高中苏教数学必修2同步课件1.2.1平面的基本性质课件2
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数学必修二2《平面(2)》课件
2.1 .1 平 面(2)
1.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：
A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证法 2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． ∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝ A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图(1)； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图(2)； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如图(3)．
共线问题 [例 3] 已知△ABC 在平面 α 外，其三边 所在的直线满足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q， AC∩α＝R，如图所示． 求证：P，Q，R 三点共线． [证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线．
1.平面的基本性质
(1)公理1：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：
A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
③该公理反映了直线与平面的位置关系：
可用于判定直线是否在平面内，点是否在平面内，又 可用直线检验平面.
同理可证 C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证法 2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β. 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． ∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1、l2、l3 在同一平面内．
系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝ A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解：(1)点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，如图(1)； (2)直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A，且点 A 不在直线 l 上，如图(2)； (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q，如图(3)．
共线问题 [例 3] 已知△ABC 在平面 α 外，其三边 所在的直线满足 AB∩α＝P，BC∩α＝Q， AC∩α＝R，如图所示． 求证：P，Q，R 三点共线． [证明] 法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面 α. 又 AB⊂平面 ABC，∴P∈平面 ABC. ∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 同理可证 Q，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P，Q，R 三点共线．
高中数学新同步苏教必修2课件：第1章 1.2 1.2.1 平面的基本性质
点线共面问题
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证 明：这四条直线共面．
思路探究：法一： a，b确定一个平面 → l在平面内 → a，c，l共面 → a，b，c，l共面 法二： a，b确定一个平面 → b，c确定另一个平面 → 两平面重合
[证明] 如图． 法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α. 又∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l上有两点A，B在α内，即直线l α. ∴a，b，l共面． 同理，a，c，l共面，即c也在a，l确定的平面内． 故a，b，c，l共面．
2.平面的基本性质
(1)平面的基本性质
①公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么这条直
线上所有的点都在这个平面内．
用符号表示为：
A∈α
B∈α
⇒AB
α
．
②公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共
点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条 直线 ．
用符号表示为：
பைடு நூலகம்
P∈α P∈β
D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面． B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C错误，四边形不一定是平面图形． D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]
3．如图所示，用符号可表达为________．
α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m，且直线 n 在平面 α 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符 号可表示为：α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A.]
法二：∵a∥b， ∴过a，b确定平面α，又∵A∈a，B∈b， ∴AB α，即l α. 又∵b∥c，∴过b，c确定平面β， 而B∈b，C∈c，∴BC β，即l β. ∴b，l α，b，l β，而b∩l＝B， ∴α与β重合，故a，b，c，l共面．
(教师用书)高中数学 1.2.1 平面的基本性质同步教学课件 苏教版必修2
1．2
点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握平面的概念及表示． (2)掌握平面的基本性质(3 个公理及其推论)及作用． (3)初步体会图形、符号、文字语言的相互转化．
2.过程与方法 (1)建立类比的思想，联系直线的无限延伸性去理解平面 的无限延展性． (2)结合具体实例掌握平面的三大公理及其推论，建立公 理化思想，初步认识公理的作用． (3)利用联想、化归等方法，引导学生找到平面图形和立 体图形的异同，以及两者的内在联系． 3．情感、态度和价值观 (1)逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力； (2)培养学生的空间想象能力．
推论1
推论2
推理3
经过两条平行直线，有 且只有一个平面
三种语言的转换
用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA， 平面 α 与平面 γ 交于 PB， 平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC.
●重点难点 重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大 公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、 文字语言的相互转化． 难点：平面的基本性质—— 三大公理及其推论，图形、 符号、文字语言的相互转化． 重难点突破：以学生身边熟悉的物体(如桌面、黑版面等) 为切入点，引导学生观察、思考、举例和互相交流，归纳出 平面的概念；针对三个公理的学习，可引导学生多联系实际， 发挥空间想象能力，教师多演示，让学生在思考训练中化解 疑难点．
用文字语言和符号语言表示下图．
图 1－2－2
【解】 文字语言：平面 α 内两条直线 m 和 n 相交于点 A. 符号语言：m⊂α，n⊂α，且 m∩n＝A.
点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握平面的概念及表示． (2)掌握平面的基本性质(3 个公理及其推论)及作用． (3)初步体会图形、符号、文字语言的相互转化．
2.过程与方法 (1)建立类比的思想，联系直线的无限延伸性去理解平面 的无限延展性． (2)结合具体实例掌握平面的三大公理及其推论，建立公 理化思想，初步认识公理的作用． (3)利用联想、化归等方法，引导学生找到平面图形和立 体图形的异同，以及两者的内在联系． 3．情感、态度和价值观 (1)逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力； (2)培养学生的空间想象能力．
推论1
推论2
推理3
经过两条平行直线，有 且只有一个平面
三种语言的转换
用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P，且平面 α 与平面 β 交于 PA， 平面 α 与平面 γ 交于 PB， 平面 β 与平面 γ 交于 PC； (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC.
●重点难点 重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大 公理及其推论，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、 文字语言的相互转化． 难点：平面的基本性质—— 三大公理及其推论，图形、 符号、文字语言的相互转化． 重难点突破：以学生身边熟悉的物体(如桌面、黑版面等) 为切入点，引导学生观察、思考、举例和互相交流，归纳出 平面的概念；针对三个公理的学习，可引导学生多联系实际， 发挥空间想象能力，教师多演示，让学生在思考训练中化解 疑难点．
用文字语言和符号语言表示下图．
图 1－2－2
【解】 文字语言：平面 α 内两条直线 m 和 n 相交于点 A. 符号语言：m⊂α，n⊂α，且 m∩n＝A.
高中数学苏教版必修第二册第十三章《平面的基本性质》示范公开课教学课件
（1）若平面与直线有一个公共点，那么直线在平面内吗？
（2）若平面与直线有两个公共点呢？
不一定在
在
两点确定一条直线
（3）为什么两个公共点可以？
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
作用：①判定线面之间的关系； ②判断点是否在平面内等等.
下列条件能否确定一个平面？
∴点O在平面内
又点O，C，D在平面内
∴平面,相交于O，C，D所在直线（基本事实3）
故O，C，D三点共线
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
以下图的长方体为例，你能说明下列点、直线和平面的位置关系吗？
（1）点，与直线是什么位置关系？（2）点，与平面是什么位置关系？（3）直线与直线是什么位置关系？（4）直线、直线平面是什么位置关系？
点在直线上，点不在直线上；点在平面内，点不在平面内；直线与直线相交于点；直线在平面内、直线不在平面内．
如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？
解：（1），. (如图①)（2），，，，.(如图②)（3）.(如图③)
已知：，，，．求证：直线，，共面．
因为直线与点可以确定平面，所以只需证明，，都在平面内．
证明：因为，所以与可以确定平面（推论1）．因为，所以．又，所以（基本事实2）．同理，，所以，，在同一平面内，即它们共面．
如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线．
符号表示
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
（2）若平面与直线有两个公共点呢？
不一定在
在
两点确定一条直线
（3）为什么两个公共点可以？
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
作用：①判定线面之间的关系； ②判断点是否在平面内等等.
下列条件能否确定一个平面？
∴点O在平面内
又点O，C，D在平面内
∴平面,相交于O，C，D所在直线（基本事实3）
故O，C，D三点共线
基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
以下图的长方体为例，你能说明下列点、直线和平面的位置关系吗？
（1）点，与直线是什么位置关系？（2）点，与平面是什么位置关系？（3）直线与直线是什么位置关系？（4）直线、直线平面是什么位置关系？
点在直线上，点不在直线上；点在平面内，点不在平面内；直线与直线相交于点；直线在平面内、直线不在平面内．
如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？
解：（1），. (如图①)（2），，，，.(如图②)（3）.(如图③)
已知：，，，．求证：直线，，共面．
因为直线与点可以确定平面，所以只需证明，，都在平面内．
证明：因为，所以与可以确定平面（推论1）．因为，所以．又，所以（基本事实2）．同理，，所以，，在同一平面内，即它们共面．
如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线．
符号表示
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
高中数学 1.21.2.1 平面的基本性质课件 苏教版必修2
道理吗？
栏 目 链 接
1.了解平面的含义，掌握平面的画法及表示.
2.理解平面的基本性质，掌握其简单应用.
3.正确使用图形语言和符号语言.
栏 目
链
接
栏 目 链 接
1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把
水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：①
A∈α，读作：“____点__A__在__平__面__α_内_____”；B α，读作：
平面？
栏
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
目 链
接
分析：(1)可利用公理2判定．
(2)可利用公理3的推论3判定．
(3)需分类讨论进行判定．
解析：(1)不共面的四点组成一个三棱锥即四面体故可 以确定四个平面．
(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平
面．
栏
目
链
(3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．
(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α ___l⊂__α_．
栏 目
链
3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有__一__个___公__共_，点那 接
么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
_经__过__这__个__公__共__点__的__一__条__直__线_．
(2)符号语言：P∈α，P∈β ___α_∩__β_＝__l，__P__∈__l ___．
一个平面．
目 链
接
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面 的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道.
栏 目 链 接
题型1 点、线共面
栏 目 链 接
1.了解平面的含义，掌握平面的画法及表示.
2.理解平面的基本性质，掌握其简单应用.
3.正确使用图形语言和符号语言.
栏 目
链
接
栏 目 链 接
1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把
水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：①
A∈α，读作：“____点__A__在__平__面__α_内_____”；B α，读作：
平面？
栏
(3)共点的三条直线可以确定几个平面？
目 链
接
分析：(1)可利用公理2判定．
(2)可利用公理3的推论3判定．
(3)需分类讨论进行判定．
解析：(1)不共面的四点组成一个三棱锥即四面体故可 以确定四个平面．
(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平
面．
栏
目
链
(3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．
(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α ___l⊂__α_．
栏 目
链
3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有__一__个___公__共_，点那 接
么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是
_经__过__这__个__公__共__点__的__一__条__直__线_．
(2)符号语言：P∈α，P∈β ___α_∩__β_＝__l，__P__∈__l ___．
一个平面．
目 链
接
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面 的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道.
栏 目 链 接
题型1 点、线共面
苏教版高中数学必修二课件平面的基本性质(2)
平面的概念：
平面是现实世界存在着的客观事 物形态的数学抽象。
C
α
A
D B
α
A
β
B
【例1】已知命题：
1、10个平面重叠起来，要比5个平面重 叠起来厚；
2、有一个平面的长是50m，宽是20m；
3、黑板面是平面；
4、平面是绝对的平，没有大小、没有厚 度，可以无限延展的抽象的数学概念。
其中正确的命题是
（）4
根据公理3，经过不共线三点A，B，C有一个平面α. 因为B∈α，C∈α，
所以根据公理1，，l 即平面α经过直线和点A. l 因为B，C在上 l 所以经过直线和点l A的平面一定经过点A，B，C 于是再根据公理3可知经过直线和点A的l平面只有一个。
推论1:经过一条直线和
这条直线外的一点,有且 只有一个平面.
思考：
（1）一条直线可以将平面分成两个部 分，那么一个平面可以将空间分成几个 部分呢？
（2）两个平面可以将空间分成几个部
分呢？
β
C
D
B
α
A
α
B
A
位置关系
点P在直线AB上 点C不在直线AB上 点M在平面AC内
符号表示
P∈AB
CAB
M∈平面AC
D1
A1 D
A
P
C1
B1
M
C
B
点A1不在平面AC内A1源自面ACαBC A推论2:经过两条相交直
a
线,有且只有一个平面.
α
b
推论3:经过两条平行直
A
线,有且只有一个平面. a
αb
【例3】已知：A，Bl ，C，Dl l l 求证：直线AD，BD，CD共面。
高中数学 第一章 1.2.1平面的基本性质配套课件 苏教版必修2
第二十一页，共37页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
1.2.1
小结 证明直线共面通常有两种思路： (1)先由部分元素确定一个平面， 再证明其余元素在这平面 内； (2)先由部分元素确定若干平面， 再证明这些平面重合．
第二十二页，共37页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.1
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.1
问题 9 如图所示，两条相交直线能不能确定一个平面？为 什么？
答 能确定一个平面，因为直线 AB，AC 相交于点 A，三点 A，B，C 确定的平面就是直线 AB 和 AC 确定的平面． 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
第十九页，共37页。
第五页，共37页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.2.1
探究点一 平面的概念 问题 1 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直
线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？ 答 长方体由上下、前后、左右六个面围成．有些面是平行 的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱 所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个 平面内的直线等等．
1.2.1
第二十四页，共37页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
方法二 ∵AP∩AR＝A， ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面 APR∩平面 α＝PR. ∵B∈平面 APR，C∈平面 APR，∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面 APR，又 Q∈α， ∴Q∈PR， ∴P、Q、R 三点共线．
第十五页，共37页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
高中数学 1.2.1平面的基本性质课件2课件 苏教版必修2
Ａ
Ｂ
内又在平面ＡＢ１内，所以点
P在平面 与平面AB1 的交线
上.同理,点A1在平面 与平面
AB1的交线上,因此,PA1就是平面
与平面AB1的交线.
第九页，共12页。
巩固练习:
1.请指出下列说法是否正确,并说明理由:
(1)空间三点确定一个平面.
(2)平面 与平面 若有公共点,就不止一个
(3)因为平面型斜屋面不与地面相交,所以屋面所
在的平面与地面∩不相交. 2 . 如
a
bA
c
图
:
平
第十页，共12页。
3
.
已
知
:
如
图
,
D
,
E
分A别
是
△
A
B
C
的
边
平面 经过D,E 两点 (1)求直线AB 与平面 B的交点 P
(2)求证:D,E,P三D点共线E .P
C
第十一页，共12页。
今天(jīntiān)的作业是练习中 的二,三题.
第十二页，共12页。
平 面 的 基 本 性 质
(2)
第一页，共12页。
一.复习(fùxí)提问:
1.你是怎样来认识一个(yī ɡè)平面的?怎样 来表示一个(yī ɡè)平面?它的记法是什么?
2.空间中的点,线,面之间的位置关系(guān xì) 是怎样用符号来表示的?
3.平面有哪些性质?
第二页，共12页。
想 一 过一条(yī tiáo)直线L和直线
Ｃ
在平面 内．
第八页，共12页。
例２．如图，在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，
Ｐ为棱ＢＢ１的中点，画出 由Ａ１，Ｃ１，Ｐ三点所确定
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平⑵
面
的
基
本
性
质
一•复习提间:
1•你昱倉样耒么诂一个年而的？怎样亲恚孑一个年而？仓的他注蛊什
2•空向中的点•孩•而之向的怎蛊弟畫蛊怎样用後场采蓉云的？
3•年而侖哪竣僅麦？
—过一条直线L和直线包外一点A的平面有几个？?
■
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.
已知：直线L,点A E L 求证：过直线L和点A有且只有一
• A 个平面
分析：先在直线L上任取两点B, C, 这样A, B, C三点就能确定一个平面，
珥证明L在这个平面内.
证明：在直线L上任取两点B,C
因为点A不在直线L上, 根据公理3,经过不井线
的三点A,B,C有一个平面Q
因为Bw Q, C
所以根据公理1, L C a
即平面Q经过直线L和点A・因为B, C在直线
L上,
所以经过直线L和点A的平面一定经HA,B ,C
于是再根据公理3,经jj不共线的三点ABC的平面只有一个,所以经11直线L和点A的平面只有一
个.
推论2.经过两条相交直线, 有且只有平
推论3.经过两条平行直线,有且只*一个平面
右图是一张倒置的课桌，你能用所学的知识检查_下桌子的四条腿是否在同一个平面内？
例 1 ・ 已知：AWL, BGL , CGL, D 年 L
求证：直线AD, B D, CD 共面.
因为直线L 与点D 可以确
所以只需证明AD 5B
内・
:分析:
平面 在平面 D
5C B
fc
在长方体A B C D- A P为棱B B 1的中点，画出由A「C 的平面a与长方休表面的交线. 1 B 1 C 1 D 1 中，
1, P三点所确定
作法：连结AiP,PCi,AG,它们就是平面与长方体表面的交线.
分析：弟圭P疡农年而G Ax A
内又忌年而AB〔杓，所以虫P卷年而Of 彫年而AB〕的立銭£•徇理•圭州卷年而4$年而ABj的立偻£.0此尸人就昱年而0C 鸟年而AB〔的立銭.
网画豔冈8
1.情指出下列说法是否正确，并说明理由：
(1) 空间三点确定一平面.
(2) 平面与平面若有公共点，就不止-
(3) 因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋萌
在的平面与地神不相交. a
3.已知：如平面
⑴求克线AB/J^ 面(2)求证:D,A
经过D,E
是少3(：的
£ B
点
令天的仆业昱依习的二，三题・O
O。