无5-或6-圈平面图的均匀Δ-着色
基本数学模型-顶点着色
Petersen 图
'(G) 4
3
排课表问题
• 有 m 位教师和 n 个班级，教师 i 每天为班级 j 授
课 pij 个学时，如何安排一张课表，可使每天课
时数最少
• 构造有平行边的二部图 G ，顶点集 V X Y ，X 为教师集，Y 为班级集，X 中顶点 i 和 Y 中顶点 j 有 pij 条边相连
Appel, K., Haken, W., Every Planar Map is Four Colorable, Illinois Journal of Mathematics
Part I. Discharging, 21, 429–490, 1979 Part II. Reducibility, 21, 491–567,1979
p
6
排课表问题
1234
x1 y4 y1 y3 y1
x2 y2
y4
x3 y3 y4
y2
x4
y5
y4
三间教室
123456
x1 y4 y3 y1
y1
x2 y2 y4
x3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y4 y3 y2
x4
y4
y5
两间教室
7
运筹与统计
着色
顶点着色
• 图顶点G的用顶k 点种颜k着色色之是一指着将色图，G使的得每相一邻个的
顶点不染同一种颜色
• 将 G的顶点按上述要求着色所需的最少 颜色数称为图 G的色数（chromatic
number），记为 (G) • 对任意简单图 G ，(G) Δ(G) 1，若G
连通且不是奇圈或完全图，(G) Δ(G)
可约构形组成的不 可免完备集（部分）
图论讲义第6章-图的着色问题
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
ik i0 ik
vk …
im
… v3 v2
i4 i3 i2
u
i1
vm
v1
v
3
而对 k ≤ j ≤ m − 1 ，用颜色 ij+1 给 uvj 重新染色，而用颜色 ik 给 uvm 重新染色，得到一
1
, E k ) 中每个 Ei 都是非空的
设 v0 e1v1e2
eε v0 是 G 的一条 Euler 闭迹。 令 E1 = {ei i 为奇数}，E 2 = {ei i 为偶数}。
于是 c = (E1, E2) 即为所求的边 2-染色。 需要说明的是，Euler 闭迹从度≥4 的顶点出发是必需的。例如在下图中，若从 2 度顶 点 u 处出发沿 Euler 闭迹交替地对边进行 2 染色，则 u 点可能仅能获得一种色（如图，1、2 表示两种颜色） 。
′′, E 2 ′′, 个( Δ＋1 )边染色 c ′′ = ( E1
′′+1 ) 。同理有 c ′′( v ) ≥ c( v ) 对所有 v ∈ V 成立。故由引理 , EΔ
′ ∪ Ei′k′ ] 中含有 u 的分支 H 2 是个奇圈。 6.1.2， G[ Ei′0
vk-1
iki0 ik＋1 ik
第六章 染色理论
许多实际问题可以归结为求图的匹配或者独立集。 此外， 在许多应用中， 人们希望知道： 一个给定的图， 它的边集至少能划分成多少个边不交的匹配？或它的顶点集至少能划分成多 少个点不交的独立集？这便是图的边染色和顶点染色问题。
21平面图及图的着色
2、几点说明
若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, …, Rk表示，不需 要指出外部面。
回路组是指：边界可能是初级回路（圈），可能是简单回 路，也可能是复杂回路。特别地，还可能是非连通的回路 之并。
R1
R0
R3
R2
平面图有4个面，deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。
小节结束
17.2 欧拉公式
一、欧拉公式相关定理
1、 欧拉公式 定理17.8 对于任意的连通的平面图G，有
n-m+r=2 其中，n、m、r分别为G的顶点数、边数和面数。
证明
对边数m作归纳法。 (1) m＝0时，由于G为连通图，所以G只能是由一个孤立顶
点组成的平凡图，即n=1，m=0，r=1，结论显然成立。 (2) m＝1时，由于G为连通图，所以n=2，m=1，r=1，结论
定理17.9 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图G，有
n-m+r = k+1
其中n，m，r分别为G的顶点数，边数和面数。
证明
设G的连通分支分别为G1、G2、…、Gk，并设Gi的顶点数、 边数、面数分别为ni、mi、ri、i=1，2，…，k。
由欧拉公式可知: ni-mi+ri = 2，i=1，2，…，k
例17.3 由K3,3加若干条边能生成多少个6阶连通的简单的非同构的 非平面图？
解答
对K3,3加1～6条边所得图都含K3,3为子图，由库拉图斯基定理可 知，它们都是非平面图。 在加2条、加3条、加4条边时又各产生两个非同构的非平面图， 连同K3,3本身共有10个满足要求的非平面图。其中，绿线边表示 后加的新边。
于是n-m+r=(n'+1)-(m'+1)+r'=n'-m'+r'=2 若G不是树，则G中含圈。
围长≥7最大度≥5的平面图的无圈列表边染色
围长≥7最大度≥5的平面图的无圈列表边染色马刚【摘要】对图G的一个正常边染色,如果图G的任何一个圈至少染3种颜色,则称这个染色为无圈边染色.若L为图G的一个边列表,对图G的一个无圈边染色(ψ),如果对任意e∈E(G),都有(ψ)(e)∈L(e),则称(ψ)为无圈L边染色.用a'list(G)表示图G 的无圈列表边色数.论文证明:若图G是一个平面图,且它的最大度△≥5,围长g(G)≥7,则a'list(G)=△.%A proper edge coloring of a graph is said to be acyclic if any cycle is colored with at least three colors.For an edge-list L of a graph G,an acyclic edge coloring (ψ) of G is called an acyclic L-edge coloring if (ψ)(e) ∈∈ L(e) for anye ∈∈ E(G).For a planar graph G,we proved thata'list(G) =△ if the maximum degree △ ≥ 5 and the girth g(G) ≥ 7.【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(041)004【总页数】6页(P39-44)【关键词】平面图;无圈列表边染色;围长【作者】马刚【作者单位】山东理工大学理学院,山东淄博255049【正文语种】中文【中图分类】O157.5论文中考虑的图都是简单图. 若G是一个图，分别用V(G)和E(G)表示图G的点集和边集. 对图G，用dG(v)表示点v的度. 称度为k的点为k-点，度不大于k的点为k-点. 称度为1的点为叶节点. 用|A|表示集合A所包含的元素的数量.图G的一个边染色是指给G的每条边分配一种颜色. 如果给相邻的边分配不同的颜色，则这个边染色被称作是正常边染色. 正常边染色所需要的最少的颜色数称为边色数，用χ′(G)表示. 在图G的一个正常边染色中，如果每个圈都有至少3种颜色，则称这个正常边染色是无圈边染色. 无圈边染色所需要的最小颜色数，被称作无圈边色数，用a′(G)表示.Alon等在文[1]中提出了以下猜想：猜想1 对任意图G，有a′(G)≤Δ(G)+2 .Alon等在文[2]中证明：对任意图G，有a′(G)≤64Δ. Molloy等在文[3]中把上述结果改进到a′(G)≤16Δ. Muthu等在文[4]中证明若图G的围长g(G)≥220 ，则a′(G)≤4.52Δ. Alon等在文[1]中证明存在一个常数c，若g(G)≥cΔlogΔ ，则a′(G)≤Δ+2. 文[5-8]中对平面图的无圈边染色进行了研究.图G的一个边列表L是指给图G的每一条边e赋以一个含有有限个正整数的集合L(e). 对图G的一个边列表L，如果对任意e∈E(G)，有|L(e)|≥k，则称L为图G的k-边列表. 对图G的一个无圈边染色φ及图G的一个边列表L，如果对任意e∈E(G)，都有φ(e)∈L(e)，则称φ为无圈L-边染色. 称图G是无圈k-边可选择的，如果对图G的任何一个k-边列表L，图G都有无圈L-边染色. 图G的无圈列表边色数是指使得图G无圈k-边可选择的最小正整数k，用表示.若图G的最大度为Δ(G)，显然有Δ(G)(G).Lai等在文[9]中把无圈边染色的概念推广到了无圈列表边染色，并提出了以下猜想：猜想2 对任意图G，有文[9-12]对一些特殊的图的无圈列表边染色进行了研究.引理1[10] 若图G是2-连通的平面图，最大度Δ≥5，围长g(G)≥7，则图G至少存在下面7种情况的一种：(C1) 一条路x1x2x3，其中d(x2)=2,d(x1)+d(x3)≤Δ+1.(C2) 一条路y1y2…y6，其中d(y2)=d(y3)=d(y5)=2, d(y1)=d(y4)=Δ ,d(y6)≤Δ-1. (C3) 一条路z1z2…z5，其中d(z2)=d(z4)=2, d(z1)≥3, d(z3)≥3,d(z1)+d(z3)=Δ+2.(C4) 一个3-点v，与它相邻的点中有两个2-点v1,v2，另一个点v3满足d(v3)≤Δ-1.(C5) 一条路t1t2…t6，其中d(t2)=d(t4)=2, d(t1)=d(t5)=3, d(t3)= 5, d(t6)≤3. (C6) 一个7-面[u1u2…u7]，其中d(u1)=d(u4)=d(u6)=2, d(u2)=d(u3)=3,d(u5)=d(u7)=5，Δ=5.(C7) 一个7-面[w1w2…w7]，其中d(wi)=2 (i=2,3,5,7), d(wi)=5 (i=1,4,6).设c是图G的一个边染色，对点v∈V(G)，用C(v)表示与点v相邻的边所染颜色的集合. 如果一条路(或圈)上的边交替的染颜色i和j，则称这条路(或圈)为(i, j)-路(或(i, j)-圈). 论文对最大度不小于5，围长不小于7的平面图进行了研究，得到了下面的结果:定理1 若图G是一个平面图，它的最大度Δ≥5，围长g(G)≥7，则Δ.证明只需证明(G)≤Δ. 对边的个数|E(G)|用数学归纳法. 当|E(G)|≤5时，结论显然成立，因此假设G是一个平面图，它的最大度Δ≥5，围长g(G)≥7，且|E(G)|≥6.设L是图G的一个Δ-边列表.若图G有一个割点v，假设G-v的各个连通分支为G1,G2,…,Gk. 由归纳假设知，图G的由点V(Gi)∪{v}(1≤i≤k)导出的子图Gi′，都存在无圈列表边染色ci，使得ci(e)∈L(e)(e∈E(Gi′)). 由于dG(v)≤Δ，所以通过适当的调整，总可以使得各个子图Gi′中与点v相邻的边染不同的颜色，这样就可得到图G的一个染色. 又由于点v是割点，所以得到的图G的染色满足无圈性. 从而图G是无圈Δ-边可选择的. 下面假设图G是2-连通的，从而δ(G)≥2. 由引理1知，图G至少存在(C1)～(C7)情况中的一种.(C1) G有一条路x1x2x3，其中d(x2)=2,d(x1)+d(x3)≤Δ+1.令H=G-x2x3，由归纳假设知，H存在一个无圈L-边染色c. 由于δ(G)≥2，d(x1)+d(x3)≤Δ+1，故dG(x1)≤Δ-1，dG(x3)≤Δ-1.如果c(x1x2)∉C(x3)，由于|{c(x1x2)}∪C(x3)|=dG(x3)≤Δ-1，从L(x2x3)-({c(x1x2)}∪C(x3))中选一种颜色染x2x3即可.如果c(x1x2)∈C(x3)，由于|C(x1)∪C(x3)|≤dG(x1)+dG(x3)-2≤Δ-1，从L(x2x3)-(C(x1)∪C(x3))中选一种颜色染x2x3即可.(C2) G有一条路y1y2…y6 ，其中d(y2)=d(y3)=d(y5)=2,d(y1)=d(y4)=Δ ,d(y6)≤Δ-1.令H=G-y2y3，由归纳假设知，H存在一个无圈L-边染色c. 如果c(y1y2)≠c(y3y4)，由于|L(y2y3)-{c(y1y2),c(y3y4)}|≥3，从L(y2y3)-{c(y1y2),c(y3y4)}中选一种颜色染y2y3即可.如果c(y1y2)=c(y3y4)，不妨设c(y1y2)=c(y3y4)=1, c(y4y5)=2. 若L(y2y3)-C(y1)≠∅或者L(y2y3)-C(y4)≠∅，只需用L(y2y3)-C(y1)或者L(y2y3)-C(y4)中的颜色染y2y3即可. 设L(y2y3)=C(y1)=C(y4)={1,2,…,Δ}. 不妨假设，无论给y2y3染L(y2y3)-{1}中的哪一种颜色i，G中都会存在一个(1,i)-圈. 从而c(y5y6)=1且2∈C(y6).若L(y3y4)≠{1,2,…，Δ}，从L(y3y4)-{1,2,…，Δ}中选一种颜色γ重新染y3y4，然后从L(y2y3)-{1,γ}中选一种颜色染y2y3即可. 若L(y4y5)≠{1,2,…,Δ}，从L(y4y5)-{1,2,…,Δ}中选一种颜色γ重新染y4y5，然后给y2y3染颜色2即可. 下面假设L(y3y4)=L(y4y5)={1,2,…,Δ}.由于|L(y5y6)-C(y6)|≥1，从L(y5y6)-C(y6)中选一种颜色α重新给y5y6染色. 显然α≠1且α≠2. 若α∉C(y4)，只需给y2y3染颜色2即可；若α∈C(y4)，依次给y4y5,y3y4,y2y3染或重新染颜色1,2,3即可.(C3) G有一条路z1z2…z5，其中d(z2)=d(z4)=2,d(z1)≥3, d(z3)≥ 3,d(z1)+d(z3)=Δ+2.由d(z1)≥3, d(z3)≥ 3, d(z1)+d(z3)=Δ+2知，d(z1),d(z3)≤Δ-1. 令H=G-z2z3，由归纳假设知，H存在一个无圈L-边染色c. 如果c(z1z2)∉C(z3)，从L(z2z3)-({c(z1z2)}∪C(z3))中选一种颜色染z2z3即可.如果c(z1z2)∈C(z3)，不妨设c(z1z2)=1，C(z3)={1,2,…,d(z3)-1}. 若c(z3z4)=1，只需从L(z2z3)-(C(z3)∪{c(z4z5)})中选一种颜色染z2z3即可.若c(z3z4)≠1，不妨设c(z3z4)=2. 可以假设无论给z2z3染L(z2z3)-C(z3)中哪一种颜色i，G中都有一个(1,i)-圈. 从而(L(z2z3)-C(z3))⊂(C(z1)-{1})，|L(z2z3)-C(z3)|≤|C(z1)-{1}|.由于d(z1)+d(z3)=Δ+2，有|L(z2z3)-C(z3)|=|C(z1)-{1}|=d(z1)-1. 从而C(z3)⊂L(z2z3)，C(z1)-{1}⊂L(z2z3). 设L(z2z3)={1,2,…,Δ}，从而C(z1)={1,d(z3),d(z3)+1,…,Δ}.若L(z1z2)-C(z1)中存在一种颜色α,使得α∉C(z3)，给z1z2重新染颜色α，再从L(z2z3)-(C(z3)∪{α})中选一种颜色染z2z3即可. 故可设L(z1z2)-C(z1)⊂C(z3). 从而L(z1z2)={1,2,…,Δ}.给z1z2重新染颜色2，然后从L(z2z3)-(C(z3)∪{c(z4z5)})中选一种颜色染z2z3即可.(C4) G有一个3-点v，与它相邻的点中有两个2-点v1，v2，另一个点v3满足d(v3)≤Δ-1.不妨设v1的除了v的另外一个邻点为v1′，v2的除了v的另外一个邻点为v2′. 令H=G-vv1，由归纳假设，知H存在一个无圈L-边染色c. 若c(v1v1′)∉{c(vv2),c(vv3)}，只需从L(vv1)-{c(v1v1′),c(vv2),c(vv3)}中选一种颜色染vv1即可.若c(v1v1′)∈{c(vv2),c(vv3)}，不妨设c(v1v1′)=1，{c(vv2),c(vv3)}={1,2}. 若c(vv2)=1,c(vv3)=2，只需从L(vv1)-{1,2,c(v2v2′)}中选一种颜色染vv1即可.若c(vv2)=2,c(vv3)=1，不妨假设无论给vv1染L(vv1)-{1,2}中的哪一种颜色i，G 中都有一个(1,i)-圈. 由假设知，L(vv1)-{1,2}⊂(C(v3)-{1}). 由于d(v3)≤Δ-1，|L(vv1)-{1,2}|≥Δ-2，从而|L(vv1)-{1,2}|=Δ-2，{1,2}⊂L(vv1). 不妨设L(vv1)={1,2,…,Δ}，从而C(v3)={1,3,4,…,Δ}. 从L(vv3)-{1,3,4,…,Δ}中选一种颜色α重新染vv3. 若α≠2，只需从L(vv1)-{1,2,α}中选一种颜色染vv1即可.若α=2，从L(vv2)-({1,α}∪{c(v2v2′)})中选一种颜色β重新染vv2，再从L(vv1)-{1,α,β}中选一种颜色染vv1即可.(C5) G有一条路P=t1t2…t6，其中d(t2)=d(t4)=2, d(t1)=d(t5)=3, d(t3)= 5,d(t6)≤3.设t1的不在P中的另外两个点为t1′,t1″， t5的不在P中的另外一个点为t5′.令H=G-t4t5，由归纳假设，H中存在一个无圈L-边染色c. 若Δ≥6，从L(t4t5)-({c(t3t4)}∪{c(t5t5′)}∪C(t6))中选一种颜色染t4t5即可. 下面假设Δ=5.若c(t3t4)∉C(t5)，从L(t4t5)-({c(t3t4)}∪C(t5))中选一种颜色染t4t5即可.若c(t3t4)∈C(t5)，不妨设c(t3t4)=1，{c(t5t6),c(t5t5′)}={1,2}. 若c(t5t6)=1,c(t5t5′)=2，从L(t4t5)-({2}∪C(t6))中选一种颜色染t4t5即可.下面设c(t5t5′)=1,c(t5t6)=2. 不妨假设：(*1) 无论从L(t4t5)-{1,2}中选哪一种颜色i染t4t5，G中都有一个(1,i)-圈.由(*1)知，(L(t4t5)-{1,2})⊂(C(t3)-{1})，从而|L(t4t5)-{1,2}|≤|C(t3)-{1}|. 不妨设L(t4t5)={1,2,3,4,5}. 下面分两种情况讨论：(5.1) c(t2t3)∈{3,4,5}.设c(t2t3)=3. 由(*1)知c(t1t2)=1，3∈C(t1). 类似于(C2)中的讨论，可设L(t3t4)=L(t2t3)=C(t3). 为了打破G中的(1,3)-路，从L(t1t2)-C(t1)中选一种颜色α重新染t1t2. 若α∉(C(t3)-{c(t2t3),c(t3t4)})，只需给t4t5染颜色3即可. 若α∈(C(t3)-{c(t2t3),c(t3t4)})，依次给t2t3,t3t4,t4t5染或重新染颜色1,3,4即可.(5.2) c(t2t3)∉{3,4,5}.(5.2.1) c(t2t3)=2.若G中不存在从t4到t5且经过t2,t5′的(1,2)-路，从L(t5t6)-({1}∪C(t6))中选一种颜色重新染t5t6，再给t4t5染颜色2即可.若G中存在从t4到t5且经过t2,t5′的(1,2)-路，从而t1t2=1，2∈{c(t1t1′),c(t1t1″)}.不失一般性，可设L(t3t4)=L(t2t3)=C(t3). 从L(t1t2)-C(t1)中选一种颜色α重新染t1t2. 若α∉(C(t3)-{c(t2t3),c(t3t4)})，从L(t5t6)-({1}∪C(t6))中选一种颜色重新染t5t6，再给t4t5染颜色2即可. 若α∈(C(t3)-{c(t2t3),c(t3t4)})，依次给t2t3,t3t4重新染颜色1,2，再从L(t4t5)-(C(t6)∪{1})中选一种颜色染t4t5即可.(5.2.2) c(t2t3)≠2.设c(t2t3)=β，显然有β∉{1,2,…,5}. 从L(t5t6)-({1}∪C(t6))中选一种颜色重新染t5t6，再给t4t5染颜色2即可.(C6) G有一个7-面f=[u1u2…u7]，其中d(u1)=d(u4)=d(u6)=2,d(u2)=d(u3)=3, d(u5)=d(u7)=5，Δ=5.用u2′表示u2的不在f中的邻点，用u3′表示u3的不在f中的邻点. 用y1,y2,y3表示u5的不在f中的邻点. 令H=G-u1u2，由归纳假设知，H中有一个无圈L-边染色c. 若c(u1u7)∉{c(u2u3),c(u2u2′)}，从L(u1u2)-{c(u1u7),c(u2u3),c(u2u2′)}中选一种颜色染u1u2即可. 下面设c(u1u7)∈{c(u2u3),c(u2u2′)}，不妨设c(u1u7)=1，{c(u2u3),c(u2u2′)}={1,2}.若c(u2u3)=1，从L(u1u2)-({1,2}∪{c(u3u3′),c(u3u4)})中选一种颜色染u1u2即可.下面设c(u2u2′)=1,c(u2u3)=2. 不妨假设：(*2) 无论从L(u1u2)-{1,2}中选哪一种颜色i染u1u2，G中都存在一个(1,i)-圈. 由(*2)知(L(u1u2)-{1,2})⊂(C(u7)-{1}). 不妨设L(u1u2)={1,2,…,5}. 下面分两种情况讨论：(6.1) c(u6u7)∈{3,4,5}.设c(u6u7)=3，由(*2)知c(u5u6)=1.(6.1.1) c(u4u5)=3.由(*2)知c(u3u4)=1,c(u3u3′)=3. 不失一般性，可设L(u1u7)=L(u6u7)=C(u7)，L(u5u6)=L(u4u5)=C(u5).为了打断(1,3)-路，首先从L(u3u4)-{1,2,3}中选一种颜色α重新染u3u4.若α∉{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，再给u1u2染颜色3即可.若α∈{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，依次给u4u5,u5u6,u6u7,u1u7,u1u2染或重新染1,3,1,3,4即可.(6.1.2) 3∈{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}.设c(u4u5)=α. 不妨设L(u1u7)=L(u6u7)=C(u7)，L(u5u6)=L(u4u5)=C(u5).为了打破G中的(1,3)-路，首先分别给u4u5,u5u6重新染1,α.首先对u3u4重新染色. 若c(u3u4)=1，从L(u3u4)-C(u3)中选一种颜色重新染u3u4即可. 下面设c(u3u4)≠1. 若c(u3u3′)≠1或c(u3u4)∉{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，这时不需对u3u4重新染色. 下面设c(u3u3′)=1且c(u3u4)∈{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}. 若L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})≠∅，从L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})中选一种颜色重新染u3u4即可；若L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})=∅，此时有L(u3u4)=({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})，可重新给u3u4染颜色2，然后从L(u2u3)-{1,2,3}中选一种颜色β重新染u2u3(β的选取要使得G中不存在从u2到u3且经过u2′,u3′的(1,β)-路，这样的β是存在的).下面给u1u2染色. 若α∉(C(u7)-{1,3})，只需给u1u2染颜色3即可. 若α∈(C(u7)-{1,3})，依次给u6u7,u1u7重新染颜色1,3，再从L(u1u2)-{1,3,c′(u2u3)}中选一种颜色染u1u2即可(若u2u3重新染过颜色，c′(u2u3)表示重新染过后的颜色；若没有，c′(u2u3)表示原先的颜色).(6.2) c(u6u7)∉{3,4,5}.(6.2.1) c(u6u7)=2.若G中不存在从u1到u2且经过u6,u2′的(1,2)-路，从L(u2u3)-(C(u3)∪{1})中选一种颜色重新染u2u3，再给u1u2染颜色2即可.若G中存在从u1到u2且经过u6,u2′的(1,2)-路，则c(u5u6)=1. 设c(u4u5)=α，显然α≠2. 不失一般性，可设L(u1u7)=L(u6u7)=C(u7)，L(u5u6)=L(u4u5)=C(u5).为了打破G中的(1,i)-路(i∈{3,4,5})，首先依次给u1u7,u6u7,u5u6,u4u5重新染颜色2,1,α,1.若c(u3u4)=1，从L(u3u4)-C(u3)中选一种颜色β重新染u3u4，再从L(u1u2)-({1,2}∪{c(u3u3′),β})中选一种颜色染u1u2即可. 下面设c(u3u4)≠1.若c(u3u3′)≠1或者c(u3u4)∉{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，不需要对u3u4重新染色，只需从L(u1u2)-({1,2}∪{c(u3u3′),c(u3u4)})中选一种颜色染u1u2即可.若c(u3u3′)=1且c(u3u4)∈{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，此时若L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})≠∅，从L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})中选一种颜色β重新染u3u4，然后从L(u1u2)-({1,2}∪{c(u3u3′),β})中选一种颜色染u1u2即可.若L(u3u4)-({1,2}∪{c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)})=∅，此时有L(u3u4)={1,2,c(u5y1),c(u5y2),c(u5y3)}，可重新给u3u4染颜色2，然后从L(u2u3)-{1,2}中选一种颜色β重新染u2u3 (β的选取要使得G中不存在从u2到u3且经过u2′,u3′的(1, β)-路，这样的β是存在的)，再从L(u1u2)-{1,2,β}中选一种颜色染u1u2即可.(6.2.2) c(u6u7)≠2.显然有c(u6u7)∉{1,2,…,5}，从L(u2u3)-(C(u3)∪{1})中选一种颜色重新染u2u3，再给u1u2染颜色2即可.(C7) G有一个7-面[w1w2…w7]，其中d(wi)=2 (i=2,3,5,7), d(wi)=5 (i=1,4,6). 令H=G-w2w3. 由归纳假设，H有一个无圈L-边染色c. 若c(w1w2)≠c(w3w4)，从L(w2w3)-{c(w1w2),c(w3w4)}中选一种颜色染w2w3即可.若c(w1w2)=c(w3w4)，不妨设c(w1w2)=c(w3w4)=1. 若存在i∈(L(w2w3)-{1}),使得G中不存在从w2到w3经过w1的(1,i)-路，给w2w3染颜色i即可. 若无论从L(w2w3)-{1}中选哪一种颜色i染w2w3，G中都有一个(1,i)-圈，则c(w5w6)=c(w6w7)=1，此时H中的染色不是正常染色，矛盾.【相关文献】[1] ALON N, SUDAKOV B, ZAKS A. Acyclic edge colorings of graphs[J]. J Graph Theory, 2001, 37 (2): 157-167.[2] ALON N, MCDIARMID C, REED B. Acyclic coloring of graphs[J]. Random Structures Algorithms, 1991 (2): 277-288.[3] MOLLOY M, REED B. Further algorithmic aspects of Lovasz locallemma[C]//Proceedings of the 30th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, NY, 1998 (4): 524-529.[4] MUTHU R, NARAYANAN N, SUBRAMANIAN C R. Improved bounds of acyclic edge coloring[J]. Electron Notes Discrete Math, 2005, 19 (3): 171-177.[5] BOROWIECKI M, FIEDOROWICZ A. Acyclic edge coloring of planar graphs withoutshout cycles[J]. Discrete Math, 2010, 310 (3): 1445-1455.[6] FIEDOROWICZ A, HALUSZCZAK M, NARAYANAN N. About acyclic edge colouring of planar graphs[J]. Inform Process Lett, 2008, 108 (2): 412-417.[7] HOU J, WU J, LIU G, et al. Acyclic edge colorings of planar graphs and series-parallel graphs[J]. Sci China, 2009, 52 (4): 605-616.[8] WANG W, SHU Q, WANG K, et al. 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平面图的缺陷DP-染色
摘要本文主要证明了两个结果：一是任意的平面图G都存在一个最大度不超过6的子图H，使得G−E(H)是2-退化的。
作为这个结果的推论，我们知道任意平面图G都是6-缺陷DP-3可染的；另一方面本文证明了存在平面图不是3-缺陷DP-3可染。
当d=4,5时，平面图是否为d-缺陷DP-3-可染的，仍然是一个未解决的问题。
关键词：平面图；2-退化的平面图；缺陷染色；无圈定向；DP-染色。
AbstractThis paper proves that every planar graph G contains a subgraph H withΔ(H)≤6such that G−E(H)is2-degenerate.As a consequence of this result,every planar graph G is6-defective DP3-colorable.On the other hand,we show that there is a planar graph which is not3-defective DP3-colourable.It remains an open problem whether every planar graph is d-defective DP3-colourable,for d=4,5.Keywords:planar graphs;2-degenerate planar graphs;defective colouring;acyclic orientation;DP-coloring.目录摘要⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅i Abstract⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅iii 目录⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅v 第一章绪论⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1基本概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1.1图的相关概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.1.2DP染色概念⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21.2平面图的缺陷DP-染色研究现状⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅51.3本文主要结果⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6第二章k d的一个下界⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅92.1定理1.2的证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9第三章主要定理⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅133.1预备知识⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅133.2定理3.1的证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅14参考文献⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21攻读学位期间取得的研究成果⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅23致谢⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅25浙江师范大学学位论文独创性声明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅28学位论文使用授权声明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅28vi学位论文诚信承诺书⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅29第一章绪论1.1基本概念1.1.1图的相关概念一个图G由一个顶点集和一个边集组成，我们一般把图G的顶点集合和边集合分别记为V(G)和E(G)，用⋃︀V(G)⋃︀来表示图G的顶点数(或阶数)，用⋃︀E(G)⋃︀来表示图G的边数。
CAD判断题题库
一是非题，判断题*AutoCAD的图标菜单栏可以定制，可以删除，也可以增加。
(对)*AutoCAD是美国Autodesk公司的计算机制图软件。
(对)*在CAD中，可采用鼠标二中键滚轮代替图标菜单中的缩放和旋转操作。
(对)*所有的命令都可以采用键盘输入(即快捷方式)以提高绘图制度，快捷方式的字母可由用户自己来定义。
(对)*正交线指的是水平线和竖直线。
(错)*正交线指的是在正交方式下绘制的直线。
(对)*使用编辑图形命令时(如移动、阵列等)可以先点命令，再选图形，也可首先选图形，再点命令。
(对)*使用外部块命令时，当外部块图形改变时，引用部会也会随之改变。
(错)*创建图案填充时，当选区取比例1，表明构成图案填充的直线间距为1。
(错)*CAD设计与常规设计方法相比，有利于产品的标准化、分列化、通用化。
(对)*机械制图中，GB/T为推荐性国家标准的代号，一般可简称为“国标”(错)*国家标准中。
A4图纸的幅面尺寸为210X297，A3的图纸的幅面尺寸为295X420(对)*在标准制图中，每张图纸都应该画出标题栏，标题栏的位置应位于图样的右下角(对)*在机械制图中，2：1的比例成为放大的比例，如实物的尺寸为10，那么图中图形应画5(错) *在机械制图中，投影采用的是正投影法，即投射线与投影面相垂直的平行投影法。
(对) *平面四边形与投影面倾斜时，其投影变小，投影的形状有可能会变成三角形(错)*在三面投影体系中，主视图，俯视图，左视图之间保持长对正，高平齐，宽相等的原则(对) *一个平面图形在三面投影体系中的投影有可能是一个点、一条直线或一个平面(错)*任何复杂的物体，仔细分析起来，都可看成是由若干个基本几何体组合而成的(对)*为了将尺寸标注的完整，在组合体的视图上，一般需要标注定形尺寸、定位尺寸、总体尺寸等尺寸。
(对)*为了使图形清晰，应尽量将尺寸注在视图的外面，以免尺寸线、数字和轮廓线相交。
(对) *在制图中画出的粗实线，虚线是在实物上面真正存在的轮廓线(对)*波浪线在制图中一般应用在断裂处的边界线，视图和剖视的分解线(对)*将机件的某一部分向基本投影面投射所得到的视图，称为局部视图，所以局部视图一定会使某个基本视图的一部分。
同济大学机械制图习题集第六版
CD是侧平线；KL是铅垂线。
2、作下列直线的三面投影：
（1）水平线AB，从点A向左、向前，β＝30°，长18。
（2）正垂线CD，从点C向后，长15。
●该题主要应用各种位置直线的投影特性进行做题。（具体参见教P73～77）
3、判断并填写两直线的相对位置。
●该题主要利用两直线的相对位置的投影特性进行判断。（具体参见教P77）
6、用直角三角形法求直线AB的真长及其对H面、V面的倾角α、β。
●用直角三角形求一般位置直线的实长及其对投影面的倾角。
第9页平面的投影（一）
1、按各平面对投影面的相对位置，填写它们的名称和倾角（0°、30°、45°、60°、90°）。
●解题要点：利用各种位置平面的投影特性及有积聚性的迹线表示特殊位置平面的投影特性做题。
简单时可用直观法。
6、作?EFG与 PQRS的交线，并表明可见性。
●铅垂面PQRS与一般平面相交，从铅垂面的水平投影积聚为一条直线入手,先利用公有性得到交线的一个投影,再根据从属关系求出交线的另一个投影。本题可见性判断可用直观法。
7、作正垂面M与 ABCD的交线，并表明可见性。
●正垂面MV与一般平面相交，从正垂面的正面投影积聚为一条直线入手,先利用公有性得到交线的一个投影,再根据从属关系求出交线的另一个投影。本题可见性判断可用直观法。
第13页曲面面立体及其表面上的点和线
1、作圆柱的正面投影，并补全圆柱表面上的素线AB、曲线BC、圆弧CDE的三面投影。
●利用圆柱的投影特点（积聚性）和其表面取点的方法做题，注意可见性的判断。
2、已知圆柱的轴线的两面投影以及圆柱的正面投影，作出圆柱及其表面上点A和点B的水平投影。
[Δ](G)=8且不含4-圈的平面图的完备染色
=8且不含4-圈的平面图的完备染色](https://img.taocdn.com/s3/m/fd77c5c618e8b8f67c1cfad6195f312b3069eb4e.png)
[Δ]（G）=8且不含4-圈的平面图的完备染色解：
首先，我们要弄清楚回路图的计算方法。
其实，它的计算方法也很简单，只需要将回
路图中的每条边以及节点数相加即可。
即Δ(G)=e+v，其中e表示边数，v表示点数。
因此，根据给出的条件，Δ（G）=8，即e+v=8，因此可知，e=4，v=4。
根据提出的条件，e=4，v=4，我们可以得出一个完备染色的平面图，如图1所示。
其中，4个节点依次为A、B、C、D，4条边分别连接AB、AC、BC、AD。
另外，再染色图中不
能有4-圈，所以以上平面图可满足要求。
根据染色的定义，即不同的节点需要使用不同的颜色来染色，我们可以使用2个颜色（如红色和蓝色）来染色。
具体染色方式如图2所示。
经过染色后，其中任意两个节点
（也就是边）连接时，其相应的颜色不能相同，即相邻节点不能是相同颜色，且每个节点
只能分配一种颜色，因此可知，图2中的颜色染色方式符合完备染色的要求。
另外，根据条件，要求该图不含4-圈。
或者说，图中不允许出现有4个节点依次围绕一个节点的形式，以上图2就不会出现这种情况，因此以上完备染色的结果就满足了要求。
综上所述，根据给出的完备染色的条件，即Δ（G）=8且不含4-圈的平面图，我们可以得到一个完备染色的结果，具体如图2所示。