1.4 单位圆与诱导公式(1) 学案 高中数学必修4(北师大版)
1.4.4+诱导公式与旋转+课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
解：
原式=
=
− +
−
2
− − +
− −
− −
= 1.
3
+
2
.
练习
变3：化简
思考
1：求证：
− − +
− − −
证明：
1.4.4诱导公式与旋转
复习导入
圆具有很好的对称性，从圆出发很多三角函数中的问题得以解决.利用圆的对称
性，上一节课我们通过在单位圆内取点，并作出它关于原点、关于轴、轴的
对称点的方式，再根据三角函数的定义，得到了下面的诱导公式.
( + ) = − ，
(−) = − ，
口诀中的“奇和偶”，指的是的奇偶，“变和不变”指的是变不变三
角函数名，“符号”指的是化简后整个值的正负，“看象限”指的是看
+
所在的象限.(运用公式时，默认为锐角)
练习
1.判断正误：
(1)诱导公式与旋转中的角只能是锐角.(
(2)(90° + ) = − .(
)
)
(3)(270 + 30°) = 30°.(
(2)67° + 157° + 115° − （ − 25°）.
练习
题型二：条件求值
例2.若( + ) =
A.
B.
1
3
，那么(
3
2
C.
D.−
1
3
解：∵( + ) = − = ，
北师大版必修第二册1-4-3诱导公式与对称1.4.4诱导公式与旋转课件(34张)
α.
[误区警示]
[防范措施] 1.公式的记忆 在三角函数这一部分公式比较多，尤其在诱导公式这一部分，所以对公式要记忆准确， 如本例中 sin(4π－α)＝sin(－α)，cos(－α)＝cos α. 2.口诀的记忆 “函数名不变，符号看象限”是对诱导公式(1.8)、(1.9)的总结，因公式多，记忆有可 能有偏差，需要记住公式及其含义，如本例中 cos(－α)的化简，若 α 为锐角，－α 在第四 象限，第四象限余弦为正，故 cos(－α)＝cos α.
＝sin(30°＋90°)＝cos
30°＝
3 2.
解法二：sin 840°＝sin(720°＋120°)
＝sin
120°＝sin(180°－60°)＝sin
60°＝
3 2.
研习 2 运用诱导公式解决正弦、余弦函数式的化简与证明 [典例 2] 已知 sin(α－π)＝2cos(2π－α)， 求证：si3ncoπs－πα－＋α5－cossin2π－＋αα ＝－35.
sinπ2－α＝cos α，cosπ2－sinπ2＋α＝cos α，cosπ2＋α＝－sin α
课堂篇·研习讨论导案
研习 1 运用诱导公式解决正弦函数、余弦函数的求值问题 [典例 1] 求下列各三角函数的值： (1)sin(－1 665°)；(2)cos－103π. 解题探究 1.sin(－α)与 sin α 有什么关系？ 2.cos(－α)与 cos α 有什么关系？
解析：由单位圆可知 y＝cos x 在 x＝0 处取最大值 1，在 x＝43π处取最小值－12，即－12 ≤cos x≤1，∴－2≤－2cos x≤1.
3 3.已知角 α 的终边上一点 P(3a,4a)(a<0)，则 cos(540°－α)的值是___5_____．
271导学案.高中数学4.必修.配BS版
第 1 课时
从位移 ㊁ 速度 ㊁ 力到向量
第2章
第7节
向量应用举例
0 5 5 0 5 5 0 3 7 0 5 7 0 5 7 0 3 8 0 5 9 0 5 9 0 3 9 0 6 1 0 6 1 0 6 1 0 4 0 0 4 1
从位移 ㊁ 速度 ㊁ 力到向量
第2节
从位移的合成到向量的加法
第 1 课时 向量的加法 预习案 …………………………………………… 0 3 7 探究案 …………………………………………… 0 3 7 训练案 …………………………………………… 0 2 8 第 2 课时 向量的减法 预习案 …………………………………………… 0 3 9 探究案 …………………………………………… 0 3 9 训练案 …………………………………………… 0 2 9
第 1 课时
( 函数 y=A 的图像 s i n ω x+ φ)
( 函数 y=A 的图像 ( 一) s i n ω x+ φ)
第9节
三角函数的简单应用
预习案 …………………………………………… 0 2 9 探究案 …………………………………………… 0 2 9 训练案 …………………………………………… 0 2 1 第 章复习学案 ……………………………… ʏ 1 0 3 1 梳理案 …………………………………………… 0 3 1 探究案 …………………………………………… 0 3 1 训练案 …………………………………………… 0 2 3 ʏ 第 1 章检测卷 ………………………………… 0 2 5
第1章
第1节 周期现象
第 1 课时 周期现象 预习案 …………………………………………… 0 0 1 探究案 …………………………………………… 0 0 2 训练案 …………………………………………… 0 0 1
【精品】高中数学 必修4_三角函数的诱导公式_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
= -2sin30°= -2× 答案：-1
2
= -1.
6.下列三角函数值： ①sin(nπ + 4 );
3
②cos(2nπ + );
6 ③sin(2nπ + ); 3
④cos［(2n+1)π - ］;
6 ⑤sin［(2n+1)π - ］(n∈Z) 3 与sin 的值相同的是__________________. 3
3 )=sin = ; 2 3 3
3
对于②，cos(2nπ+
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·东莞高一检测）化简
sin(2 - ) sin( ) cos(- ) sin(3 - ) cos( )
(-sin) (-sin) (-cos) 【解析】原式= sin (-cos)
sin (-sin ) sin sin( ) = -sin cos cos( )sin( ) 2 2 3 5 3 = = . 4 5 4
=
= sin cos
9.（10分）若f(sin x)=cos 17x,x∈(0, 2 )求f( 17 1 【解析】f( )=f(sin )=cos π=cos(2π+ 6 2 6 5 =cos π=cos(π)= - cos = - 3 . 6 6 6 2
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
（C） 3
2
（D）- 3
【解析】选A.∵sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=
1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式
A
sin
A
sin
A
cos
A
则 2
.
2
2
2
故选：A
）
1
7
cos
sin
6．已知 12 3 ，则 12 的值等于（
2 2
A．
3
1
B．
3
1
C．
3
）
2 2
D．
3
7
1
【详解】由诱导公式得 cos sin
去化简：“奇变偶不变，符号看象限”，
口诀中的“奇和偶”，指的是的奇偶，“变和不变”指的是变不变
三角函数名，
“符号”指的是化简后整个值的正负，“看象限”指的是看 + 所
在的象限.
(运用公式时，默认为锐角)
例如： + = ， + = −，
2
cos −
作 + ，其中n
=1，2 ， 3 ，4k(k∈Z).
只需注意，关于
− 和-
的诱导公式，在做了 +
和α-π的公式变化之后，还要借助于- a的诱导公式·
用这样的观点看诱导公式，得到如下结论:当n取奇数1
或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦
函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是
北师版数学高一北师大版必修4学案 1.4.3 单位圆与诱导公式(一)
4．3单位圆与诱导公式(一)明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．1．设α为任意角，π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称2.诱导公式1.8～1.12公式1.8：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α；公式1.9：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α；公式1.10：sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α；公式1.11：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α；公式1.12：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.[情境导学]在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式1.8，并且利用公式1.8可以把绝对值较大的角的三角函数值转化为0°～360°内的角的三角函数，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？探究点一角α与－α的正弦、余弦函数关系思考1设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，如图，角－α的终边与角α的终边有什么关系？－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答角－α的终边与角α的终边关于x轴对称．角－α与单位圆的交点为P2(x，－y)．思考2根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答sin α＝y，cos α＝x；sin(－α)＝－y＝－sin α；cos(－α)＝x＝cos α.即诱导公式1.9sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.思考3诱导公式1.9有何作用？答将负角的三角函数转化为正角的三角函数．探究点二角α与π－α的正弦、余弦函数关系思考1根据角α与π－α与单位圆的交点坐标的关系，你能推出角α与π－α的正弦、余弦函数的关系吗？答如图，设角α的终边与单位圆相交于P1(x，y)，由于角π－α与α的终边关于y轴对称，因此角π－α的终边与单位圆相交于P2(－x，y)，则sin α＝y，cos α＝x；sin(π－α)＝y＝sin α，cos(π－α)＝－x＝－cos α.即诱导公式1.11sin(π－α)＝sin αcos(π－α)＝－cos α思考2诱导公式1.11有何作用？答将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．探究点三角α与π＋α的正弦、余弦函数关系思考1阅读教材17页，说出角α与π＋α的正弦、余弦函数关系．答sin(π＋α)＝－sin αcos(π＋α)＝－cos α思考2如何推导思考1中得出的关系式？答如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点为P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推导公式的过程．由三角函数的定义得sin α＝y，cos α＝x，又sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，∴sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.即诱导公式1.12sin(π＋α)＝－sin αcos(π＋α)＝－cos α思考3诱导公式1.12有何作用？答 将第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．例1 求下列三角函数的值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π；(2)cos 960°. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π＝－sin 194π＝－sin(4π＋34π) ＝－sin 34π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－sin π4＝－22. (2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后，再用诱导公式化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角，再求三角函数值．跟踪训练1 求下列三角函数值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. (2)cos 296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32. 例2 化简：sin 2(α＋3π)cos 2(α＋π)sin (α＋π)cos 3(－α－π). 解 原式＝sin 2α·cos 2α(－sin α)·cos 3(α＋π)＝sin 2α·cos 2αsin α·cos 3α＝sin αcos α. 反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练2 化简：sin (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (2π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解 原式＝sin (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－sin θ)·(－sin θ)·cos θcos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝sin θsin θcos θcos θcos θsin θ＝sin θcos θ. 例3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33， 求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． 解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33. 反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值．跟踪训练3 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.1．求下列三角函数的值．(1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π. 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12.2．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α). 解 原式＝(－cos α)sin α[－sin (α＋180°)]cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1. 3．化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 4．证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立． [呈重点、现规律]1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用 公式1.8将角转化为0～2π之间的角求值 公式1.9将负角转化为正角求值 公式1.11将角转化为0～π2之间的角求值 公式1.12将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．一、基础过关1．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22C ．－32 D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2．cos 660°的值为( )A ．－12B.12 C ．－32 D.32 答案 B解析 cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300°＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)＝cos 60°＝12. 3．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．4．已知sin(5π4＋α)＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12B ．－12 C.32 D ．－32 答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝－32. 5．已知sin(490°＋α)＝－45，则sin(230°－α)＝ .答案 45解析 sin(230°－α)＝sin[720°－(490°＋α)]＝－sin(490°＋α)＝45. 6．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 014)＝1，则f (2 015)＝ .答案 3解析 ∵f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝1，∴a sin α＋b cos β＝－1.f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝－(a sin α＋b cos β)＋2＝－(－1)＋2＝3.7．化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z . 解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π) ＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos 43π ＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π ＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π) ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 所以sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12B ．±32 C.32 D ．－32 答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，α＝53π. 故sin(2π＋α)＝sin α＝sin 53π＝－sin π3＝－32(α为第四象限角)． 9．在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C .其中为常数的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C＝sin[2(π－C )]＋sin 2C＝sin(2π－2C )＋sin 2C＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C＝cos[2(π－C )]＋cos 2C＝cos(2π－2C )＋cos 2C＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C .故选B.10．下列三角函数，其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是 ．(只填序号) ①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ③sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3. 答案 ②③解析 对于①，当n ＝2m 时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3，∴①错； ②是正确的；对于③，sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3， ∴③是正确的．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f (－116)＋f (116)＝ . 答案 －2解析 f (－116)＝sin(－116π)＝sin π6＝12， f (116)＝f (56)－1＝f (－16)－2＝sin(－π6)－2＝－52， ∴f (－116)＋f (116)＝12－52＝－2. 12．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，其中k ∈Z . 解 方法一 k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1， k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )仿上可得原式＝－1.方法二 由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π，打印版高中数学 [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)．sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)．故原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)]－sin (k π＋α)cos (k π＋α)＝－1. 三、探究与拓展13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.。
高中数学必修4 三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式一、教学目标：（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题；（3）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力；（4）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.教学重点：用联系的观点发现并证明诱导公式．教学难点: 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．教学设想一．问题引入：角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。
求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有：sin(α+2kπ) = sinα，cos(α+2kπ) = cosα，ta n(α+2kπ) = tanα(k∈Z) 。
(公式一)二．尝试推导由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。
反过来呢？问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π-α与角α的终边关于y轴对称,有sin(π-α) = sin α，cos(π-α) = - cos α，（公式二）tan(π-α) = - tan α。
因为与角α 终边关于y 轴对称是角π-α，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
于是，我们就得到了角π-α 与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。
三．自主探究问题：两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角-α 与角α 的终边关于x 轴对称，有：sin(-α) = -sin α，cos(-α) = cos α，（公式三）tan(-α) = -tan α。
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【学习目标】
1. 借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导角αππαα-±-,,的正、余弦函数 的诱导公式，并会用诱导公式进行简单三角函数式的求值与化简.
2. 通过诱导公式的推导，进一步培养用几何法研究代数问题的方法，体会周期性、 对称性在研究问题中的价值.
【自主学习】
1. 锐角α的终边与α-的终边位置关系如何？任意角α与α-呢？若设角α的终
边与单位圆的交点为),(v u P ，则角α-的终边与单位圆的交点'P 的坐标为 ____. 由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与α-的正、余弦函数之间的
关系吗？
2. 锐角α的终边与πα±的终边位置关系如何？任意角α
与πα±呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，
则角πα±的终边与单位圆的交点'P 的坐标为______.由
任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与πα±的
正、余弦函数之间的关系吗？
3.锐角α的终边与απ-的终边位置关系如何？任意角α
与απ-呢？若设角α的终边与单位圆的交点为),(v u P ，
则角απ-的终边与单位圆的交点'P 的坐标为______.
由任意角正、余弦三角函数的定义，你能找出角α与 απ-的正、余弦函数之间的关系吗？
4. 求下列函数值：
（1） 150cos ； （2）)45sin(π-
； （3）)1320cos( -.
【合作探究】
1. 在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点)13
12,135(-P ，写出点P 关于x 轴、y 轴
和原点对称的点的坐标，并分别求出角απαπααπ-+--2,,,的正弦函数值、余弦
函数值.
2.化简：
)
sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ-----+.
3. 利用单位圆，求适合下列条件的角的集合.
（1）22cos -=α； （2）21sin ≤α.
【课堂检测】
1.下列各式不正确的是（ ）
A. ααsin )180sin(-=+
B. )cos()cos(βαβα--=+-
C. ααsin )360sin(-=--
D. )cos()cos(βαβα+=--
2.已知)3
0(31)sin(πααπ<<-=+，求)sin(απ-的值.
3. 化简：
)
5sin()4sin()2sin()sin()3sin()sin(απαππαπααπαπ+----+--.
【课堂小结】
【课后训练】。