流动传热与燃烧的数值计算2差分

相容性：如果当网格步长Δx→0, Δt→0时，差分 方程的截断误差也E→0 ，此时在每一网格结 点上的差分方程与原微分方程是等同的，则该 差分方程与相应的微分方程是相容的。
以FTCS格式为例： u u u o(Vt ) t Vt j
n n j n 1 j
u u 2 x j
1 n un u j j
Vt

n n un 2 u u j 1 j j 1
j 1, 2, L J 1 n 1, 2, L N
(V x )2 j 0,1, 2, L J n 1, 2, L N n 1, 2, L N
u0 j f ( jV x )
n u0 1 ( nVt ) n uJ 2 ( nVt )
0 xl u 2u 2 t x 0 t T u( x , 0) f ( x ) u(0, t ) 1 ( t ) u( l , t ) 2 ( t )
设： tn=nΔt ，xj=jΔx ，n=0,1,2,….,N，j= 0,1,2,….,J 点( xj , tn)可以用(j ,n)表示 u( xj , tn)用 un 表示 j 令微分方程中的一阶导数用向前差分，二阶导数用 中心差分，则与原微分方程对应的差分方程为：
§1.1.3 差分方程的相容性
用差分方程代替微分方程之后产生了一个问题，即 所采用的差分方程是否逼近原来的微分方程？
相容性是差分方程的一个基本特性，它既反映了差 分方程是否收敛到相应的微分方程，也反映了截 断误差。
截断误差：用ujn代替 u(xj, tn) 的差分方程与在点 (xj, tn)处的微分方程之差。 E=O(Δtq+Δxp) 差分方程的精度：如果 E=O(Δtq+Δxp)，则称此差 分方程对t是q阶精度，对x是p阶精度。
2
n
n j 1
2u u
n j
n j 1
(V x )
2
o(V x )
2
E 0时E 0 FTCS 格式是相容的
§1.1.4 差分方程的收敛性
差分方程能否应用，要看差分方程的近似解能否 任意地逼近微分方程的准确解。
首先要考虑差分方程理论上的精确解能否任意地 逼近微分方程的准确解，其次还要考虑求解差 分方程过程中产生的误差。
L E n nVt o(Vt V x 2 ) 当Vt 0,V x 0时, E 1 0, E 2 0, L E n 0 即e n j 0 1 故，在0 s 范围内，FTCS 格式是收敛的。 2
举例：对于FTCS格式，当S=1, 1/2, 1/6时，考察结 点xj=0.4，tn=8处的数值解，并与微分方程在该处 的准确解 u(0.4, 8)=45.03963比较。 其中α=0.01，l=1.0



1 1 n 2 当0 s 时，有 e n E ( s 1 2 s s ) V t o ( V t V x ) j 2 即E n1 E n Vt o(Vt V x 2 )
设微分方程的准确解与差分方程的精确解初始条件 相同，即
0 0 0 1 2 % u u j e j 0 E 0 E Vt o(Vt V x ) 0 j
45.24738 45.13947 45.06459
45.11174 45.05766 45.04414
§1.1.5 差分方程的稳定性
求解差分方程的过程中不可避免地会引入误差（舍 入误差、初始误差等），稳定性讨论差分方程解 的误差在计算过程中的发展问题。 稳定性：如果求解差分方程过程中引入的数值误差 在以后计算步逐步消失或保持有界，则称此差分 方程是稳定的；如果引入的数值误差在以后计算 步被逐渐放大，以致物理问题的解被完全破坏， 则称此差分方程是不稳定的。
则e
n1 j
u
n1 j
n1 % uj
n n 2 se n (1 2 s ) e se o ( V t V x )Vt j 1 j j 1
1 n n n 2 en se (1 2 s ) e se V t o ( V t V x ) j j 1 j j 1 n 1 n 1 令E n Max e n , E Max e j j
J
5 10 15 20
Δx
0.2 0.1 0.06 0.05
S=1 100 12200 197 * 106
u S=1/2 50 47.54791 45.61530 45.66436
S=1/6 46.84500 45.49047 45.23979 45.15231
25 50 100
0.04 0.02 0.01
将上述方程改写成便于计算的形式： Vt n1 n n n n uj uj ( u 2 u u FTCS 格式 j 1 j j 1 ) 2 (V x )
若微分方程中的时间导数用向后差分，空间导数用中心差分， 则与原微分方程对应的差分方程为： Vt n 1 n n n n uj uj ( u 2 u u 全隐式格式 j 1 j j 1 ) 2 (V x )
其中s
Vt
(V x )
2
n n % % 设u j 为微分方程的准确解， u j u( x j , t n ) n1 n n n % % % % 则u j su j 1 (1 2 s )u j su j 1 o(Vt V x 2 )Vt n % 设e u u j n j n j
则
d dx 2
可以表示为：
向前差分 向后差分 中心差分
d 3 2 dx x 2 d 2 1 或 x dx 2 d 3 1 或 2x dx 2
则
d 2 2 dx 2
s2 1 2 2 2 要使 ： j (2 s 4 s ) 1 0 s 3 2 1 4 s 6 s 1 M 这个过程可继续下去，在许多时间层以后，各处 的误差趋于相等，但可能正负号相同，也可能 正负号相反。
0 0 则 w0 u j j j n n wn u j j j n j
：
由于 w n j 满足差分方程，则
1 n1 n n n n n n un s ( u ) (1 2 s )( u ) s ( u j j j 1 j 1 j j j 1 j 1 )
收敛性是讨论当 Δx→0, Δt→0 时，差分方程的精 确解是否收敛于原微分方程的准确解。 相容性是讨论当Δx→0, Δt→0 时，差分方程是否 逼近原微分方程，相容并不能保证收敛。
以FTCS格式为例，讨论其收敛性 u
n1 j
su
n j 1
(1 2 s )u su
n j
n j 1
若微分方程中的时间导数用中心差分，空间导数也用中心差分， 则与原微分方程对应的差分方程为： Vt n 1 n 1 n n n u j u j 2 ( u 2 u u j 1 j j 1 ) 2 (V x )
Richardson格式
显式格式：解可以由明显的公式计算出来，不需 要求解方程组。FTCS 隐式格式：解不能简单地求出，需要求解代数方 程组。全隐式格式
一般取时间步长Δt =const.，空间步长Δx =const. 对于二维和三维问题，不要求Δx = Δy= Δz。 tn=nΔt 和xj=jΔx 的直线为网格线，其交点( xj , tn) 称为网格结点。 网格设计好之后，就可以把连续求解域上的微分方 程离散化为有限个网格结点上的差分方程。
例：用差分法求解抛物型方程
§1.1有限差分法
差分法的基本思想是用差商代替微商。 用差分法离散微分方程的具体方法有很多种， 对同一微分方程可以建立不同的差分方程。
§1.1.1差分方程的建立
以一维问题为例，设x3-x2=x2-x1=Δx 由Taylor级数展开可得：
d 2 x 2 d 3 x 3 d 3 2 x 2 3 L dx 2 dx 2 2! dx 2 3! d 2 x 2 d 3 x 3 d 1 2 x 2 3 L dx 2 dx 2 2! dx 2 3! (1) (2)
可以表示为：
d 2 3 22 1 2 2 dx x 2
中心差分
§1.1.2网格划分
离散过程包括两个方面：①微分方程的离散化； ②求解域的离散化。
设微分方程有两个自变量x，t 。 微分方程的解应是x和t的函数u(x,t)，而差分法 （数值方法）求的是若干个离散点（x=j Δx， t=nΔt ）上u(x,t)的近似值 un j 因此，首先要在求解域上指定一系列离散点。
由于un j 是差分方程的精确解，则
1 n n n un su (1 2 s ) u su j j 1 j j 1 1 n n n 故： n s (1 2 s ) s j j 1 j j 1 误差传播方程
jm 0 设 jm 1 0 0 0 m s (1 2 s ) s 1 m2 m 1 m s 1 0 0 0 m s m 1 (1 2 s ) m s m 1 (1 2 s ) 则 1 0 0 0 s (1 2 s ) s m m 1 m 2 s m 1 其余全部为零
0 j
s 1 1 要使 j (1 2 s ) 1 0 s 1 ： s 1 再由误差传播方程可知：
2 2 1 1 1 2 m 2 m 2 s m 3 (1 2 s ) m 2 s m 1 s 2 2 1 1 1 2 s (1 2 s ) s (2 s 4 s ) m 1 m 1 m2 m 1 m 2 1 1 1 2 s (1 2 s ) s （ 1 4 s 6 s ） m 1 m m 1 m 其余全部为零