数理统计总复习
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
概率论与数理统计复习汇总
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
数理统计复习资料
复习资料（资料总结，仅供参考）判断题1.研究人员测量了100例患者外周血的红细胞数，所得资料为计数资料。
X 2.统计分析包括统计描述和统计推断。
3.计量资料、计数资料和等级资料可根据分析需要相互转化。
4.均数总是大于中位数。
X 5.均数总是比标准差大。
X 6.变异系数的量纲和原量纲相同。
X 7.样本均数大时，标准差也一定会大。
X 8.样本量增大时，极差会增大。
9.若两样本均数比较的假设检验结果P 值远远小于0.01，则说明差异非常大。
X 10.对同一参数的估计，99%可信区间比90%可信区间好。
X 11.均数的标准误越小，则对总体均数的估计越精密。
12. 四个样本率做比较，2)3(05.02χχ> ，可认为各总体率均不相等。
X13.统计资料符合参数检验应用条件，但数据量很大，可以采用非参数方法进行初步分析。
14.对同一资料和同一研究目的，应用参数检验方法，所得出的结论更为可靠。
X 15.等级资料差别的假设检验只能采用秩和检验，而不能采用列联表χ2检验等检验方法X 。
16.非参数统计方法是用于检验总体中位数、极差等总体参数的方法。
X 17.剩余平方和SS 剩1=SS 剩2，则r 1必然等于r 2。
X 18.直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互直线关系。
19.两变量关系越密切r 值越大。
X 20.一个绘制合理的统计图可直观的反映事物间的正确数量关系。
21.在一个统计表中，如果某处数字为“0”，就填“0”，如果数字暂缺则填“…”，如果该处没 有数字，则不填。
X 22.备注不是统计表的必要组成部分，不必设专栏，必要时，可在表的下方加以说明。
23.散点图是描写原始观察值在各个对比组分布情况的图形，常用于例数不是很多的间断性分组资料的比较。
24.百分条图表示事物各组成部分在总体中所占比重，以长条的全长为100%，按资料的原始顺序依次进行绘制，其他置于最后。
X 25.用元参钩藤汤治疗80名高血压患者，服用半月后比服用前血压下降了2.8kPa ，故认为该药有效（ X ）。
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，也是应用最为广泛的数学工具之一。
下面将对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，以供复习使用。
一、概率论的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，事件是样本空间的子集。
2. 古典概型和几何概型：古典概型是指样本空间中的每个结果具有相同的概率，几何概型是指采用几何方法进行分析的概率模型。
3. 概率公理和条件概率：概率公理是概率论的基本公理，条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
4. 独立事件和全概率公式：独立事件是指两个事件的发生与否互不影响，全概率公式是用于计算复杂事件的概率的公式。
5. 随机变量和概率分布函数：随机变量是对样本空间中的每个结果赋予一个数值，概率分布函数是随机变量的分布情况。
二、概率分布的基本类型1. 离散型概率分布：包括二项分布、泊松分布和几何分布等。
2. 连续型概率分布：包括正态分布、指数分布和均匀分布等。
三、多维随机变量及其分布1. 边缘分布和条件分布：边缘分布是指多维随机变量中的某一个或几个变量的分布，条件分布是指在已知某些变量取值的条件下，其他变量的分布。
2. 二维随机变量的相关系数：相关系数用于刻画两个随机变量之间的线性关系的强度和方向。
3. 多维随机变量的独立性：多维随机变量中的各个分量独立时，称为多维随机变量相互独立。
四、参数估计与假设检验1. 参数估计方法：包括点估计和区间估计，点估计是通过样本数据得到参数的估计值，区间估计是对参数进行一个范围的估计。
2. 假设检验的基本概念：假设检验是用于对统计推断的一种方法，通过与某个假设进行比较来得出结论。
3. 假设检验的步骤：包括建立原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和做出统计决策等步骤。
五、回归分析与方差分析1. 简单线性回归分析：简单线性回归分析是研究两个变量之间的线性关系的方法，通过建立回归方程来拟合数据。
数理统计复习
n 2 2
( xi ) 0
1n
2 4
( xi
i 1
)2
0
得
1
ni 21
n
n
xi
1
n
(
i 1
xi
x
x )2
s02
经检验，x和s02确为似然函数的最大值点，
从而, 2的极大似然估计量为 ˆ X , 2 S02
i 1
i 1
n
n
(
n
C xi m
xi ) p i1
(1
nm xi p) i1
i 1
n
对数似然方程为 ln L( p) ln(
C xi m
)
nx
ln
p
(nm
nx)
ln(1
p)
i 1
令 ln L( p) nx (nm nx) 0 p x
抽取6件，测得它们的长度为：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03。问 这批零件的长度是否符合产品要求？
3、某药厂生产一种抗菌素，每瓶抗菌素的某项指标服从正态分布。某日开 工后随机抽取5瓶，测得该项指标数据为：22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4。 1）求该指标均值的区间估计； 2）设在正常情况下，该指标的均值为23.0，问该日的生产是否正常？
2
n
|xi |
2）极大似然估计：似然函数L( )
n
n i 1
p(
xi
;
)
1
数理统计总复习(题型归纳)
56学 考题8（2005级 256学时） 三 、 ( 本 题 8 分 ) 设 X 1 , X 2 , L , X n为 服 从 泊 松 分 布 )的 π(λ )的总体X的一个样本，求λ的极大似然估计量。
32 考题9（2004级 32学时） 三、(本题8分)设总体X的概率密度为： ( θ + 1) x θ , 0 < x < 1, f ( x) = 0, 其它 其中θ > −1是未知参数，X 1 , X 2 , L , X n为总体X 的一个容量为n简单随机样本，求参数θ的极大 似然估计量。
考题5（2007级 64学时 作业P153 四） 七、(本题8分)设X 1 , L , X n为总体X的样本， X的密度函数为： 0< x<1 θ, f ( x , θ) = 1 − θ, 1 ≤ x < 2；其中未知参数θ > 0 0, 其他 设N为样本值x1 , L , xn中小于1的个数，求θ的极 大似然估计。
1 2 n
32学 考题4（2007级 32学时） 10分 六、(本题10分)设随机变量X的概率密度为 2x 2 , 0< x<θ f ( x) = θ ，其中未知参数θ > 0, 0, 其他 X 1 , L , X n是样本，求θ的矩估计和最大似然估计。
（此题和2008级的第三大题一样的.)
： 解（1）检验假设H 0：σ 2 = 1，H 1：σ 2 ≠ 1； ( n − 1) S 2 取统计量：χ 2 = 2 σ0
2 拒绝域为：χ 2 ≤ χ 2 α ( n − 1) = χ 0.975 ( 9) = 2.70 1−
或χ 2 ≥ χ 2 ( n − 1) = χ α
2
2 2 0.025
数理统计主要内容和复习重点
两类错误：H0 正确但拒绝 H0 为第一类错误，H0 错误但接受 H0 为第二类错误； 检验的 p 值：作出拒绝 H0 决策的最小显著水平。 二． 参数检验：单正态总体参数、双正态总体参数、其他分布参数、似然比检验 单正态总体参数检验：已知方差检验均值、未知方差检验均值、检验方差； 双正态总体参数检验：已知方差检验均值差、未知方差检验均值差、检验方差比； 其他分布参数检验：指数分布参数检验、比例 p 的检验、泊松分布参数检验，以
及对应的大样本情形。 似然比检验：分别求出一般情况与在 H0 成立条件下，似然函数的上确界之比。 三． 非参数检验：分类χ 2 拟合优度检验、列联表独立性检验、正态检验、其他非参数检验 分类χ 2 拟合优度检验：总体分布分成有限类的χ 2 检验法；
列联表独立性检验：χ 2 检验法； 正态性检验：正态概率纸，W 检验法，EP 检验； 其他非参数检验：游程检验、符号检验、秩和检验。 重点： 单与双正态总体参数检验的六种类型、其他分布参数检验、似然比检验、分类χ 2 拟合优度检 验与列联表独立性检验
估计方法：矩估计、最大似然估计； 评价标准：相合性、无偏性、有效性，以及均方误差； 最小方差无偏估计 UMVUE：充分性原则，UMVUE 判定定理，Fisher 信息量，
C-R 下界与有效估计； 贝叶斯估计：先验分布、后验分布，共轭先验分布。 二． 区间估计：枢轴量、单正态总体、双正态总体、比例 p、其他分布参数 枢轴量：概念以及与统计量的区别； 单正态总体置信区间：已知方差估计均值、未知方差估计均值、估计方差； 双正态总体置信区间：已知方差估计均值差、未知方差估计均值差、估计方差比； 比例 p 的置信区间：近似法、方程法、修正法； 其他分布参数的置信区间：指数分布、泊松分布等。 重点： 矩估计与最大似然估计、无偏性与有效性、Fisher 信息量与有效估计、单与双正态总体置信 区间的六种类型、比例 p 的置信区间（任一方法）。
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一、随机样本与抽样分布（四种分布） 二、点估计（矩估计，最大似然估计） 和区间估计（置信区间的求法） 三、估计量的评选标准 四、正态总体的假设检验（均值，方差检验）
第六章
1.设总体X在区间 a, b上服从均匀分布,来自总体X的 样本 X1 , X 2 ,, X n 的概率密度函数 f ( x1 , x2 ,, xn ) 为（A ）
3，1，3，0，3，1，2，3
求 的矩估计值及最大似然估计值.
ˆ1 x2 E( X ) 3 4 4 8 L( ) p( xi , ) (1 2 )4 [2 (1 )]2 2 2
i 1
4 6 (1 2 )4 (1 )2
ˆ 7 13 12
X Y n
，则
T 2 ~ F (1, n) 分布.
1 5.设随机变量Xt(n),(n>1), Y 2 X
,则( D )
(A) Y2(n) (C) YF(1,n)
(B) Y2(n-1) (D) YF(n,1)
Hale Waihona Puke 6.设X 1 , X 2 , X 3 是来自于总体N(0,4)的一个样本,
2 2 试检验 H 0 : 0.81 : H1 : 0.81
答：接受 H 0 注：若本题目中没有给出检验假设，通常我们 给的假设是：
H 0 : 2 0.81; H1 : 2 0.81. 然后再进行检验
2 X 1 的矩估计量为 1 X n n
i 1
ln x
1
i
14. 已知总体X的期望EX=0,方差DX= 2。 1 , X 2 ,, X n X 是来自总体X的简单随机样本，其均值为 X，方差为
S 2，则 2 的无偏估计量是（ B ）.
2 1 1 2 nX S 2 2 2 1 1 nX S2 4 4
13. 设总体X的概率密度为
( 1) x , 0 x 1 f ( x; ) 其它 0
X 其中 1是未知参数， 1 , X 2 ,, X n
为取自总体X的简单随机样本，试求 （1）参数 的矩估计量；（2）参数 的极大似然估计量。 答：
的极大似然估计量
2
n
16.对于正态总体XN(,2),其中2未知,样本容量
n和置信水平1- 均不变. 则对于不同的样本观
察值, 总体均值 的置信区间长度L ( (A)变短 (B)变长 (C)不变 )
(D)不能确定
17.对于正态总体XN(,2),其中2未知,样本容量
n和置信水平1- 均不变. 则对于不同的样本观
的矩估计值（2）参数 p 的最大似然估计量. n x xi 答： p 的矩估计值为 p . 极大似然估计值 p i 1 mn m
x . m
12. 设总体X的概率分布为
X
p
0
1
2 (1- )
2
3
1-2
2
2
其中 (0< < 1/2)是未知参数，利用总体X的样本值
2 当a,b为何值时, Y a(4 X 1 3 X 2 ) 2 bX3 服从
2
分布,并求其自由度.
1 1 2 答：当 a , b 时，统计量 Y 服从 (2)。 100 4
7. 设总体 X ~ N (1,32 ), X1 , X 2 ,, X 9 是来自X的样本，
则下面正确的是（ B ）
（A） 总体均值 的真值以95%的概率落入区间( 1 , 2 )；
（B）样本均值 X 以95%的概率落入区间( 1 , 2 )；
（C）区间( 1 , 2)含总体均值 的真值的概率为95%；
（D）区间（ 1 , 2 ）含样本均值 X 的概率为95%。
19.已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布， 对10个试件作横纹抗压力的实验数据如下： 482，493，457，471，510，496，435，418， 394，496（单位：kg/cm ）： 试以95％的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的 置信区间。 附表 z0.05 1.65, z0.025 1.96, t 0.05 (8) 1.85, t 0.025 (8) 2.30, t 0.05 (9) 1.83,
24. 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机 地抽取36名考生的成绩,算得平均成绩为66.5 ,标准 差为15分.(1)问在显著水平=0.05下,是否可以认 为这次考试全体考生的平均成绩为70分?(2)在显著 水平=0.05下是否可以认为这次考试考生的成绩的 方差为162? 解答: (1)H0:= 0=70, H1: 70 接受原假设，认为这次考试的平均成绩为70分
（A） X S 2 n
2 1 nX S2 （C） 3
2
（B） （D）
,方差为 2 的正态分布, 15. 设总体X服从均值为 未知，设X1 , X 2 ,, X n是总体的样本，则
的置信度为 1 的置信区间为
X z 2 n , X z
23 对正态总体均值 进行假设检验，如果在显著水 平0.05下接受H0 ：= 0 ，那么在显著水平0.01下， 下列结论正确的是 ( A ) (A) 必接受H0 (C) 必拒绝H0 (B) 可能接受也可能拒绝 H0 (D)不接受也不拒绝假设H0
详解：检验水平 越小，接受域的范围越大. 前提需要同一个样本观测值。
2 0975 (10) 3.247
02.025 (9) 19.023, t 0.025 (10) 2.228,
2 t 0.025 (9) 2.262, 0.025 (10) 20.483
答：
的置信度为95%的置信区间为（1484.92，1515.08）
的置信度为95%的置信区间为（13.76,98.4）
5
（B）max X i 1 i 5 （D） X 2 2 p
2 (n) 分布总体的一个样本， 是来自
求样本均值 X 的数学期望及方差。 2n E ( X ) n, D( X ) 2. 解： n
4. 设随机变量X ~ N (0,1), 随机变量Y ~ 2 (n) 且X与Y是相互独立,令 T
第八章
21.在假设检验中,记H1为备择检验,称（ B ） 为犯第一类错误. (A) H1为真,接受H1 (B) H1不真,接受H1 (C) H1为真,拒绝H1 (D) H1不真,拒绝H1. 22 在假设检验中,显著水平 表示 ( (A) H0为真，但接受H0的假设的概率 (B) H0为真，但拒绝H0的假设的概率 (C) H0为假，但接受H0的假设的概率 (D) 假设H0的可信度 B )
t 0.025 (9) 2.26
答： 置信区间为（431.0，484.0）。 即该木材的平均横纹抗压力在431.0至484.0区间内， 并且这种估计的可靠性是95％。
20. 为了解灯泡使用时数的均值 及标准差 ， 测量10个灯泡，得x=1500h , s=20h.如果已知灯泡的 使用时数服从正态分布，求 和的95%的置信区间。 附表： 2 2 t 0.05 (9) 1.8331 0.025 (9) 19.023, 0.975 (9) 2.7, ,
察值, 总体均值 的置信区间长度l与样本标准差S 的关系为（ A） （A）当S较大时，区间长度也较大； （B）当S较大时，区间长度应较小； （C）区间长度与S无关； （D）不能确定.
S 解：因为区间长度 l 2t ( n 1) n 2
置信度为95%的置信区间为( )， 18.总体均值 1 , 2 其含义是（ C）
1 , a x1 , x 2 , , x n b , n f ( x1 , x 2 , , x n ) b a） （ （A） 0， 其它 .
1 , a x 1 , x 2 , , x n b （B） f ( x1 , x 2 ,, x n ) ba 1 , a x 1 , x 2 , , x n b , （C） f ( x1 , x 2 ,, x n ) b a 0， 其它 .
(2) H0:2= 02 =162, H1: 2 162
接受原假设，认为这次考试的成绩方差为162
25. 某厂在所生产的汽车蓄电池的说明书上写明： 使用寿命的标准差不超过0.9年,现随机地抽取了 10只蓄电池, 测得样本的标准差为1.2年,假定使用 N ( , 2 ),取显著性水平 0.05 寿命服从正态分布
第七章
10. 设0,1,0,1,1 为来自二项分布b(1, p)的样本观察值， 则 p 的矩估计值为（ c ） 1 2 3 (B) (A) (C) 5 5 5
4 (D)5
11. 设 X ~ b(m, p),其中m已知, 而 p (0 p 1) 未知，
x1 , x2 ,, xn 为样本观测值，求 （1）参数 p
S1 与 S 2 ，则统计量 S S 的条件是 1 2 。
2 2
2 1 2 2
服从 F n1 1, n2 1
9. 设 X ~ N ( ,2 2 ) ,从 X 中抽取容量为n的样本， 其均值为 X ，样本容量为n至少取多少时， 才能使样本均值 X 与总体均值 之差的绝对值 小于0.1的概率不小于95％？( Z 0.975 1.96） (1537)
（D）以上结论都不对
2. 设总体X服从两点分布b(1, p )，即
PX 1 p, PX 0 1 p 。其中 p 是未知参 数，
X 1 , X 2 ,, X 5 是来自X的简单随机样本。
则非统计量为（ D ） （A） X 1 X 2 （C） X 5 X1 3. 设 X1 , X 2 ,, X n