证明两条直线互相垂直

（3）在Rt△ABC中，若∠A=90°，AD⊥BC，则
AD2=BD· CD； AB2=BD· BC; AC2=CD· BC. （4）勾股定理. （5）等底（等高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底） 之比. （6）相似三角形面积之比等于相似比的平方.
证明有关成比例线段和线段的平方或积的和差的常用方法 （1）利用相似三角形证明
ED FB
B
A F
G
E
D
C
在证成比例线段时，如果条件中有三角形一边的中点，常想到 三角形中位线定理及逆定理.添适当的平行线是产生、转换比例 D 线段的重要方法.
F
例7 已知四边形ABCD中， ∠ B= ∠D =90 ° ，P是AC上一点，PE ⊥ CB PF PE 于E，PF ⊥AD于F.求证： 1
G D
E
欲证一角等于两角之和（或差）的一半，常分别从不同的途径 找出这角与已知两角的关系，再用代数方法进行计算.
7、证明有关成比例线段和线段的平方或积的和差 证明有关成比例线段常用的定理： （1）相似两三角形的对应边成比例. （2）平行于三角形一边的直线截其它两边（或延长线）所成 对应线段成比例.
C M D
N
等腰三角形三线合一，欲证两直线互相垂直，如题设中有等腰 三角形（或隐含等腰三角形），常可通过等腰三角形三线合一 来证明.
（5）利用特殊平行四边形性质证明 例5 在平行四边形ABCD中，AB=2AD， AE=AD=DF，CE、BF分别交AB、CD于 G、H.求证：BH⊥CG.
E
2
A
D
F
G B
1 DBC ABC 于E，且DE＝2AB.求证： 3
P
D
4 3
A G 2
N
E C
1
B Q
题设角之间的关系.
例3 已知∠A的平分线交BC于F， ∠ C的平分线交∠A的平分线于E. 求证：AEC 1 (B D)
2
B
A
C
F
在证明成比例线段时，如条件中有母子直角三角形，常想到射影 定理.
A
例4 已知△ABC中，D为BC上一点， AD=BD， ∠ADC=80， ∠C=60.求证： AC2-CD2=CD· AD.
B
D
C
较复杂的线段的平方或积的和差问题，往往是成比例线段问题 的发展，可以以相应的成比例线段为基础，进行必要的等量代 换. 2、利用平行线分线段成比例定理证明
A
C
B
欲证两直线垂直，可证这两直线分别为邻补角的平分线.
D
C
1
（3）利用三角形内角和定理证明 例3 已知在梯形ABCD中 AB//CD,AB+CD=BC,O是AD的中点. 求证：OB⊥OC.
A O 2
3
E
4
B
欲证两直线互相垂直，可证同一三角形中的另两个角的和等于 A 这两条直线相交所成的角. （4）利用等腰三角形性质证明 例4 四边形ABCD中，∠ABC= ∠ ADC ＝90°，点M、N分别是对角线AC、 B BD的中点.求证：MN ⊥ BD.
（2）利用延短等长法证明 例2 已知E是正方形ABCD的BC边上一 点，F是∠ DAE的平分线与CD的交点. 求证：AE=FD+BE.
G
D
5
F
C
41
E
2
3
A
B
欲证一线段等于两线段之和，常可作两短线段之和，证明其等 于较长线段. （3）利用代数方法推算 例4 已知AB//CD,E、F分别为BC、
1 AD的中点.求证： EF (CD AB ) 2
B D
K
E
M H
C
8、证明面积相等
证明面积相等常用定理： （1）等底等高的两三角形（或平行四边形）面积相等. （2）等底（等高）的两个三角形的面积之比等于高（底）之 比. （3）相似三角形面积之比等于相似比的平方. （4）全等三角形的面积相等.
证明线段的和差倍分的常用方法
（1）直接利用定理证明 例1 已知在△ABC中，AB=AC， ∠ A=120°，AB的垂直平分线分 别交BC、AB于点M、N求证： CM=2BM.
M
B
1 2
C
N
A
欲证一线段是另一线段的两倍，如果条件中有直角三角形， 常想到直角三角形的性质.
C D M B
1 2 3
N
A
1、欲证一线段为另一线段的两倍，常可把较长线段分成两段， 证明其分别等于另一条线段的长.2、条件中有一直线过一线段 中点时，常想到平行线分线段成比例.
4、证明两条直线互相垂直 证明两条直线垂直的常用定理： （1）两直线相交成直角，则两直线垂直. （2）邻补角的两角的平分线互相垂直. （3）在同一三角形中，有两角互余，则第三角必是直 角.
（4）等腰三角形三线合一.
（5）圆的切线垂直于过切点的半径.
（6）勾股定理逆定理.
（7）平分弦（非直径）的直径垂直于弦.
3 1
H C
欲证两直线互相垂直，如果这两直线分别是四边形对角线所在 直线，常可证明这个四边形为菱形. （6）利用切线的性质证明 例6 已知AB是⊙O的直径，CD切⊙ O于E，CA、DB都是⊙ O的切线， AD、BC相交于M，EM延长线交AB 于F.求证：EF⊥AB
F A C E D M O
·
B
1、遇到圆的切线，常想到切线的性质和切线长定理 2、欲证一直线垂直于另一直线，可证这条直线平行于垂直另一 直线的直线.
5、证明线段的和差倍分
证明线段和差倍分的常用定理
（1）三角形中位线等于第三边的一半. （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （3）直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半. （4）相似三角形对应边成比例，平行线分线段成比例.
（5）三角形中线被重心分成2：1.
（6）梯形中位线等于两底和的一半.
F
例5 已知F是平行四边形ABCD的边BC 延长线上一点，AF交BD于E，交DC于G. 求证：AE2=EF· GE
D E A
G
C B
在证成比例线段时，若条件中有平行线，常想到利用平行线分线 段成比例定理.若两线段之比不能和另两线段之比直接建立联系， 常通过中间比进行过渡.
例6 已知AD是△ABC的中线，任 一直线CEF分别交AD、AB于E、F. 求证： AE 2 AF
DC AB
A
P E B
C
欲证线段比的和（或差）等于常值，常把已知线段比转换 成在一条直线上的线段所组成的比，然后进行计算.而连接这一 转化的桥梁，往往是平行线或相似三角形.
例8 已知ABC=120，BD是ABC的平分 线.求证： 1 1 1
AB BC BD
C
4 5 32 1
D
E
B A
A
（3）利用勾股定理证明 例9 已知在△ABC中，AB=AC， DE//BC,DE与AB、AC交于D、E. 求证：EB2－CE2=BC· DE
例1 已知在△ABC中，AB=AC，点D、 E、F分别在BC、AB、AC上， ∠EDF= ∠B.求证：BD· CD=BE· CF.
A E
13
F
2
B
D
C
1、欲证两线段的积等于另两线段的积，常将等积式改写成比例 式，证比例线段.而利用相似三角形证明比例线段是常用的方法. 2、当四条线段恰好两两分布在以它们为边的两个三角形中时， 欲证它们成比例，应考虑证明这两个三角形相似. 3、为确定哪两个三角形相似，常可用三点定形法进行观察.
C A G E F B
H
D
1、欲证一线段等于两线段之差，可设法先作出两线段之差.
2、欲证一线段为另一线段的一半，常想到三角形的中位线的性质.
6、证明角的和差倍分 证明角的和差倍分常用定理：
（1）三角形的外角等于它的两个不相邻的内角之和.
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. （3）一直角三角形的斜边为短直角边的两倍，则短直角边 所对的角为另一锐角的一半. （4）菱形对角线平分一组对角.
（8）菱形的对角线互相垂直.
证明两条直线垂直的常用方法：
（1）利用垂直的定义证明 例1 已知C是线段AB上的一点， AD//BE,AD=AC,BE=BC.求证： DC⊥CE
A
D
E
1
2
3
C
B
欲证两直线垂直，可证两直线相交成直角. （2）利用补角的两角平分线互相垂直证明 D 例2 （同例1）
2
G
E
1
3 4
证明角的和差倍分举例 例1 在△ABC中，∠B＞∠C,AD是高， AT是∠ A的平分线.求证：
1 ∠TAD＝ (B C ) 2
B
A
213
D
T
C
如果条件中有垂线，常隐含着直角三角形条件，而直角三角形 两锐角互余是证角的和差倍分时建立两角联系的常用桥梁.
M
例2 已知MN//PQ,AC⊥PQ,BD和AC交
例2 已知在△ABC中， ∠A=90 °，内接正方形DEFG的边DE 与BC重合.求证：DE2=BD· EC.
A G F
C
D
E
B
欲证一线段为另两线段的比例中项，常可通过相似三角形证明. 当用三点定形法确定两三角形有困难时，常利用线段的等量待换 A 来证明. 例3 已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的 高，E是CB延长线上的点，且∠ EAB= E C B D ∠ BAD.求证：BD：DC=AE2：EC2.