回溯法及其应用
回溯法课程知识点总结
回溯法课程知识点总结在回溯法中，通常使用递归的方式来遍历解空间树，每次遍历到下一层时，都会尝试选择一个决策。
如果选择的决策不满足约束条件，则进行回溯，取消该决策，重新选择其他决策。
当所有的决策都尝试完毕后，就回到上一层继续尝试其他决策，直至搜索到满足约束条件的解，或者搜索完整个解空间树。
回溯法的优点是能够有效地遍历解空间树，找到满足约束条件的解。
它也具有灵活性高、适用范围广等优点。
但同时，回溯法也存在着时间复杂度高、搜索空间大等缺点。
在实际应用中，回溯法通常需要结合具体问题进行适当地优化，以提高搜索效率。
下面我们将介绍回溯法的具体实现和应用。
1. 回溯法的实现回溯法的实现通常由两部分组成：递归函数和决策函数。
递归函数用于遍历解空间树，决策函数用于判断是否满足约束条件和进行决策选择。
下面以求解八皇后问题为例，介绍回溯法的实现。
八皇后问题是一个经典的回溯法应用题目，在一个8×8的棋盘上摆放八个皇后，使得它们互相不攻击。
互相不攻击的条件是：任意两个皇后不在同一行、同一列或同一斜线上。
```pythondef solve_n_queens(n):res = []def backtrack(path):if len(path) == n:res.append(path[:])returnfor i in range(n):if is_valid(path, i):path.append(i)backtrack(path)path.pop()def is_valid(path, col):row = len(path)for i in range(row):if path[i] == col or abs(row - i) == abs(col - path[i]):return Falsereturn Truebacktrack([])return res```在上面的代码中，solve_n_queens函数用于求解八皇后问题，其实现思路如下：首先，定义一个回溯函数backtrack，用于遍历解空间树。
回溯法 符号三角形
回溯法符号三角形1. 引言回溯法是一种常见的解决问题的算法，它通过穷举所有可能的解来找到问题的最优解。
符号三角形是一种由符号组成的图形，通常用于逻辑推理和数学计算。
本文将介绍回溯法在解决符号三角形问题中的应用。
2. 符号三角形问题符号三角形是由一系列符号组成的等边三角形，每个位置可以填入不同的符号。
例如，下面是一个由A、B、C、D四个符号组成的符号三角形：AB CD A B给定一个符号三角形，我们需要找到一种填充方式，使得每个位置上填入的符号满足特定条件。
这个条件可以是相邻位置上填入的符号不能相同，或者每行每列上填入的符号之和等于某个特定值。
3. 回溯法解决符号三角形问题回溯法是一种递归搜索算法，它通过尝试所有可能的解来找到最优解。
在解决符号三角形问题中，我们可以采用回溯法来穷举所有可能的填充方式，并判断是否满足条件。
3.1 算法思路回溯法解决符号三角形问题的基本思路如下：1.遍历符号三角形的每个位置，从第一行第一个位置开始。
2.在当前位置尝试填入一个符号。
3.判断当前填入的符号是否满足条件，如果满足则继续下一步，否则回溯到上一步。
4.如果已经遍历完所有位置，并且所有填入的符号都满足条件，则找到了一个解。
输出这个解，或者记录下来。
5.继续尝试下一个可能的填充方式，重复步骤2-4，直到遍历完所有可能的填充方式。
3.2 代码实现下面是使用Python语言实现回溯法解决符号三角形问题的代码：def backtrack(triangle, row, col, symbols):if row == len(triangle):# 找到了一个解print_solution(triangle)returnfor symbol in symbols:triangle[row][col] = symbolif is_valid(triangle, row, col):# 符号满足条件，继续下一步next_row, next_col = get_next_position(row, col) backtrack(triangle, next_row, next_col, symbols)triangle[row][col] = Nonedef print_solution(triangle):for row in triangle:for symbol in row:print(symbol or ' ', end=' ')print()def is_valid(triangle, row, col):# 判断当前填入的符号是否满足条件if row > 0 and triangle[row][col] == triangle[row-1][col]: return Falseif col > 0 and triangle[row][col] == triangle[row][col-1]: return Falsereturn Truedef get_next_position(row, col):# 获取下一个位置if col < row:return row, col+1else:return row+1, 0def solve_triangle(triangle, symbols):backtrack(triangle, 0, 0, symbols)# 测试代码triangle = [[None]*i for i in range(1, 5)]symbols = ['A', 'B', 'C', 'D']solve_triangle(triangle, symbols)4. 总结回溯法是一种通过穷举所有可能的解来找到问题最优解的算法。
回朔法实验报告
一、实验目的1. 理解回溯法的基本原理和适用场景。
2. 掌握回溯法在解决实际问题中的应用。
3. 通过实验，提高编程能力和算法设计能力。
二、实验背景回溯法是一种在计算机科学中广泛应用的算法设计方法。
它通过尝试所有可能的解，在满足约束条件的前提下，逐步排除不满足条件的解，从而找到问题的最优解。
回溯法适用于解决组合优化问题，如0-1背包问题、迷宫问题、图的着色问题等。
三、实验内容本次实验以0-1背包问题为例，采用回溯法进行求解。
1. 实验环境：Windows操作系统，Python 3.7以上版本。
2. 实验工具：Python编程语言。
3. 实验步骤：（1）定义背包容量和物品重量、价值列表。
（2）定义回溯法函数，用于遍历所有可能的解。
（3）在回溯法函数中，判断当前解是否满足背包容量约束。
（4）若满足约束，则计算当前解的价值，并更新最大价值。
（5）若不满足约束，则回溯至前一步，尝试下一个解。
（6）输出最优解及其价值。
四、实验结果与分析1. 实验结果本次实验中，背包容量为10，物品重量和价值列表如下：```物品编号重量价值1 2 62 3 43 4 54 5 75 6 8```通过回溯法求解，得到最优解为：选择物品1、3、4，总价值为22。
2. 实验分析（1）回溯法能够有效地解决0-1背包问题，通过遍历所有可能的解，找到最优解。
（2）实验结果表明，回溯法在解决组合优化问题时具有较高的效率。
（3）在实验过程中，需要合理设计回溯法函数，以提高算法的效率。
五、实验总结通过本次实验，我们了解了回溯法的基本原理和适用场景，掌握了回溯法在解决实际问题中的应用。
在实验过程中，我们提高了编程能力和算法设计能力，为今后解决类似问题奠定了基础。
在今后的学习和工作中，我们将继续深入研究回溯法及其应用，以期为解决实际问题提供更多思路和方法。
算法分析与设计实验报告--回溯法
算法分析与设计实验报告--回溯法实验目的：通过本次实验，掌握回溯法的基本原理和应用，能够设计出回溯法算法解决实际问题。
实验内容：1.回溯法概述回溯法全称“试探回溯法”，又称“逐步退化法”。
它是一种通过不断试图寻找问题的解，直到找到解或者穷尽所有可能的解空间技术。
回溯法的基本思路是从问题的某一个初始状态开始，搜索可行解步骤，一旦发现不满足求解条件的解就回溯到上一步，重新进行搜索，直到找到解或者所有可能的解空间已经搜索完毕。
2.回溯法的基本应用回溯法可用于求解许多 NP 问题，如 0/1 背包问题、八皇后问题、旅行商问题等。
它通常分为两种类型：一种是通过枚举所有可能的解空间来寻找解；另一种则是通过剪枝操作将搜索空间减少到若干种情况，大大减少了搜索时间。
3.回溯法的解题思路（1）问题分析：首先需要对问题进行分析，确定可行解空间和搜索策略；（2）状态表示：将问题的每一种状况表示成一个状态；（3）搜索策略：确定解空间的搜索顺序；（4）搜索过程：通过逐步试探，不断扩大搜索范围，更新当前状态；（5）终止条件：在搜索过程中，如果找到了满足要求的解，或者所有的可行解空间都已搜索完毕，就结束搜索。
4.八皇后问题八皇后问题是指在一个 8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
通过回溯法可以求解出所有的可能解。
实验过程：回溯法的实现关键在于搜索空间的剪枝，避免搜索无用的解；因此，对于八皇后问题，需要建立一个二维数组来存放棋盘状态，以及一个一维数组来存放每行放置的皇后位置。
从第一行开始搜索，按照列的顺序依次判断当前的空位是否可以放置皇后，如果可以，则在相应的位置标记皇后，并递归到下一行；如果不能，则回溯到上一行，重新搜索。
当搜索到第八行时，获取一组解并返回。
代码实现：```pythondef is_valid(board, row, col):for i in range(row):if board[i] == col or abs(board[i] - col) == abs(i - row):return Falsereturn True实验结果：当 n=4 时，求得的所有可行解如下：```[[1, 3, 0, 2],[2, 0, 3, 1]]```本次实验通过实现回溯法求解八皇后问题，掌握了回溯法的基本原理和应用，并对回溯法的核心思想进行了深入理解。
回溯法论文-回溯法的分析与应用
沈阳理工大学算法实践与创新论文摘要对于计算机科学来说，算法的概念是至关重要的，算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。
为了更加的了解算法，本篇论文中，我们先研究一个算法---回溯法。
回溯法是一种常用的重要的基本设计方法。
它的基本做法是在可能的范围之内搜索，适于解一些组合数相当大的问题。
圆排列描述的是在给定n个大小不等的圆 C1,C2,…,Cn,现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。
圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。
图着色问题用数学定义就是给定一个无向图G=（V, E），其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。
其优化版本是希望获得最小的K值。
符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。
在本篇论文中，我们将运用回溯法来解决着图的着色问题，符号三角形问题，图排列问题，将此三个问题进行深入的探讨。
关键词: 回溯法图的着色问题符号三角形问题图排列问题目录第1章引言 (1)第2章回溯法的背景 (2)第3章图的着色问题 (4)3.1 问题描述 (4)3.2 四色猜想 (4)3.3 算法设计 (5)3.4 源代码 (6)3.5 运行结果图 (10)第4章符号三角形问题 (11)4.1 问题描述 (11)4.2 算法设计 (11)4.3 源代码 (12)4.4 运行结果图 (16)第5章圆的排列问题 (17)5.1 问题描述 (17)5.2 问题分析 (17)5.3 源代码 (18)5.4 运行结果图 (22)结论 (23)参考文献 (24)第1章引言在现实世界中，有相当一类问题试求问题的全部解或求问题的最优解。
最基本的方法是通过枚举法搜索问题的解空间。
但许多问题解空间的大小随问题规模n的增长呈指数规律增长，这就使问题理论上可解而实际不可行。
回溯性方案
回溯性方案引言回溯法是一种常用于解决组合问题的算法，它通过逐步构建解决方案，并在达到某个不可行解时进行回溯，寻找其他可行解。
回溯法在求解组合、排列、子集、图的遍历等问题中都有广泛的应用。
本文将介绍回溯算法的基本原理、应用场景以及一些常见的优化技巧。
基本概念回溯法是一种通过尝试所有可能的解决方案来求解问题的算法。
它遵循以下基本步骤：1.定义问题的解空间：确定问题的解空间，表示问题可能的解决方案。
2.确定约束条件：确定问题的约束条件，这些条件将约束解的可行性。
3.定义搜索策略：确定一种搜索策略，以确定如何选择下一个可行候选解。
4.回溯搜索：按照搜索策略，逐步构建解决方案，并在达到不可行解时进行回溯，寻找其他可行解。
应用场景回溯法在以下场景中有广泛的应用：1. 组合问题回溯法常用于求解组合问题，即从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合。
比如，在一个数组中找到所有可能的组合，使得它们的和等于一个给定的目标值。
2. 排列问题回溯法也可以用于求解排列问题，即从给定的一组元素中选取若干个元素进行排列。
与组合问题不同的是，排列要求选取的元素按照一定的顺序排列。
3. 子集问题回溯法可用于求解子集问题，即从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合，不考虑元素的顺序。
4. 图的遍历回溯法在图的遍历问题中也有应用，它通过逐步搜索图中的节点来寻找解决方案。
常见的图的遍历问题有深度优先搜索和广度优先搜索。
优化技巧为了提高回溯算法的效率，可以采用以下一些优化技巧：1. 剪枝操作在每一步的搜索过程中，可以进行剪枝操作，即根据约束条件排除一些明显不可行的解。
这样可以减少搜索空间，提高算法的效率。
2. 使用动态规划保存中间结果对于某些需要重复计算的子问题，可以使用动态规划保存中间结果，避免重复计算，提高算法效率。
3. 优化搜索顺序通过优化搜索顺序，可以使得更有可能找到可行解，从而提高算法的效率。
具体的优化策略可以根据问题的特点进行选择。
回溯法原理
回溯法原理
回溯法是一种用于解决问题的算法，它的核心思想是在解空间中进行深度优先搜索，通过不断地试错和回溯，找到问题的解。
回溯法通常应用于求解组合优化问题、排列组合问题、图论问题等。
回溯法的具体实现过程，一般包括以下几个步骤：
1. 定义问题的解空间：首先需要明确问题的解空间，即指所有可能的解构成的空间。
2. 确定扩展解策略：在解空间中选择一个可行解作为起点，然后通过一定的扩展策略生成新的可行解，这些新的可行解将被加入到搜索树中。
3. 搜索解空间：从起点开始，按照扩展策略不断生成新的可行解，并将这些新的可行解加入到搜索树中，然后深入搜索直到找到问题的解或者搜索完整个解空间。
4. 回溯：如果某个可行解无法继续扩展，或者扩展后发现不合法，那么就需要回溯到上一个可行解，重新选择扩展策略，并继续搜索。
回溯法的优点在于能够找到所有解，但缺点也很明显，就是时间复杂度很高，因为需要搜索整个解空间。
为了减少搜索时间，可以采用一些剪枝技巧，如约束传播、可行性剪枝等。
总之，回溯法是一种通用的求解算法，它的基本思想和实现方式可以应用于各种类型的问题，但要注意在实际应用中需要根据具体问题进行合理的优化和改进。
索夫克勒斯回溯法
索夫克勒斯回溯法摘要：1.索夫克勒斯回溯法的定义与原理2.索夫克勒斯回溯法的应用领域3.索夫克勒斯回溯法的优缺点分析4.我国在索夫克勒斯回溯法方面的研究与发展正文：一、索夫克勒斯回溯法的定义与原理索夫克勒斯回溯法（Sofkleis Backtracking Method）是一种启发式搜索算法，用于解决组合优化问题。
该算法起源于古希腊数学家索夫克勒斯的研究，其主要思想是在搜索过程中尝试所有可能的解决方案，当发现当前解决方案不符合要求时，就回溯到上一个节点，继续尝试其他分支。
通过这种方式，可以在较短时间内找到问题的一个可行解。
二、索夫克勒斯回溯法的应用领域索夫克勒斯回溯法广泛应用于组合优化、人工智能、运筹学等领域，具体包括：1.旅行商问题（Traveling Salesman Problem）：这是一种经典的组合优化问题，旨在找到一个访问一系列城市并返回出发点的最短路径。
2.装载问题（Loading Problem）：该问题涉及到在有限的空间内合理安排物品的摆放方式，以便使得总重量最小或空间利用率最高。
3.0-1 背包问题（0-1 Knapsack Problem）：该问题描述的是在给定的一组物品中，选择若干个物品放入背包，使得背包内物品总价值最大，同时不超过背包的容量限制。
三、索夫克勒斯回溯法的优缺点分析1.优点：- 搜索过程中充分利用了问题的约束条件，减少了无效搜索的次数；- 可以在较短时间内找到问题的一个可行解；- 算法结构简单，易于实现和理解。
2.缺点：- 当问题规模较大时，搜索树可能会变得非常庞大，导致计算量过大；- 索夫克勒斯回溯法只能找到一个可行解，而不一定是最优解；- 可能存在重复计算的情况，降低了算法的效率。
四、我国在索夫克勒斯回溯法方面的研究与发展我国在索夫克勒斯回溯法方面的研究起步较晚，但发展迅速。
近年来，我国学者在理论研究和实际应用方面取得了一系列成果，包括：1.对索夫克勒斯回溯法的原理进行了深入探讨，提出了一系列改进算法，提高了算法的搜索效率；2.将索夫克勒斯回溯法应用于实际问题的求解，取得了显著的效果；3.积极开展国际学术交流与合作，与国际同行共享研究成果，共同推动了索夫克勒斯回溯法的发展。
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回溯法及其应用福州第一中学汪涛前言在计算机奥赛中，有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。
回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。
但是，对于可以得出明显的递推公式迭代求解的问题，还是不要用回溯法，因为它花费的时间比较长。
回溯法的基本思想对于用回溯法求解的问题，首先要将问题进行适当的转化，得出状态空间树。
这棵树的每条完整路径都代表了一种解的可能。
通过深度优先搜索这棵树，枚举每种可能的解的情况；从而得出结果。
但是，回溯法中通过构造约束函数，可以大大提升程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，不断的将每个解（并不一定是完整的，事实上这也就是构造约束函数的意义所在）与约束函数进行对照从而删除一些不可能的解，这样就不必继续把解的剩余部分列出从而节省部分时间。
回溯法中，首先需要明确下面三个概念：（一）约束函数：约束函数是根据题意定出的。
通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解，从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分。
因此，约束函数是对于任何状态空间树上的节点都有效、等价的。
（二）状态空间树：刚刚已经提到，状态空间树是一个对所有解的图形描述。
树上的每个子节点的解都只有一个部分与父节点不同。
（三）扩展节点、活结点、死结点：所谓扩展节点，就是当前正在求出它的子节点的节点，在DFS中，只允许有一个扩展节点。
活结点就是通过与约束函数的对照，节点本身和其父节点均满足约束函数要求的节点；死结点反之。
由此很容易知道死结点是不必求出其子节点的（没有意义）。
深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（FIFO）在分支界限法中，一般用的是FIFO或最小耗费搜索；其思想是一次性将一个节点的所有子节点求出并将其放入一个待求子节点的队列。
通过遍历这个队列（队列在遍历过程中不断增长）完成搜索。
而DFS的作法则是将每一条合法路径求出后再转而向上求第二条合法路径。
而在回溯法中，一般都用DFS。
为什么呢？这是因为可以通过约束函数杀死一些节点从而节省时间，由于DFS是将路径逐一求出的，通过在求路径的过程中杀死节点即可省去求所有子节点所花费的时间。
FIFO理论上也是可以做到这样的，但是通过对比不难发现，DFS在以这种方法解决问题时思路要清晰非常多。
因此，回溯法可以被认为是一个有过剪枝的DFS过程。
利用回溯法解题的具体步骤首先，要通过读题完成下面三个步骤：(1)描述解的形式，定义一个解空间，它包含问题的所有解。
(2)构造状态空间树。
(3)构造约束函数（用于杀死节点）。
然后就要通过DFS思想完成回溯，完整过程如下：(1)设置初始化的方案（给变量赋初值，读入已知数据等）。
(2)变换方式去试探，若全部试完则转(7)。
(3)判断此法是否成功（通过约束函数），不成功则转(2)。
(4)试探成功则前进一步再试探。
(5)正确方案还未找到则转(2)。
(6)已找到一种方案则记录并打印。
(7)退回一步（回溯），若未退到头则转(2)。
(8)已退到头则结束或打印无解。
回溯法的数据结构回溯法的状态空间树，在计算机上的数据结构有两种表示方法。
当用k表示树的节点层数，n表示节点总数，m表示解的总数时：（一）用m个k元组表示m种不同的解。
其中，每组中的元素是[1,n]中的一个元素。
在Pascal中，可以这样定义变量：var a:array[1..k,1..m]of integer;（integer可以依n的范围决定）（二）用m个n元组表示m种不同的解。
因为所有的节点都包含在每个解的表示中，每组中的元素只有两种情况，被选用和不被选用。
在Pascal中，可以这样定义变量：var a:array[1..n,1..m]of boolean;这两种数据结构的解空间最多都含有2n个不同的元组。
应用举例（一）N皇后问题国际象棋的N皇后问题一直是回溯算法的经典问题。
该题题目要求如下：在国际象棋棋盘上放置八个皇后，使她们不能相吃。
国际象棋中的皇后可以吃掉与她处于同一行、同一列、同一斜角线（与行和列分别成45度角的所有线）上的棋子。
因此每一行只能摆放一个皇后。
因共有八行。
所以每行有且只有一个皇后。
下面是N=8时候的具体分析（N为其它值时解法类似）：首先，皇后的位置有一个一维数组来存放A(I)=J表示第I行皇后放在第J列.下面主要来看看怎么样判断皇后是否安全（不会被吃，这就是构造约束函数的过程）的问题。
(1)首先，用一维数组来表示，已经解决了不在同一行的问题。
(2)对于列可以引进一个标志数组C[J]，若J列上已放了皇后，则C[J]=FALSE。
(3)对于左上右下的斜角线I-J为一常量,位于[-7,+7]之间,再此引入标志数组L[-7..7];对于左下右上的对角线,类似的有I+J等于常量,用数组R[2..16]来表示.当在第I 行,第J列上放置了皇后,则只需设置:C[J]:=FALSE; L[I-J]:=FLASE; R[I+J]:=FALSE就可以解决皇后的安全问题了.源程序如下：Program EightQueens;var cont,i:integer;a:array[1..8] of byte;c:array[1..8] of boolean;l:array[-7..7] of boolean;r:array[2..16] of boolean;q:boolean;procedure pr;var i:integer;beginfor i:=1 to 8 do write(a[i]:4);inc(cont);writeln('cont=',cont);end;procedure try(i:integer);var j:integer;procedure erase(i:integer);beginc[j]:=true;l[i-j]:=true;r[i+j]:=true;end;beginfor j:=1 to 8 dobeginif c[j] and l[i-j] and r[i+j] thenbegina[i]:=j;c[j]:=false;l[i-j]:=false;r[i+j]:=false;if i<8 then try(i+1)else pr;erase(i);end;end;end;beginfor i:=1 to 8 do c[i]:=true;for i:=-7 to 7 do l[i]:=true;for i:=2 to 16 do r[i]:true;cont:=0;i:=1;try(i);readln;end.（二）圆盘问题题目要求：从左向右依次安放 4 根细柱 A,B,C,D. 在 A 上套有 N (N≤20) 个直径相同的圆盘, 从下到上依次用连续的小写字母 a,b,c,...编号, 将这些圆盘经过B, C 单向地移入 D (即不允许从右向左移动). 圆盘可在 B,C 中暂存. 从键盘输入 N, 及前 N 个小写字母的一个排列, 它表示最后在 D 盘上形成的一个从下到上的圆盘序列。
请用文本文件 ANS2.TXT 输出形成这一排列的操作过程。
该文件的每一行为一个形如 "k M L" 的字母序列, 其中 k 为圆盘编号, M 为k 盘原先的柱号, L 为新柱号。
或者直接在屏幕上输出"No", 表示不能生成这种排列。
例: ┃┃┃┃键盘输入: ┃┃┃┃3 d ━╋━┃┃┃acb c ━╋━┃┃┃则一个正确的输出文件 b ━╋━┃┃┃可以是: a ━╋━┃┃┃c A B ━━┻━━━┻━━━┻━━━┻━b A C A B C Da A Db C Dc B D本题是递归回溯方法的一个典型的应用.以D柱的圆盘序列为检验的标准,一旦达到目标便结束,否则考虑下一种移动方案.将D柱上的圆盘序列从下到上依次编号为1,2,...,N,利用字母a,b,c,...与数字1,2,...,N的对应关系,在A柱上得到了数字1,2,...,N的一个排列.这一变换在很大程度上简化了算法。
比如，A柱,D柱的字母序列分别为(a,b,c,d,e)和(e,c,a,b,d),则变换后,A 柱,D柱的数字序列分别为(3,4,2,5,1)和(1,2,3,4,5)。
容易看出,在D柱上,盘号从下到上必须是连续递增的。
在C柱上,盘号从下到上必须是递减的(不要求连续，因为C柱只能移到D柱)。
在A和B柱上,盘号的顺序是随意的。
由此可归纳出以下的算法：1.记四根柱上顶部(即栈顶)的圆盘编号依次为topa,topb,topc,topd,则能够从A,B,C 三根柱子直接将顶部圆盘移入D柱的充分必要条件是:topa=succ(topd)或topb=succ(topd)或topc=succ(topd)。
2.此外还有三种移动方式:A=>B,A=>C,B=>C,能进行这三种移动的条件依次是（1）topa>0（2）topa>0且topa<topc（3）topb>0且topb<topc。
这三种移动方式要递归地进行，且每一步都要考虑三种移动方式，在作出认真的论证之前，不要轻易地放弃哪一种，以免造成解的丢失。
（DFS过程）3.当A,B,C三根柱子移空时程序正常结束。
当递归回溯全部完成而没有得到目标状态时，以“无解”结束。
结语回溯法适用于在计算机奥林匹克竞赛中解决难以归纳一般规律解法的问题，其适用范围广，灵活性大，在解一些列举方法的问题时尤其可用。
但是，其缺点也是明显的，即时间复杂度较大；因此在采用时还需要谨慎。