，则实数m 的取值范围是________. 解析令g (x )＝mx 2＋2mx ＋1值域为A ，∵函数f (x )＝lg(mx 2＋2mx ＋1)的值域为R ，∴(0，＋∞)⊆A ，当m ＝0时，g (x )＝1，f (x )的值域不是R ，不满足条件；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，4m 2－4m ≥0，解得m ≥1.答案 [1，＋∞)14.已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数.(2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝lnx ＋1x －1>ln m （x －1）（7－x ）恒成立， ∴x ＋1x －1>m （x －1）（7－x ）>0恒成立， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立.令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).。

(通用版)高考数学大一轮复习第9讲对数与对数函数学案理新人教A版-新人教A版高三全册数学学案

第9讲对数与对数函数1.对数概念如果a x=N (a>0,且a ≠1),那么x 叫作以a 为底N 的 ,记作x=log a N ,其中a叫作对数的底数,N 叫作真数,log a N 叫作对数式性质底数的限制:a>0,且a ≠1对数式与指数式的互化:a x=N ⇔负数和零没有log a 1=log a a=1对数恒等式:a lll a l = 运算法则 log a (M ·N )=a>0,且a ≠1, M>0,N>0log a MN =log a M n= (n∈R) 换底公式换底公式:log a b=log l l log l l(a>0,且a ≠1,c>0,且c ≠1,b>0)推论:lo g l l b n= ,log a b=1log l l2.对数函数的概念、图像与性质概念函数y=log a x (a>0,a ≠1)叫作函数底数a>1 0<a<1图像定义域(续表)值域性质过定点 ,即x=1时,y=0 在区间(0,+∞)上是函数在区间(0,+∞)上是函数3.反函数指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线对称. 常用结论1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x 对称.2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.题组一常识题1.[教材改编] 化简log a b log b c log c a 的结果是 .2.[教材改编] 函数f (x )=log 2(2-x )的定义域是 .3.[教材改编] 若函数y=f (x )是函数y=2x的反函数,则f (2)= . 4.[教材改编] 函数y=lo √2x 2-4x+5)的单调递增区间是 .题组二常错题◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位;忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质;忽略对底数的讨论致误.5.有下列结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,则x=10;④若log 22=x ,则x=1;⑤若log m n ·log 3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是 .6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y ),则l l= .7.设a=14,b=log 985,c=log 8√3,则a ,b ,c 的大小关系是 .8.若函数y=log a x (a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a= .探究点一对数式的化简与求值例1 (1)[2018·宿州质检] 已知m>0,n>0,lo g √2(3m )+log 2n=lo g √2(2m 2+n ),则log 2m-log 4n 的值为( )A .-1B .1C .-1或0D .1或0(2)设2x=5y=m ,且1l +1l =2,则m= .[总结反思] (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.变式题 (1)[2018·昆明一中模拟]设x,y为正数,且3x=4y,当3x=py时,p的值为()A.log34B.log43C.6log32D.log32(2)计算:lg 32+log416+6lg12-lg 5= .探究点二对数函数的图像及应用例2 (1)函数f(x)=log a|x|+1(0<a<1)的图像大致是()A B C D图2-9-1(2)[2018·濮阳二模]设x1,x2,x3均为实数,且(12)l1=log2(x1+1),(12)l2=log3x2,(12)l3=log2x3,则()A.x1<x3<x2B.x3<x2<x1C.x3<x1<x2D.x2<x1<x3[总结反思] (1)在研究对数函数图像时一定要注意其定义域,注意根据基本的对数函数图像作出经过平移、对称变换得到的函数的图像.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.变式题 (1)函数f(x)=ln(|x|-1)的大致图像是()A B C D图2-9-2(2)若函数f (x )=log 2(x+1),且a>b>c>0,则l (l )l ,l (l )l ,l (l )l的大小关系是 ( )A .l (l )l>l (l )l >l (l )lB .l (l )l>l (l )l >l (l )l C .l (l )l>l (l )l >l (l )lD .l (l )l>l (l )l >l (l )l 探究点三解决与对数函数性质有关的问题微点1 比较大小例3 (1)[2018·武汉4月调研] 若实数a ,b 满足a>b>1,m=log a (log a b ),n=(log a b )2,l=log a b 2,则m ,n ,l 的大小关系为 ( )A .m>l>nB .l>n>mC .n>l>mD .l>m>n(2)[2018·长沙雅礼中学期末] 已知a=ln 12,b=lo g 1312,则( )A .a+b<ab<0B .ab<a+b<0C .a+b<0<abD .ab<0<a+b[总结反思] 比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过巡回转化进行比较.微点2 解简单对数不等式例4 (1)[2018·成都七中二诊] 若实数a 满足log a 23>1>lo g 34a ,则a 的取值范围是 ( )A .(23,1)B .(23,34) C .(34,1) D .(0,23)(2)已知实数a>0,且满足不等式33a+2>34a+1,则不等式log a (3x+2)<log a (8-5x )的解集为 .[总结反思] 对于形如log a f (x )>b 的不等式,一般转化为log a f (x )>log a a b,再根据底数的范围转化为f (x )>a b或0<f (x )<a b.而对于形如log a f (x )>log b g (x )的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.微点3 对数函数性质的综合问题例5 (1)[2018·丹东二模] 若函数f (x )={log l l ,l >3,log 1ll +2,0<l ≤3存在最小值,则a 的取值范围为 ( )A .(1,+∞)B .[3,+∞)C .(1,3]D .(1,√3](2)已知f (x )=lo g 12(x 2-ax+3a )在区间[2,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是 .[总结反思] 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.应用演练1.【微点3】若函数f(x)=a+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a=()A.2B.4C.6D.82.【微点1】[2018·银川一中四模]设a=0.50.4,b=log0.40.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a3.【微点2】已知函数f(x)在区间[-2,2]上单调递增,若f(log2m)<f[log4(m+2)]成立,则实数m的取值范围是()A.[14,2) B.[14,1)C.(1,4]D.[2,4]4.【微点3】函数f(x)=log2(-x2+2x)的单调递减区间是.5.【微点3】已知函数f(x)=ln(√1+l2-x)+2,则f(lg 3)+f(lg13)= .第9讲对数与对数函数考试说明 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.对数函数(1)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点; (2)知道对数函数是一类重要的函数模型;(3)了解指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)与对数函数y=log a x (a>0,且a ≠1)互为反函数.【课前双基巩固】知识聚焦1.对数 x=log a N 对数 0 N log a M+log a N log a M-log a N n log a M lllog a b 2.对数 (0,+∞) R (1,0) 增减 3.y=log a x (a>0,且a ≠1) y=x 对点演练1.1 [解析] 利用对数的换底公式可得结果为1.2.(-∞,2) [解析] 由2-x>0,解得x<2,即函数f (x )的定义域为(-∞,2).3.1 [解析] 函数f (x )=log 2x ,所以f (2)=1.4.(-∞,2) [解析] 因为0<√2<1,所以y=lo √2单调递减,而函数y=x 2-4x+5>0恒成立,且单调递减区间为(-∞,2),所以函数y=lo √2x 2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2).5.①②③④⑤ [解析] ①lg 10=1,则lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③底的对数等于1,则x=10;④底的对数等于1;⑤log m n=lg l lg l ,log 3m=lg l lg3,则lg llg3=2,即log 3n=2,故n=9. 6.4 [解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y ),所以xy=(x-2y )2,即x 2-5xy+4y 2=0,解得x=y 或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y 不符合题意,当x=4y 时,得ll =4.7.c>a>b [解析] a=14=log 9√94=log 9√3<log 8√3=c ,a=log 9√3>log 985=b ,所以c>a>b.8.2或12 [解析] 分两种情况讨论:(1)当a>1时,有log a 4-log a 2=1,解得a=2;(2)当0<a<1时,有log a 2-log a 4=1,解得a=12.所以a=2或12. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)先化为同底的对数,根据对数的运算法则得出m ,n 之间的关系,再代入求值.(2)先反解x ,y ,再代入1l +1l =2,即可得m 的值.(1)C (2)√10 [解析] (1)因为lo g √2(3m )+log 2n=log 2(9m 2)+log 2n=log 2(9m 2n ), lo g √2(2m 2+n )=log 2(2m 2+n )2, 所以9m 2n=(2m 2+n )2,即4m 4-5m 2n+n 2=0,解得4m 2=n 或m 2=n , 所以log 2m-log 4n=log 2m-log 2√l =log 2√l 2l=-1或0.(2)由2x=5y=m ,得x=log 2m ,y=log 5m , 再由1l +1l =2,得1log2l +1log 5l=2,即log m 2+log m 5=2, 所以log m 10=2,所以m=√10.变式题 (1)C (2)1 [解析] (1)令3x=4y=t ,则x=log 3t ,y=log 4t ,由3x=py ,得p=3log 3l log 4l =3log l 4log l3=3log 34=6log 32,故选C .(2)lg 32+log 416+6lg 12-lg 5=lg 25+log 442-6lg 2-lg 5=2-lg 2-lg 5=2-lg 10=1.例2 [思路点拨] (1)由f (x )的性质及其图像过点(1,1),(-1,1)得到答案;(2)在同一坐标系内作出函数y=(12)l与y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 的图像,根据图像得到交点,分析交点的横坐标进行大小比较.(2)在同一坐标系内画出函数y=(12)l与y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 的图像,根据图像得到交点,比较交点的横坐标的大小即可.(1)A (2)A [解析] (1)由于函数f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是偶函数,所以其图像关于y 轴对称.当x>0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是减函数;当x<0时,f (x )=log a |x|+1(0<a<1)是增函数.再由f (x )的图像过点(1,1),(-1,1),可知应选A .(2)x 1,x 2,x 3分别是函数y=(12)l与y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 图像的交点的横坐标,作出函数y=(12)l,y=log 2(x+1),y=log 3x ,y=log 2x 的大致图像如图所示,由图可得x 1<x 3<x 2,故选A .变式题 (1)B (2)B [解析] (1)函数f (x )=ln(|x|-1)的定义域为{x|x>1或x<-1},且f (x )是偶函数,故排除C,D;当x>1时,函数f (x )=ln(x-1)是增函数,故排除A .故选B . (2)由题意可得,l (l )l ,l (l )l ,l (l )l可分别看作函数f (x )=log 2(x+1)图像上的点(a ,f (a )),(b ,f (b )),(c ,f (c ))与原点连线的斜率,结合图像(图略)可知,当a>b>c>0时,l (l )l>l (l )l >l (l )l .故选B .例3 [思路点拨] (1)推导出0=log a 1<log a b<log a a=1,由此利用对数函数的单调性比较m ,n ,l 的大小;(2)先分析出ab<0,a+b<0,再利用作差法比较ab 和a+b 的大小关系得解. (1)B (2)B [解析] (1)∵实数a ,b 满足a>b>1,m=log a (log a b ),n=(log a b )2,l=log a b 2,∴0=log a 1<log a b<log a a=1, ∴m=log a (log a b )<log a 1=0,0<n=(log a b )2<1,l=log a b 2=2log a b>n=(log a b )2, ∴l>n>m.故选B .(2)由题得a=ln 12<ln 1=0,b=lo g 1312>lo g 131=0,所以ab<0.又a+b=ln 12+lo g 1312=-ln 2+ln2ln3=ln 2(1ln3-1)=ln 2·1-ln3ln3<0,则ab-(a+b )=ab-a-b=ln 12·lo g 1312-ln 12-lo g 1312=-ln 2·ln2ln3+ln 2-ln2ln3=ln 2(-ln2ln3+1-1ln3)=ln2·ln3-ln2-1ln3=ln 2·ln32eln3<0,所以ab<a+b<0.例4 [思路点拨] (1)分别求解不等式log a 23>1与lo g 34a<1,其交集即为不等式的解集;(2)先根据指数不等式确定a 的范围,然后根据同底的对数不等式求解,并注意真数的取值.(1)C (2)(34,85) [解析] (1)根据对数函数的性质,由log a 23>1,可得23<a<1;由lo g 34a<1,得a>34.综上可得34<a<1,∴a 的取值范围是(34,1),故选C .(2)由题意得3a+2>4a+1,∴0<a<1,∴{3l +2>8-5l ,3l +2>0,8-5l >0,解得x ∈(34,85).例5 [思路点拨] (1)由分段函数在两段上的单调性,结合f (x )存在最小值,列不等式求解即可;(2)令t=x 2-ax+3a ,则由题意可得函数t=x 2-ax+3a 在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0,从而得解.(1)C (2)-4<a ≤4 [解析] (1)由题意可知a>1,否则函数无最小值, 所以当x>3时,f (x )>log a 3,当0<x ≤3时,f (x )=lo g 1lx+2单调递减,且满足f (x )≥f (3)=lo g 1l3+2,所以log a 3≥lo g 1l3+2,即log a 3≥1,得1<a ≤3.故选C .(2)令t=x 2-ax+3a ,则由函数g (t )=lo g 12t 在区间[2,+∞)上为减函数,可得函数t=x 2-ax+3a 在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0, 故有{l2≤2,4-2l +3l >0,解得-4<a ≤4.应用演练1.B [解析] 由题得函数f (x )=a+log 2x 在区间[1,a ]上是增函数,所以当x=a 时,函数取得最大值6,即a+log 2a=6,解得a=4.故选B .2.C [解析] ∵0<a=0.50.4<0.50=1,b=log 0.40.3>log 0.40.4=1, c=log 80.4<log 81=0, ∴c<a<b.3.A [解析] 不等式即为f (log 4m 2)<f [log 4(m+2)],∵函数f (x )在区间[-2,2]上单调递增,∴{log 4l 2<log 4(l +2),-2≤log 2l ≤2,-2≤log 4(l +2)≤2,即{ l 2<l +2,14≤l ≤4,116≤l +2≤16,解得14≤m<2,∴实数m的取值范围是[1,2).故选A.44.(1,2)[解析] 由-x2+2x>0,可得x2-2x<0,解得0<x<2,∴函数f(x)=log2(-x2+2x)的定义域为(0,2).又y=log2x在(0,+∞)上单调递增,y=-x2+2x(0<x<2)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,∴函数f(x)的单调递减区间是(1,2).5.4[解析] 设g(x)=ln(√1+l2-x),显然有g(-x)=-g(x),即g(x)为奇函数,则)=f(lg 3)+f(-lg 3)=g(lg 3)+2+g(-lg 3)+2=4.g(-x)+g(x)=0,所以f(lg 3)+f(lg13【备选理由】例1主要考查对数的运算、对数函数图像的变换;例2考查比较对数式的大小;例3主要考查复合函数的单调性以及对数函数与指数函数的性质;例4为对数函数性质的综合问题.例1[配合例2使用] 为了得到函数y=lg x的图像,只需将函数y=lg(10x)图像上()A.所有点的纵坐标伸长到原来的10倍,横坐标不变,纵坐标不变B.所有点的横坐标缩短到原来的110C.所有点沿y轴向上平移一个单位长度D.所有点沿y轴向下平移一个单位长度[解析] D y=lg(10x)=1+lg x,将y=1+lg x图像上所有点沿y轴向下平移一个单位长度,就得到函数y=lg x的图像,故选D.例2[配合例3使用] [2018·柳州三模]已知a=18118,b=log2017√2018,c=log2018√2017,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.b>a>cC .a>c>bD .a>b>c[解析] D a=18118>180=1,b=log 2017√2018=12log 20172018,∵log 20172018∈(1,2),∴b ∈(12,1).c=log 2018√2017=12log 20182017,∵log 20182017∈(0,1),∴c ∈(0,12),∴a>b>c. 例3 [配合例5使用] 已知函数f (x )=lg (5l +45l +l )的值域是R,则m 的取值范围是( )A .(-4,+∞)B .[-4,+∞)C .(-∞,4)D .(-∞,-4][解析] D 令t=5x+45l +m ,因为f (x )的值域为R,所以t 可取(0,+∞)内的每一个正数,所以4+m≤0,故m ≤-4,故选D .例4 [配合例5使用] 已知函数f (x )=log a (x+1),g (x )=log a (1-x )(其中a>0,且a ≠1). (1)求函数f (x )+g (x )的定义域;(2)判断函数f (x )-g (x )的奇偶性,并予以证明; (3)求使f (x )+g (x )<0成立的x 的取值集合.解:(1)由题意得{l +1>0,1-l >0,∴-1<x<1,∴所求定义域为{x|-1<x<1}.(2)函数f (x )-g (x )为奇函数.证明如下: 令h (x )=f (x )-g (x ),则h (x )=log a (x+1)-log a (1-x )=log al +11-l, 则h (-x )=log a -l +11+l =-log a l +11-l =-h (x ),∴函数h (x )=f (x )-g (x )为奇函数.(3)∵f (x )+g (x )=log a (x+1)+log a (1-x )=log a (1-x 2)<0=log a 1,∴当a>1时,0<1-x 2<1,即0<x<1或-1<x<0;当0<a<1时,1-x 2>1,不等式无解.综上,当a>1时,使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合为{x|0<x<1或-1<x<0}.。

高考数学热点题型和提分秘籍专题09 对数与对数函数理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数

2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题09 对数与对数函数理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)．【热点题型】题型一对数运算例1、(1)(3＋2)2log (3－2)5＝( )A ．1B.12C.14D.15(2)＝________.(3)若log 147＝a,14b＝5，则a ，b 表示log 3528＝________. 【答案】 (1)D (2)－32 (3)2－aa ＋b(3)∵14b＝5，∴log 145＝b ，又log 147＝a ， ∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 145＋log 147 ＝2－aa ＋b. 【提分秘籍】对数式的化简与求值的常用思路：(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数的运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底数真数的积、商、幂再运算．【举一反三】lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝() A ．1B ． 2 C ．3D ．4【答案】B题型二对数函数的图象及应用例2(1)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()(2)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1 D．0<x1x2<1【答案】(1)B(2)D【解析】(1)解法一易知f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)＝lg(x－1)，将函数y＝lg x图象向右平移一个单位得到f(x)＝lg(x－1)的图象，再根据对称性可知应选B.解法二由|x|－1>0得x<－1或x>1，可排除C，D；又x>1时f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上是增函数，故排除A选 B.【提分秘籍】在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系．【举一反三】若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()【答案】B【解析】题型三对数函数的性质及应用例3、对于函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)，解答下列问题：(1)若f (x )的定义域为R ，某某数a 的取值X 围； (2)若f (x )的值域为R ，某某数a 的取值X 围；(3)若函数f (x )在(－∞，1]内为增函数，某某数a 的取值X 围．【解析】设u ＝g (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2. (1)∵u >0对x ∈R 恒成立，∴u min ＝3－a 2>0，∴－3<a <3(或由x 2－2ax ＋3>0的解集为R 得Δ＝4a 2－12<0求出－3<a <3)． (2)∵f (x )的值域为R ，∴u ＝g (x )的值域应包含(0，＋∞)， ∴Δ＝4a 2－12≥0，即a ≥3或a ≤－ 3.∴实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)． (3)命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧g x 在－∞，1]上为减函数，g x >0对 x ∈－∞，1]时恒成立，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，g 1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2.即所求a 的取值X 围是[1,2)．【提分秘籍】对数函数性质的考查多与复合函数联系在一起．要注意两点：(1)要认清复合函数的构成，判断出单调性． (2)不要忽略定义域．【举一反三】已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间．(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.【高考风向标】【2015高考某某，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c <<（B ）a c b <<（C ）c a b <<（D ）c b a << 【答案】C【2015高考某某，理10】设函数()31,1,2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值X 围是（）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C【解析】当1a ≥时，()21a f a =>，所以，()()()2f a f f a =，即1a >符合题意.当1a <时，()31f a a =-,若()()()2f a f f a =，则()1f a ≥，即：2311,3a a -≥≥，所以213a ≤<适合题意综上，a 的取值X 围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,故选C. （2014·某某卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )图11【答案】B（2014·某某卷）已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－1 【答案】A【解析】g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5|a －1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.（2014·某某卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .（2014·某某卷）设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 【答案】C【解析】根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x＜3}．故选C.（2014·某某卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D（2014·某某卷）下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x【答案】B【解析】由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D.（2014·某某卷）已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．【答案】10【解析】由4a＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012 ＝10.（2013·某某卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.（2013·某某卷）设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0. 【答案】(1){x|0<x≤1} (2)①②③ 【解析】（2013·某某卷）已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg (xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y ＝2lgx 2lgy，故选择D. 【高考押题】 1．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14C ．2D ．4 解析：由题意可知a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，∴a 2＋a －6＝0，∴a ＝－3或2，又a >0，∴a ＝2.2．已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( ) A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x 【答案】D3．若f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有f (x )>1，则实数a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(1,2) C ．(1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 【答案】C【解析】f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上恒有f (x )>1，也就是log a x >1，x ∈[2，＋∞)恒成立．∵x ≥2， log a x >1，∴a >1，∴1<a <2.4．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( )A.124B.112C.18D.38 【答案】A【解析】∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.5．设函数f (x )＝若f (m ) <f (－m )，则实数m 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【答案】C6．|1＋lg 0.001|＋lg 213－4lg 3＋4＋lg 6－lg 0.02的值为________．【答案】6【解析】原式＝|1－3|＋|lg 3－2|＋lg 300＝2＋2－lg 3＋lg 3＋2＝6.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值X 围是______________．【答案】{x |－1＜x ≤0或x >2}【解析】当x ≤0时，由3x ＋1>1得x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，由log 2x >1得x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值X 围为－1<x ≤0或x >2.8．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (2)的大小关系为________．(用“<”表示) 【答案】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2) 【解析】由f (2－x )＝f (x )可知f (x )关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为12－1<13－1<|2－1|，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)．。

【志鸿优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习：课时规范练9 对数与对数函数

课时规范练9对数与对数函数一、选择题1.在对数式b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是()A.a>5或a<2B.2<a<5C.2<a<3或3<a<5D.3<a<4答案:C解析:要使对数式有意义,只要解得2<a<3或3<a<5.2.设a=lo,b=lo,c=log3,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案:B解析:∵y=lo x在(0,+∞)上单调递减,且,∴lo>lo,即b<a.∵c=log3=lo,且,∴lo<lo,故c<b<a.3.已知0<a<1,则方程a|x|=|log a x|的实根个数是()A.4B.3C.2D.1答案:C解析:a|x|=|log a x|有意义,则x>0,问题即a x=|log a x|,画出两个函数y=a x,y=|log a x|的图象,则可以得到交点有2个.4.已知函数f(x)满足:当x≥4时,f(x)=,当x<4时,f(x)=f(x+1),则f(2+log23)等于()A. B.C. D.答案:A解析:∵2+log23<4,又当x<4时,f(x)=f(x+1),∴f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).∵3+log23>4,∴f(2+log23)==·=·=.5.已知函数f(x)=|lg x|,若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(2,+∞)D.[2,+∞)答案:C解析:函数f(x)=|lg x|的图象如图所示,由图象知a,b一个大于1,一个小于1,不妨设a>1,0<b<1.∵f(a)=f(b),∴f(a)=|lg a|=lg a=f(b)=|lg b|=-lg b=lg.∴a=.∴a+b=b+>2=2.6.已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积为定值1010,为了简单起见,科学家用P A=lg(n A)来记录A菌个数的资料,其中n A为A菌的个数,则下列判断中正确的个数为()①P A≥1;②若今天的P A值比昨天的P A值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个;③假设科学家将B菌的个数控制为5万个,则此时5<P A<5.5.A.0B.1C.2D.3答案:B解析:当n A=1时P A=0,故①错误;若P A=1,则n A=10,若P A=2,则n A=100,故②错误;设B菌的个数为n B=5×104,∴n A==2×105,∴P A=lg(n A)=lg 2+5.又∵lg 2≈0.3,∴50,x2-2>0,当x=-1时,2x+1<0,∴x=-1舍去.x=3时,2x+1>0,x2-2>0.∴x=3.8.求值:log3+lg 25+lg 4++(-2 014)0=.答案:解析:原式=+2lg 5+2lg 2+2+1=.9.将函数y=log3x的图象上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的m(m>0)倍,得到图象C,若将y=log3x的图象向上平移2个单位,也得到图象C,则m=.答案:解析:将y=log3x的图象向上平移2个单位,得到y=2+log3x=log3(9x)的图象.∴m=.10.已知函数y=lo(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,则a的取值范围是.答案:∪(0,1)解析:因为f(x)=x2-2ax-3在(-∞,a]上是减函数,在[a,+∞)上是增函数,所以要使y=lo(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,首先必有0<a2<1,即0<a<1或-1<a<0,且有得a≥-.综上,得-≤a<0或0<a<1.11.函数y=(lo x)2-lo+5在区间[2,4]上的最小值是.答案:解析:y=lo x+5.令t=lo x(2≤x≤4),则-1≤t≤-且y=t2-t+5,∴当t=-时,y min=+5=.三、解答题12.设a,b,c均为正数,且2a=lo a,=lo b,=log2c,试比较a,b,c的大小.解:由2a=lo a可知a>0⇒2a>1⇒lo a>1⇒0<a<;由=lo b可知b>0⇒0<lo b<1⇒<b<1;由=log2c可知c>0⇒0<log2c<1⇒1<c<2.从而a<b<c.13.已知函数f(x)=lo(a2-3a+3)x.(1)判断函数的奇偶性;(2)若y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求a的取值范围.解:(1)函数f(x)=lo(a2-3a+3)x的定义域为R.又f(-x)=lo(a2-3a+3)-x=-lo(a2-3a+3)x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.(2)函数f(x)=lo(a2-3a+3)x在(-∞,+∞)上为减函数,则y=(a2-3a+3)x在(-∞,+∞)上为增函数,由指数函数的单调性,有a2-3a+3>1,解得a<1或a>2.所以a的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞).14.若函数f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1).(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值;(2)x取何值时,f(log2x)>f(1),且log2f(x)<f(1).解:(1)∵f(x)=x2-x+b,∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b,由已知(log2a)2-log2a+b=b,∴log2a(log2a-1)=0.∵a≠1,∴log2a=1,∴a=2.又log2f(a)=2,∴f(a)=4.∴a2-a+b=4,∴b=4-a2+a=2.故f(x)=x2-x+2.从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=.∴当log2x=,即x=时,f(log2x)有最小值.(2)由题意⇒0<x<1.15.已知函数f(x)=log a(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.解:(1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点,则Q(-x,-y)是点P关于原点的对称点,∵Q(-x,-y)在f(x)的图象上,∴-y=log a(-x+1),即y=g(x)=-log a(1-x).(2)f(x)+g(x)≥m,即log a≥m.设F(x)=log a,x∈[0,1),由题意知,只要F(x)min≥m即可.∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min=F(0)=0.故m≤0即为所求.四、选做题1.已知f(x)=abx+2log3(3x+1)为偶函数,g(x)=2x+为奇函数,其中a,b为实数,则a-b的值是()A.3B.-3C.-3或3D.-2或2答案:C解析:∵f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即ab(-x)+2log3(3-x+1)-=0,abx=2log3=-2log33x=-2x,即(ab+2)x=0恒成立,故ab=-2.因为g(x)为奇函数,所以g(0)=0,得a+b=-1,由解得故a-b=-3或3.2.已知函数f(x)=若存在实数a,b,c,d满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),其中d>c>b>a>0,则abcd的取值范围是.答案:21<abcd<24解析:如下图所示,由图形易知0<a<1,1<b<3,则f(a)=|log3a|=-log3a,f(b)=|log3b|=log3b, ∵f(a)=f(b),∴-log3a=log3b,∴ab=1.令x2-x+8=0,即x2-10x+24=0.解得x=4或x=6,而二次函数y=x2-x+8的图象的对称轴为直线x=5,由图象知,3<c<5,d>5,点(c,f(c))和点(d,f(d))均在二次函数y=x2-x+8的图象上,故有=5,∴d=10-c.由于f(3)=×32-×3+8=1,当1<x<3时,f(x)=|log3x|=log3x,∴0<log3x<1.∵1<b<3,∴0<f(b)<1.∵f(b)=f(c),∴0<f(c)<1,由于函数f(x)在(3,5)上单调递减,且f(3)=1,f(4)=0,∴3<c<4,∴abcd=1×cd=cd=c(10-c)=-c2+10c=-(c-5)2+25,∵3<c<4,∴21<-(c-5)2+25<24,即21<abcd<24.3.函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②存在[a,b]上的值域为,那么就称函数y=f(x)为“成功函数”,若函数f(x)=log c(c x+t)(c>0,c≠1)是“成功函数”,求t的取值范围.解:依题意函数f(x)=log c(c x+t)(c>0,c≠1)在定义域上为单调递增函数,且t≥0,而t=0时,f(x)=x不满足条件②,∴t>0.设存在[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域为,∴∴a,b是方程()2-+t=0的两个不等实根,∴Δ=1-4t>0,∴0<t<.。

高中数学最基础考点系列考点9对数运算新人教A版必修1(2021学年)

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专题9 对数运算对数运算★★★○○○○１．对数的概念如果aｘ=N（a>０且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作ｘ＝ｌoｇa N,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质（1)对数的性质：①a loｇa N＝Ｎ；②log a a b=b(ａ>0，且ａ≠1)．（2）换底公式:ｌoｇa b＝错误!(a，c均大于0且不等于1,ｂ>0).（3）对数的运算性质:如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0,那么：①log a（Ｍ·N）＝loｇa M＋log Ｎ；ａ②ｌｏｇa错误!＝lｏgａM-log a N,③log a M n＝n log a M（n∈R）.1。

在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N⇔b＝lｏｇa N（a＞０,且ａ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化．（1)设2a =5b=m ,且＼ｆ(1,a )＋错误!＝２,则m 等于（）Ａ。

＼ｒ(１0） ﻩB ．１0 C.20 Ｄ.100（2）计算：错误!÷100－错误!=___＿＿___。

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考点规范练9 对数与对数函数考点规范练A册第6页基础巩固1.函数y=√log23(2x-1)的定义域是()A.[1,2]B.[1,2)C.[12,1]D.(12,1]答案:D解析:由lo g23(2x-1)≥0,可得0<2x-1≤1,即12<x≤1.2.(2019湖北武汉部分学校高三调研)已知a=log0.040.08,b=log0.20.3,c=log23,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a答案:B解析:a=log0.040.08=12log0.20.08=log0.2√0.08<1,b=log0.20.3<log0.2√0.08=a,c=log23>log22=1,所以b<a<c.3.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是()答案:B解析:易知f(x)为偶函数,故只需考虑当x>0时f(x)=lg(x-1)的图象.将函数y=lg x的图象向右平移一个单位得到f(x)=lg(x-1)的图象,再根据偶函数性质得到f(x)的图象.4.已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()A.0<a -1<b<1B.0<b<a -1<1C.01.函数图象与y 轴的交点坐标为(0,log a b ),由函数图象可知-1<log a b<0,解得1x <b<1. 综上有0<1x <b<1.5.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3-x +1,x ≤0,则f (f (1))+f (log 312)的值是( )A.5B.3C.-1D .72答案:A解析:由题意可知f (1)=log 21=0,f (f (1))=f (0)=30+1=2,f (log 312)=3-log 312+1=3log 32+1=2+1=3,故f (f (1))+f (log 312)=5.6.已知函数f (x )=a x+log a x (a>0,a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( ) A .12B .14C.2D.4答案:C解析:显然函数y=a x 与y=log a x 在区间[1,2]上的单调性相同,因此函数f (x )=a x+log a x 在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=(a+log a 1)+(a 2+log a 2)=a+a 2+log a 2=log a 2+6,故a+a 2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C.7.(2019天津部分区期末)已知函数f(x)=2|x|,且f(log2m)>f(2),则实数m的取值范围为()A.(4,+∞))B.(0,14)∪(4,+∞)C.(-∞,14)∪(4,+∞)D.(0,14答案:D解析:由题意知,函数f(x)=2|x|为偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增..∵f(log2m)>f(2),∴|log2m|>2,即log2m>2或log2m<-2,解得m>4或0<m<14)∪(4,+∞).故选D.∴实数m的取值范围为(0,148.(2019山西晋城一模)已知函数f(x)=log a(-x2-2x+3),若f(0)<0,则该函数的单调递增区间是()A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1)D.(-3,-1]答案:C解析:由题意,得-x2-2x+3>0,即-3<x<1.由f(0)=log a3<0,可得0<a<1.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)的单调递增区间即为二次函数y=-x2-2x+3在区间(-3,1)内的单调递减区间,结合二次函数的图象可得,y=-x2-2x+3在区间[-1,1)内单调递减,故函数f(x)的单调递增区间是[-1,1).故选C.9.(2019广西崇左天等高级中学高三下学期模拟)已知函数g(x)=(e2x-1)x2,若实数m满足g(log5m)-e xm)≤2g(2),则m的取值范围是()g(lo g15A.(0,25]B.[5,25]C.[25,+∞)D.[1,5]5答案:Am)≤2g(2)可解析:由g(x)=(e x-e-x)x2,可知g(x)为奇函数,且在R上单调递增,所以g(log5m)-g(lo g15化为2g(log5m)≤2g(2),所以log5m≤2,所以m的取值范围是(0,25].10.(2019河北武邑中学期末)曲线y=log a(x-3)+3(a>0,且a≠1)恒过点.答案:(4,3)解析:当x=4时,log a (x-3)的值恒为0,故曲线y=log a (x-3)+3恒过点(4,3). 11.(2019河南郑州月考)已知2x =72y=A ,且1x +1x =2,则A 的值是 . 答案:7√2解析:由2x=72y=A ,得x=log 2A ,y=12log 7A ,则1x +1x=1log 2x+2log 7x=log A 2+2log A 7=log A 98=2,故A 2=98.又A>0,故A=√98=7√2.12.函数f (x )=log 2√x ·lo g √2(2x )的最小值为 . 答案:-14解析:由题意可知x>0,故f (x )=log 2√x ·lo g √2(2x )=12log 2x ·log 2(4x 2)=12log 2x ·(log 24+2log 2x )=log 2x+(log 2x )2=(log 2x +12)2−14≥-14.当且仅当x=√22时,有f (x )min =-14. 能力提升13.已知f (x )=lg (21-x+x )是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)答案:A解析:由f (x )是奇函数可得a=-1,故f (x )=lg 1+x 1-x,定义域为(-1,1).由f (x )<0,可得0<1+x1-x <1,即-1<x<0.14.定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x-2)=f (x+2),且当x ∈(-1,0)时,f (x )=2x+15,则f (log 220)等于( )A.1 B .45C.-1D.-45答案:C解析:由f (x-2)=f (x+2),得f (x )=f (x+4).因为4<log 220<5,所以f (log 220)=f (log 220-4)=-f (4-log 220)=-f (log 245)=-(2log 245+15)=-1.15.已知a>b>1,若log a b+log b a=52,a b =b a,则a= ,b= . 答案:4 2解析:设log b a=t ,由a>b>1,知t>1. 由题意,得t+1x =52,解得t=2,则a=b 2. 由a b=b a,得b 2b=x x 2,即得2b=b 2,即b=2,∴a=4.16.设函数f (x )=|log a x|(0<a<1)的定义域为[m ,n ](m<n ),值域为[0,1],若n-m 的最小值为13,则实数a 的值为 .答案:23解析:作出y=|log a x|(0<a<1)的大致图象,如图所示.令|log a x|=1,得x=a 或x=1x .又1-a-(1x-1)=1-a-1-xx=(1-x )(x -1)x <0,故1-a<1x -1,所以n-m 的最小值为1-a=13,解得a=23.17.定义在R 上的奇函数f (x ),当x ∈(0,+∞)时,f (x )=log 2x ,则不等式f (x )<-1的解集是 . 答案:(-∞,-2)∪(0,12)解析:由已知条件可知,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=-log 2(-x ). 当x ∈(0,+∞)时,f (x )<-1,即为log2x<-1,解得0<x<1;2当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.).所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪(0,12高考预测18.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案:C解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在(0,+∞)内是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.。