第3节 卡氏定理
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材料力学卡式定理
l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
3
梁内任一点处的比能
u
1 2
E 2
1 2
E 2
l2
y2
(4)
梁的应变能
l
U VudV 0 (AudA)dx
l 1 E 2
( 02
l2
y2dA)dx 1 EI 2
A
2l
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI (2 ) EIθ
(6)
2 lx)
2
dx
1 ( 5PL3 RC L3 ) 0
EI 48
3
RC
5P 16
能量法求解超静定结构，适 用任意荷载作用下、线性或 非线性弹性杆系、刚架或曲 杆等超静定系统。
14
2.求 wB
① 求内力
M
AB ( x)
5P 16
(L
x)
P(0.5L
x)
M BC ( x)
5P 16
Px L EI Px
1 EI
x 0
P(L
x1 ) ( x1
x)dx1
P
x3 [
(L
x)x2
Lx 2 ]
EI 3
2
12
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
P 0.5 L
B
A
L
解：1.依 wC 0 求多余反力，
卡氏定理解 ① 取静定基如图 C 超静定结构
② 求内力
M AB ( x) RC (L x) P(0.5L x)
L x1
O
x
w
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1) M BC ( x1) P(L x1)
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
卡 氏 定 理
解 （1）列出梁的弯矩方程，并对 F 和 M0 分别求偏导数，可得 M (x) M0 Fx （ 0 x l ）
M (x) x ， M (x) 1
F
M 0
（2）根据卡氏定理求 A 点的挠度，可得
AV
U F
M (x) M (x) dx 1
l EI F
EI
l
0 (M0
Fx)xdx
M 0l 2 2EI
材料力学
图 10-21 所示的一简支梁，跨度中点 C 受集中力 F 的作用，试求点 C 的铅
垂位移。
图 10-21
该梁分为 AC 和 CB 两端，计算梁的变形能为
U
M 2 (x)dx 2
l 2
Fx 2
2
dx =
F 2l3
l 2EI
0 2EI 96EI
若将变形能U 对载荷 F 求偏导数，得
（5）用卡氏定理求位移时，对于结构上作用有两个相同符号的外力时，因 为结构上的外力是独立的自变量。
（6）卡氏定理适用于线弹性体、小变形情况。
例 10-11 图 10-23 所示悬臂梁的自由端 A 处作用有 F 和 M0 ，抗弯刚度 EI 为常量。求自由端的挠度和转角（不计剪力对位移的影响）。
图10-23
U f (F1，F2，…，Fn ) 并且，线弹性体在变形过程中，外力 F1 ，F2 ，…，Fn 所做的功等于线弹性体的 变形能，即
U
W
1 2
n i 1
Fi i
（a）
（a）
图10-22
上述外力中的任一外力 Fi 有一个微小增量 dFi ，如图 10-22（b）所示。相应的，
该线弹性体的变形能也必然产生一个相应的增量
U F
第九讲-卡氏定理
基本公式
一般物体 载荷 f : 0 → F 相应位移 δ : 0 → ∆ 线性弹性体
dW= fdδ =
W = ∫ fdδ
0
∆
f ∝δ f =kδ
k － 线弹体在载荷作
用点、 用点、沿其作用方向 产生单位位移所需之 力，称为刚度系数 称为刚度系数
W = ∫ kδdδ
0
∆
k∆2 = 2
F∆ W= = 2
施加矩为 Me的力偶 －附加力偶
θB(q) = [θB(q, Me )]M =0
e
θB (q) =
∫
e
2. 位移计算
ql Me FAy = − 2 l x ∂M qlx Me x qx2 =− M( x) = − − l ∂Me 2 l 2 M( x) ∂M( x) θB (q) = dx l EI ∂Me M =0
∆A
A1 A′
B
B
合力的相应位移
∆A =
2 ∆A = (∆A + fA ) 2
2 ∂U 2 ∂U ∂U = = = (∆A + fA ) 2 ∂F 2 ∂F ∂ 2 F
(
)
FN2 = −F
2F ⋅ 2l (-F)l ⋅ 2+ ⋅ (-1) EA EA (2 2 + 1)Fl EA
∆By =
∆By =
（↓ ）
例 3-2 利用卡氏定理计算θB
EI EI
－附加力法
解：1. 分析方法
转角θ 所对应的载荷？ 转角θB所对应的载荷？
M( x) ∂M( x) dx l EI ∂Me M =0
∂Vc ∵ ∆k = ∂Fk
My ( x) ∂My Mz ( x) ∂Mz FN ( x) ∂FN ( x) T( x) ∂T( x) ∆k = ∫ dx+∫ dx+∫ dx+∫ dx l EA l GI l EI l EI ∂Fk ∂Fk t y ∂F k z ∂F k
卡氏定理材料力学
2Ma 3EI
（
）
DF FD
CD段:
M (x)
Mx , 2a
M (x) F
x,
MC
CB段: M (x) M ,
M (x) 2a x, a F
2a
C
M
AB段: M (x) 0,
M (x) x, F
a
B
A FAx
（4）带入卡氏定理求解。
Dx
l
M (x) M (x) d x EI F
FAy
2a
MC, 在D截面虚设一水平力F 。 MC
DF
C
（2）取刚架为研究对象， a
受力图如图所示。
M
FD
FAx F
B
a
A FAx
FAy
FD
F
1 2a
(M
MC)
FAy
（3）分段列出弯矩方程及偏导方程。
2a
CD段:
MC
M
( x1 )
[F
1 2a
(M
MC
)]x1
Cx aM 2
x
1
DF FD
M (x1) F
新位移 i 上也做功，系统的总的应变能为
V
Fi
i
1 2
Fi
i
（2）
由（1）＝（2），并忽略二阶小量，得
V Fi
i
V Fi
i
若将结构的应变能表示为载荷F1，F2， ，Fn 的 函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数，等于Fi作用
点沿Fi作用方向的位移 i ,称为卡氏第二定理。
说明 （1）卡氏定理只适用线弹性结构。
i
V Fi
FN (x) FN (x) d x L EA Fi
材料力学卡式定理
M
AB
(x)
P
11 x 3 L 16
M
BC
(x)
P
5( L x ) 16
③ 变形
wB U P
0
M ( x ) M ( x ) EI P
2
dx
L
L
1 EI
0 .5 L
P(
11 x 3 L 16
) dx
0 .5 L
P( ) ( L x ) dx 16 5
荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
用卡氏定理的注意事项
①U——整体结构在外载作用下的线
P1 P2
弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
dx M ( x ) M ( x ) EI Pn
L
M n ( x ) M n ( x ) GI
P
L
Pn
dx
L
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x ) xP A xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x ) PA x
(
1 E 2 l
2
2
0
y dA ) dx
2 A
1 EI 2 l
2
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI 2 l ( 2 ) EI θ l
AB
(x)
P
11 x 3 L 16
M
BC
(x)
P
5( L x ) 16
③ 变形
wB U P
0
M ( x ) M ( x ) EI P
2
dx
L
L
1 EI
0 .5 L
P(
11 x 3 L 16
) dx
0 .5 L
P( ) ( L x ) dx 16 5
荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
用卡氏定理的注意事项
①U——整体结构在外载作用下的线
P1 P2
弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
dx M ( x ) M ( x ) EI Pn
L
M n ( x ) M n ( x ) GI
P
L
Pn
dx
L
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x ) xP A xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x ) PA x
(
1 E 2 l
2
2
0
y dA ) dx
2 A
1 EI 2 l
2
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI 2 l ( 2 ) EI θ l
04-12.2 卡式定理
M1 dx F1
l l
M2 EI
M2 dx F1
2
1 EI
l l
Fx F1x源自l 2xl 2
dx
F1=0
2
说明： 1，结果为正，表明B点位移方向与虚
力F1一致，即向下 2，虚力F1应在求导以后再令其为零 3，虚力的符号应与其他力的符号有所
1 EI
l
l
Fx
x
l 2
dx
5Fl 3 48EI
大连鲇鱼湾油码头栈桥
胡海昌 钱令希 钟万勰
例题
F
A
B
x l/2
C l/2
线弹性材料悬臂梁受力如图，
若F，EI(常数），l 等均为
已知，试用卡氏定理求： 1. 加力点 A 处的挠度 2. 梁中点 B 处的挠度
解：1. 求 A 点挠度
梁的弯矩方程为 M =－Fx （0≤x＜l）
wA
Vε F
Δ1
Δ2
Δi
此时 Vc= Vc( F1, F2, …, Fi , … )
dVc = dWc
Δi
Vc Fi
Crotti-Engesser定理
弹性体的余能对某个载荷的一阶导数，等于 该载荷作用点的相应位移。
三、卡氏定理 Castigliano Second Theorem
线弹性体
Vε = Vc
Δi
Vε Fi
材料力学
大连理工大学 王博
卡氏定理
卡氏定理 （Castigliano’s second theorem）
一、余功、余能
定义
余功Wc （Complementary work）
F
F dF Wc
余能Vc （Complementary energy） ——应力能
材料力学第8章-能量法3-1
d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移， 则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所 作的功。
W Wi
* e
e
*
外力虚功
内力虚功
l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa
1
2a 5a/3
2
3a/2
-
2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题 力法 例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能
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的效应并不因此而改变，n 个力所做的 。不过，在施加 F1，F2，，Fn 过程中，
在dFi 的方向（即Fi 的方向）上又发生了位移 yi，常 力dFi 做功 dFi yi 。故在施加F1 ，F2 ，，Fn 时，总共
做功为 U dFi yi ；
(3)这种加载方式下梁的变形能为
1 2
dFi
dyi
U
第 3 节 卡氏定理
yi
U (F1, F2 , Fn ) Fi
第十二章 能量法
i 1,2,3,...
说明
卡氏第二定理只适用于线性弹性体；
1Fi 为广义力，yi 为其相应的广义位移。
一个力 一个力偶 一对力 一对力偶
一个线位移 一个角位移 相对线位移 相对角位移
第 3 节 卡氏定理
第十二章 能量法
l
0
1 EI
[q 2(lx)2Me
]
(1)dx
l EI
ql 3 6
Me
令 Me 0
B
ql 3 6EI
顺时针转向 顺时针转向
U
U Fi
dFi
(2)
第 3 节 卡氏定理
第十二章 能量法
卡氏定理的推导 —— 改变加力的次序
(1)先施加dFi 位移为 dyi
，：梁在的施变加形dF能i 时为，12其dF作i 用dy点i ；沿
dFi
方向的
(2)再施加 F1，F2 ，，Fn 时，尽管梁上已有了dFi，但是
F1 ，F2 ， ，Fn
功仍为式(1)
第 3 节 卡氏定理
第十二章 能量法
例 12-7 如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI， 试计算自由端 B 截面的挠度yB 和转角 B 。
解：(1)计算 B 截面挠度 yB
首先在 B 截面处添加一
个力 F，在载荷 F 和 q 共
同作用下梁的弯矩方程
M (x) F(l x) q (l x)2 2
第 3 节 卡氏定理
第十二章 能量法
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 F1，F2 ，，Fn ，其相应位移分别为 y1，y2 ，，yn 。
在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形
能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f (F1, F2 ,, Fn )
(1)
若 Fi
Fi dFi ，则 U
卡氏定理的应用
（a）轴向拉伸与压缩
δi
U Fi
Fi
F
2 N
(
x
)d
2EA
x
FN (x EA
)
FN ( Fi
x
)
d
x
（b）扭转
i
U Fi
Fi
T 2 (x)dx
2GIp
T (x) GIp
T (x Fi
)
dx
（c）弯曲
yi
U Fi
Fi
M 2 (x)dx 2EI
M (x) M (x) dx EI Fi
dFi
yi
(3)
第 3 节 卡氏定理
第十二章 能量法
比较(2)(3)式
U
U Fi
dFi
(2)
1 2
dFi
dyi
U
dFi
yi
(3)
yi
U (F1, F2 ,Fn ) Fi
i 1,2,3,...
结 论 梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于
在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理， 也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A卡斯蒂利亚 诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他 线弹性结构也是适用的。
M F
(l x)
y B qF
M (x) EI
M ( F
x)
dx
l
0
1 EI
[F (l
x)
q 2
(l
x)2 ][(l
x)]dx
第 3 节 卡氏定理
第十二章 能量法
（1）计算 B 截面挠度 yB
yBqF
M (x EI
)
M (x Fi
)
d
x
l3 EI
F 3
ql 8
向下
令 F 0
yB
ql 4 8EI
向下
（2）计算 B 截面转角 B
同理，在 B 截面处添加
一个力偶 Me ，在 Me 和 q
共同作用下梁的弯矩方程
M
(x)
q 2
(l
x)2
Me
M 1 M e
第 3 节 卡氏定理
第十二章 能量法
（2）计算 B 截面转角 B
M
(x)
q 2
(l
x)2
M
e
M M e
1
B qM e
M (x) M (x) dx EI M e