材料力学卡式定理
材料力学能量法第3节 卡式定理
q 2 M ( x) (l x) M e 2
M 1 M e
（2）计算 B 截面转角 B
M q 2 1 M ( x) (l x) M e M e 2 M ( x) M ( x) Bq M e dx EI M e 1 l q 2 [ ( l x ) M ] ( 1 ) d x e EI 0 2 3 l ql 顺时针转向 Me EI 6 ql 3 顺时针转向 B 令 Me 0 6 EI
2
1 dFi dyi U dFi yi 2
(3)
比较(2)(3)式
1 dFi dyi U dFi yi (3) 2 U ( F1 , F2 , Fn ) yi i 1,2,3,... Fi
U U dFi Fi
(Hale Waihona Puke 2)梁的变形能对某一载荷 Fi 的偏导数，等于 在该载荷处沿载荷方向的位移，这就是卡氏定理， 也称卡氏第二定理。由意大利工程师 A 卡斯蒂利亚 诺（1847-1884）于1873年提出的。卡氏定理对其他 线弹性结构也是适用的。
广义力的函数：设在如图所示梁上，作用有 n 个力 y2 ， ， yn 。 F1， F2 ， ， Fn ，其相应位移分别为 y1， 在载荷施加过程中，外力所做的功转变成梁的变形 能。这样，变形能应为广义力 Fi 的函数
U f ( F1, F2 ,, Fn )
若 Fi
(1) ( 2)
Fi dFi ， 则 U
U U dFi Fi
卡式定理的推导 —— 改变加力的次序 (1)先施加 dFi ：在施加 dFi 时，其作用点沿 dFi 方向的 1 dF dy 位移为 dyi ，梁的变形能为 i i；
材料力学第三章 能量法
三、卡氏第二定理（线弹性体）
Di
Vc Fi
在线弹性范围内
余能定理 Vc V
Di
V Fi
卡氏第二定理： 线弹性杆件或杆系的应变能对于 作用在该杆件或杆系上的某一荷 载的变化率，就等于与该荷载相 应的位移。
卡氏第二定理适用于一切受力状态下的线弹性体。
卡氏第二定理公式D及i 含义VF：i
若结构的应变能 V 表示为F1、F2 …Fi …的函数，则应变 能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi作用点沿Fi方向位移。
C
与需求位移相应的虚设外力
F。求偏导后令其为零。
（2）列弯矩方程
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
M
x
F 2
ql 2
x
qx 2 2
0
x
l 2
（3）求梁的应变能
M 2 l/2
x
1
V 2 0
dx
2EI
EI
l/2
0
F 2
ql 2
x
qx 2 2
2 dx
1 EI 1 EI
V W
一、杆件基本变形的应变能
(一)轴向拉伸(压缩)
1、杆的应变能
轴力沿轴线不变的情况:
dW Fd(Dl) W Dl1 Fd(Dl) 0
线弹性范围内 W 1 FDl
1
2
V
F
W
FN
2
F Dl Dl
FNl EA
应变能
V
FN2l 2EA
F
l
Dl
F
Dl d (Dl)
Dl1
Dl
(一)轴向拉伸(压缩)
第九讲-卡氏定理
基本公式
一般物体 载荷 f : 0 → F 相应位移 δ : 0 → ∆ 线性弹性体
dW= fdδ =
W = ∫ fdδ
0
∆
f ∝δ f =kδ
k － 线弹体在载荷作
用点、 用点、沿其作用方向 产生单位位移所需之 力，称为刚度系数 称为刚度系数
W = ∫ kδdδ
0
∆
k∆2 = 2
F∆ W= = 2
施加矩为 Me的力偶 －附加力偶
θB(q) = [θB(q, Me )]M =0
e
θB (q) =
∫
e
2. 位移计算
ql Me FAy = − 2 l x ∂M qlx Me x qx2 =− M( x) = − − l ∂Me 2 l 2 M( x) ∂M( x) θB (q) = dx l EI ∂Me M =0
∆A
A1 A′
B
B
合力的相应位移
∆A =
2 ∆A = (∆A + fA ) 2
2 ∂U 2 ∂U ∂U = = = (∆A + fA ) 2 ∂F 2 ∂F ∂ 2 F
(
)
FN2 = −F
2F ⋅ 2l (-F)l ⋅ 2+ ⋅ (-1) EA EA (2 2 + 1)Fl EA
∆By =
∆By =
（↓ ）
例 3-2 利用卡氏定理计算θB
EI EI
－附加力法
解：1. 分析方法
转角θ 所对应的载荷？ 转角θB所对应的载荷？
M( x) ∂M( x) dx l EI ∂Me M =0
∂Vc ∵ ∆k = ∂Fk
My ( x) ∂My Mz ( x) ∂Mz FN ( x) ∂FN ( x) T( x) ∂T( x) ∆k = ∫ dx+∫ dx+∫ dx+∫ dx l EA l GI l EI l EI ∂Fk ∂Fk t y ∂F k z ∂F k
卡氏定理材料力学
2Ma 3EI
（
）
DF FD
CD段:
M (x)
Mx , 2a
M (x) F
x,
MC
CB段: M (x) M ,
M (x) 2a x, a F
2a
C
M
AB段: M (x) 0,
M (x) x, F
a
B
A FAx
（4）带入卡氏定理求解。
Dx
l
M (x) M (x) d x EI F
FAy
2a
MC, 在D截面虚设一水平力F 。 MC
DF
C
（2）取刚架为研究对象， a
受力图如图所示。
M
FD
FAx F
B
a
A FAx
FAy
FD
F
1 2a
(M
MC)
FAy
（3）分段列出弯矩方程及偏导方程。
2a
CD段:
MC
M
( x1 )
[F
1 2a
(M
MC
)]x1
Cx aM 2
x
1
DF FD
M (x1) F
新位移 i 上也做功，系统的总的应变能为
V
Fi
i
1 2
Fi
i
（2）
由（1）＝（2），并忽略二阶小量，得
V Fi
i
V Fi
i
若将结构的应变能表示为载荷F1，F2， ，Fn 的 函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数，等于Fi作用
点沿Fi作用方向的位移 i ,称为卡氏第二定理。
说明 （1）卡氏定理只适用线弹性结构。
i
V Fi
FN (x) FN (x) d x L EA Fi
材料力学卡式定理
AB
(x)
P
11 x 3 L 16
M
BC
(x)
P
5( L x ) 16
③ 变形
wB U P
0
M ( x ) M ( x ) EI P
2
dx
L
L
1 EI
0 .5 L
P(
11 x 3 L 16
) dx
0 .5 L
P( ) ( L x ) dx 16 5
荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
用卡氏定理的注意事项
①U——整体结构在外载作用下的线
P1 P2
弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能
等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
dx M ( x ) M ( x ) EI Pn
L
M n ( x ) M n ( x ) GI
P
L
Pn
dx
L
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 P A 解：求挠度，建坐标系 ①求内力 M ( x ) xP A xP
EI
L
x
O
②将内力对PA求偏导
M ( x ) PA x
(
1 E 2 l
2
2
0
y dA ) dx
2 A
1 EI 2 l
2
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI 2 l ( 2 ) EI θ l
材料力学第8章-能量法3-1
d
FN dx d(l) = EA
0 N
Mdx d EI
0
Tdx d GI p
0 S 0
1 F d l M d F d T d
F FN T T M M dx dx dx EA EI GI p
0 N 0 0
2.力和位移应理解为广义力和广义位移。
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
上节回顾
1、可能内力,可能位移,虚位移 2、虚功原理
在外力作用下处于平衡的结构，任意给它一个虚位移， 则外力在虚位移上所做的虚功，等于结构内力在虚变形上所 作的功。
W Wi
* e
e
*
外力虚功
内力虚功
l
W
Fi
5 M a 3
0 1c
2 Fa a
M
0 2c
3 a 2
Fa a 3 2 2 0 M 3c a 3
能量法/虚功原理 单位力法 图乘法
A
EI1
a
C
EI 2
a
F B
1
2Fa Fa
1
2a 5a/3
2
3a/2
-
2a/3
3
根据图乘法，自由端的挠度为：
1 1 0 0 yB 1M1c 2 M 2c EI 3M 30c EI1 2 1 Fa a 5 3 1 Fa a 2a a Fa a a EI1 2 3 2 EI 2 2 3
能量法/超静定问题 力法 例 如图超静定梁, EI为常数,试求B点的约束反力。
第八章
一、杆件的应变能
卡氏定理求解力
卡氏定理求解力卡氏定理是力学中的一项重要定理，用于计算物体所受合力的大小。
它是根据牛顿第二定律推导出来的，能够帮助我们更好地理解和解决力学问题。
卡氏定理的表述是：“当一个物体受到多个力的作用时，这些力的矢量和等于物体的质量乘以加速度的矢量。
”简单来说，就是物体所受合力等于物体质量乘以加速度。
为了更好地理解卡氏定理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个质量为2千克的物体，在水平方向上受到两个力的作用：一个是10牛的向右的力，另一个是5牛的向左的力。
我们需要求解物体的加速度。
根据卡氏定理，我们可以将这个问题转化为一个简单的数学方程。
首先，我们需要计算合力。
由于两个力的方向相反，所以合力的大小等于10牛减去5牛，即5牛。
然后，我们需要计算物体的加速度。
根据卡氏定理，合力等于物体质量乘以加速度，所以加速度等于合力除以物体质量，即5牛除以2千克，得到2.5米每平方秒。
通过这个例子，我们可以看出卡氏定理的应用和价值。
它可以帮助我们计算物体所受合力的大小，并进一步求解物体的加速度。
在力学问题中，卡氏定理是一个非常重要的工具，可以帮助我们分析和解决各种力学问题。
除了上述例子中的计算方法，我们还可以通过向量的方法来应用卡氏定理。
在向量法中，我们可以将力和加速度用向量表示，然后利用向量的运算规则来求解问题。
这种方法在处理复杂的力学问题时更加方便和直观。
卡氏定理还可以用于解决一些实际问题。
例如，在工程中，我们经常需要计算物体所受的合力和加速度，以确定结构的强度和稳定性。
在运动学和动力学的研究中，卡氏定理也是一个重要的工具，可以帮助我们理解和描述物体的运动规律。
卡氏定理是力学中一项重要的定理，可以帮助我们计算物体所受的合力和加速度。
它是根据牛顿第二定律推导出来的，具有广泛的应用价值。
通过应用卡氏定理，我们可以更好地理解和解决力学问题，在工程和科学研究中发挥重要作用。
希望通过本文的介绍，读者能够对卡氏定理有一个更清晰的认识，并能够灵活运用它解决实际问题。
44卡氏第二定理
Mechanics of Materials卡氏第二定理d d E A I N Δl l ii x xF GI F E F M ++∂∂⎰⎰T T P N ()()()()d ()()i l i x F x x EA M x M x x M x F ∂=∂∂∂⎰22F M EIEI 2NTεP ()()()d d d 222x M x x V x x x EA GI =++⎰⎰⎰F xk N 1Δnj j Nj i j j j iF l F E A F =∂=∂∑桁架结构N ()F x T ()M x ()M x N ()F x T ()M x ()M x S S ()()d 2ix F x GA F ∂+∂⎰组合变形构件图示外伸梁抗弯刚度为EI，只考虑弯曲变形，试求外伸端C的挠度wC 和截面B 的转角θB 。
解：⑴求支座约束力解得：-=AyFa F l=AyFaFl⑵求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数【例题】AB段BC段(0)x l≤≤()==AyFaM x F x xl()∂=∂M x axF l()l x l a≤≤+()()=+-M x F l a x()∂=+-∂M xl a xF⑶ 求载荷作用点相应的位移0()()()()d d +∂∂=+∂∂⎰⎰ll a C l M x M x M x M x w x xEI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 011d ()()d +=⋅++-⋅+-⎰⎰l l a lFa a x x x F l a x l a x x EI l l EI AB 段BC 段(0)x l ≤≤()==Ay Fa M x F x xl ()∂=∂M x ax F l()l x l a ≤≤+()()=+-M x F l a x ()∂=+-∂M x l aF⑶ 求载荷作用点相应的位移11221200()()()()d d ∂∂=+∂∂⎰⎰la C M x M x M x M x w x x EI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 1112220011d d =⋅+⋅⎰⎰l a Fa a x x x Fx x x EI l l EI AB 段BC 段1(0)≤≤x l 111()==Ay FaM x F x x l11()∂=∂M x a x F l 2(0)≤≤x a 22()=M x Fx 22()∂=∂M x xFlM x F x x Fa M Ay a ==-()111M lM x x a ∂=-∂()11M x Fx =()22M M x a∂=∂0()2⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数AB 段BC 段≤≤x l (0)1x a ≤≤(0)2⑴ 求支座约束力 解得：∑=MB0:Fa F l M Ay a --=0lF Fa M Aya =-↑()有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1122120()()()()d d θ∂∂=+∂∂⎰⎰la B a a M x M x M x M x x x EI M EIM 11122011()d 0d a a laa M M Fa M x x x Fx x EIl lEI ==-=⋅-+⋅⎰⎰-Fal11()-=aFa M M x x l⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB 段BC 段⑶ 求载荷作用点相应的位移结果负值说明位移方向与对应载荷方向相反3EI =【讨论】图示情况 含义FV ∂∂εFV B D ∂∂ε求 B 处 F 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1. 建立内力方程【总结】卡氏第二定理求位移的解题步骤()()d ∂∂⎰l i M x M x x EI F ()[()]d -∂-∂⎰l iM x M x x EI F 2. 内力方程对 F i 求偏导3. 将内力方程及偏导代入积分表达式求位移各段内力方程坐标原点可以不一样 若所求位移处无对应载荷，可虚设对应载荷，偏导后才能令该虚载荷等于 0若所求位移为正，说明实际位移方向与对应载荷方向一致，否则与对应载荷方向相反内力正负规定不会影响计算结果 内力方程不要用约束力表示。
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l
(2)
于是(1)式改写为
y / l
(3)
3
梁内任一点处的比能
u
1 2
E 2
1 2
E 2
l2
y2
(4)
梁的应变能
l
U VudV 0 (AudA)dx
l 1 E 2
( 02
l2
y2dA)dx 1 EI 2
A
2l
(5)
由卡氏第一定理
m U 1 EI (2 ) EIθ
(6)
2 lx)
2
dx
1 ( 5PL3 RC L3 ) 0
EI 48
3
RC
5P 16
能量法求解超静定结构，适 用任意荷载作用下、线性或 非线性弹性杆系、刚架或曲 杆等超静定系统。
14
2.求 wB
① 求内力
M
AB ( x)
5P 16
(L
x)
P(0.5L
x)
M BC ( x)
5P 16
Px L EI Px
1 EI
x 0
P(L
x1 ) ( x1
x)dx1
P
x3 [
(L
x)x2
Lx 2 ]
EI 3
2
12
例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。
P 0.5 L
B
A
L
解：1.依 wC 0 求多余反力，
卡氏定理解 ① 取静定基如图 C 超静定结构
② 求内力
M AB ( x) RC (L x) P(0.5L x)
L x1
O
x
w
①求内力 M AB ( x1) P(L x1) Px ( x x1) M BC ( x1) P(L x1)
②将内力对Px 求偏导后，令Px=0
M AB ( x) Px
Px 0 x1x
M BC ( x) Px
Px 0 0
11
③变形（ 注意：Px=0）
w( x ) U M ( x ) M ( x ) dx
余能定理
故有
i
U Pi
卡氏第二定理
卡氏第二定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上某一 荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中，
Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。 6
➢用卡氏定理的注意事项
P1 P2
1 2
①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能
L xO
③求变形（ 注意：M A=0）
M ( x)
1
M A M 0
A
A
L
M (x) M (x) dx EI M A
L Px dx 0 EI
PL2
2 EI
A
PL2 2EI
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
10
例5 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。
x A
Px P BC
解：求挠曲线——任意点的挠度 w(x) 没有与w(x)相对应的力，加之。
适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中， Pi ——作用在杆件上的广义力；
i ——与 Pi 相应的广义位移。
2
例4 抗弯刚度为EI的悬臂梁如图，试按卡氏第一定理，根 据自由端已知转角 确定施加于自由端的力偶m。梁的材 料在线弹性范围内工作。
解： 梁内任一点的线应变为
y/
(1)
梁纯弯曲，挠曲线为圆弧
P 0.5 L
B A
L
C RC
O
x
w
M BC ( x) RC (L x) ③ 将内力对RC求偏导
M AB ( x) L x RC
M BC ( x) L x
RC
13
④ 变形
wC
U RC
L
M ( x ) M ( x ) dx
EI RC
变形协调条件
1 EI
0.5L
0
P(0.5L
x)(L
(L
x)
② 将内力对P求偏导
M AB ( x) 11x 3L
P
16
M BC ( x) 5(L x)
P
16
15
③ 变形
wB
U P
L
M ( x ) M ( x ) dx EI P
1 EI
0.5L 0
P(11x 16
3L
)2
dx
L P( 5 )2(L 0.5L 16
x
)2
dx
7PL3 （向下） 768 EI
② Pi 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pi的函数
③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。
④ 当无与 i对应的 Pi 时，先加一沿 i n Pn 方向的 Pi ，求偏导后， 再令其为零。
7
三、线弹性变形杆的卡氏定理
U
N 2 (x) dx
M
2 n
(
x)
dx
M 2 (x) dx
16
L x O ②将内力对PA求偏导
M ( x ) x
PA
③变形
wA
U PA
L
M ( x ) M ( x ) dx EI PA
L Px2 dx PL3
0 EI
3EI
（向下）
9
求转角A。 没有与A向相对应的力（广义力），加之。
P M ①求内力 M ( x) xP M A
A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0
L 2EA
L 2GIP
L 2EI
n
U Pn
L
N ( x) N ( x) dx
EA Pn
M n ( x) M n ( x) dx M ( x) M ( x) dx
L GIP
Pn
L EI Pn
8
例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。
解：求挠度，建坐标系
P
EI
A ①求内力 M ( x) xPA xP
§9-2 卡氏定理
一、卡氏第一定理
设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为
1 ,2 , ,n 。则梁内应变能
n
U W
i 0
Pi d i
i 1
而
dU
U
i
• di
,
dW Pidi
由 dU dW
U
Pi i
卡氏第一定理
1
Pi
U
i
卡氏第一定理
卡氏第一定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上与某 一荷载相应的位移之变化率，就等于该荷载的数值。
l
4
二、卡氏第二定理
设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为
1 ,2 , ,n 。则梁内余能
n
U c Wc
Pi i dPi
0
(1)
i 1
而 dWc idPi ,
(2)
dUc
U c Pi
• dPi
,
(3)
由
dUc dWc
(4)
5
将(2)、(3)代入(4),
i
U c Pi
对线弹性杆件， U Uc