用列举法求概率1
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
25[1].2_用列举法求概率 第1课时 九年三班 石玉
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1.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个 数，取出的数是3的倍数的概率是（ B ） 3 1 1 (A) (B) (C) 1 (D) 10 2 5 3 2.甲箱装有40个红球和10个黑球，乙箱装有60个红球、40个 黑球和50个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两 箱中的球，从箱中分别任意摸出一个球．正确说法是 （ B ） （A）从甲箱摸到黑球的概率较大 （B）从乙箱摸到黑球的概率较大 （C）从甲、乙两箱摸到黑球的概率相等 （D）无法比较从甲、乙两箱摸到黑球的概率
例2
掷两枚硬币，求下列事件的概率： （1）两枚硬币正面全部朝上; （2）两枚硬币全部反面朝上; （3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上. 解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部 列举出来，它们是：正正、正反、反正、反 反.所有的结果共有4个，并且这4个结果出 现的可能性相等.
（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝 上（记为事件A）的结果只有一个，即“正正” 1 所以 P（A）= 4 （2）所有的结果中，满足两枚硬币全部反面朝 上（记为事件B）的结果只有一个，即“反反” 1 所以 P（B）= 4
8.有100张卡片（从1号到100号），从中任取1
7 张，取到的卡号是7的倍数的概率为______ 50
9.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编
有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.
（1）共有多少种不同的结果？ 6种
（2）摸出2个黑球有多种不同的结果？ 3种 （3）摸出两个黑球的概率是多少？
1 2
1.盒中有3个黄球，2个白球，1个红球，每个球除颜色 外都相同，从中任意摸出一球， 基 1 则P（摸到白球）=________ ， 3 础 0 P（摸到黑球）=________， 1 P（摸到黄球）=________ ， 训 2 1 P（摸到红球）=________.
《概率》课后作业总结
1. 2. 3. 4. 5. 用列举法求概率（一）、填空题 一个袋中装有10个红球、3个黄球，每个球只有颜色不同，现在任意摸出一个球，摸到 ______ 球的可能性较大. 掷一枚均匀正方体骰子，6个面上分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6, （1）P （掷出的数字是1） = ____________________ ; （2） P （掷出的数字大于4） = . 某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果， 标于一个转盘的相应区域上（如图所示），转盘可以自由转动，参与者 转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品.则 获得钢笔的概率为 ，获得 的概率大. 一副扑克牌有54张，任意从中抽一张. （1） __________________ 抽到大王的概率为 ; （2） _________________ 抽到A 的概率为 ; （3）__________________ 抽到红桃的概率为 ; （4） ___________________ 抽到红牌的概率为 ;（红桃或方块） （5） _________________________ 抽到红牌或黑牌的概率为 . 、选择题 一道选择题共有4个答案，其中有且只有一个是正确的， ）. 则有: 图书 有一位同学随意地选了一个答案, 那么他选对的概率为（ B.-2掷一枚均匀的正方体骰子，骰子概率为（）.A . 16一个口袋共有 是（）. A . 4 5三、解答题 8.有10张卡片，每张卡片分别写有 6. 7.B.-450个球，其中白球 C . 1 36个面分别标有数字1, 1, 丄 42, 2, 3, 3,贝厂'3”朝上的C . 1320个，红球20个，蓝球10个，则摸到不是白球的概率C . 2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,从中任意摸取一张 卡片，问摸到2的倍数的卡片的概率是多少?3的倍数呢?5的倍数呢？ 9.小李新买了一部手机，并设置了六位数的开机密码 （每位数码都是0〜9这10个数字中的 一个），第二天小李忘记了密码中间的两个数字，他一次就能打开手机的概率是多少 ？ 课后作业： 一、填空题 10. _______________________________________________________________ 袋中有3个红球，2个白球，现从袋中任意摸出1球，摸出白球的概率是 _________________ . 11. 有纯黑、纯白的袜子各一双，小明在黑暗中穿袜子，左脚穿黑袜子，右脚穿白袜子的概 率为 _____ .涂有红色的概率为丄;③取到的球上涂有蓝色的概率为2概率为1,以上四个命题中正确的有().4A . 4个三、解答题17 .随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天.(1) 这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法 ？ (2) 其中甲排在乙之前的排法有多少种？ (3) 甲排在乙之前的概率是多少？18.甲、乙、丙三人参加科技知识竞赛，已知这三人分别获得了一、二、三等奖.在不知谁 获一等奖、谁获二等奖、谁获三等奖的情况下， “小灵通”凭猜测事先写下了获奖证书,则“小灵通”写对获奖名次的概率是多少 ？19.有两组相同的牌，每组4张，它们的牌面数字分别是1, 2, 3, 4,那么从每组中各摸出 一张牌，两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？两张牌的牌面数字之和等于几的概 率最小？率是 ______ . 二、选择题 13. 一个均匀的正方体各面上分别标有数字 1, 2, 3, 4, 6, 8,其表面展开图如图所示，抛 掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的 2 1 1 1 A . 2 B . - C . 1D .- 3 2 3 6 14 .从6名同学中选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率是( 丄 C . 3 2 5)•2倍的概率是( .A .- 3 15.柜子里有两双不同的鞋, A . 12取出两只刚好配一双鞋的概率是 ( 1 C . 1 3 4 1 6 16 .设袋中有4个乒乓球，一个涂白色，一个涂红色，一个涂蓝、白两色, 蓝三色，今从袋中随机地取出一球.①取到的球上涂有白色的概率为 另一个涂白、红、 -;②取到的球上4-；④取到的球上涂有红色、蓝色的2C . 2个20 .用24个球设计一个摸球游戏，使得：(1) 摸到红球的概率是丄,摸到白球的概率是-,摸到黄球的概率是-；236(2) 摸到白球的概率是1,摸到红球和黄球的概率都是用列举法求概率(二)二、解答题3•在一个布口袋中装着只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各 1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球.(1) 试用树状图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的结果；(2) 如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中获胜的概率.4•一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球，它们除颜色外均相同. (1) 如果从中随机摸出一个小球，那么摸到蓝色小球的概率是多少 ？ (2) 小王和小李玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小王随机摸出一个小球，记下颜色后放回,一、选择题1. 在一个暗箱里放入除颜色外其他都相同的个球，取到红.球.的概率是( ).A. -B.-11 112. 号码锁上有3个拨盘，每个拨盘上有 拨一个号码，能打开锁的概率是(B . 1103个红球和 11个黄球，搅拌均匀后随机任取一11C .—140〜9共10个数字，能打开锁的号码只有一个.任意 ). C . 1 D. ?14D . 11000小李再随机摸出一个小球，记下颜色.当两个小球的颜色相同时，小王赢；当两个小球的颜色不同时，小李赢.请你分析这个游戏规则对双方是否公平？并用列表法或画树状图法加以说明.5.如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A、B两个转盘，停止后, 指针各指向一个数字.小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜.你认为这个游戏公平吗？请你利用列举法说明理由.」©A6•“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时比赛各方做“石头”、“剪刀”、“布”手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势或三种手势循环不分胜负继续比赛，假定甲、乙、丙三人都是等可能地做这三种手势，那么：(1)一次比赛中三人不分胜负的概率是多少？(2)比赛中一人胜，二人负的概率是多少？313. 某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖.老 师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验， 得者，一人是二等奖获得者的概率是 A . 1B.-55三、 解答题 14 . 口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，任意摸出1个绿球的概率是1求：则选出的2人中恰好一人是一等奖获(). C . 35 除颜色外其余都相同.其中有红球 4个，绿球5个,(1) 口袋里黄球的个数；(2)任意摸出1个红球的概率.7. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大 小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： (1) 三辆车全部直行； (2) 两辆车向右转，一辆车向左转； (3 )至少有两辆车向左转.课后作业： 一、填空题8•“五一”期间，梁先生驾驶汽车从甲地经过乙地到丙地游玩.甲地到乙地有两条公路，乙 地到丙地有三条公路.每一条公路的长度如图所示 (单位：km)，梁先生任选一条从甲地到 丙地的路线，这条路线正好是最短路线的概率是 ________________ .9. 同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别是 ______ ， _____ .10. 银行为储户提供的储蓄卡的密码由 0，1, 2,…，9中的6个数字组成.某储户的储蓄卡 被盗，盗贼如果随意按下6个数字，可以取出钱的概率是 ___________ .11. 小明和小颖做游戏：桌面上放有 5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后取完铅笔的人获胜.如果小明获胜的概率为 1,那么小明第一次应取走 __________ 支. 二、 选择题 12. 有三条带子，第一条的一头是黑色，另一头是黄色，第二条的一头是黄色，另一头是白 色，第三条的一头是白色，另一头是黑色.若任意选取这三条带子的一头，颜色各不相同 的概率是().111A .丄B. -C .丄3 4515. 小明走进迷宫，迷宫中的每一个门都相同，第一道关口有四个门，只有第三个门有开关,第二道关口有两个门，只有第一个门有开关，他一次就能走出迷宫的概率是 ________16. 请你设计一种均匀的正方体骰子，使得它掷出后满足下列所有条件：1(1) 奇数点朝上的概率为-；3⑵大于6的点数与小于3的点数朝上的概率相同.利用频率估计概率(一)7. 对某厂生产的直径为4cm 的乒乓球进行产品质量检查，结果如下: (1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少 ？8. 某封闭的纸箱中有红色、黄色的玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目，小 亮向纸箱中放入25个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为 25%，摸到黄、填空题当实验次数很大时，同一事件发生的频率稳定在相应的_______ 附近，所以我们可以通过多 次实验，用同一个事件发生的 _______ 估计这事件发生的概率.(填“频率”或“概率”) 50张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后放回，洗匀后再抽，抽到红桃、黑桃、梅 花、方片的频率依次是16%、24%、8%、52%，估计四种花色分别有 ________________ 张. 在一个8万人的小镇，随机调查了 1000人，其中有250人有订报纸的习惯，则该镇有订 报纸习惯的人大约为 ___________ 万人.为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉 10只，全部做上记号后放飞.过了一段时间后， 重新捕捉40只，其中带有标记的天鹅有2只.据此可估算出该地区大约有天鹅 __________ 只. 、选择题5.如果手头没有硬币，用来模拟实验的替代物可用 (C .锥体1. 2. 3.4.A .汽水瓶盖B .骰子 6. 在“抛硬币”的游戏中，如果抛了 A .确定的 B .可能的三、解答题 ). D .两个红球10000次，则出现正面的概率是50%，这是( ).C .不可能的D .不太可能的球的频率为40%，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目.课后作业：一、填空题9•一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色, 再把它放回口袋中摇匀.重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有白球.10•某班级有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人, 其中共青团员4人.如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组内的概率为_____________ ;现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是_______ .二、解答题11.在5瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从5瓶饮料中任取2瓶，贝U取到的2瓶都过了保质期的可能性是多少？请你用替代物进行模拟实验，估计问题的答案.12.某笔芯厂生产圆珠笔芯，每箱可装2000支.一位质检员误把一些已做标记的不合格产品也放入箱子里，若随机拿出100支，共做10次实验，这100支中不合格笔芯的平均数是5,你能估计箱子里有多少支不合格品吗？若每支合格品的利润为0.5元，如果顾客发现不合格品，需双倍赔偿(即每支赔1元)，如果让这箱含不合格品的笔芯走上市场，根据你的估算这箱笔芯是赚是赔？赚多少或赔多少？13.为估计某一池塘中鱼的总数目，小英将100尾做了标记的鱼投入池塘中，几天后，随机捕(1)估计池塘中鱼的总数.根据这种方法估算是否准确(2)请设计另一种标记的方法，使得估计更加精准.14.小明在乒乓球馆训练完后，不慎将若干白球放入了装有 30个橙色球的袋子中，已知两种 球除颜色外都相同，你能帮他设计一个方案来估计放进多少白球吗 ？ 15.北京联通公司市场部经理小张想了解市内移动公司等对手的市场占有率及用户数量，你 能帮他设计一种方案估计出其他公司用户的数量吗 ？ 16. 一口袋中只有若干粒白色围棋子，没有其他颜色的棋子；而且不许将棋子倒出来数，请 你设计一个方案估计出其中白色棋子的数目. 6利用频率估计概率（二） 1. 2. 3. 4. 、填空题 用频率来估计概率的值，得到的只是 _______ ，但随实验的次数增多，频率值与实际概率值 的差会越来越趋近于 _______ ，此时对这个事件发生概率值估计的准确性也就越大. 某单位共有30名员工，现有6张音乐会门票，领导决定分给 6名员工，为了公平起见， 他将员工们按1〜30进行编号，用计算器随机产生 _________ 〜 _____ 间的整数，随机产生 的 _____ 个整数对应的编号去听音乐会. 为了解某城市的空气质量，小明由于时间的限制，只随机记录了一年中 73天空气质量情 况，其中空气质量为优的有60天，请你估计该城市一年中空气质量为优的有 __________ . 利用计算器产生1〜5的随机数（整数），连续两次随机数相同的概率是 _____ . 、选择题 5.某口袋放有编号1〜6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次 ） 1 1 1 A . — B . 一 C .— 36 18 6 6 .某科研小组，为了考查某河流野生鱼的数量，从中捕捞 经过一段时间，再从中捕捞 300条，发现有标记的鱼有 （）摸到的球相同的概率是（ D.-2 200条，作上标记后，放回河里,15条，则估计该河流中有野生鱼 B . 4000条 C . 2000条D . 1000条7•在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据：⑴请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________ ;(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______ ，摸到黑球的概率是______ ;(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？(4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了.这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)?请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.8.某学校有50位女教师，但不知其校男教师的人数，一位同学为了弄清该校男教师的人数，他对每天进校时的第一位老师的性别进行了记录，他一共记录了200次，记录到女教师有80次.你能根据这位同学的记录估计出该校男教师的人数吗？请说明理由.课后作业：一、填空题9•均匀的正四面体各面分别标有1, 2, 3, 4四个数字，同时抛掷两个这样的四面体，它们着地一面数字相同的概率是__________ •如果没有正四面体，设计一个模拟实验用来替代此实验：________________________________ ,10.有4根完全相同的绳子放在盒子中，然后分别将它们的两端相接连成一条绳子，问一根绳子的两端刚好都接有绳子的概率是______________ .11 •某数学兴趣小组为了估计n的值设计了投针实验.平行线间的距离a0.5m,针长为0.1m, 向地面随机投了150次，经统计有19次针与平行线相交.试求出针与平行线相交的概率的近似值，并估计出n的值.12.小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC .为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：你能否求出封闭图形ABC的面积？试试看.13.地面上铺满了正方形的地砖(40cm X 40cm).现在向其上抛掷半径为5cm的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是多少？14.设计一个方案，估计10个人中有2个人生日相同的概率是多少？写出你的方案设计.15.一次战争期间，参战的一方的一名间谍深入敌国内部，他侦察到的情报如下：(1)该国参战部队有220个班建制；(2)他在敌国参战部队的不同地点侦察了22个班；22个班中有20个班严重缺员，另外2 个班只是基本满员；(3)敌国的士气不振.因此，他向本国发回消息：“敌国已基本失去战斗力”.你认为这名间谍的消息正确吗。
25.2用列举法求概率(1)
知识回顾：
盒子里装有3个红球和1个白球，它们除颜 色外完全相同，你从盒子中任意摸出一球。 (1)你认为摸出的球可能是什么颜色？ （2）如果将每个球都编上号码，分别记为 红1、红2、红3、白1，那么摸到每一个球 的机会均等吗？ （3）摸到红球的概率是多大？
学习目标:
1.掌握列举法求概率的条件。 2.理解“包含两步，并且每一步的结 果为有限多个情形”的意义。 3.掌握用列举法求事件的概率。
自学指导:
看课本p133-134例1例2及练习前面的内容， 注意： 1、分清例1中A区B区中小方格数目及含地 雷的数目，再分别求出在A区B区的概率。 2、例2中“同时掷两枚硬币”与先后掷硬币 两次“的结果是否相同？ 自学的过程中，如有不懂，可小声请教同桌 或老师。
自学展示：
8 1、A区域共有 ____个方格， 其中有地雷____个，所以 3 在A区域遇到地雷的概率是 3/8 72 ______，B区域共有____ 个 小方格，B区域内共有___ 7 个地雷，所以在B区域内遇 到地雷的概率是______,由 7/72 3/8>7/72 于________ ，所以第二部 应踩在______ 区域。 B
课堂小结:
一、等可能性事件的两个特征：
1.出现的结果有限多个； 2.各结果发生的可能性相等； 二、列举法求概率． 1.列举法就是把要数的对象一一列举出来分析 求解的方法． 2．利用列举法求概率的关键在于正确列举出试 验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直 接分类列举、列表、画树形图（下节课时将学 习）等。
A区域
3
B区域
2、同时掷两枚硬币所产生可能性共有4 正正、正反、反正、反反 种，它们是___________________， 其中两枚全部正面朝上的可能性只有 1 ______种ห้องสมุดไป่ตู้我们把两枚硬币全部正面 1/4 朝上记着事件A，则P(A)= ______。
25.2.1用列举法求概率(1)二道镇中学张晓红
A
圆 桌
解：按逆时针共有下列六种不同 的坐法：ABCD、ABDC、ACBD、 ACDB、ADBC、ADCB
1 而A与B不相邻的有2种，所以A与 B不相邻而坐的概率为＿＿＿＿＿
1.（湖北荆州）屏幕上有四张卡片，卡片上分别 有大写的英文字母“A，Z，E，X”，现已将字 母隐藏．只要用手指触摸其中一张，上面的字 母就会显现出来．某同学任意触摸其中２张， 上面显现的英文字母都是中心对称图形的概率 是 ． 2.（湖南益阳）有三张大小、形状完全相同的卡 片，卡片上分别写有数字1、2、3，从这三张 卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的 数字组成两位数，这个两位数是偶数的概率 是 ．
等可能性事件
等可能性事件
等可能性事件的两的特征： 1.出现的结果有限多个; 2.各结果发生的可能性相等；
等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解 的方法．
强化练习1 • 问题1.掷一枚一硬币，正面向上的概率是多少？ • 问题2.抛掷一个骰子，它落地时向上的的数为 ① 2的概率是多少？ ②落地时向上的数是3的倍数的概率是多少？ ③点数为奇数的概率是多少？ ④点数大于2且小于5的数的概率是多少？
4、小明拿出4张牌：梅花6、黑桃6、方块6和红桃6， 对小丽说：“洗牌后，从中随机取出两张，如果同色 就算甲方赢，否则就算乙方赢。”他问小丽愿当甲方 还是乙方，请你给小丽出个主意。
解：小丽应选择当乙方。 因为在4张牌中，梅花和黑桃为黑色，为同色；方块和红桃 为红色，为同色。现任意取出两张牌，则总共有6种可能性结果。 即“梅花、黑桃”，“梅花、方块”，“梅花、红桃”，“黑桃、 方块”，“黑桃、红桃”，“方块、红桃”。 6种结果中，为同色的有2种，即“梅花、黑桃”，“方块、红 桃”，异色的有4种，即“梅花、方块”，“梅花、红桃”， “黑桃、方块”，“黑桃、红桃”。 4 2 2 1 P(异色） P(同色） 6 3 6 3
用列举法求概率
B
正
正正 反正
正
反
正反 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ反
正 反
第一枚
还能用其它方法列举 所有结果吗？
反
第二枚
正
反
正
反
共4种可能的结果 此图类似于树的形状,所以称为 “树形图”。
例2：如图，甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、 3，乙转盘的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。 现分别转动两个转盘，求指针所指数字之和为偶数的 概率。
6
1×6=6
2×6=12
3×6=18
4×6=24
5×6=30
6×6=36
2
3 4 5
1×2=2
1×3=3 1×4=4 1×5=5
2×2=4
2×3=6 2×4=8 2×5=10
3×2=6
3×3=9 3×4=12 3×5=15
4×2=8
4×3=12 4×4=16 4×5=20
5×2=10
5×3=15 5×4=20 5×5=25
6×2=12
6×3=18 6×4=24 6×5=30
1 3
.
A
2、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么甲得1分；如果点数之积为偶数，那么乙得1分。 连续投10次，谁得分高，谁就获胜。 (1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由； (2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。
列出所有可能的结果：
1 1 1×1=1 2 2×1=2 3 3×1=3 4 4×1=4 5 5×1=5 6 6×1=6
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
第25章第53课时 用列举法求概率1有放回或相互独立型
解：(1)树状图如下：
(2)∵共 6 种情况，两个数字之和能被 3 整除的情况数有 2 种， 2 ∴两个数字之和能被 3 整除的概率为 ， 6 1 即 P(两个数字之和能被 3 整除)＝ . 3
拓 展 升 华
9．(2016· 菏泽)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两 道单选题就顺利通关，第一道单选题有 3 个选项，第二道单选题有 4 个选项，这两道题 锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉 其中一题的一个错误选项)． (1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是
第二概率(1)(有放回或相互独立型)
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学 习 目 标
宝 典 例 题
变 式 训 练 四 基 训 练 拓 展 升 华
学 习 目 标
1.为了直观地分析问题，避免重复与遗漏，尝试用列表法或树 形图求简单事件的概率. 2.掌握对于有放回或相互独立型事件概率的求法.
宝 典 例 题
知识点 1：用列表法和树状图法求概率 (1)列举出试验中的所有可能的结果(n); (2)找出其中事件 A 发生的结果(m)； m (3)运用公式求事件 A 的概率：P(A)＝ n
1．掷两枚硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面朝上； (2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上． 解：法①列表法： 法②树状图法： 第一枚 第二枚
1 1 解：(1) (2) 2 4
四 基 训 练
5．北京是中国“八大古都”之一，拥有众多历史名胜古迹和人文景观．李老师和 刚初中毕业的儿子准备到故宫、颐和园、天安门三个景点去游玩，如果他们各自在这三 个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同)，那么他们 1 都选择天安门为第一站的概率是 9 . 6．(2016· 哈尔滨)一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些小球除颜色外 无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两 1 次摸出的小球都是白球的概率为 4 .
列举法求概率
列举法求概率概率是数学中一个重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。
列举法是求解概率的一种常用方法，下面将详细介绍列举法求概率的步骤和应用。
一、列举法求解概率的基本步骤1. 定义事件首先需要明确所要研究的事件，例如掷一枚硬币出现正面或反面、从一副扑克牌中抽出一张红桃牌等。
2. 构建样本空间样本空间是指所有可能结果组成的集合。
对于掷硬币这个例子，样本空间为{正面，反面}；对于抽扑克牌这个例子，样本空间为{红桃A、红桃2、……、红桃K、方块A、方块2、……、方块K、黑桃A、黑桃2、……、黑桃K、草花A、草花2、……、草花K}。
3. 确定事件发生的可能性在构建好样本空间后，需要确定所关注事件发生的可能性。
例如掷硬币出现正面和反面的概率相等，则P(正面)=P(反面)=1/2；抽到一张红桃牌的概率为P(红桃)=13/52=1/4。
4. 计算事件发生的概率最后，根据所得到的可能性，计算事件发生的概率。
例如掷硬币出现正面的概率为P(正面)=1/2；抽到一张红桃牌的概率为P(红桃)=1/4。
二、列举法求解概率的应用1. 掷骰子掷骰子是一个常见的游戏，我们可以使用列举法求解掷出某个点数的概率。
样本空间为{1,2,3,4,5,6}，而掷出某个点数的事件可以表示为{1}、{2}、{3}、{4}、{5}或{6}。
因此，每个点数出现的概率均为1/6。
2. 抽扑克牌抽扑克牌也是一个常见的游戏，我们可以使用列举法求解抽到某种牌型（如顺子或同花顺）的概率。
样本空间为52张牌组成的集合，而顺子和同花顺分别有10种可能性（以A2345、23456、34567……10JQKJQKA等序列为例），因此它们出现的概率均为10/2598960。
3. 抛硬币抛硬币是一个简单的实验，我们可以使用列举法求解正反面出现的概率。
样本空间为{正面，反面}，而正反面出现的概率均为1/2。
4. 抽彩票抽彩票也是一个常见的活动，我们可以使用列举法求解中奖的概率。
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例3.如图,是计算机扫雷游戏的 画面.在一个有9 9个小方格的 正方形雷区中,随机埋藏着10颗 地雷,每个小方格内最多只能藏 1颗地雷格,踩中后出现了如
图所示的情况.我们把与标号3
的方格相临的方格记为A区域
25.2用列举法求概率(一)
知识回顾:
1.什么叫做随机事件? 2.什么叫做概率?
问题1:
从分别标有1,2,3,4,5号的5根纸签中随 机地抽取一根,
(1)抽到号码5的概率是多少? (2)抽到号码是奇数的概率是多少?
问题2:
抛掷一个骰子,
(1)向上的一面是6的概率是多少?
(2)向上的一面是偶数的概率是多少?
(画线部分),A区域外的部分记
为B区域.数字3表示A区域中有3
颗地雷.那么第二步应该踩在A
区域还是B区域?
练习:
1.设有12个型号相同的杯子,其中一等 品7个,二等品3个,三等品2个.
(1)从中任意取1个,是一等品的概率是多 少?
(2)从中任意取1个,是2等品或三等品的概 率是多少?
2.
3.
以上两个试验的共同特点:
1.一次试验中,可能出现的结 果有限多个;
2.一次试验中,各种结果发生 的可能性相等.
份份 ｌ题的答卷……与此同时，闪亮的文字纷纷变成光闪闪的灰蓝色金币从上面纷纷落下，很快就在七只巨碗上空变成了隐隐约约的跳动自由的团体操……这时，皮 革状的物体，也快速变成了云梯模样的淡白色胶状物开始缓缓下降……只见蘑菇王子疯力一转直挺滑润、略微有些上翘的鼻子，缓缓下降的淡白色胶状物又被重新晃 向秋空！就见那个蓬苍苍、透滢滢的，很像云梯模样的胶状物一边飘荡变形，一边飞舞升华着胶状物的色泽和质感。蘑菇王子：“哈哈！太好玩了了！”知知爵士： “嗯嗯，真的好玩！蘑菇王子：“哈哈！咱们换个玩法怎么样，爵士同学！”知知爵士：“好的好的！真过瘾啊！”这时，蘑菇王子猛然把酷似雄狮模样的亮黑色头 发晃了晃，只见五道时浓时淡的仿佛死鬼般的黄灯，突然从结实柔滑、有些法力的神奇屁股中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，鲜红色的大地开始抖动摇晃起来，一 种怪怪的柳香羊飞味在悠然的空气中漫舞……接着富于变化的手指整个狂跳蜕变 起来……灵快如 风的神脚跃出墨紫色的缕缕弧云……灵敏小巧的薄耳朵闪出纯黄色的 丝丝怪热！紧接着像飞云瀑布般的海沙色月光风衣突然飞出云冰五静色的晚欢仙境味……浅浅的体香跃出鹅怪丑闹声和呜呜声……力神般的骨骼变幻莫测射出狗鬼夜 欢般的飘舞……最后转起闪着荧光的薄耳朵一挥，威猛地从里面跳出一道余辉，他抓住余辉温柔地一摆，一件灰叽叽、明晃晃的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只 见这个这件宝器儿，一边振颤，一边发出“呜呜”的怪响！突然间蘑菇王子狂魔般地使自己浅浅的体香跳出墨蓝色的火腿味，只见他镶着十九颗怪异宝石的黑色金边 腰带中，轻飘地喷出九团转舞着∈万变飞影森林掌←的鸭头状的仙翅枕头环，随着蘑菇王子的旋动，鸭头状的仙翅枕头环像笔头一样在双腿上冷峻地安排出朦胧光球 ……紧接着蘑菇王子又念起叽里咕噜的宇宙语，只见他海蓝色星光牛仔服中，变态地跳出二十缕晃舞着∈万变飞影森林掌←的鸟影状的香肠，随着蘑菇王子的摇动， 鸟影状的香肠像驴怪一样，朝着双兽怪影人工树上面悬浮着的胶状体直摇过去。紧跟着蘑菇王子也飞耍着咒符像海蜇般的怪影一样向双兽怪影人工树上面悬浮着的胶 状体直摇过去！……随着∈神音蘑菇咒←的猛烈冲撞，五群蚂蚁瞬间变成了由纷纷扬扬的奇辉光丝构成的片片烟橙色的，很像小子般的，有着华丽绝妙质感的奶油状 物体。随着奶油状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一簇深灰色的岩浆状物体……接着蘑菇王子又使自己浅浅的体香跳出墨蓝色的火腿味，只见他镶着十九颗怪异 宝石的黑色金边腰带中，轻飘地喷出九团转舞