高二数学课件 立体几何平面的基本性质课件 9.1平面的基本性质 9.1.3
高二数学平面基本性质课件-PPT精品文档
6
l ， A 、 B ， C 且 C l ， 练习3、
Ａ、直线ＣＲ， Ｂ、直线ＡＣ， Ｃ、直线ＢＣ， Ｄ、以上都不对
AB l R ，如图示，则 平面 ABC 是
． B ． A ． ． C
R
l
7
盛年不重来,一日难再晨,及时当勉 励,岁月不待人 ●▂●欢迎收藏
盛年不重来,一日难再晨,及时当勉 励,岁月不待人 ●▂●欢迎收藏 10
作业
《名师伴你行》
P6双基起步，应试能力
盛年不重来,一日难再晨,及时当勉 励,岁月不待人 ●▂●欢迎收藏
12
3条直线相交于一点时：
(1)3条直线共面时 (2)每2条直线确定 一平面时
三条直线相交于一点,用其中的两条 确定平面,最多可以确定3个。
②两个平面可能只有一个公共点． × ③四条边都相等的四边形是菱形． ×
盛年不重来,一日难再晨,及时当勉 励,岁月不待人 ●▂●欢迎收藏 2
(3)已知空间四点中,无三点共线,则可确定
A．一个平面 B．四个平面
C．一个或四个平面 D．无法确定平面的个数
盛年不重来,一日难再晨,及时Βιβλιοθήκη 勉 励,岁月不待人 ●▂●欢迎收藏
练习4、P11 1～7 练习5、下列命题正确的是（
）
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定 是平面图形； C.三条互相平行的直线一定共面；
D.梯形是平面图形 练习6、不在同一直线上的五个点，能确定 平面的最多个数是（ ） A．8个，B．9个，C．10个， D．12个
3
一、公理的推论
推论1 经过一条直线和这 条直线外一点,有且只有一 个平面.
【精品】高二数学 9.1平面的基本性质(第三课时)大纲人教版必修
9.1.3 平面（三）●教学目标(一)教学知识点1.性质与推论的简单应用.2.利用平面的基本性质证明点共面、线共面、点共线、线共点问题的一般方法.（二）能力训练要求通过严格的推理论证,培养学生的逻辑思维能力发展其空间想象力.（三）德育渗透目标1.知识是重要的.掌握并应用知识是更重要的,所学的知识,关键在于应用,通过知识的应用,使学生掌握方法、规律,学会正确推理,以理服人,培养学生严谨的学风.2.使学生了解个性与共性、特殊与一般间的关系,培养学生的辩证唯物主义观点.●教学重点1.证明点共面、线共面、点共线、线共点问题.2.证明过程的书写格式.●教学难点1.证明点共面、线共面、点共线、线共点问题.2.公理及其推论的适当选择与灵活应用.●教学方法师生共同讨论法通过对典型例题的分析、讨论与证明,使学生从中悟出共面、共线、共点问题的证明方法,并尝试对问题的证明,在应用中掌握方法、规律.●教具准备投影片四张.第一张：课本P7例题及图9—8（记作9.1.3 A）第二张：本课时教案例2及图（记作9.1.3 B）第三张：本课时教案例3及图（记作9.1.3 C）第四张：本课时教案后面的预习内容及提纲（记作9.1.3 D）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］前面我们学习了平面的基本性质——三个公理,上节课我们又学习了公理3的三个推论,哪位同学来回答一下三个公理及推论的具体内容？［生甲］如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.不在同一条直线上的三点确定一个平面.一条直线与它外面的一点确定一个平面.两条相交直线确定一个平面.两条平行直线确定一个平面.［师］好.回答完全正确.我们每一位同学都要像生甲同学那样,熟记平面基本性质的三个公理及公理3的三个推论,它们是立体几何中最基础的知识.谁来谈一下各个公理及推论的作用呢？［生乙］公理1可用来判定直线在平面内,也可用来判定点在平面内；公理2可用来判定两个平面相交,也可用来判定点在直线上,还告诉我们这两个平面相交时,一定要画出它们的交线；公理3及其三个推论是确定平面的条件.［师］很好！从刚才举手回答的情形及两位同学的回答可以看出,同学们对平面的基本性质、公理及推论掌握得很好！下面我们来研究性质公理及推论的应用.Ⅱ.新课讨论（打出投影片9.1.3 A ）［师］空间中的点或几条直线,如果都在同一个平面内,那么它们就共面了,请同学们思考:如何利用我们学过的公理及其推论进行理论证明呢?［生丙］先证明两条直线确定一个平面,再证第三条直线也在这个平面内.［生丁］每两条相交直线都能确定一个平面,若能证明这些平面重合,则也能说明这三条直线共面.［师］生丙、生丁分别用不同的思路说明本题的证明方法,请同学将证明过程规范地写出来,并从中体会公理及其推论的应用.证明一:∵AB 、AC 相交,∴AB 、AC 确定一个平面,设为α.∵B ∈AB ,C ∈AC ,∴B ∈α,C ∈α.∴BC ⊂α.∴AB 、AC 、BC 都在平面α内.∴AB 、AC 、BC 共面.证明二:∵AB 、AC 相交,∴AB 、AC 确定一个平面α.∴点A 、B 、C ∈α,且不共线.∵AB 、BC 相交,∴AB 、BC 确定一个平面β.∴点A 、B 、C ∈β,且不共线.又∵过不共线三点A 、B 、C 有且只有一个平面,∴面α与面β重合.∴AB 、BC 、AC 共面. (学生证明过程中,教师应强调:(1)书写格式的规范化;(2)证明共面问题的方法:①先由某些条件确定一个平面,然后证明其余已知的都在这个平面内;②所有已知条件确定若干个平面,然后证明这些平面重合)［师］平面几何中证明三点共线是怎样证明的?［生戊］先由两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.［师］若连结点P 、Q ,得直线PQ ,如何证明点R 也在直线PQ 上呢?［生己］直线PQ 是面ABC 与平面α的交线,只要证明点R 是面ABC 与面α的交点,那么R 必在直线PQ 上.［生庚］只要证明P 、Q 、R 都是面ABC 与面α的交点,那么P 、Q 、R 就共线.［师］一起来应用公理及其推论证明此题.证明:⎭⎬⎫⊂∈ABC AB AB P 面 ⎪⎭⎪⎬⎫∈∈∈⇒ABC R ABC Q ABC P 面面同理面⇒P 、Q 、R 三点在面α与平面ABC 的交线上⇒P 、Q 、R 三点共线.(师强调:(1)利用“⇒”符号表述推理过程、思路清楚、简捷明了;(2)立体几何中,证明三点共线,只要证明三点都是某两个平面的公共点即可;(3)证明诸点共线的问题,思路同于证明三点共线)［师］这是三线共点问题,在平面几何中对于三线共点问题是如何证明的?空间三线共点该怎样解决呢?［生辛］处理空间三线共点问题同证明平面几何中三线共点问题的方法一样,即先证明两条直线相交,然后证明第三条直线过交点或交点在第三条直线上.［师］请同学们将证明过程规范地写出来.(教师巡视,点拨)证明： ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∈⇒⎭⎬⎫=⋂⇒⎭⎬⎫∈∈⇒⎭⎬⎫∈⊂=⋂⇒⎭⎬⎫⊂BD P BD CBD ABD CBD ABD P CBD P ABD P EF P ABD EF BD P GH EF GH EF GH EF EFGH GH EF 面面的公共点与面是面面同理面面连结设相交与面,// ,〔师强调:(1)证明空间诸线共点,先证某两条直线相交,然后证明这个交点在其余直线上或证明其余直线过这个交点;(2)证明过程中,推理必须严谨严密、有条有理、完整无纰漏,绝对不能东拉西扯、杂乱无章〕Ⅲ.课堂练习课本P 9习题9.1 9,11.Ⅳ.课时小结P 、Q 、R α∈ ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂=⋂R BC Q AC P AB ααα ⇒ P 、Q 、R ∈面ABC ⇒P 、Q 、R 是面ABC 与面α 的公共点 面α与面ABC 不重合 EF 、GH 、BD 三线共点1.平面的基本性质——三个公理及其推论的简单应用.2.共面、共线、共点问题的证明方法.(以上学生自己总结归纳,教师补充完善)Ⅴ.课后作业（一）课本P9习题9.1 10.（二）1.预习课本P10~P11空间直线——空间两条直线的位置关系和平行直线.2.预习提纲（1）空间两条直线的位置关系有几种？各有什么特征？（2）怎样理解两条直线不同在任何一个平面？（3）公理4的具体内容是什么？（4）公理4用符号语言如何表示？。
平面的基本性质PPT课件
直线 AB 与直线 BC 交于点 B
直线 AB 在平面 AC 内
直线 AA 不在平面 AC 内
符号表示 P AB C AB M 平面 AC
A 平面 AC
AB ∩ BC＝B
AB 平面 AC
AA 平面 AC
2021/3/9
授课：XXX
11
基本性质2 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
温度计中的玻璃管被两个卡 子固定在刻度盘上，可以看到， 玻璃管就落在了刻度盘上．
2021/3/9
授课：XXX
5
基本性质1 如果一条直线上有两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
l
A B
2021/3/9
授课：XXX
6
在正方体 ABA C 1B 1 C 1 D D 1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由：
面内，那么我们就说它们共面．
2021/3/9
授课：XXX
16
举例： 木匠用两根细绳分别沿桌子四条腿底端
的对角线拉直，以判断桌子四条腿的底端是在 同一平面内，其依据是什么？
2021/3/9
授课：XXX
17
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，O 是 AC 的中点． 判断下列命题是否正确，并说明理由：
基本性质3也可简单说成
不共线的三点确定一个平面．
2021/3/9
授课：XXX
15
A•
B
C
•
•
基本性质的推论 推论1 经过一条直线和直线外的 一点，有且只有一个平面 ．
•A
C•
B•
推论2 经过两条相交直线， 有且只有一个平面．
平面的基本性质(1)ppt课件
AA l
β
如果两个平面有一条公共
直线，则称这两个平面相
交，这条公共直线叫做这
P
两个平面的交线。
l
α
完整版PPT课件
12
应用：判定两个平面有交线及交线位置的依据
1.判定两个平面相交:如果两个平面有一个公共 点,那么它们相交;
2.判定点在直线上:点若是某两个平面的公共点, 那么这点就在这两个平面的交线上;
3.两平面两个公共点 的连线就是它们的交 线
β
P
l
α
完整版PPT课件
13
例2．在长方体ABCD—A1B1C1D1 中，画出平面A1C1D与平面B1D1D 的交线.
D1
C1
O
A1
B1
D
C
A
B
完整版PPT课件
14
例3：如图画出平面 与平面ADE的交线 画出DE与平面 的交点
A
B
C
P
D
E
完整版PPT课件
方法小结
完整版PPT课件
17
六.平面性质研究
观
问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？
察
木匠如何检查桌面是否平整？
思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一
只撑脚？
完整版PPT课件
18
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
αA
C
B A
公理3.经过不在同一直线上 C 的三点有且只有一个平面.
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
高二数学平面的基本性质9PPT课件
观察下列问题，你能得到什么结论？
天花板α
墙面γ
P 墙面β
β
l
α
P
公理2.如果两个不同的平面有一个公共点，那么
这两个平面相交于过这一点的一条直线。
符 号 表 示 ： P l 且 P l .
观察下列问题，你能得到什么结论？
B A
B
CαA
C
公理3.经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面.
公理1:直线L上两点在平面 α 内
You Know, The More Powerful You Will Be
12
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
13
平面的基本知识 (1)
练习:把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
l
αa
A
a
α A
β
B
a
α A
l
l
β
B
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1.如果一条直线上有两个不同的点在同一平面
内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面
内（即直线在平面内）。
l
α
A
B
符 号 表 示 ： A l ,B l ,A ,B l .
B1
D
DE C
C
A
A B
B
例3. 经过一点可作( 无数 )个平面; 经过两点可作( 无数 )个平面; 经过三点可，AB、AC、BC的延长线分 别与平面α交于点M、N、P三点，求证：M、N、 P三点共线。
平面及其基本性质(课件)高二数学(沪教版2020必修第三册)
两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认
识了平面的“平”和“无限延展”。
推论1— 3给我们提供了确定一个平面的另外几种方法.如图，用两根细绳
沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底
端在同一个平面内，否则就不在同一个平面内，其依据就是推论2.
所以过平行直线，的平面只有一个
探究4：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课
桌面所在平面是否只相交于一点?为什么?
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面。
可以想象，两个平面相交于一条直线。
教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点这两个墙
面相交于过这个点的一条直线。
立体几何画图或作辅助线的原则——
看得见的画成实线，看不见的画成虚线.即眼见为实，眼不见为虚.
【练习】判断下列各题的说法正确与否
1.一个平面长4米，宽2米；
(× )
2.平面上一条直线可以把这个平面分成两部分； ( √ )
3.10个平面叠在一起要比一个平面厚；
(×)
4.菱形的面积可以等于4cm 2；
(√ )
黑板面、平静的水面等.
几何里所说的“平面(plane)”就是从这样的一些物体中抽象
出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的.
绝对的平
黑板面
课桌面
平静的
水面
平面的特征无限ຫໍສະໝຸດ 展不计大小不计厚薄
平面的画法和表示
我们也可以画出平面的一部分来表示平面，即平行四边形表示平面．
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边
也都在平面内，所有这些直线可以编织成一个
平面的基本性质及三大公理ppt课件
如果要把一根木条固定在墙 面上,至少需要几个钉子?
文 公理1:如果一条直线上的
字 两个点在平面内,那么这条
语 言
直线上所有的点都在这个 图形语言
平面内.
符
α AB
号
Al, B l, A, B
直AB
语 言
关键词: 两作点用, ：用所有来证明或
证明： AB , AC
B,C BC
你骑车放学回家了,到家时如何才 能把自行车停稳?
B
A
C
公理２经过不在同一直线上的 三点有且只有一个平面.
B
α 。A
C
表示为:
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面 .
推论1:过直线和直线外一点,有且只有 一个平面.
推论2:过两条相交直线,有且只有一 个平面 .
例题
一、平面的概念
平面和点、直线一样,它是构成空间图形的基 本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念.
(1)数学中所说的平面在空间是无限伸展的（直 线是无限延伸的）
(2)平时接触到的平面实例都只是平面的一部分
1.平面的基本概念:
几何里的平面的特征:
1.平 2.无限延展 3.不计厚薄
（不是凹凸不平） （没有边界）
（没有质量）
二、平面的画法
直线是无限延伸的,通常我们画出直线的一部 分来表示直线,同样地,我们也可以画出平面的一 部分来表示平面.
通常用平行四边形来画平面 1、一个平面在不同的摆放状态下的画法
当 平 面 水 平 放 置 的 时，候 通 常 把 平 行 四 边 形 的 锐 角 画 成4 5
2、两个平面在不同的位置关系下的画法
《平面的基本性质》课件
平面解析几何在实际问题中的应用案例
物理学中的应用
在物理学中，许多概念和公式可以通过平面解析几何来描述和解 释，例如力学、电磁学和光学中的许多概念。
工程学中的应用
在工程学中，平面解析几何被广泛应用于机械设计、建筑设计、航 空航天等领域。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，平面解析几何是生成和处理二维图形的基础， 例如在游戏开发、动画制作和计算机视觉等领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
平面与几何体的关系
总结词
平面是几何体的重要组成部分，它可以作为几何体的边界或 表面。
详细描述
在几何学中，许多常见的几何体都是由平面构成的。例如， 长方体的每个面都是一个平面，球体的表面也是一个平面。 此外，平面还可以用来定义其他几何体的形状和大小，例如 通过平面的交线来定义三维空间的形状。
CHAPTER 02
平面上的直线的方程
两点式方程
通过平面上两点的坐标，可以求出直 线的方程。
点斜式方程
已知直线上的一个点和直线的斜率， 可以求出直线的方程。
平面上的点与直线的位置关系
点在直线上
如果一个点的坐标满足直线的方程，则该点在直线上。
点在直线外
如果一个点的坐标不满足直线的方程，则该点在直线外。
CHAPTER 04
与线性代数的联系
线性代数提供了研究平面几何对象 （如向量、矩阵和线性变换）的工 具。
平面解析几何的发展历程与未来展望
发展历程
从早期的欧几里得几何到文艺复兴时 期的笛卡尔几何，再到现代的解析几 何，平面解析几何经历了漫长的发展 历程。
未来展望
随着数学和其他学科的发展，平面解 析几何将继续发展，与其他数学分支 的交叉将更加深入，新的研究方法和 视角也将不断涌现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F1在同一条直线上.
A B
D
C
l F1
D1 B1 E1 C1
A1
证明三点共线的方法： [1]先由两点确定一条直线，然后证明另一个点也在此直线上； [2]证明三点在两平面的交线上；
例2.如图所示正方体ABCD A1B1C1D1中 对角线A1C与平面BDC1交于点O, AC, BD 交于点M ,求证 : C1,O, M三点共线.
AB α.(公理1)同理BC α，AC α，所以AB，BC，
CA三直线共面.
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面，再证其余元素都在 此平面内；或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
方法一：利用公理3
Ａ
方法二：利用推论１
往往是两平面的交线
三、画平面交线问题
已知：直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C
求证：a,b,c,l共面
证明：∵a∥b
a、b确定平面α
又∵a∩l=A,b∩l=B,
lα
a
l
C
A
b
c
同理b、c确定平面β,且lβ
而l、bα,l、bβ,lb B
α 与 β 重 合
∴a,b,c,l共面
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 画出过M、N、P三点的截面。
B AC
平面ABC
平面的基本性质
推论1:经过一条直线和这条直线外 的一点，有且只有一个平面.
BC
Aa
平面的基本性质 推论2:经过两条相交直线，有且只 有一个平面.
b
a P
平面的基本性质 推论3:经过两条平行直线，有且只 有一个平面.
b
a
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，
最多确定的平面数是___3____; 四条直线相交于一点呢?_____6________。
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
方法三：利用推论２
Ｂ
Ｃ
练习证明两两相交而不通过同一点的四条直线 必在同一平面内。
分析：
（1）直线a、b、c、d两两相交，不过同一点且无三线共点。 设直线a、b相交点A，a、c相交点C，b、c相交点B
B
M C
N d
c A
a b
（2）若有三线共点，设相交于点A
A D
BC
d
a b
c
五、【小结】
1.三个公理的符号表示及其作用 2.公理3的三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且 只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 3.公理3及其三个推论的作用是确定平面 4.证明若干个点、线共面的方法． (先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、 线落在此平面内)
3条直线相交于一点时：
（1）、3条直线共面时
（2）、每2条直线确定一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确 定平面，最多可以确定3个。
4条直线相交于一点时：
（1）、4条直线全共面时 （2）、有3条直线共面时
（c）、每2条直线都确定 一平面时
三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多可以确 定6个。
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC α (公理1)
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面.
解法二:因为A在直线BC外，所以过点A和直线BC确定
平面α.(推论1)，因为A∈α，B∈BC，所以B∈α.故AB α， 同理AC α，所以AB，AC，BC共面.
解法三:因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A， B，C三点可以确定平面α.(公理3)因为A∈α，B∈α，所以
三个公理及推论的应用
2020年11月23日星期一
平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两个点在 平面内,那么这条直线上所有的点 都在这个平面内.
AB
平面的基本性质
公理2:如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他的公共点，且所 有的这些点的集合是一条过这个点 的直线
l
P
平面的基本性质 公理3:经过不在同一条直线上的三 个点，有且只有一个平面.
D1
•C1
A1 D
A
B1
O•
•M
C
B
二、证明三线共点问题：
例题3：四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 求证：EF、GH、BD交于一点。
A
G H
B
D
O
F E
C
证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又
D1 P
A1
C1 B1
MD A
C BN
D1 P A1
D A
M
C1
B1
C N B
D1 A1 P
D
A
M
C1 B1
C N B
四、证明共面问题
例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
解：这三条直线共面，因为直线AB和直线AC相交于点A，所以直线AB和AC确定一 个 平面α.(推论2)
看看答案吧
（2) 两个平面可以把空间分成__3_或__4___部分， 三个平面呢?__4_，__6__，__7_或__8_____。
看看答案吧
应用：
一、证明三点共线问题：
例1.设平行四边形ABCD的各边和对角线所在的直线与平
面依次相交于A1, B1,C1, D1, E1, F1,求证 : A1, B1,C1, D1, E1,