04-灵敏度分析
灵敏度分析
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优基不变（即最优解或最优 解结构不变）？
②系数变化超出上述范围时，如何用最简便的方法求出新的最优解？
灵敏度分析的基本原理
对于标准线性规划问题
max Z = CX
s.t. AX = b
设 为基本解， 是X基≥对应0 的目标系数向量， 是
基的逆矩阵，则原问题可表示为：
（２）检验数 CN CB B1N ，即 j Cj CBB1 pj 发生变 化，即对解的正则性有影响，而对解的可行性没有影响。 此时若解的正则性满足，则最优解不变
（３） B1b 和 CN CBB1N 同时发生变化
一、目标系数 的灵c j敏度分析
１、非基变量的目标系数 c j 的灵敏度分析
求（１）使原最优解基不变的b1 的变化范围； （２）若 b1 变为200，求新的最优解。
max Z = 3x1+ 2x2
x1+ 2x2 40 s.t. 2x1+ x2 50
x1 , x2 0
课 堂 练 习（续）
P153(4)
求（1）为使最优解不发生变化时目标函数系数
b
允许
例1.1 已知线性规划问题
max η = 30x1 + 25x 2 + 35x 3
x1 + 2x2 + x3 ≤ 800
s.t.
x
1
+
x2
+
2x 3
≤
1000
2x1 + x 2 + x 3 ≤ 2000
x1, x 2, x 3 ≥ 0
问当x2 的系数由２５提高到３５时，最优解是否发生变 化？
灵敏度分析
灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。
目录线性规划中灵敏度分析对于线性规划问题：这里max表示求极大值，s.t.表示受约束于，X是目标函数,xj是决策变量。
通常假定aij，bi和c j都是已知常数。
但是实际上这些参数往往是一些根据估计或预测得到的数据，因而存在误差。
同时，在实际过程中，这些参数还会发生不同程度的变化。
例如，在处理产品搭配的线性规划问题中，目标函数中的c j一般同市场条件等因素有关。
当市场条件等因素发生变化时，c j也会随之而变化。
约束条件中的aij随工艺条件等因素的变化而改变，bi的值则同企业的能力等因素有关。
线性规划中灵敏度分析所要解决的问题是：当这些数据中的一个或几个发生变化时，最优解将会发生怎样的变化。
或者说，当这些数据在一个多大的范围内变化时最优解将不发生变化。
编辑本段灵敏度的应用投入产出法中灵敏度分析可以用来研究采取某一项重大经济政策后将会对国民经济的各个部门产生怎样的影响。
例如，美国政府曾经利用投入产出表研究了提高职工工资10％对国民经济各部门商品价格的影响。
研究的结果表明，在职工工资增加10％时，建筑业产品的价格将上涨7％，农产品的价格将上涨1.3％，其余各部门产品价格将上涨1.3～7％不等,生活费用将上升3.8％，职工的实际得益为6.2％。
方案评价中灵敏度分析可以用来确定评价条件发生变化时备选方案的价值是否会发生变化或变化多少。
例如，在利用评价表进行评价时，需要确定每一个分目标的权重系数和各分目标的评分数。
这中间或多或少地会存在当事人的主观意识，不同的人可能会有截然不同的价值观念。
因此就必须考虑当分配的权重系数或评分数在某一个范围内变化时，评价的结果将会产生怎样的变化。
灵敏度分析
x1 x2 x3 x4 x5 bi x1 1 0 0 2 1 4
x2 0 1 1 1 1 8
f 0 0 2 2 3 84
1.价值系数cj变化的分析
•cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动。
•cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 分析cj 允许的变动范围cj •cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况：
2解.：分由析最优b2单=1纯8和形b表2=可2知4时：B，1最优 基21和最11优解的变化。
当b1=16时， b 1260
B1b
2 1
111260 142
最优单纯形表变为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 0 0 2 x2 0 1 1 1
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x3 1 0 1 2 -1 4 x2 0 1 0 -1 1 8 -f -1 0 0 -4 -2 -88
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。
2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
bi
0 2/3 1/3 1 4/3
1 1/3 2/3 0 28/3
2 8/3 8/3 0 85.33
新的最优解为X=(0 28/3 0 0 0 4/3)T
2.约束条件右端项bi变化的分析(2)
在实例1中:
1. 分析b1在什么范围内变化时，最优基不变。 2. 分析b2在什么范围内变化时，最优基不变。 分析使最优基保持不变的b1的范围:
B1b'
2 1
11
b1 20
2b1 b1
灵敏度分析
灵敏度分析灵敏度分析是一种用来评估模型鲁棒性的技术，它可以帮助我们了解模型输出对于输入参数的变化的反应程度。
通过灵敏度分析，我们可以识别出哪些参数对于模型输出具有重要影响，从而优化模型的性能和可靠性。
本文将介绍灵敏度分析的基本概念、方法和应用，并探讨其在科学研究和工程领域的重要性。
首先，让我们来了解一下灵敏度分析的基本概念。
灵敏度分析是通过对模型输入参数进行逐一变化，并观察模型输出的变化情况来评估模型的鲁棒性。
在进行灵敏度分析时，我们通常会选择一个基准点作为参考，比如模型输入参数的平均值或某个特定值。
然后，通过改变输入参数的值，并观察模型输出的变化情况，来评估模型对于输入参数的变化的敏感程度。
灵敏度分析有多种方法和指标可以使用，常见的方法包括一元灵敏度分析、总变差分析和区间分析等。
一元灵敏度分析是最简单的方法，它通过改变单个参数的值，观察模型输出的变化情况来评估参数的影响程度。
总变差分析则是通过改变所有参数的值，观察模型输出的总变差情况来评估参数的综合影响程度。
区间分析则是通过将参数的取值范围划分为多个子区间，观察模型输出在不同子区间的变化情况来评估参数的影响程度。
灵敏度分析在科学研究和工程设计中具有广泛的应用。
在科学研究中，灵敏度分析可以帮助我们理解模型的复杂性和不确定性，从而提高模型的可信度和预测能力。
在工程设计中，灵敏度分析可以帮助我们识别出对于系统性能具有关键影响的输入参数，并进行优化和控制，从而提高系统的稳定性和可靠性。
此外，灵敏度分析还可以帮助我们进行风险评估和决策分析。
通过评估不同参数对于模型输出的影响程度，我们可以识别出可能导致系统失败或风险增加的敏感参数，并制定相应的风险控制策略。
同时，灵敏度分析还可以提供决策支持，帮助我们在不同参数取值的情况下，评估和比较不同决策方案的优劣。
综上所述，灵敏度分析是一种可以评估模型鲁棒性的重要技术。
通过灵敏度分析，我们可以识别出对于模型输出具有重要影响的参数，并优化模型的性能和可靠性。
灵敏度分析的心得体会
灵敏度分析的心得体会灵敏度分析是一种常用的分析工具，它通过对模型参数进行变化，评估参数变化对模型输出结果的影响程度，从而识别出对模型结果影响最大的参数和参数组合，进而指导决策和优化过程。
在过去的几年里，我在工程设计和优化过程中经常使用灵敏度分析，并且在实践中积累了一些心得体会，现在将其分享给大家。
第一，正确理解灵敏度分析的本质灵敏度分析是一种检验和验证模型的可靠性和稳健性的手段而不是工具，它可以告诉我们，如果模型中某个参数发生变化，模型输出会发生什么程度的变化，但是，它并不能告诉我们如何处理这个问题。
根据对灵敏度分析结果的解释和理解，我们需要深入挖掘参数背后的物理意义，并结合实际问题和业务需求进行合理的决策和优化，否则，很容易被误导而做出错误的决策。
第二，选择合适的灵敏度分析方法灵敏度分析方法主要有贝叶斯统计方法、元分析法、随机抽样法、梯度分析法等。
对于不同的问题和数据类型，选择不同的方法进行分析是非常重要的。
实际应用中，我们可以结合实际场景和数据样本，选取合适的灵敏度分析方法，从而提高分析效率和结果可靠性。
第三，合理设置模型参数范围模型参数的范围设置对灵敏度分析结果的影响非常大，一般来说，过小或过大的参数范围都会导致分析结果的不准确和不可信。
在实际应用中，我们可以通过专家知识、历史数据、文献资料、政策法规等多种途径，对参数范围进行合理的设置，从而提高分析结果的可靠性和实用性。
第四，多维度或多目标灵敏度分析单一维度的灵敏度分析往往无法涵盖多方面因素对模型输出结果的影响，但是，多维度和多目标的灵敏度分析可以更全面地评估各个参数和因素对模型输出结果的影响，有利于我们全面认识问题的本质和解决问题的策略。
最后，作为一种数据驱动的分析工具，灵敏度分析需要结合实际场景和需求进行有针对性的应用，不能过分依赖它的结果，还需要结合统计学、机器学习、优化方法等多种工具和方法，才能形成完整的分析体系和决策支持系统，给我们的工作和生活带来更好的效益和质量。
实验结果的灵敏度分析
实验结果的灵敏度分析实验是科学研究中不可或缺的一部分。
通过实验可以验证理论，揭示规律，为科学研究的发展提供支持。
然而，实验结果的可靠性和准确性往往是人们关注的焦点。
为了评估实验结果的稳定性和可信度，灵敏度分析是一种常用的方法。
本文将对实验结果的灵敏度分析进行探讨，旨在阐明其重要性和应用场景。
一、什么是灵敏度分析灵敏度分析是一种系统地评估实验结果对于输入参数变化的敏感程度的方法。
它能够帮助我们了解实验结果对于参数的响应程度，找出影响实验结果的主要因素，从而为进一步的研究和决策提供依据。
通常，灵敏度分析可通过多种途径进行，如参数敏感度分析、局部敏感度分析和全局敏感度分析等。
二、灵敏度分析的意义灵敏度分析对于科学研究具有重要意义。
首先，它可以帮助我们了解实验结果的稳定性。
通过灵敏度分析，我们可以观察输入参数变化对实验结果的影响程度，若实验结果对于参数变化不敏感，则说明实验结果较为稳定可靠。
其次，灵敏度分析可以揭示实验结果中的主要因素。
在实验过程中，我们常常需要面对各种参数和影响因素，通过灵敏度分析，可以确定哪些因素对实验结果具有重要影响，进而提供优化研究方向和决策依据。
此外，灵敏度分析还可以帮助我们发现异常结果和探索实验结果潜在的风险因素。
三、灵敏度分析的应用场景根据实际需求和研究目的，灵敏度分析可以应用于多个领域。
以下将针对不同领域的实验结果灵敏度分析进行简要介绍。
1. 生态学领域生态学研究中，我们常常需要评估各种生态系统的稳定性和脆弱性。
通过灵敏度分析，可以了解生态系统对于各种环境因素的响应程度，找出对生态系统稳定性具有重要影响的关键因素，为生态保护和可持续发展提供科学依据。
2. 经济学领域经济学研究往往需要分析不同经济因素对于经济系统的影响。
通过灵敏度分析，可以评估经济模型中各个参数对于经济结果的敏感程度，识别经济政策的潜在风险和利益分配的不平衡情况，为经济决策提供参考。
3. 工程领域工程设计中常常需要考虑各种参数对于产品性能和安全性能的影响。
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
04最低检测限和定量限分析灵敏度试验
分析灵敏度试验结果评价表年：□□□□流水号：□□□□□□检出限（Limit of Detection，LD；）、最低检测限（Lowest Limit of Detection，LLD）：是一种以物理单位或比例所表示的数值，用以代表可信检出的最低水平。
（当测量空白样品时，分析物未检出的概率应是99%；当测量样品时，检出概率至少应是95%）。
用来描述空白响应量（RLU）的平均水平和所有响应量（RLU）对于空白均值的离散程度指标。
定量限（Limit of Quantitation，LQ）：是一种以物理单位或比例所表示的数值，用以代表可信定量的最低水平。
（定量限所规定的最低浓度，应满足一定的精密度和准确度的要求）。
某样品单次检测可能具有的最小响应量（RLU）仅大于空白检测低限。
注：1. 空白样品（Blank sample ，BS ）的准备：常使用检测系统的系列校准品中的“零标准”作为空白。
对某些项目，可使用术后已无某疾病的病人样品为空白样品。
2. 样本检测：：空白样品重复20次（不低于10次）作批内测定，计算空白样品组的响应量（RLU ）均值0A 和空白样品组响应量（RLU ）的标准差0S 。
3. LLD 的计算：（对于小于或等于检测低限的分析物量报告“无分析物检出”）。
（1）002LLD A S =+计算（以95%为可信限）。
（2）003LLD A S =+计算（以99.7%为可信限）。
1. 样本配制方法： 将已确定空白（B ）和低值（L ）的样本按照一定比例混合稀释，配制成20套（一天一套）11个等差浓度水平（10S B 、9S B +1L 、8S B +2L 、7S B +3L 、6S B +4L 、5S B +5L 、4S B +6L 、3S B +7L 、2S B +8L 、1S B +9L 、10L ）的样本。
-20℃冰箱保存备用。
“S B ”：空白样本或生理盐水；“L ”：低值样本。
2. 样本检测：每天定时将11个等差浓度比例的样本按照浓度由低到高的顺序分别在检测系统上检测1次，一共检测10—20天。
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1/2 B-1 0
1/3 1 1/2
8
24 b = 36
12
12
-4 48
0 -2/3 0
w*
20
YT
第4 章
灵敏度分析
4.3 cj
0 5 3 0 5 3
基 解 x3 12 4 x1
灵敏度分析的程序
5
x2
0
x3
0
x4
0
x5
x2 12 6 x1 -4 4
42 48
x3 x2
0 0 1 0 1 3/4
m
则最优单纯形表中的数据也有如下增量：
*= ski* Δbk Δbi i=1
Δw * = Δbi yi *
m
k = 1, 2, … , m
①
②
(2)
i=1
m
Δ a* * Δ aij kj = ski
i=1
m
j = 1, 2, … , n j = 1, 2, … , n
③ ④
Δ σj * = Δ aij yi * -Δ cj
例3 若范例中参数 x2 b 2变为24,0最优解有何变化？ 5 6 1 0 1/2 0 解：由于b2′= x 24已超出b2的影响范围[6, 18], 因此最优基必然改变。 3 4 1 0 0 -2/3 1/3 1 按⑺之①②式得：
42
0
0
0
1/2
1
b1* b2* b
*
1
2/3 -1/3
0
b3*
=
单独变化的最大范围。
6
第4 章
灵敏度分析
4.2
4.2.1 参数bi的影响范围
参数的影响范围
设参数 br发生△br的变化，则△br的影响范围是：
△br∈[△br-，△br+]
其中：
△br- = max { -bk*/skr*︱ skr* > 0 } △br+= min { -bk*/skr* ︱ skr* < 0 }
-= 4 c2
15
c+ 2 =∞
灵敏度分析
c2 ∈ [ 4, ∞ )
第4 章
4.2
4.2.3 参数aij的影响范围
参数的影响范围
设某一非基变量的参数 akr 单独变化△akr , 则有：
akr ∈
[akr -σr*/yk* , ∞), 当 yk* > 0
(-∞，+∞) ,
当 yk* = 0
其中：
akr —— 参数akr的原始数值
b2 ∈[ 12 -6，12 + 6 ] = [6,18]
9
第4 章
灵敏度分析
4.2
⑶ b3的影响范围
参数的影响范围
5 0 1 0 0 0 0 0
cj
0 5 3
3
基 解 x3 4 x2 1/3 6 x1 4
x1
x2
x3
x4
x5
42
-
0 0 1 0
0 1 0 0
2/3 1/2 0 -2/3 1/3 1/2 1
1
0 0 0
1/3
1/2 -2/3 1/2
0 1/3 1
⑴ b1的影响范围 △b1 = - 4/1 = -4 △b1+= ∞
8
-
又知参数的原始数值b1= 8 , 则
b1 ∈[ 8 -4，8 +∞）= [ 4, ∞ )
第4 章
灵敏度分析
4.2
⑵ b2的影响范围
参数的影响范围
5 0 0 0
cj
0 5 3
17
=[3 - 5/4 , ∞) = [12 /5, ∞)
3/4
第4 章
灵敏度分析
4.3
灵敏度分析的程序
基本公式
b* = B b
-1
①
w * = (Y*)Tb
T -1 -1
②
(σ*)T = (Y*) A -CT 或 σj* = (Y*)Taj -cj ③ A* = B A, 或 aj* = B aj ④
x3 x4 x2
8 0 6
30
3/4
0
0
0
5/4
cr∈ (-∞, cr +σr*]
3 c1∈ (-∞, 3 + 3/4 ] = (-∞, 3 4 ] 第4 章 灵敏度分析
12
4.2
二、cj是基变量的系数
参数的影响范围
设基变量xr的系数 cr = cBl 发生 △cr 的变化，则有:
△cr- = max { -σj*/al j*︱al j* > 0 } △cr+ = min { -σj*/al j*︱al j* < 0 }
= -1
c2 ∈[5 -1,∞）=[4 , ∞）
第4 章 灵敏度分析
4.2
图解法
x2 D(0,6)
参数的影响范围
C(4,6)
3 =0 c2
c2 = ∞ 斜率为0 0x1 + 2x2 = 12 z = 3 x 1 + c 2x 2
1
B(8,3)
3x1 + 4 x 2 = 36 x
O(0,0) A(8,0)
第4 章 灵敏度分析
3
4.1
引言
灵敏度分析的特点或优点：充分利用 ⑴ 模型的原始数据: aij , bi , cj * ] m m ⑵ 最优单纯形表中的数据: B-1 = [ ski
y* cks* ki i = k=1 * bi b* k = ski
i=1
m
m
i = 1, 2, … , m
k = 1, 2, … , m
3
基 解 x3 4 x2 6 x1 4
x1
x2
x3
x4
x5
42
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
2/3 -1/3 1/2 0 -2/3 1/3 1/2 1
6 } = -6 △b2- = max{ - 24 ， /3 1/2 + - 4 △b2 = -2/3 = 6
又已知参数的原始值b2 =12, 则
a6 * =
24
-1/2 0
1/4
3/2 1
=
-1/4 2
1
第4 章
1 -1/2
灵敏度分析
4.3
灵敏度分析的程序
0 0 0 3 x6 x3 x4 x 5 1 0 0 1 -1/2 0 1/4 -1/4 1 1 -1/2 2 1 0 5/4 -3/4 1/2 -1/2 1/4 0 -3/8 1/8 3/16 0 1/2 1/2 -1/4 1 11/8 3/8 17/16 0 z* = 56
42
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
2/3 -1/3 1/2 0 -2/3 1/3 1/2 1
-2/3
△c1- = 又有： 故：
14
1 1/3
= -3 △c2 = -
△c1+ = - 1/2 = 3/4
1/2 1 /2
而 c1 = 3 故： c1 ∈[3 - 3 ,3 + 3/4]=[ 0 , 15/4 ]
Sensitivity Analysis
第4章
灵敏度分析
SA
第4章 灵敏度分析
4.1 引言 4.2 参数的影响范围 4.3 灵敏度分析的程序
2
第4 章
灵敏度分析
4.1
引言
灵敏度分析就是分析研究模型参数的取值 变化对最优解或最优基的影响。
⑴ 模型参数在什么范围内变化将不致影响 最优基？ ⑵ 若最优解随参数的变化而变，则应如何 用最简方法找到新最优解？
alj*—— 基变量 xr 所在第l 行中的非基变量的系数， 则cr的影响范围是： cr ∈[ cr + △cr-，cr + △cr+ ] 其中： cr
——
参数cr的原始数值
灵敏度分析
13
第4 章
4.2 cj
0 5 3 3
基 解 x3 4 x2 6 x1 4
参数的影响范围
5 0 0 0
范例：c1, c2 的影响范围 x1 x2 x3 x4 x5
3.5 x1 (b) 5 x2 0 x4
8 5 8
53
1 * 0 1 0 T 0 X = (8, 5, 0, 8, 0) 0 1 -1/2 0 1/4 * = 53 z 0 0 1 1 -1/2
0 0 1 0 5/4
23
第4 章
灵敏度分析
4.3
灵敏度分析的程序
例5 承例4。假定还有一种新产品丙, 每件消耗A，B，C 工时数分别为 1，1.5，1 , 利润为3百元/件。则在现有生产能 力下，是否安排生产丙产品？ 解 设丙产品产量为 x6 件，这时原最优单纯形表为表4-5 (b)，且知 a′6 = a6 = (1， 3 c′6 = c6 = 3 2 ， 1) 1 σ6*= (1, 0, 5/4) 3/2 - 3 = -3/4 < 0 1 1 0 0 1 1
4 △b3 = 1/3 = -12 + - 4 △b3 = -1/3 = 12 又已知参数的原始值b3 = 36, 则 b3 ∈[ 36 -12，36 +12 ]=[ 24, 48 ]
10
第4 章
灵敏度分析
4.2
4.2.2 参数 cj的影响范围
参数的Байду номын сангаас响范围
一、cj是非基变量的系数 设问题(P1)的某一非基变量 xr 的系数cr变化△cr , 其余cj 及一切bi,aij 均不变。则 △cr 的影响范围是 ：
i=1 5
第4 章
灵敏度分析