传热与流动的数值计算

1.2 传热与流动问题数值计算的基本思想及应用举例
1.2.1 数值解基本思想（基于连续介质假设）
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场 （如速度场、温度场、浓度场等），用一系列有限 个离散点（称为节点，node)上的值的集合来代替； 通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关 系的代数方程(称为离散方程，discretization equation)；求解所建立起来的代数方程以获得所求 解变量的近似值。
5. 四点说明
1. 所导出的三维非稳态Navier-Stokes方程，无论对 层流或是湍流都是适用的。 2. 当流动与换热过程伴随有质交换时，控制方程中还 应增加组份守恒定律。 3. 虽然假定了比热为常数，也可以近似应用于比热的 变化不是很剧烈的情况。 4. 辐射换热需要用积分方程来描述，本课程中将不涉 及这类问题。
u v w 0 x y z
div( U ) 0 t
称为流动无散（度）条件 (Zero divergence)。
2. 动量守恒方程
对上图所示的微元体分别在三个坐标方向上应用 Newton第2定律（F=ma)在流体中的表现形式： [微元体内动量的增加率]=[作用在微元体上各种力之和] 假设流体中切应力与正应力满足Stokes假定：应 力与应变成线性关系，可得u-动量方程如下：
( u ) ( uu ) ( uv ) ( uw) p u (divU 2 ) t x y z x x x v u u w [ ( )] [ ( )] Fx y x y z z x
导致依赖区(domain of dependence) 与影响区 (domain of influence)的不同。 所谓依赖区是指赖以决定一个节点的变量数值的 区域；影响区是一个节点的变量影响所及的区域。



T T a 2 t y
2

1 T 1 2T 2T 2 2 2 y a t c t
1.1.2 单值性条件（以温度场求解为例） 1. 初始条件 2. 边界条件 （1） 第一类 (Dirichlet)：
t 0, T f ( x, y, z )
TB Tgiven
T （2） 第二类 (Neumann)： qB ( ) B qgiven n
阶导数与函数之间的关系: ( T ) B h(TB T f )
守恒型与非守恒型
1.3 传热与流动问题的数学描写的分类及其对数值解的影响 1.3.1 从数学角度分类 1. 二阶二元拟线性偏微分方程的数学一般形式
axx bxy c yy d x e y f g ( x, y )
a, b, c, d , e, f
可为
x, y ,
2 2
(uT ) (vT ) T T a( 2 2 ) x y x y
2 2
3. 边界条件
定u,v,T随 y 的分布；
（1）进口边界条件：给
u T （3）中心线： 0; v 0 y y
y x
界：数学上要 求给定u,v,T或 其导数随 y 的 分布；实际上 做不到；数值 上近似处理。
1.1 传热与流动问题的数学描写
1.1.1 控制方程及其通用形式 1. 质量守恒方程 2. 动量守恒方程 3. 能量守恒方程 4. 通用控制方程 1.1.2 单值性条件 1.1.3 建立数学描写举例
1.1 传热与流动问题的数学描写
一切宏观的流动与传热问题都由三个守恒定律所 支配：质量、动量与能量守恒（conservation law)。 不同问题的区别主要在于单值性条件 (conditions for unique solution)、物性及源项的不同。
律的成立
( c pT ) t
div( c pTU ) div( gradT ) ST c p
( c p T )dv div( c pTU )dv div( gradT )dv ST c p dv t V V V V
区域离散
方程离散
代数求解 结果分析
பைடு நூலகம்
1.2.2 基于连续介质假设数值解方法分类 1. 有限差分（FDM） 2. 有限容积（FVM） 3. 有限元法（FEM） 4. 有限分析（FAM） 5. 边界元法（BEM） L F Richardson(1910),A Thom D B Spalding; S V Patankar O C Zienkiewicz; 冯
1.1.1 控制方程及其通用形式 1. 质量守恒方程
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
不可压缩流体： div(U ) 0
( u ) ( v) ( w) =div( U ) x y z
n
（3） 第三类 (Rubin)：规定了边界上被求函数的一
数值计算中计算区域的出口边界条件常常最难 确定，要做近似处理。
固体导热与对流传热第三类边界条件的区别
固体导热第 三类边界条 件
对流传热第 三类边界条 件
1.1.3 建立数学描写举例 1. 问题与假设条件
突扩区域中的对流传热：二维、稳态、不可压缩、 常物性、不计重力与黏性耗散。
为流体的动力粘度 ， 称为流体的第2分子粘度。
上式右端部分可进一步转化：
v u p u u w (divU 2 ) [ ( )] [ ( )] Fx x x y x y z z x x
u u u u v w ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (divU ) x x y y z z x x y x z x x p Fx u u u x div( gradu ) Su grad (u ) i j k x y z
双向坐标－扰动可以向两个方向传递，同时该坐标 上任一点处物理量之值可受到两侧条件的影响； 椭圆型问题中的空间坐标为双向坐标。 单向坐标－扰动仅向一个方向传递，同时该坐标上 任一点处物理量之值也仅受到来自一侧条件的影 响；单向坐标包括： 瞬态问题中的时间，抛物型问题中的主流方向。
1.3.2 从物理角度分类 1. 守恒型(Conservative)与非守恒型 (Non-conservative)
非守恒型
u u 1 p 2u 2u u v ( 2 2 ) x y x y x
(uT ) (vT ) 2T 2T a( 2 2 ) x y x y
(uT ) (vT ) div(TU ) x y

cp
c p
( ) c p

Pr
4. 通用控制方程
( ) * * div( U ) div( grad ) S t
瞬态项 对流项 扩散项 广义源项 不同求解变量之间的区别： （1）边界条件与初始条件不同； （2）广义源项表达式不同； （3）广义扩散系数不同。 文献中常以表格形式给出所求解变量的源项与 广义扩散系数的表达式。
Elliptic
的函数。 椭圆型 （回流型） 抛物型 （边界层）
0,
b 4ac
2
0, 0,
Parabolic
hyperbolic 双曲型
2. 三类偏微分方程的特点
b 4ac 0, 椭圆型没有实的特征线;
2 2 2
b 4ac 0, 抛物型有一条实的特征线; b 4ac 0, 双曲型有两条实的特征线。
康
陈景仁
D B Brebbia
FDM(a),FVM(b),FEM(c),FAM(d)四种方法的比较
FDM
FVM
FEM
FAM
所有这些方法都需要生成网格：1）确定节点的 位置；2）建立结点之间的相互的影响关系。
1.3 传热与流动问题的数学描写的分类及其对数值 解的影响
1.3.1 从数学角度分类 1. 二阶二元拟线性偏微分方程的数学一般形式 2. 三类偏微分方程的特点 3. 与数值解的关系 1.3.2 从物理角度分类
于是
div( grad (u ))
u u u ( ) ( ) ( ) x x y y z z
( u ) div( uU ) div( gradu ) Su t
源项为：
u v w p ) (divU ) Fx Su ( ) ( ) ( x x y x z x x x
常物性不可压缩流体动量方程源项中显含速度部分 为零。
3. 能量守恒方程
[微元体内热力学能的增加率]=[进入微元体内的净热 流量]+[体积力与表面力对微元体所做的功] 引入导热Fourier定律，忽略力所作的功， 设hc
pT ;
c p 为常数
( T ) div( T U ) div( gradT ) ST t cp
类似地：
u v w p ) (divU ) Fy Sv ( ) ( ) ( x y y y z y y y
u v w p S w ( ) ( ) ( ) (divU ) Fz x z y z z z z z
（4）出口边
（2）固体边界条件：速度无滑移，温度无跳跃
1.2 传热与流动问题数值计算的基本思想及应用举例
1.2.1 数值解基本思想（基于连续介质假设） 1.2.2 基于连续介质假设数值解方法分类 1.2.3 科学研究的三大基本方法及其关系 1.2.4 应用举例 1.2.5 通用控制方程形式的改进 1.2.6 数值传热学学习方法建议
2. 控制方程
u v 0 x y
(uu ) (vu ) 1 p u u ( 2 2 ) x y x x y 2 2 (uv) (vv) 1 p v v ( 2 2 ) x y y x y