导数文科大题含详细答案精编版.doc

导数文科大题

1.知函数，. （ 1）求函数的单调区间；

（ 2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 答案

解析

2. 已知,(1)若,求函数在点处的切线方程 ; (2) 若函数在上是增函数,求实数 a 的取值范围 ; (3) 令,是自然对数的底数);求当实数 a 等于多少时 ,可以使函数取得最小值为

3.

解:(1)时,,

′ (x),

′ (1)=3,,

数在点处的切线方程为,

(2)函数在上是增函数,

′ (x),在上恒成立,

即,在上恒成立,

令,当且仅当时,取等号,

,

的取值范围为

(3),

′ (x),

①当时 ,在上单调递减,,计算得出(舍去 );

②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增 ,

,计算得出,满足条件 ;

③当,且时,即,在上单调递

减 ,,计算得出(舍去 );

综上 ,存在实数,使得当时,有最小值 3.

解析 (1) 根据导数的几何意义即可求出切线方程.

(2)函数在上是增函数,得到f′(x),在上恒成立 ,分离参数 ,根据基本不等式求出答案,

(3),求出函数的导数 ,讨论,,的情况, 从而得出答案

3. 已知函数,

(1) 分别求函数与在区间上的极值 ;

(2) 求证 :对任意,

解 :(1),

令,计算得出 :,,计算得出 :或,

故在和上单调递减,

在上递增 ,

在上有极小值,无极大值 ;

,,则,

故在上递增,在上递减,

在上有极大值 ,,无极小值 ;

(2)由(1)知,当时,,,

故;

当时 ,,

令,则,

故在上递增,在上递减,

,;

综上 ,对任意,

解析 (1) 求导 ,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及

单调区间及极值 ;

4. 已知函数,其中,为自然数的底数 .(1) 当时,讨论函数的单调性;

(2)当时,求证:对任意的,.

解:(1)当时,,

则,

,

故则在R上单调递减.

(2)当时,,要证明对任意的,.

则只需要证明对任意的,.

设,

看作以 a 为变量的一次函数 ,要使,

则,即,

恒成立 ,①恒成立,

对于② ,令,则,

设时,,即.

,,

在上,,单调递增,在上,,

单调递减 ,

则当时,函数取得最大值

,

故④式成立 ,综上对任意的,.

解析 :(1) 求函数的导数 ,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可.

(2) 对任意的, 转化为证明对任意的

, ,即可 ,构造函数 ,求函数的导数 ,利用导数进行研究即可 .

5. 已知函数

(1) 当时,求函数在处的切线方程 ;

(2) 求在区间上的最小值 .

解 :(1) 设切线的斜率为k.

因为,所以,

所以,

所以所求的切线方程为,即

(2)根据题意得, 令,可得

①若,则,

当时,,则在上单调递增.

所以

②若,则,当时,,则在上单调递减. 所以

③若,则,

所以,随x的变化情况如下表:

x 1 2

0 - 0 + 0

-e Φ极小值Γ0

所以的单调递减区间为,单调递增区间为

所以在上的最小值为

综上所述 :当时,;

当时,;

当时 ,

解析 (1) 设切线的斜率为k.利用导数求出斜率,切点坐标 ,然后求出切线方

程 .

(2)通过,可得.通过①,②,③

,判断函数的单调性求出函数的最值.

6. 已知函数。（I）求f(x)的单调区间；（ II ）若对任意 x∈［ 1，e］，使得 g(x) ≥－ x2＋（ a＋ 2）x 恒成立，求实数

a 的取值范围；（ III ）设 F（ x）＝，曲线y＝F（x）上是否总存在两点 P，Q，使得△ POQ 是以 O（ O 为坐标原点）为钝角柄点的钝角三

角开，且最长边的中点在 y 轴上？请说明理由。

解：（Ⅰ）∵

∴当、时，在区间、上单调递减 .

当时，在区间上单调递增. 3 分（Ⅱ）由，得．

∵，且等号不能同时取得，∴，

∵对任意，使得恒成立，

∴对恒成立，即．()

令，求导得，， 5 分

∵，

∴在上为增函数，，． 7 分

（Ⅲ）由条件，，

假设曲线上总存在两点满足：是以为钝角顶点的钝角

三角形，且最长边的中点在轴上，则只能在轴两侧 .

不妨设，则．

∴，（※），

是否存在两点满足条件就等价于不等式（※）在时是否有

解． 9 分

①若时，，化简得，

对此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点P、

Q；11 分

②若时，（※）不等式化为，若,此不等式显然对恒成立，故总存在符合要求的两点P、 Q；

若 a>0 时，有（），

设，则，

显然，当时，，即在上为增函数，

的值域为，即，

当时，不等式（）总有解．故对总存在符合要求的两点P、Q.13分

综上所述，曲线上总存在两点，使得是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上.14 分

7. 已知函数为常数).(Ⅰ)若a=-2,求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ )若当时,恒成立,求实数a的取值范围 .

解： (Ⅰ)a=-2 时 ,

；

时,

时,f'(x)>0,

函数 f(x) 的单调递减区间是(0,1], 单调递增区间为

(Ⅱ)由已知条件得：

；

且等号不能同时取；

令

；

在 [1,e] 上为增函数；

在 [1,e] 上的最大值为：；

的取值范围为：

8. 已知函数(1) 若,试判断在定义域内的单调性;

(2)若在上恒成立,求a的取值范围.

解 :(1)函数,

函数的定义域为,函数的导数,

当,,此时函数单调递增.

(2)若在上恒成立,即在上恒成立, 即,令,只要求得的最大值即可,

,,

,,

,即在上单调递减,

9.已知函数

(1)若,试判断在定义域内的单调性 ;

(2)若在上恒成立 ,求 a 的取值范围 .

答案详解

解 :(1)函数,

函数的定义域为,

函数的导数,

当,,此时函数单调递增.

(2)若在上恒成立,

即在上恒成立,

即,

令,只要求得的最大值即可,

,,

,,

,

即在上单调递减,

10.设函数

(Ⅰ)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围;

(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.

答案

解:(Ⅰ)的导数为,

函数在上单调递增,

即有在上恒成立,

则在上恒成立.

因为,

则,计算得出;

(Ⅱ),

,

当时,,,;

,,;

,,

令,

,

,,,,

,

即,

,

单调递减 ,单调递增,

,

,,

当时,

,

函数在上的最大值为. 解析

(Ⅰ)求出函数的导数 ,根据题意可得在上恒成立 ,则在上恒成立 .运用指数函数的单调性,即可得到 a 的取值范围 ;

(Ⅱ)求出导函数,判断出在单调递减 , 单调递增 ,判断求出最值 .

11. 本小题满分12分）已知函数。

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，恒成立，求的取值范围。

答案详解（ 1）当时，，则，即切点为，因为，则，故曲线在处的切线方程为：，即。......4 分

（ 2），求导得：，......5 分

令，（）；

①当，即时，，所以在上为增函数，所以在上满足，故当时符合题意；......8 分

②当，即时，令，得，

当时，，即，所以在为减函数，所以，与题意条件矛盾，故舍去。......11 分

综上，的取值范围是。......12 分

解析 :本题主要考查导数在研究函数中的应用。

（ 1）将代入，求出得到切点坐标，求出得切线斜率，即可

得切线方程；

（2）根据题意对的取值范围进行分讨论，利用导数来研究函数的单调性，进而判断与的关系，便可得出的取值范围。

12. 已知函数，是的导函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）解关于的不等式：；

（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的取值范围。

答案（Ⅰ），。

当时，无解；当时，解集为；

当时，解集为。

（Ⅱ）若有两个极值点，则是方程的两个根。

，显然，得：。

令，。若时，单调递减且；

若时，当时，, 在上递减；

当时，，在上递增。

。

要使有两个极值点，需满足在上有两个不同解，得，即。

解析本题主要考查利用导函数求解函数问题。

(Ⅰ）原不等式等价于，分，，和讨论可得；（Ⅱ）设，则是方程的两个根，求导数可得，若

时，不合题意，若时，求导数可得单调区间，进而可得最大值，可得关于的不等式，解之可得。

13. 已知函数,.

(Ⅰ)如果函数在上是单调增函数,求a的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数,使得方程在区间内

有且只有两个不相等的实数根 ?若存在 ,请求出 a 的取值范围 ;若不存在 ,请说明理由 .

解:(Ⅰ)当时,在上是单调增函数,符合题意.

当时,的对称轴方程为,

因为在上是单调增函数,

所以,计算得出或,所以.

当时,不符合题意 .综上 ,a 的取值范围是.

(Ⅱ)把方程整理为

,即为方程.

设,

原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根,

即为函数在区间内有且只有两个零点

令,因为,计算得出或(舍)

当时,,是减函数;

当时,,是增函数.

在内有且只有两个不相等的零点,

只需即

计算得出,

所以 a 的取值范围是.

解析 :(1) 因为函数的解析式中含有参数a, 故我们要对 a 进行分类讨论 ,注意到 a 出现在二次项系数的位置,故可以分,,三种情况,最

后将三种情况得到的结论综合即可得到答案.

(2)方程整理为构造函数

,则原方程在区间内有且只有两个

不相等的实数根即为函数在区间内有且只有两个零点,根据函数零点存在定理 ,结合函数的单调性,构造不等式组 ,解不等式组即可得到结

论 .

14.设函数(1) 若,求函数的单调区间 . (2) 若曲线在点处与直线相切,求a,b的值. 解:(1)当时,,,

令,则或;

,则

函数的单调递增区间为和,递减区间为

(2),

曲线在点处与直线相切,

,即解之,得,.

解析

(1)当时,求出的导函数,令,得出函数的单调增区间 ,反之得出单调减区间;

(2)求出函数的导函数,得出,求出 a 和 b.

15.

16. 已知函数，且.

（1）若在处取得极小值，求函数的单调区间；

（2）令，若的解集为，且满足，

求的取值范围。

答案：， F'(-1)=0 则 a-2b+c=0;

（1）若 F(x) 在 x=1 处取得最小值 -2 ，则 F'(1)=0 ，a+2b+c=0 ，则 b=0,c=-a 。F(1)=-2 ，，则a=3,c=-3 。

，x∈（ -∞， -1 ）时， F'(x)>0 ，函数 F(x) 单调递增；

x∈（ -1 ， 1）时， F'(x)<0 ，函数 F(x) 单调递减 ;

x∈（ 1，∞）时， F'(x)>0 ，函数 F(x) 单调递增。

（2）令，，