21.2.2一元二次方程根的判别式

拓展点一
拓展点二
拓展点三
解:(1)证明:∵Δ=[-(k+2)]2-4×2k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,它总有 实数根. (2)当a=3是等腰三角形的底时,则Δ=0,即(k-2)2=0,解得k=2,则方 程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此时等腰三角形的周长为2+2+3=7; 当a=3是等腰三角形的腰时,则a=3是方程的一个根,将x=3代入 x2-(k+2)x+2k=0,得k=3,此时方程变为x2-5x+6=0,解方程得 x1=2,x2=3,所以等腰三角形的底为2,周长为3+3+2=8.
m≠-1 时,原方程有两
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解答这类问题的一般方法是根据方程根的情况列出关于 未知字母的方程或不等式,通过解方程或不等式来求字母 的值或确定字母的取值范围.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
例3 已知关于x的方程(k-1)x2-6x+9=0. (1)若方程有实数根,求k的取值范围; (2)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (3)若方程有两个相等的实数根,求k的值,并求此方程的根. 分析:由于题目中没有指出所给方程是一元二次方程,所以需要 分类讨论解答: (1)若k=1,方程为一元一次方程,有解,满足题意;当k不等于1时,方 程为一元二次方程,得到根的判别式大于等于0,且二次项系数不为 0,列出不等式,求出不等式的解集即可得到k的范围; (2)方程有两个不相等的实数根,得到k-1不为0,且根的判别式大于 0,即可得到k的范围; (3)方程有两个相等的实数根,得到k-1不为0,且根的判别式等于0, 即可得到k的值.
利用公式法可以解任何形式的一元二次方程,被称为“万能 法”,但是使用时,一定要先把一元二次方程化成一般形式, 同时注意各项系数的符号,而且要先计算b2-4ac的值,确定 了根的情况后才能套用公式.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点一灵活地选择方法解一元二次方程 例1 选择适当的方法解方程: (1)(x-1)2=3;(2)x2-2x=4;(3)x2-3x+1=0. 分析:(1)因为方程的左边是完全平方形式,右边是正整数,所以利 用直接开平方法求解; (2)由于方程的左边二次项的系数为1,并且一次项系数是偶数,所 以利用配方法求解较好; (3)虽然方程的左边二次项的系数为1,但是一次项系数是奇数,如 果用配方法会出现分数,所以利用公式法解方程.
你能总结一下推导求根公式的基本步骤吗？推导过 程中要注意那些问题？ 当 b 2 - 4ac＞0 时，方程有两个不相等的实根； 当 b 2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实根； 当 b 2 - 4ac＜0 时，方程没有实根.
3
知识点一
知识点二
知识点一一元二次方程的判别式 一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式, 通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac. (1)当Δ>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实 数根; (2)当Δ=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数 根; (3)当Δ<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
知识点一
知识点二
拓展讲解:用公式法解一元二次方程的步骤是: (1)把一元二次方程化为一般形式; (2)确定a,b,c的值; (3)求出b2-4ac的值; (4)如果b2-4ac≥0,则把a,b,c的值代入求根公式,求出x1和x2的值, 如果b2-4ac<0,则方程无实数根; ������ 2 当b -4ac=0时,必须把原方程的根写成 x1=x2=-2������ 的形式,这样 才能说明方程有两个相等的实数根,而不是只有一个根.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解:(1)由原方程,得 x-1=± 3, 解得 x1=1- 3,x2=1+ 3. (2)由原方程,得 x2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5, 解得 x1=1- 5,x2=1+ 5. (3)在 x2-3x+1=0 中,a=1,b=-3,c=1, 则 x=
-(-3)± (-3) -4×1×1 3+ 5 3- 5 ,x2= . 2 2 2
知识点一
知识点二
解答这类判断一元二次方程根的情况的问题,只要计算 出判别式Δ=b2-4ac的值,根据判别式的符号即可确定.
知识点一
知识点二
知识点二公式法 2 -������± ������ -4������������ 当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 x= 的 2������ 形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公 式表达了一般的用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的结果. 解一个具体的一元二次方程时,把各项系数直接代入求根公式, 可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做 公式法.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解答这类问题时,注意观察题目是否说明所给方程是一元二 次方程,如果没有,要分类讨论解答.如果指出所给方程是一 元二次方程,一般根据题目所给出的根的情况列出方程或不 等式,通过解方程或解不等式求出结果.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点三与判别式有关的综合题 例4 已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证:无论k取何值,它总有实数根; (2)若等腰三角形一边a=3,另两边为方程的根,求k的值及三角形 的周长. 分析:(1)计算方程的根的判别式,若Δ=b2-4ac≥0,则方程有实数根; (2)已知a=3,则a可能是底,也可能是腰,分两种情况求得b,c的值后, 再求出△ABC的周长.注意两种情况都要用三角形三边关系定理进 行检验.
2
=
3± 5 , 2
所以 x1=
拓展点一
拓展点二
拓展点三
在一元二次方程的解法中,公式法和配方法可以说是“通法”, 即能解任何一个一元二次方程.但对某些特殊形式的一元二 次方程,有的用直接开平方法简便.因此,在遇到一道题时,应根 据题目自身的特点灵活地选择适当的方法去解一元二次方程.拓展点一拓展点二知识点一
知识点二
例2 用公式法解下列方程. (1)x2-x=-2; (2)x2-2x=2x+1; (3)(3x-1)(x+2)=11x-4. 分析:把各方程整理为一般形式,找出a,b,c的值,代入求根公式即 可求出解.
知识点一
知识点二
解:(1)方程整理得 x2-x+2=0, 这里 a=1,b=-1,c=2, ∵Δ=1-8=-7<0,∴方程无实数根. (2)方程整理得 x2-4x-1=0, 这里 a=1,b=-4,c=-1,
知识点一
知识点二
拓展讲解:(1)判别式Δ=b2-4ac与一元二次方程根的情况的关系是 相互的,即: ①b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根; ②b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根; ③b2-4ac<0⇔方程无实数根. (2)特别地: ①一元二次方程有实根指的是有两个不等实根和两个相等实根, 即此时应有b2-4ac≥0; ②一元二次方程没有实数根时,不能说成无解,因为方程无解,只 是在实数范围内无解.
拓展点三
拓展点二根据根的判别式确定字母的值或取值范围 例2 m为何值时,关于x的一元二次方程(m+1)x2-(2m-3)x=-m-1: (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根? 分析:回答各个问题,只要根据方程的根的情况,确定判别式Δ=b24ac的取值,列出相应的方程或不等式,解相应的方程或不等式即可 确定字母m的值或取值范围.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解:方程化为(m+1)x2-(2m-3)x+m+1=0, Δ=b2-4ac=[-(2m-3)]2-4×(m+1)2=-20m+5, ∵方程为一元二次方程,∴m+1≠0,解得 m≠-1. 个不相等的实数根.
1 1 (1)当-20m+5>0 时,解得 m<4,∴当 m<4且 1 (2)当-20m+5=0 时,m= , 4 1 ∴当 m=4时原方程有两个相等的实数根. 1 (3)当-20m+5<0 时,m>4, 1 ∴当 m>4时原方程没有实数根.
21.2.2
公式法
1．复习配方法，引入公式法
问题1 什么叫配方法？配方法的基本步骤是什么？
（1）将方程二次项系数化成 1； （2）移项； （3）配方； （4）化为（x + n）= p（n，p 是常数，p≥0）的形 式； 2 （5）用直接开平方法求得方程的解．
2．推导求根公式
教材新知精讲
综合知识拓展
∵Δ=16+4=20,∴x=
∴x1=2+ 5,x2=2- 5. ∴x=
6±2 3 3± 3 = , 6 3 3+ 3 3- 3 ∴x1= 3 ,x2= 3 .
4± 20 2
=
4±2 5 . 2
(3)方程整理得 3x2-6x+2=0,这里 a=3,b=-6,c=2,∵Δ=36-24=12,
知识点一
知识点二
知识点一
知识点二
例1 (2015· 长春)方程x2-2x+3=0的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 解析:把a=1,b=-2,c=3代入Δ=b2-4ac进行计算,然后根据计算结果 判断方程根的情况. ∵a=1,b=-2,c=3,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0.∴方程没有实数 根. 答案:C