经济数学基础辅导
《经济数学基础》辅导(10)概要
《经济数学基础》辅导（10）一、 本次辅导重点：积分的应用难点：积分的应用1. 掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积．求平图形面积的一般步骤：(1) 画出所围平面图形的草图；(2) 求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限；(3) 利用定积分的几何意义（即围成平面图形的各函数式），确定所求面积的被积函数，并计算定积分．例1 求曲线2x y =与直线x y 4=及)1(1≤=x x 所围成平面图形的面积．解 首先画出所围区域面积的草图(见右图)．解曲线方程组⎩⎨⎧==x y x y 42，得交点（0，0）和（4，16），但由条件1≤x ，故点（4，16）舍去．解曲线方程组⎩⎨⎧==12x x y ，得交点（1，1）．解直线方程组⎩⎨⎧==14x x y ，得交点（1，4）．由此可知，确定积分上下限1=x 和0=x ，被积函数为24)(x x x f -=．所求面积为⎰-=12d )4(x x x S103102312x x -= 312-=35=注意： 如果要求曲线2x y =与直线x y 4=及)1(1≥=x x 所围成平面图形的面积．则曲线的交点为（1，1），（1，4），（4，16），所求面积为⎰-=412d )4(x x x S413412312x x -= )31364(232---=＝92. 熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法． 用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量，一般出现在应用题中，而且常常与导数应用中求最值问题相联系，所以一定要综合应用所学的知识求解应用问题．例2 应用题已知某产品的边际成本)(x C '=2（元/件），固定成本为0，边际收益x x R 02.012)(-='，其中x 为产量．求：(1) 产量为多少时利润最大？(2) 在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解：(1) 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=202.012--x =x 02.010-令0)(='x L ，得500=x又500=x 是L x ()的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L x ()存在最大值，故500=x 是L x ()的最大值点. 因此，当产量为500件时，利润最大.(2) 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰=500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元 ．3. 了解微分方程的基本概念；掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解．微分方程中的基本概念是指微分方程、阶、解（也就是通解、特解），线性微分方程等，这些概念大家要比较清楚的．例3 方程0e )(23='+''-y y x 是 阶微分方程．解 因为方程0e )(23='+''-y y x 中所含未知函数的导数的最好阶数是2次（即y ''），所以它是2阶微分方程．故应填写：2微分方程不仅要了解基本概念，而且要掌握可分离变量微分方程和一阶线性微分方程的解法.例4 求解初值问题 '--==⎧⎨⎩y x y y ()()310022解 本题的方程是可分离变量微分方程，故先分离变量d y d y x x =-()312两边积分，得通解为 ln y =x x c 3-+ ．将初值x = 0，y =2代入通解中，得ln2 = c ．所以，初值问题的解为ln y = x x 32-+ln 即 y = 2e x x 3-例5 求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解． 解 本题的方程是一阶线性微分方程，且x x P 1)(=，1)(2+=x x Q利用公式求方程的通解，得]d 1)e ([e d 12d 1c x x y x x x x +⎰+⎰=⎰- ]d 1)e ([e ln 2ln c x x x x ++=⎰-x c x x c x x x ++=++=24]24[1324 将初值x = 1，y =47代入通解中，即4712141)1(3=++=c y 得 1=c所以，满足初始条件的特解为：x x x y 1243++= 二、讨论上次作业、解决问题 三、 课后自主学习内容复习第4、5章！四、 课后作业练习5.1 3(6)(7)、5练习5.2 2、7练习5.3 1、3、4(1)、5(1)习题5 4(3)(9)、13、15、21、22(1)、23(1)。
辅导与练习-经济学基础知识.doc
一、考试大纲了解需求表、供给表、分配理论、国民收入核算体系、宏观经济政策。
熟悉影响需求的因索与需求函数、需求量的变化与需求的变化，影响供给的因索与供给函数、供给量的变化与供给的变化，成本理论、市场理论，微观经济政策，消费、投资与乘数理论。
掌握需求的概念、需求曲线和需求规律，供给的概念、供给曲线和供给规律，弹性理论，市场均衡，效用的概念、边际效用分析和无差异曲线分析，生产理论，市场失灵的概念，总需求与总供给的概念及其关系。
二、重要考点本章的重要考点内容包括：需求、需求表与需求曲线，需求规律基木内容, 理解需求价格弹性和需求价格弹性系数的要点，理解商品的供给价格弹性和供给价格弹性系数的要点。
市场均衡的概念，需求、供给的变化对均衡数量和均衡价格的影响。
无差异曲线的特点，等产量曲线分析与投入量的最优组合。
边际效用递减规律。
完全竞争市场上价格与产量的决定，完全垄断市场上价格与产量的决定，完全垄断市场上价格与产量的决定。
市场失灵的概念和主要表现。
三、典型答疑1、关E = dQ/dPXP/Q公式的推导能讲解一下。
答：根据高等数学导数概念和理论，这是导数的公式。
指的是需求的点弹性系数E等于，当价格增量三角P趋向0时，需求增量三角Q与价格增量三角P 的比乘以（价格与需求量Q）。
其屮，dQ/dP是市场需求量Q对市场价格P的导数。
2、“收入负效应不能反映需求规律”是对还是错？请解释一下。
答：首先，收入负效应也能反映需求规律，是正确的。
因为需求规律可以用替代效应和收入效应的综合作用于价格效应来解释，可以说收入效应的变化均会影响到需求规律，而收入负效应作为收入效应的一种形式，其变化，也会对需求规律有所影响。
因此，收入负效应也能反映需求规律。
3、“厂商通垄断索取高价格和提供较少产量而获得超额利润，使用得消费者的购买量降低到有效水平Z下，消费者为垄断损失了部分消费者剩余，导致资源配置的低效率。
”小的“有效水平”及“消费者剩余”是什么意思，如何理解？答：有效水平是指消费者的正常购买量水平。
《经济数学基础》学习进度表一(辅导文本1)
第3章导数应用
3.1函数的单调性
3.2函数的极值
读
•《经济数学基础》P107—P116
•《跟我学经济数学》P68—P85
•辅导文本4
4学时
看
“经济数学基础录象课”第7讲，第8讲或IP课件第3讲或
CAI课件第2章
2学时
听
做
•CAI课件第2章综合练习
•网上Байду номын сангаас业2
•在课程论坛上提问
2学时
读
•《经济数学基础》P67—P96
•《跟我学经济数学》P46—P65
•辅导文本3
4学时
看
“经济数学基础录象课”第3讲，第4讲或CAI课件第2章
2学时
听
“经济数学基础录音课”第3讲和第4讲
20分钟
做
•自测1
•CAI课件第2章综合练习
•在课程论坛上提问
2学时
第三周
第2章一元函数微分学
2.4导数与微分的概念
1.辅导文本1：一至四周的学习进度建议（包括读、看、听、做的内容和所需时间，以及自我小测验）。见下表：
《经济数学基础》学习进度表一
中央电大顾静相
进度
学习内容
学习方式及媒体
建议学习时间
备注
第一周
学习方法及学习媒体的使用
第1章函数
读
•《经济数学基础》前言及使用说明，P33—P44
•《跟我学经济数学》P27—P43
•辅导文本2
3学时
看
“经济数学基础录象课”第1讲，第2讲或IP课件第1讲或
CAI课件第1章
2学时
听
“经济数学基础录音课”第1讲和第2讲
20分钟
经济数学基础·微积分学习指导
经济数学基础·微积分学习指导
经济数学基础·微积分学习指导
微积分学习是经济数学基础课程的重要组成部分，它的学习不仅仅限于基本的微积分
知识，而且对未来的经济数学研究起着关键作用。
因此，学习微积分有一定的难度，也需
要很好地攻克微积分学科技能，并通过实践结合来掌握经济数学基础中的微积分内容。
一、建立有效的学习环境
1、充分利用课外资料，尤其是各种参考书籍，以便充分了解微积分学的内容和概念。
2、把具体的学习任务分解成更小的细粒度，以便更有效地学习。
3、把学习的实际任务尽可能多的练习，把练习有效的整合起来，并总结出尽可能精
细的总结。
4、多参加学习比赛，尤其是在网络课程中学习时，比赛可以为自己定位微积分能力，并更好地促进自己的学习。
二、学习方法
1、理解基本概念：微积分学习的前提是充分理解微积分学的基本概念，具体包括微分、积分、极限、微积分函数和其他基本概念；
2、掌握公式：通过巩固和反复练习微积分中的常用公式，以达到快速计算的目的；
3、解决实际问题：思考实际应用，运用微积分计算某些变量的变化情况；
4、克服难点：多利用已有的知识构建知识的框架，克服比较困难的问题，从而加深
理解；
5、做笔记：多摘录微积分中重要的定理、例题和典型计算，这样可以促进学习效果；
6、独立探究：学习微积分千字文有关发现，像是推理写出数学猜测，做出新的几何
图形等。
以上是关于经济数学基础·微积分学习指导的详细内容，希望对您有所帮助。
上述指
导内容只是作为学习指导，希望也能积极思考，切实把握微积分学科先进知识，为未来的
研究奠定坚实的基础。
《经济数学基础》(旧教材)期末复习指南
《经济数学基础》(旧教材)期末复习指南
经济数学基础是一门重要的课程，它对于研究经济学的学生来说尤为重要。
期末复是研究经济数学基础的重要环节，为了帮助大家更好地准备期末考试，下面给大家提供一些有用的复指南。
首先，熟悉经济数学基础的基本概念和定义，特别是概率和数理统计中的基本定义和概念，理解它们之间的关系。
此外，还要掌握经济数学基础的基本公式，如概率的计算公式，数理统计的基本公式，随机变量的计算公式等。
最后，复时要做好笔记，把重点知识点归纳总结起来，用相关案例加以证明和论证，以便在考试时轻而易举地进行应用。
总之，期末复是研究经济数学基础的重要环节，需要仔细复，用心理解，以便在考试中取得好成绩。
希望各位同学能够取得好成绩！。
经济数学基础教案
经济数学基础教案教学目标：1.掌握经济数学的基本概念与方法；2.了解利润、成本、需求、供给等经济概念的数学表示方法；3.能够运用经济数学的知识解决实际经济问题。
教学内容：1.经济数学的基本概念-利润、成本、需求、供给等经济概念的定义与数学表示方法；-边际利润、边际成本、边际需求、边际供给的概念与计算方法。
2.利润最大化与成本最小化问题-利润最大化与成本最小化的数学表达；-利润最大化与成本最小化的条件与方法；-通过示例演示利润最大化与成本最小化问题的求解过程。
3.需求与供给的相互关系-需求曲线与供给曲线的定义与数学表达；-市场均衡点的数学求解；-外部因素对需求与供给曲线的影响。
教学方法：1.讲授：由教师通过课堂讲解向学生介绍经济数学的基本概念、利润最大化与成本最小化问题以及需求与供给的相互关系的知识。
2.案例分析：教师提供一些实际经济问题的案例，让学生通过运用经济数学知识进行分析和解决问题。
3.练习与讨论：教师布置相关的练习题，鼓励学生利用经济数学的方法进行求解，并在课堂上进行讨论和解答疑惑。
教学过程：一、引入（10分钟）教师通过提问或举例等方式引入经济数学的重要性和应用场景。
二、讲授经济数学的基本概念（20分钟）教师以PPT为辅助，讲解利润、成本、需求、供给等经济概念的定义与数学表示方法，帮助学生理解经济数学的基本概念。
三、利润最大化与成本最小化问题（30分钟）1.利润最大化与成本最小化的数学表达。
2.利润最大化与成本最小化的条件与方法。
3.示范案例分析与讲解。
四、需求与供给的相互关系（30分钟）1.需求曲线与供给曲线的定义与数学表达。
2.市场均衡点的数学求解。
3.外部因素对需求与供给曲线的影响。
4.示例演示与练习讨论。
五、总结与反思（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，并引导学生回想、分析所学知识在实际经济中的应用。
教具准备：1.PPT课件；2.案例分析材料；3.练习题及答案。
教学评估：1.课堂练习：布置相关的练习题，学生利用经济数学的方法进行求解。
《经济数学基础》 teaching_03_06
3.6 利用导数研究函数3.6.1 函数的凹向与拐点定义3.3 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的．定理3.8 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数， (1)若b x a <<时，恒有0)(>''x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内上凹；(2)若b x a <<时，恒有0)(<''x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内下凹． 定义 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.求拐点的一般步骤：①求函数的二阶导数)(x f ''；②令0)(=''x f ，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点； ③对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的)(x f ''的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．例1 求曲线1234+-=x x y 的凹向区间与拐点.解 2364x x y -='，)1(1212122-=-=''x x x x y令0=''y ，解得0=x ，1=x ．曲线在)0,(-∞及),1(+∞两个区间上凹，在)1,0(区间下凹，)1,0(和)0,1(是它的两个拐点.例2 求曲线1)12(4+-=x y 的凹向区间与拐点.解 3)12(8-='x y ，2)12(48-=''x y ；令0=''y ，解得21=x ；只要21≠x ，恒有0>''y ，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线4)12(-=x y 1+没有拐点，它在整个),(+∞-∞是上凹的．例3 求曲线31)4(2-+=x y 的凹向区间与拐点.解 32)4(31--='x y ，35)4(92---=''x y ；y ''在),(+∞-∞内恒不为零，但4=x 时，y ''不存在．x 在4的左侧邻近时，0>''y ； 在4的右侧邻近时，0<''y .即y ''在4=x 两侧异号，所以)2,4(是曲线的拐点.3.6.2 曲线的渐近线定义3.5 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零， 则称此直线为曲线的渐近线.设曲线)(x f y =，如果c x f x =∞→)(lim ,则称直线c y =为曲线)(x f y =的水平渐近线.如果曲线)(x f y =在点0x 间断，且∞=∞→)(lim x f x ，则称直线0x x =为曲线)(x f y =的铅垂渐近线．例4 求曲线51-=x y 的水平渐近线和铅垂渐近线. 解 因为051lim =-∞→x x ，所以0=y 是曲线的水平渐近线．又因为5是51-=x y 的间断点,且51lim 5-→x x ∞=，所以5=x 是曲线的铅垂渐近线． 例5 求曲线22123x x y -+=的水平渐近线和铅垂渐近线. 解 因为321223lim -=-+=∞→x x y x ，所以3-=y 是曲线的水平渐近线． 又因为1和-1是22123x x y -+=的间断点，且∞=-+→221123lim x x x ，∞=-+-→221123lim x x x ，所以1=x 和1-=x 是曲线的铅垂渐近线．3.6.3 函数作图描绘函数图象的具体方法如下:1.确定函数的定义域的值域；2.确定曲线关于坐标轴的对称性；3.求出曲线和坐标轴的交点；4.判断函数的单调区间并求出极值；5.确定函数的凹向区间和拐点；6.求出曲线的渐近线；7.列表讨论并描绘函数的图象.例6 描绘函数323x x y -=的图象．解 (1)定义域：),(∞-∞.(2)函数不具有奇偶性， 因此曲线无对称性.(3)令0=y ，得0=x ，3=x ， 表明曲线与x 轴有两个交点，一个是0=x ，一个是3=x .(4))2(3362x x x x y -=-='，令0='y ，得0=x ，2=x .)1(666x x y -=-=''060>==''x y ，所以0=x 为极小值点，0)0(=f 为极小值；062<-==''x y ，所以2=x 为极大值点，4)2(=f 为极大值.(5)令0=''y ，得1=x ．在1=x 的左侧有0>''y ，在1=x 的右侧有0<''y ， 而2)1(=f ，所以)2,1(是拐点．(6)无渐近线.(7)将上面的结果列表例7 描绘函数2)1(42-+=x x y 的图象． 解 (1)定义域：),0()0,(+∞⋃-∞．(2)函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性.(3)令0=y ，即02)1(422=-+xx x ，0222=--x x ，解得312322±+=±=x 表明曲线与x 轴交于31-=x 和31+=x . (4) 422)442(2)44(x x x x x x y ++---=' 4233288444xx x x x x --+-= 33)2(484xx x x +-=--=， 令0='y ，得2-=x .在2-=x 左侧有0<'y ，在2-=x 右侧有0>'y ，所以2-=x 是极小值点，3)2(-=-f 是极小值．(5) 623623248)2(124xx x x x x x y +=++-='' 4)3(8xx +=. 令0=''y ，得3-=x .当x 从左向右经过-3时，y ''由负变正，又982)3(-=-f ，所以)982,3(--是曲线的拐点. (6)因为2)2)1(4(lim 2-=-+∞→xx x ，所以2-=y 是曲线的水平渐近线. 又因为0=x 是函数的间断点，且∞=-+→)2)1(4(lim 20xx x ，所以0=x 是曲线的铅垂渐近线．(7)将上面的结果列表。
《经济数学基础》 teaching_02_02
导数基本公式与运算法则2.2.1 导数的四则运算法则设函数)(x u 和)(x v 在点x 处可导，则)()(x v x u y ±=在点x 处也可导，且v u v u '±''±)(． (2.2.1)设函数)(x u 和)(x v 在点x 处可导，则)()(x v x u y ⋅=在点x 处也可导，且v u v u uv '±'=')(． (2.2.2)特别地，当其中有一个函数为常数c 时，则有u c cu '=')(． (2.2.3) 上面的公式对于有限多个可导函数成立，例如：w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(． (2.2.4)设函数)(x u 和)(x v 在点x 处可导，且，0)(≠x v ，则)()(x v x u y =在点x 处也可导，且2)(vv u v u v u '-'='. (2.2.5) 证明乘积的导数公式．证 设对应于自变量的改变量x ∆，函数u 、v 分别取得改变量u ∆和v ∆，于是函数y 的改变量为：uv v v u u y -∆+∆+=∆))((=v u v u v u ∆⋅∆+∆⋅+⋅∆， v xu x v u v x u x y ∆⋅∆∆+∆∆⋅+⋅∆∆=∆∆， 由函数)(x u 和)(x v 在点x 处可导，得u x u x '=∆∆→∆0lim，v xvx '=∆∆→∆0lim ，则][lim lim00v xux v u v x u x y x x ∆⋅∆∆+∆∆⋅+⋅∆∆=∆∆→∆→∆=v x u x v u x u v x x x x ∆⋅∆∆+∆∆⋅+∆∆⋅→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim=0⋅'+'⋅+'⋅u v u u v =v u v u '+'．例1 设x xx y x cos 423532+-+=，求y '．解 )(cos 4)2()(3)(532'+'-'+'='-x x x y x=)sin (42ln 2)3(3254x x x x -+--⨯+⨯- =x xx xsin 42ln 29104---． 例2 设)135)(21(2+-+=x x x y ，求y '．解 )135)(21()135()21(22'+-+++-'+='x x x x x x y=)310)(21()135(22-+++-x x x x =12302--x x ．例3 设x x x y ln sin =，求y '．解 )(ln sin ln )(sin ln sin )('+'+'='x x x x x x x x x y=xx x x x x x x 1sin ln cos ln sin 1⋅++⋅=x x x x x x sin ln cos ln sin ++．例4 已知32)(2++-=x x x x f ，求)1(f '．解 222)3()3)(2()3()2()(+'++--+'+-='x x x x x x x x f =2222)3(56)3(1)2()3)(12(+-+=+⋅+--+-x x x x x x x x ， 81)31(5161)1(22=+-⨯+='f ． 例5 设xx x y 7253+-=，求y '．解 先化简，得212125725-+-=xx x y ，于是232123)21(7212255--⋅-⋅+⋅⋅-⋅⋅='x x x y=)7225(212722533232123--=----x x x x x x ．例6求x y tan =的导数． 解 因为xxy cos sin =，所以 2)(cos )(cos sin cos )(sin x x x x x y '-'=' =xx x x 222cos sin cos +=x x 22sec cos 1=， 即 x xx 22sec cos 1)(tan =='. 用同样方法可以得到x xx 22csc sin 1)(cot -=-='.2.2.2 复合函数的导数)13sin(+=x y 是一个复合函数，它可以看作是由u y sin =及13+=x u 复合而成的．我们用定义求出它的导数．)13sin(]1)(3sin[+-+∆+=∆x x x y =)2313cos(23sin2xx x ∆++∆， 而xx x x x y ∆∆++∆=∆∆)2313cos(23sin 2， 则xx x x x y x x ∆∆++∆=∆∆→∆→∆)2313cos(23sin 2lim lim 00 =23)2313cos(23sin 3lim 0xx x x x ∆∆++⋅∆→∆=)2313cos(lim 2323sinlim300x x x x x x ∆++⋅∆∆→∆→∆ =)13cos(3)13cos(13+=+⋅⋅x x .定理 设函数)(x u ϕ=在点x 处有导数)(u f dudy'=，函数)(u f y =在点u 处有导数)(u f dudy'=，则复合函数)]([x f y ϕ=在该点x 也有导数，且)()(x u f dx dy ϕ'⋅'= (2.2.6)或 '⋅'='x u x u y y (2.2.7)或dxdu du dy dx dy ⋅=. (2.2.8) 证 设自变量x 在点x 处取得改变量x ∆，中间变量u 则取得相应改变量u ∆，从而函数y 取得改变量y ∆．当0≠∆u 时，有xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆,又因为)(x u ϕ=在点x 处可导，则在点x 处必连续，即0lim 0=∆→∆u x ,于是)(lim lim 00xu u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆ =)()(lim lim00x u f xu u y x u ϕ'⋅'=∆∆⋅∆∆→∆→∆. 当0=∆u 时，可以证明上式仍成立． 例7 求下列函数的导数：(1)x y 3sin =；(2)2cos x y =；(3)5sin x y =；(4)4)52(x y +=；(5)xy 211+=；(6)234x y -=；(7)x y cos ln =.解 (1)设x u sin =，3u y =x x x u u y y x u x cos sin 3cos 322=⋅='⋅'='； (2)设2x u =，u y cos =2sin 22sin x x x u u y y x u x -=⋅-='⋅'='；(3)设5x u =，u y sin =5cos 5151cos x u u y y x u x =⋅='⋅'='； (4)设x u 52+=，4u y =则33)52(2054x u u y y x u x +=⋅='⋅'='；(5)设x u 21+=，1-=u y 则22)21(22)1(x u u y y x u x +-=⋅-='⋅'='-； (6)设234x u -=，21u y =则221343)6(21xxx u u y y x u x ---=-⋅='⋅'='-.(7)设x u cos =，u y ln =，则x xx x u u y y x u x tan cos sin )sin (1-=-=-⋅='⋅'='．定理2.2的结论可以推广到多层次复合的情况．例如设)(u f y =，)(v u ϕ=，)(x v ψ=，则复合函数)]}([{x f y ψϕ=的导数为dxdv dv du du dy dx dy ⋅⋅= (2.2.9)例8 求下列函数的导数：(1)xy 1tan 2=；(2))32(sin 2x y -=；(3)1cos log 23+=x y ．解 (1)设u y 2=，v u tan =，xv 1=x v u x v u y y '⋅'⋅'='xx xv xu 1cos 2ln tan 2)1(cos 12ln 222122=-⋅⋅=； (2))3()32cos()32sin(2-⋅-⋅-='x x y=-3sin2(2-3x) ；(3) 122)1sin (3ln 1cos 1'222+⋅+-⋅⋅+=x x x x y=1tan 13ln 22+⋅+-x x x ．例9 求下列函数的导数：(1)x x y 43)1(-+=； (2)nx x y )3(2-=． 解 (1))43)1(43)1('-++-'+='x x x x y=x x x 4324)1(43--⋅++-=xx xx x 4361432243--=----；(2))3()3(212'-⋅-='-x xx x n y n =222212)3()3()3()()3(-'---'⋅--x x x x x x x n n =222212)3(23)3(---⋅--x x x x x n n =-1221)3()3(+--+n n x x nx ．例10 求函数2211ln xx y -+=的导数． 解 由对数性质，有)]1ln()1[ln(2122x x y --+=，则}])1ln[(])1{[ln(2122'--'+='x x y=42212)1212(21x xx x x x -=---+．例11 推导αx y =的求导公式．证 利用对数的性质我们将函数写成指数式x x y ln e αα==，令u x =ln α，则u e y =，111e -=⋅⋅=⋅='αααααx xx x y u ． 2.2.3 隐函数的导数我们称由未解出因变量的方程0),(=y x F 所确定的y 与x 之间的关系为隐函数．例如，422=+y x ，yxe xy =，05)sin(2=-x y x ，0=-+xy e e y x ，0422=+-y x 等．隐函数求导数的方法是：方程两端同时对x 求导，遇到含有y 的项，先对y 求导，再乘以y 对x 的导数y '，得到一个含有y '的方程式，然后从中解出y '即可．例12 求由方程422=+y x 所确定的隐函数y 的导数．解 方程两边同时对x 求导，得)4()()(22'='+'y x ，即022='⋅+y y x ，解出y '，得yx y -='． 例13 求由方程xy e y =所确定的隐函数y 的导数．解 方程两边同时对x 求导，得y x y x y y '+'='⋅e ，即y x y y y '+='⋅e ，解出y '，得xe yy y --='． 例14 求曲线1ln =+y xy 在点)1,1(M 处的切线方程．解 先求由1ln =+y xy 所确定的隐函数的导数．方程两边同时对x 求导，得)1()(ln )('='+'y xy ，即01='⋅+'+y yy x y ， 解出y '，得112+-=+--='xy y yx y y ． 在点)1,1(M 处，2111-='==y x y 于是，在点)1,1(M 处的切线方程为)1(211--=-x y ，即032=-+y x ．2.2.4 取对数求导法例15 求曲线)231()2)(35()13(3<<-+-=x x x x x y ． 解 两边取对数，有)]2ln()35ln()13ln([ln 31ln x x x x y --+--+=，方程两边同时对x 求导，可得xx x x y y -++--+='⋅213551331(311，即)213551331()2)(35()13(313xx x x x x x x y -++--+-+-='． 例16 求x x y sin =的导数)0(>x ．解 两边取对数，有x x y ln sin ln =，两边同时对x 求导，可得)(ln sin ln )(sin 1'+'='⋅x x x x y y=x xx x sin 1ln cos +，即)sin 1ln (cos sin x xx x x y x +='．2.2.5 导数基本公式反三角函数的导数公式． 211)(arcsin xx -='；211)(arccos xx --='；211)(arctan x x +='；211)cot (x x arc +-='． 例17 求下列函数的导数：(1))3arcsin(2x y =；(2)3)2arctan xx y =．解 (1)4222916)3()3(11xx x x y -='⋅-='．(2)2222)2(arctan 464121)2(arctan 3x xx x y +=+⋅='． 基本初等函数的导数公式 (1)0)(='c (c 为常数)；(2)1-='αααx x ）（(α为任意常数)； (3)a a a x x ln )(='(1,0≠>a a )； (4)x x e e =')(； (5)ax e x x a a ln 1log 1)(log =='(1,0≠>a a )； (6)xx 1)(ln ='； (7)x x cos )(sin ='； (8)x x sin )(cos -='；(9)xx x 22cos 1sec )(tan =='； (10)xx x 22sin 1csc )(cot -=-='；(11)211)(arcsin xx -='；(12)211)(arccos xx --='；(13)211)(arctan x x +='；(14)211)cot (x x arc +-='； 导数的四则运算法则 设u 、v 是x 的可导函数(1)v u v u '±'='±)(； (2)v u v u v u '±'='⋅)(； (3)v c cv '=')(；(4)2)(vv u v u v u '-'=' )0(≠v ； (5)设)(u f y =，)(x u ϕ=，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为)()(x u f dxdyϕ'⋅'=或'⋅'='x u x u y y ．。
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经济数学基础辅导4叶挺峰第一编 第三章 导数应用本章主要是介绍利用导数研究函数的一些特性，如极值、最值和对经济问题进行边际分析、弹性分析等内容：一、 如何确定函数的单调区间？1、定理：设y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导，若X ∈（a,b ）,有（1） f ˊ(X)>0，f(X)在[a,b]上单调增加；（2） f ˊ(X)>0，f(X)在[a,b]上单调减少；此定理中的区间，称为单调区间。
2、确定函数y=f(x)单调区间步骤：（1） 确定Y=f(x)的定义域D ；（2） 求Y ˊ；（3） 令Y ˊ=0，求出根；（4） 用Y ˊ=0的根，划分D 为几个小区间，列出表格判别；（5） 结论。
例如：确定函数31292)(23-+-=x x x f 的单调区间。
解：f(x)的定义域：),(+∞-∞)23(612186)(22'+-=+-=x x x x x f=6(X-1)(X-2)令0)(1=x f 即6（X-1）（X-2）=0得X 1=1，X 2=2列表X （-∞，1）1（1，2）2（2，+∞）Y ˊ + - +Y ↗ ↘ ↗注意：确定Yˊ的符号时，可取小区间中任意一个确定数，如：0，1.5，3，代入f ˊ(X)式中定出y ˊ的正、负号，再用符号“↗”、“↘”分别表示，曲线上升或下降。
故f(x)单调增加区间为（-∞，1],[2，+∞)，单调减少区间为[1，2]二、 函数极值和最值：函数极大值与极小值统称为极值。
取到极大值或极小值的点统称为极值点。
1、极值的必要条件：f(x)在点X 0处可导，点X 0是f(X)的极值点，则f ˊ（X 0）=02、驻点：使f ˊ(X)=0的点，称为f(X)的驻点（或稳定点）。
注意：（1）点X 0是f(x)的极值点（或稳定点），f(x)在X 0处可导，则点X 0必定是驻点；（2）驻点不一定是极值点；（3）在导数不存在的点处，可能有极值。
3、极值存在充分条件：设f(x)在点X0的邻域连续且可导（f ˊ（X 0）可以不存在），当X 从X 0的左侧到右侧取值时，f ˊ(X)符号：从+变-，X 0为极大值点，f(X 0)为极大值；从-变+，X 0为极小值点，f(X 0)为极小值；不变号，X 0不是极值点，f(X)在X0处无极值。
用以上定理，可判别X 0是不是f(X)的极值点。
下面举例说明如何求函数的极值和极值点。
例如：求函数x x x f -=323)(的极值。
解：f(x)的定义域（-∞，+∞） 33331'21212)(x xx x x f -=-=-=-令f ˊ(X)=0 则有023=-x得驻点X=8X=0使f ˊ(X)无意义，X=0是f ˊ(X)不可导的点。
列表X （-∞，0） 0 (0,8) 8 (8, +∞)y ˊ - 不存在 + 0 -y ↘ 0 ↗ 4 ↘极小值 极大值故X=0是极小值点，极小值f(0)=0x=8是极大值点，极大值f(8)=44、函数的最值：函数最大值和最小值统称为函数的最值。
对整个函数定义域而言，极值是局部概念，函数最值是整体概念。
求应用问题的最值，常用以下的结论：f(x)在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导，且X 0是f(x)在（a,b ）内唯一驻点，那么当X 0是f(x)极大值点（或极小值点）时，X 0一定是f(x)在[a,b]上的最大值点（或最小值点），f(x 0)是函数f(x)的最值。
例如：生产某产品的总成本函数C （X ）=210400x x ++ ²求使平均成本最低的产量及最低平均成本。
解：平均成本x x x x c x A ++==10400)()( 222'4001400)(x x x x A -=+-=令A ′（X ）=0，则有4002-x =0得X1=20 X 2=－20(舍去)当X<20时， A'（X ）<0当X>20时， A'（X ）>0X=20是极小值点，在（0，+∞）内驻点唯一，X=20也是最小值点。
故当产量X=20时，平均成本最低，最低平均成本为A （20）= 50201020400=++三、导数在经济分析中的应用1、需求（价格）弹性设某商品的市场需求量为q ，价格为P ，需求函数q=q(P)可导，则称)()('p q p q p Ep = 为该商品需求价格弹性，简称需求弹性。
其经济意义是：当某种商品的价格下降（或上升）1%时，某需求量将增加（或减少）|E p |%。
例如：某种商品的需求量q(单位：百件)与价格P （单位：千元）的关系为：315)(pe p q -= p ∈[0，10]求当价格为9千元时的需求弹性。
解：315153133'p e e p q q p Ep p p-=⨯-⋅=⋅=-- 当P=9时，31399-=-=E 2、三个边际函数（1） 边际成本：边际成本是总成本函数C （q ）关于产量q 的导数，记为MC ，则有MC=C'（q ）。
经济意义：当产量为p 时，再生产一个单位产品所增加的成本。
即边际成本是第q+1个产品的成本。
（2） 边际收入：边际收入是总收入函数R （q ）对销售量q 的导数，记为MR 。
经济意义：当销售量q 时，再销售一个商品所增加的收入。
（3） 边际利润：利润函数L=L （q ）对销售量q 的导数，称为边际利润，记为ML 。
由于利润函数L （q ）=R(q)-c(q), 则有L´（q ）=R´(q)-c´(q)例如：已知总成本函数为C （q ）=2000+450q+0.02q ²销售单价为490，求1） C ´（q ）2） L(q)及L ´(q)解：1）C´(q)450+0，04q2)总收入函数R(q)=pq=490q利润函数：L(q)=R （q ）-C(q)=490q-(2000+450q+0.02q ²)=-0.02q ²+40q-2000边际利润函数为：L ´(q)=-0.04q+40自测题:一、选择题：1、函数y=x²-4x+5在区间（0，+∞）内[ ]A 、单调增加B 、先单调增加后单调减少C 、先单调减少后单调增加D 、单调减少2、下列结论中正确的是（ ）。
A 、函数的驻点一定是极值点B 、函数的极值点一定是驻点C 、函数的极值点处导数必为0D 、函数的导数为0的点一定是驻点3、设需求函数q=2100p e - ,则需求弹性E P =（ ）A 、250p e-- B 、2100p pe - C 、2p - D 、21- 二、填空题1、f(x)在（a,b ）内 有f '(X)=0,则f (X)= 。
2、函数f(x)= x ²-1的单调下降区间是 。
3、已知需求函数32310)(pp q -=，E P= 。
三、计算题1、 确定函数133123+--=x x x y 的单调区间。
2、 求函数f(x)=-X 4+ 83 x 3－2x² + 2的极值。
3、 某产品固定成本为18（万元），可变成本2x ²+5X（万元），其中X 为产量（百台），求使平均成本最低的产量。
4、某产品的需求量q=250-2P(P 为价格)，价格为多少时，可使收入最大？5、 已知某商品的需求量q=1200-100p(件)，其中P 是价格（元/件），求使收入最大的销售量和相应的最大收入。
6、 某厂生产X 个产品的成本为C （X ）= 2X +100（元）得到收益为R （X ）=8X －0.01x ²(元),问生产多少个产品时才能利润最大?最大利润是多少?答案：一、 选择题：1、C2、D3、C二、 填空题：1、C （常数）2、（0，+∞）3、32323102pp -- 三、 计算题：1、 f(x)单调增加区间（－∞，-1]，[3，+∞)单调减少区间为[-1，3]2、 X=0是极大值点，极大值f(0)=23、 3(百台)4、 62.55、 q=600(件),最大收入R(600)=3600(元)6、 q=300(个),最大利润L(300)=800(元)经济数学基础辅导5叶挺峰第二编一元函数积分学第四章一元函数积分学一、不定积分1、什么是原函数？设f(x)是定义在区间D上的函数，若存在F(x)，对任何x∈D，均有F′(x)=f(x)(或dF(x)=f(x)dx)则称F(x)为f(x)在D上原函数(简称f(x)的原函数)。
注意：函数f(x)的原函数不唯一，有无穷多个。
f(x)的任意两个原函数只差一个常数。
例如：F(X)是f(x)的一个原函数，C为常数，有[F(x)+C]′=F′(x)=f(x)。
2、不定积分定义：对于某区间D上的函数f(x)为可积函数，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)的全体原函数记为∫f(x)dx，并称它为函数f(x)的不定积分。
若F(x)是f(x)的一个原函数，C为任意常数，由于f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C，则有∫f(x)dx=F(x)+C其中C称为积分常数。
3、为什么求积与求导互为逆运算？在∫f(x)dx= F(x)+C中，两边对x求导，则有[∫f(x)dx]′=[ F(x)+C]′=F′(x)=f(x)又因∫F′(x) dx=∫f(x)dx= F(x)+C上式表明：对F(x)先导后积，结果是F(x)加上一个常数。
可见：求积与求导(或求微分)互为逆运算。
4、基本积分公式：求积与求导互为逆运算，因此，有一个导数公式就有一个对应的积分公式，同学们应熟记以下九个积分公式。
∫odx=c ∫x n dx=x n+1n+1+C(n≠－1)∫dxx= ln|x|+c ∫a x dx=a xlna+c∫e x dx=e x+c ∫sinxdx=－cosx+c ∫cosdx=sinx+c ∫dxsin2x= －cotx+c ∫dxcos2x= tanx+c二、 基本积分方法：(一) 不定积分常用性质1、 代数和分开积∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx ±∫g(x)dx2、 常数因子提出来∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx (k ≠0常数)(二) 积分基本方法：1、直接积分法这是用不定积分运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。
例1：求下列不定积分(1) ∫(3x 2－2x+1)dx解：原式=3∫x 2dx －2∫xdx+∫dx=3²x 32+1－2²x 21+1＋x+c=x 3-x 2+x+c(2) ∫(12x + 2x )dx解：原式=12∫1x dx+∫2x dx=12ln|x|+2x ln2 + c(3) ∫e x (1+e -x )dx解：原式=∫e x dx+∫dx=e x +x+c(4) ∫tan 2xdx解：原式=∫sin 2x cos 2x dx = ∫1-cos 2x cos 2x dx=∫1cos 2x dx －∫dx = tanx －x ＋c2、凑微分法(又名第一换元法)这是计算不定积分重要方法，又是本章重点，应多做练习，熟练掌握。