数理方程题库
数理方程练习题（1）
数理方程练习题（1）一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（双曲）型，取值为负对应的是（椭圆）型，取值为零对应的是（抛物）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（弦自由横振动），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型；第二个叫（热传导），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（椭圆）型；第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=；(B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xφ?=><<?==??==?的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=?=+∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n x u x t a b t a b l llπππ∞=??=+++??∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］(A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+；(C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
数理方程习题全解
93
2k 1 j sin 2k 1 = 2 cos 4 4
k 0,1,2,3
1 1 k 0 ： z1 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 3 3 1 1 k 1 ： z2 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 5 5 1 1 k 2 ： z3 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 7 7 1 1 k 3 ： z4 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2
3 8
k k 2 8 cos j sin 2 16 2 16
3 3 8 3
k 0,1,2,3
7 7 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ， 16 16 16 16 9 15 15 9 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ； 16 16 16 16
1 3 5 5 （2） j sin cos j sin 2 2 j cos 3 3 3 3 1 3 j 2 2
4
cos j sin 4 4
4
2
cos j sin 1 j 3 5 5 cos j sin 3 3
数理方程练习题(1)
一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
数理方程30题
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
数理方程试题
太 原 科 技 大 学数学物理方程 课程试卷 卷一．填空（每小题3分，共15分）（1） 三维热传导方程的一般形式为_____________。
（2）设函数 的傅里叶变换为 , 则方程 的傅里叶变换 为______________。
（3）下列拉普拉斯方程的诺依曼问题是否有解________。
（4）区域 的格林函数在区域边界上 =______。
（5）一维热传导方程的基本解为_____________________。
二．化下列方程为标准型，说明其类型并求解此定解问题（15分）。
()u x t ,()U t α,2tt xxu a u =2220,sin 4r R u x y R u n θ=⎧=+⎪⎨∂=⎪∂⎩ Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x--=⎧⎪⎨==⎪⎩三．用行波法求下列初值问题的解（20分）。
241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈⎧⎪⎨==+∈⎪⎩四．用分离变量法求下列初边值问题的解（15分）。
22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-⎧⎪=-=⎨⎪=∈⎩五． 用拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解（15分）。
六．证明题（20分）（1）（5分）证明9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0.tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞⎧=+∞⎪⎪==⎨⎪==+∞⎪⎩ ()()x x x δδ'=-（2）（8分）已知格林第二公式ds )nu v n v u(dxdy )u v v u (∂∂-∂∂=∆-∆⎰⎰⎰ΩΩ∂， 证明：二维调和函数的积分表达式为011u 1u(,y )ln u (ln )ds 2r n n r 0x π∂Ω∂∂⎡⎤=-⎢⎥∂∂⎣⎦⎰. 其中)y ,(00x 为区域Ω内任一点，22)()(r 00y y x x -+-=，n 为区域边界的外法线方向。
数理方程试卷
南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试课程名称：数 理 方 程 闭 卷 A （B ）卷 分钟一、 解答题（共40 分）1、 当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围。
（5分）2、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为：0t u x ==，0x u x=∂=∂，0x lu x=∂=∂ （10分）3、有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长， 这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。
试推导杆的纵振动方程。
（10分）4、写出01(),(),()n J x J x J x （n 是正整数）的级数表示式的前5项。
（15分）二、计算题（共60分）1、求方程：22,1,0ux y x y x y∂=>>∂∂，满足边界条件： 20y u x ==，1cos x u y ==的解。
（10分）2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程：(,0)0,0u x x l =≤≤；(,0)(),0u x x l x x l t∂=-≤≤∂； (0,)(,)0,0u t u l t t ==> （15分）3、试确定下列定解问题：22200(),0,0,,,0,(),0x x l t u ua f x x l t t x u A u B t u g x x l ===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪=≤≤⎪⎪⎩（15分） 解的一般形式。
4、（20分）求下列柯西问题：22222200280,0,3,0,y y u u uy x x x y y u u x x y ==⎧∂∂∂+-=>-∞<<+∞⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
（20分）。
数理方程T
一．填空1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: 。
2.为使定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t lx x x xx t u u u u u a u （0u 为常数）中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w 。
3.方程0=xyu 的通解为 。
4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为 问题。
5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 。
二、选择题.1. 偏微分方程02222=-∂∂+∂∂+∂∂ru xux u rx t u σ,(0,>σr 均为常数)是 ( )A. 线性抛物方程;B. 双曲方程;C. 拟线性方程;D. 非线性方程.2. 固有值问题⎩⎨⎧='='<<=+''0)(,0)0(0,0ππλX X x X X 的固有函数系为( ) A.{}∞=0cos n nx ; B. {}∞=1sin n nx ; C. {}∞=1cos ,sin ,1n nx nx ; D. {}∞=1cos ,sin ,1n x n x n ππ.3.由数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<-∞+=∂∂=>+∞<<-∞∂∂=∂∂==x x t u u t x x ut u t t ,11,00,,2002222确定的弦振动位移在特征线0=-t x 上的位移值为 ( ) A. 0.5arctan2t; B. arctan2t; C. 4π; D. 0.三.解答题：1.设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题． 2.利用固有函数法求解下面的定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x lx t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．3.求出线性方程 254=++++y x yy xy xx u u u u u 的特征线。
数理方程6
4、用分离变量法求解定解问题
ut a 2u xx , 0 x l, t 0 u |x 0 0, ux |x l 0 u | ( x) t 0
得到的级数形式的解 u ( x, t )
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
a e
n 1 n
[
1
1 ] （s 3） ( s 1)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
4、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法正确的是（ A、只有三维波存在“无后效现象” B、只有二维波存在“无后效现象” C、三维波出现“弥散现象” D、二维波出现“惠更斯原理” 5、下列对拉普拉斯变换的式子错误的是（ ） A、 L[sin wt ] =
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
7、下列说法错误的是（ ） A、强极小函数一定是弱极小函数 B、弱相等意义下
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
3v v ( x v) xv 2 f ( x, y, z ) 是( 3 x z
B、二阶 C、 三阶
(ax) a ( x)
(a 0)
)偏微分方程 C 、 )型偏微分方程
六、 （13 分）用 Fourier 变换法求解定解问题
2 x R, t 0 utt a u xx u |t 0 x , ut |t 0 0
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
u M0
1 4 a 2
udS
a
五、 （14 分）用本征函数展开法求解定解问题
数理方程题库
第一章定义和方程类型1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( D )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 1、22(,,)vxy v g x y z z∂+=∂ 是( A )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶1、33232(,,)v v vv xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( C )偏微分方程A 、 一阶B 、二阶C 、 三阶D 、 四阶 2、2(,)txx u a u f x t -= (其中0>a ) 属于( A )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 2、2(,)ttxx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( B )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合2、22(,,)tt xx u a u x y t ϕ+= (其中0>a ) 属于( C )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 2、(,)xx yy u u f x y += (其中(,)u u x y =) 属于( C )型偏微分方程A 、 抛物B 、双曲C 、 椭圆D 、 混合 4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ A ）A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u uf x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u ua x tb x t x x t抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂ 7、下列方程是非齐次方程的是（ A ）A(,)(,)0u uxy f x y f x y x y 抖+=?抖， B 2,0t xx u a u a =?C 22(,)(,)0u u a x t b x t x t 抖+=抖 D 34330v v v x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( D ) A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x ln π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、{},...2,1,sin =n x n π D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x ln π 3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧====><<=====)(|),(|0|,0|0,0,0002x u x u u u t l x u a u t t t l x x x x xx tt ψϕ时，得到的固有函数系为( B )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πB 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos ,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π3、在用分离变量法求解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧===><<====)(|0|,0|0,0,002x u u u t l x u a u t l x x xx t ϕ时，得到的固有函数系为( A )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n πC 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ D 、,...2,1,2)12(sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( A )类边界条件。
数理方程题库
第一部分分离变量法一、(1) 求解特征值问题(2) 验证函数系关于内积正交,并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式,写出具体的分离变量过程、进一步,当时,求与时的值、三、(方程非齐次的情形)求定解问题四、(边界非齐次的情形)求定解问题五、(Possion方程)求定解问题六、求定解问题:注意:1、考试只考四种边界条件,即还有以下三种:2)3)4)2、以上均为抛物型方程,还可以考双曲型方程(相应的初值条件变为两个)与椭圆型方程(无初值条件);3、考试中除特别要求(如以上的第二题)外,不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解,您可以自己选择方法(如上面的第三题)可以用Laplace 变换求解。
第二部分 积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题()()2222200,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩(1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题22301,1, 0,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪=>⎪⎪⎩注意:只考应用Fourier 变换与Laplace 变换求解方程的问题第三部分 特征线问题一、判断方程的类型、二、从达朗贝尔公式出发,证明在无界弦问题中(1) 若初始位移()x ϕ与初始速度()x ψ为奇函数,则(),00u t = (2) 若初始位移()x ϕ与初始速度()x ψ为偶函数,则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解第四部分 Legendre 多项式一、将()2f x x =在区间()1,1-内展成勒让德多项式的级数二、在半径为1的球内求调与函数,使1321cos r u θ==+(提示:边界条件仅与θ有关,解也同样)第五部分 Green 函数20、证明:()()0lim x x εεδρ→=(弱),其中 ()1,20,x x x εερεε⎧<⎪=⎨⎪≥⎩21、证明:()sin limN Nxx Nxδ→+∞=(弱) 22、证明:当时,弱收敛于23、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的余弦级数,并证明该级数若收敛于()x δξ- 24、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的正弦级数,并证明该级数若收敛于()x δξ-。
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第一部分分离变量法
一、(1) 求解特征值问题
(2) 验证函数系关于内积
正交，并求范数
二、用分离变量法求解定解问题
的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的
值.
三、（方程非齐次的情形）求定解问题
四、（边界非齐次的情形）求定解问题
五、（Possion方程）求定解问题
六、求定解问题：
注意：
1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：
2)
3)
4)
2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；
3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。
第二部分 积分变换法
一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题
()()2222200
,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩ (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式
(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式
(3) 用降维法推导达朗贝尔公式
二、用积分变换法求解定解问题
22301,1, 0
,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪=>⎪⎪⎩
注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题
第三部分 特征线问题
一、判断方程
的类型.
二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中
(1) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t =
(2) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t =
三、请用下列方法求解定解问题
(1) 用特征线法求解
(2) 用积分变换法求解
第四部分 Legendre 多项式
一、将()2
f x x =在区间()1,1-内展成勒让德多项式的级数 二、在半径为1的球内求调和函数，使
1321cos r u θ==+
（提示：边界条件仅与θ有关，解也同样）
第五部分 Green 函数
20、证明：()()0
lim x x εεδρ→=（弱），其中 ()1,20,x x x εερεε⎧<⎪=⎨⎪≥⎩
21、证明：()sin lim N Nx x Nx δ→+∞
=（弱） 22、证明：当
时，
弱收敛于
23、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的余弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ-
24、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的正弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ-。